Matemática_Comercial_Parte_I

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Matemática Comercial
 Profº Carlos Andreotti 
REGRA DE TRÊS SIMPLES
São problemas onde relacionamos duas grandezas podendo ser 
diretamente ou inversamente proporcionais. Para solução dos mesmos consiste 
em formar com três valores conhecidos e a incógnita procurada, uma proporção e 
dela tiramos o valor desejado.
TIPOS DE GRANDEZAS.
Grandezas diretamente proporcionais 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando ou 
diminuindo uma delas, a outra grandeza aumenta ou diminui na mesma razão.
Exemplo:
1) Um automóvel fez 120Km com 10 litros de gasolina. Quantos litros de 
gasolina esse automóvel gastaria para percorrer 200Km? 
 
 Distância litros de gasolina
 120 10
 200 x
 
gasolinadelitros66,16x
120
2000
x2000x12010200x120
x
10
200
120

Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando -
se uma delas, a outra diminui na mesma razão que a primeira aumentou e vice-
versa.
Exemplo:
1) Um ônibus com a velocidade 60Km/h percorre a distância entre duas 
cidades em 3h. Que tempo levará, se aumentar a velocidade média para 90Km/h?
 velocidade média tempo velocidade média tempo
 60 3 60 x
 90 x 90 3
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h2x
90
180
x180x90360x90
3
x
90
60

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Se 4 operários tecem 200m de tecido por dia, quantos metros tecerão 6 
operários?
Solução: Indicando por x a quantidade de metros que tecerão os 6 
operários, temos a seguinte disposição prática:
 no de operários metros de tecido
 4 200
 6 x
Se 4 operários tecem 200m, mais operários tecerão mais metros.
Nesse exemplo as grandezas são: número de operários e metros de 
tecido, assinalamos essa variação na disposição prática, através de flechas do 
mesmo sentido. A proporção resultante será:
Resposta: 6 operários tecerão 300 metros de tecido.
2) Seis operários levam 12 dias para executar uma obra, 4 operários, em 
quanto tempo farão o mesmo trabalho?
 no de operários dias
 6 12
 4 x
É óbvio que 6 operários levam 12 dias, menos operários demorarão mais 
dias para a execução da obra. Como o tempo necessário para realizar o trabalho 
é inversamente proporcional ao número de operários empregados, indicamos 
essa variação com flechas de sentidos opostos. Invertendo a primeira razão 





6
4
,
para que as flechas fiquem com o mesmo sentido, e teremos a seguinte 
proporção:
 
mxxxx
x
300
4
1200
1200462004
200
6
4

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 n
o de operários dias
 4 12
 6 x
dias18x
4
72
x72x4612x4
x
12
6
4

