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Matemática para o Ensino Básico I - MAT/CEAD/UFOP - 2013
Cláudia Raquel Martins Corrêa
1.Polinômios
Como o conteúdo de Polinômios será visto anteriormente ao conteúdo de funções, não
daremos o enfoque para as funções polinomiais.
Trataremos os polinomios como expressões.
1.1. Definição
Um polinômio na variável x é uma expressão composta da soma de produtos de
constantes por potências inteiras positivas de x e sempre pode ser escrito na forma:
p(x) = anx
n + an−1x
n−1 + . . .+ a2x
2 + a1x+ a0,
onde n ∈ N, ai, i = 0, 1, 2, . . . , n são números reais chamados de coeficientes.
Cada parcela da soma em p(x) é chamada monômio.
Um polinômio p(x) é chamado identicamente nulo se p(x) = 0, ou seja, se todos os
seus coeficientes são iguais a zero.
Exemplos:
a) p(x) = 5x4 − 3x2 + x+ 5
b) p(x) = 2x7 +
√
3x2 − 2
c) p(x) = −7x+ π
d) p(x) = 0
e) p(x) = x− 3x− 12 não é polinômio pois existe expoente de x que não é um número
natural.
Dois polinomios p(x) e q(x) são iguais se seus coeficientes são ordenadamente iguais.
Exemplo: p(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex+ f = q(x) = 3x4 − 7x3 + 2x+ 1⇔
a = 0, b = 3, c = −7, d = 0, e = 2 e f = 1
1.2. Grau de um polinômio
Seja p(x) = anx
n + an−1x
n−1 + . . .+ a2x
2 + a1x+ a0 um polinomio não identicamente
nulo.
Se an 6= 0, dizemos que o grau de p(x) é n e denotamos gr(p(x)) = n.
O grau de um polinômio não identicamente nulo corresponde a mais alta potência de
x presente no polinomio.
Exemplos:
1
2
1) p(x) = 4x3 − 2x+ 5 tem grau 3.
2) p(x) = −2x8 + 5 tem grau 8.
3) p(x) = 5 tem grau 0.
1.3. Valor Numérico
Ao atribuirmos um valor fixo para x, por exemplo, se x = α e calculamos p(α) =
anα
n +an−1α
n−1 + · · ·+a2α2 +a1α+a0, obtemos o valor numérico do polinômio para
α.
Exemplos:
Se p(x) = x3 − 4x2 + 6x− 4, então
p(−1
2
) = (−1
2
)3 − 4(−1
2
)2 + 6(−1
2
)− 4 = −1
8
− 4 · 1
4
− 3− 4 = −65
8
.
OBS: Se p(α) = 0, então dizemos que α é um zero ou raiz do polinômio.
Vimos que um polinômio é determinado se conhecemos todos os seus coeficientes.
Assim, para determinarmos um polinômio de grau n, devemos conhecer seus n+
coeficientes.
Se queremos determinar n + 1 números, é intuitivo que necessitamos de n + 1 in-
formações. O próximo resultado trata dessa afirmação envolvendo polinmios. Ele
não será demosntrado neste texto.
Teorema: Dados n + 1 números reais distintos x0, x1, · · · , xn e fixados arbitraria-
mente valores y0, y1, . . . , yn, existe único polinômio de grau ≤ n, tal que:
p(x0) = y0, p(x1) = y1, . . . , p(xn) = yn.
1.4. Operações com polinômios
Consideremos os seguintes polinômios:
p(x) = anx
n + an−1x
n−1 + . . .+ a2x
2 + a1x+ a0
q(x) = bmx
m + bm−1x
m−1 + . . .+ b2x
2 + b1x+ b0
onde an 6= 0 e bm 6= 0.
1.4.1. Soma de polinômios
A soma p(x) + q(x) é um polinômio obtido somando os coeficientes correspondentes
(coeficientes de x elevado a mesma potência). Denotamos p(x) + q(x) = (p+ q)(x).