Resposta: 4 operários executaram a obra em 18 dias
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. Uma pessoa ingere em um dia 1,5 litros de água. Em 15 dias, ingerirá:
a) 30 litros b) 22,5 litros c) 20 litros d) 27,5 litros e) n.r.a.
2. Um operário constrói um muro em 10 dias trabalhando 8h por dia. 
Quanto tempo leva o mesmo operário para construir o mesmo muro trabalhando 
10h por dia? 
3. Duas rodas dentadas, engrenadas uma na outra, têm respectivamente 
16 e 32 dentes. Quantas voltas dará a menor, enquanto a maior dá 10?
4. Para ladrilhar o piso de uma cozinha de 8,5m2 de área, foram 
empregadas 250 lajotas iguais, de cerâmica. O número de lajotas necessário 
para ladrilhar uma garagem retangular com 5m de comprimento e 2,72m de 
largura é?
a) 40 b) 340 c) 390 d) 400 e) 460
5. Num livro de 192 páginas, há 32 linhas em cada página. Se houvesse 
24 linhas por página, o número de páginas do livro seria: 
a) 256 b) 144 c) 320 d) 240 e) 128
6. Um piloto dá uma volta completa no circuito em 1min 35seg. Para 
completar 54 voltas, ele levará em média:
a) 1h 25min 30seg. b) 1h 31,5min. c) 1h 31min. d) 31,5min. e) 
315min.
7. Um automóvel gasta 10 litros de combustível para percorrer 65Km. 
Num percurso de 910Km a quantidade consumida em litros de combustível será 
de:
a) 1,4 b) 14 c) 140 d) 240 e) 1400
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8.Uma torneira jorra 1.035,5 litros de água por hora e enche certo reservatório 
em 12h. Determine em quanto tempo outra torneira, que jorra 20 litros por 
minuto, encheria o mesmo reservatório.
9. Um relógio atrasa 1min e 10seg em 10h de funcionamento. Quanto atrasará 
em 2 dias?
10. Uma pessoa datilografa um trabalho, com 42 toques por minutos, em 2h. 
Quantos toques por minuto seriam necessários para essa pessoa realizar o 
mesmo trabalho em 6h?
11. Qual o tempo gasto por 2 homens para executar um trabalho que 4 homens, 
nas mesmas condições, executam em 10 dias?
12. Um ônibus com a velocidade de 80Km/h vai da cidade A até a cidade B em 
2h. Nas mesmas condições e com a velocidade de 100Km/h, quanto tempo 
gastará para percorrer a mesma distância?
13. Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100m2 em 3h de trabalho.
Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 
11.900m2?
a) 7 h. b) 5 h. c) 9 h. d) 4 h. e) n.r.a
14. Uma turma de operários executa um trabalho, cujo coeficiente de dificuldade 
é 0,1, em 10 dias. Em quantos dias essa mesma turma faria um outro trabalho 
cujo coeficiente de dificuldades fosse 0,15?
15. (ETF-SP) A cantina da escola possuía um estoque de “hamburguer” a ser 
vendido a 1800 alunos durante 15 dias. Tendo havido uma greve no metrô, alguns 
alunos faltaram e o estoque de “hamburguer” se tornou suficiente para mais 5 
dias. O número de alunos faltosos foi de:
a) 1350 b) 900 c) 750 d) 450 e) 350
16. (UFB) São necessários 25 dias para que sejam asfaltados 
3
2
de uma 
determinada estrada . Para se asfaltarem 
5
3
 dessa mesma estrada, são 
necessários:
a) 7 dias e 12 h. b) 15 dias c) 20 dias d) 22 dias e 12h. e) 45 dias
17. (CPFO-) Um motociclista fez o percurso de 40Km entre duas cidades em 35 
minutos. Se sua velocidade fosse igual a 
5
2
da anterior, faria o mesmo percurso 
em? 
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 Profº Carlos AndreottiREGRA DE TRÊS COMPOSTA
Consideremos o problema abaixo
1) Um operário, trabalhando 2h por dia fabrica 50 objetos em 3 dias. 
Quantas horas deveria trabalhar para fabricar 100 objetos em 4 dias?
Solução: Temos a seguinte disposição prática
 (1o Grupo) (2o Grupo) (3o Grupo)
 2h 50 objetos 3 dias
 x 100 objetos 4 dias
Para resolvermos o problema proposto, comparamos cada grupo de 
valores com o grupo em que está o x (no exemplo, o 1o grupo), colocando uma 
flecha de formato diferente das demais para servir como termo de comparação. 
Nessa comparação devemos observar o grupo a ser analisado com o grupo que 
tem a variável x, sem a preocupação com os demais grupos.
a) Comparando o 1o grupo com o 2o grupo
 Se 2h um operário faz 50 objetos
 x 100 objetos
Portanto, se em 2h um operário faz 50 objetos, mais objetos para fabricar 
serão necessários mais horas.
Regra de três direta flechas com o mesmo sentido
b) Comparando o 1o grupo com o 3o grupo
 Se 2h um operário faz em 3 dias
 x 4 dias
Ora, se em 2h um operário leva 3 dias, mais dias menos horas o operário 
vai precisar.
Regra de três inversa flechas com sentidos contrários.
Para a resolução final do problema, devemos deixar todas as grandezas 
com o mesmo sentido, e neste exemplo, devemos inverter o sentido da flecha do 
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3o grupo; antes de formar a proporção:
 (1o Grupo) (2o Grupo) (3o Grupo)
 2h 50 objetos 4 dias
 x 100 objetos 3 dias
3
2
6
62
3
22
3
4
2
12
3
4
100
502
 xxx
xxx
2) Na perfuração de um poço de 160m de profundidade, 40 operários levaram 21 
dias. Quantos dias 30 operários levariam na perfuração de 200m de um poço 
igual ?
 metros de profundidade no de operários dias
 160 40 21
 200 30 x
 
Observando as grandezas acima (profundidade e dias necessários), então 
essas grandezas são diretamente proporcionais, portanto as flechas devem ter o 
mesmo sentido . Com relação a número de operários e dias necessários, 
podemos dizer que essas grandezas são inversamente proporcionais, portanto as 
flechas devem ter sentidos contrários.
Para resolução do problema é necessário que todas as grandezas tenham 
flechas com o mesmo sentido.
 160 30 21
 200 40 x
diasxxxx
xx x
35
3
105
10532153
5
321
4
3
5
421
40
30
200
160 21 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1) Com 16 máquinas de costura, aprontaram-se 80 uniformes em 6 dias 
de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 240 
uniformes em 24 dias?
2) Com uma bomba elétrica, eleva-se 2100 litros de água a altura de 6m 
em 60 min. Quanto tempo empregará essa bomba para elevar 6300litros a altura 
de 4m?
3) Se 15 operários fazem uma casa em 12 dias, trabalhando 4h por dia,
quantos operários serão necessários para fazer a mesma obra em 8 dias, 
trabalhando 5h por dia?
4) Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, 
trabalhando 6h por dia. Se o mesmo grupo trabalhar 8h por dia, a estrada será 
concluída em?
5) Oito pedreiros levantam um muro em 10 dias, trabalhando 6h por dia. 
Quantas horas por dia devem trabalhar 4 pedreiros para executarem o mesmo 
serviço em 6 dias? 
6) Os 
5
2
de um trabalho foram feitos por 24 operários em 10 dias, 
trabalhando 7 h. por dia. Em quantos dias poderá terminar esse trabalho, 
sabendo-se que foram dispensados 4 operários, e os restantes trabalham 6h por 
dia?
7) Seis operários, trabalhando 3h por dia, durante 2 dias, fazem 10m de 
muro. Quantos operários serão necessários para fazer 20m de muro, se 
trabalharem 2h por dia, durante 4 dias?
8) Doze recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8h 
por dia. Quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, 
trabalhando 4h por dia?
9) Doze máquinas, trabalhando 8h por dia, fazem 9000m de tecido, em 15 
dias. Considerando quinze máquinas, quantas horas serão necessárias de 
trabalho por dia para se fazer 6000m de tecido em 10 dias?
Dez operários fazem 150m de uma construção em 18 dias de 8h de serviço. 
Quantos metros 20 operários farão dessa mesma obra em 15 dias, trabalhando 6h 
por dia?