Considerando m < n, temos:
(p+q)(x) = anx
n+. . .+(am+bm)x
m+(am−1+bm−1)x
m−1+. . .+(a2+b2)x
2+(a1+b1)x+(a0+b0).
OBS: gr(p+ q) ≤ máx{gr(p), gr(q)} e a igualdade é válida quando n 6= m.
3
Exemplo: Se p(x) = 3x3 − 2x2 + 7 e q(x) = 3x4 − 7x3 + 2x+ 1, então
(p+q)(x) = (0+3)x4+(3−7)x3+(−2+0)x2+(0+2)x+(7+1) = 3x4−4x3−2x2+2x+8.
1.4.2. Multiplicação de um polinômio por um número real
Seja α ∈ R. Então αp(x) é o polinômio obtido multiplicando cada coeficiente de p(x)
por α:
αp(x) = αanx
n + αan−1x
n−1 + . . .+ αa2x
2 + αa1x+ αa0
OBS: gr(αp) = gr(p) se α 6= 0.
Exemplo: Se p(x) = 3x3 − 2x2 + 7 e α = −2, então αp(x) = −6x3 + 4x2 − 14.
1.4.3. Multiplicação de polinômios
O produto p(x) · q(x) é um polinômio obtido aplicando a propriedade distributiva.
Denotamos p(x) · q(x) = (p · q)(x).
(p · q)(x) =
(an·bm)xn+m+. . .+(a0·bi+a1·bi−1+. . . ai·b0)xi+. . .+(a0·b2+a1·b1+a2·b0)x2+(a0·b1+a1·b0)x+a0·b0
OBS: gr(p · q) = n+m.
Exemplo: Se p(x) = 3x3 − 2x2 + 7 e q(x) = 3x4 − 7x3 + 2x+ 1, então
(p · q)(x) = 3x3 · q(x)− 2x2 · q(x) + 7 · q(x) =
(9x7 − 21x6 + 6x4 + 3x3) + (−6x6 + 14x5 − 4x3− 2x2) + (21x4 − 49x3 + 14x+ 7) =
9x7 − 27x6 + 14x5 + 27x4 − 50x3 − 2x2 + 14x+ 7.
1.4.4. Divisão de polinômios
Dados dois polinomios p(x)e d(x) não identicamente nulos, existem únicos polinômios
q(x) e r(x) tais que:
p(x) = d(x) · q(x) + r(x) e 0 ≤ gr(r(x)) < gr(d(x)).
Esta afirmação é conhecida como o algoritmo da divisão de Euclides.
Os polinômios q(x) e r(x) são chamados respectivamente de quociente e resto da
divisão de p(x) (dividendo) por d(x) (divisor).
Se gr(r(x)) = 0, então dizemos que d(x) divide p(x).
As operações com polinômios satisfazem as seguintes propriedades:
1) Comutatividade da soma e da multiplicação.
2) Associatividade da soma e da multiplicação.
3) Existência do elemento neutro aditivo (polinomio identicamente nulo).
4
4) Existência do simétrico aditivo (−p(x)).
5) Distributividade.
1.5. Exerćıcios
1) Determine o valor de r no polinomio p(x) = x3 + 4x2 + rx− 3 sabendo que x = −2
é raiz de p(x).
2) Dado o polinomio p(x) = (m2 − 1)x2 + (m− 1)x + 7, discuta, em função de m, o
seu grau.
3) Dados os polinomios p(x) = 10x4 − 3x2 + 3x+ 10 e q(x) = 2x2 − 5x, determine:
a) (p+ q)(x)
b) (p− q)(x)
c) −5 · p(x)
d) (p · q)(x)
e) p(x)
2x+6
4) Calcule 8x
4−5x3+3x+9
x+6
.
5) Complete o quadrado da expressão: ax2 + bx+ c, sendo a 6= 0.