Experimento 1 - corrigido

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Medição do volume de um objeto utilizando paquímetro 
Fernanda Mahler Gomide 
Julia Maria de Souza Silva 
Lucas Menezes Santos 
Pedro Henrique Magnabosco do Nascimento 
Instituto de Ciências Agrárias – Universidade Federal de Uberlândia 
Av. João Naves de Ávila, 2121 – Santa Mônica – 38400-902 – Uberlândia – MG - Brasil 
e-mail: pedro.magnabosco@ufu.br 
 
Resumo. Neste relatório, apresentamos nossas análises sobre o cálculo de volume 
de um sólido, a partir das incertezas de medição advindas de erros instrumentais 
pelo uso do paquímetro. Utilizou-se cálculos de volume de cilindro, média 
aritmética e incerteza para defini-los, o experimento teve como resultado 𝑉 =
12327,4 ± 94,0 𝑚𝑚³. 
 
1. Introdução 
Ao ser relatado um valor, para que o mesmo seja reproduzível, deve-se defini-lo 
a partir de um padrão. O Sistema Internacional de Unidade (SI), estabelecido em 1960, o 
qual definiu como metro (m), quilograma (Kg) e segundo (s), as unidades de 
comprimento, massa e tempo, respectivamente. 
O paquímetro é um instrumento de precisão utilizado para fazer a medição das 
dimensões lineares internas, externas e de profundidade de um dado objeto. É uma régua, 
graduada em polegadas e em milímetros, que contém uma haste a qual desliza sob a 
mesma, esta possui uma pequena escala, denominada vernier, que permite fazer uma 
medida com precisão de 1/10 a 1/50 de milímetros (mm). Além, para medições ainda 
mais precisas, utiliza-se o micrômetro, seu tambor possui 50 equivalentes a um passo de 
0,5 mm, sendo assim sua menor divisão é de 0,01 mm (OLIVEIRA, 2019). 
Isto posto, foram realizados 2 experimentos nos quais determinou-se as medidas 
do volume de uma arruela e um objeto B, as incertezas dos mesmo por meio da 
propagação de erros, tendo seus valores incluídos em tabelas. 
À vista disso, este relatório está organizado da seguinte forma: na Seção 2, 
relatamos o procedimento experimental seguido na realização da experiência. A Seção 3 
é reservada para a análise de resultados, e posteriormente, são apresentados os cálculos, 
por fim, na seção 4, há uma dissertação acerca da conclusão obtida através desse 
experimento. 
 
 
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2. Teoria 
Devido aos erros instrumentais, experimentos com o mesmo objeto, com as 
mesmas condições, pode-se encontrar resultados divergentes. Estes podem ser divididos 
entre dois grupos, aleatórios os quais são referentes a fatores ambientais e/ou mecanismos 
de observação que se pode interferir na exatidão da medida e, sistemáticos, estes podendo 
ser eliminados por suas origens serem possíveis de identificar. Visto isso, para se obter 
um resultado mais próximo ao real, deve-se fazer uma série de medições, utilizando a 
média aritmética 𝑥, o desvio padrão 𝜎𝑥 e o desvio padrão da média 𝛿𝑥. Onde a média é o 
resultado da soma dos dados obtidos dividido pela quantidade de dados (LIMA et al., 
2012). 
�̅� =
1
𝑁
∑ 𝑥𝑖
𝑁
𝑖=1 (1) 
 
O desvio padrão é o cálculo da variação das medidas, utilizado para observar o 
quão distante da média os dados se encontram, quanto maior a dispersão entre esses 
dados, maior o erro e consequentemente maior o desvio padrão, para se calcular o desvio 
padrão. A fórmula corresponde em 100% sobre N (número de elementos), multiplicado 
pela soma vezes o valor individual subtraído do valor da média (IWAMOTO et al., 2014). 
 
𝜎𝑥 = √
1
𝑁
∑ (𝑥𝑖 − �̅�)
2𝑁
𝑖=1 (2) 
Pode-se encontrar uma grandeza de saída (W), através da medida de grandezas 
primárias repetidas várias vezes (x1, x2, x3…). Um exemplo é o cálculo do volume de 
um cilindro (V) que é dado por 𝑉 = 𝜋𝑟²ℎ, com r (raio) e h (altura) (LIMA, 2016). 
 
 
𝑉 = ∫ 𝜋𝑟²𝑑𝑦
ℎ
0
 
𝑉 = 𝜋𝑟² ∫ 𝑑𝑦
ℎ
0
 
𝑉 = 𝜋𝑟²𝑦 ∫
ℎ
0
 
𝑉 = 𝜋𝑟²ℎ 
 
 
 
 
(3) 
 
A incerteza é um cálculo para se obter uma maior precisão nos resultados, onde 
se calcula uma possível variação, sendo essa para mais ou menos com relação ao seu 
resultado final. As grandezas da expressão (W= W (x, y, z, ...)) são denominadas 
grandezas experimentais e as 𝜎𝑥 , 𝜎𝑦, 𝜎𝑧 são as incertezas dos padrões. A incerteza ∆w é 
uma função das incertezas das variáveis x, y e z. Dessarte, se a incerteza total na variável 
x é ∆x, em y é ∆y e em z é ∆z, então a incerteza de ∆w em W é dada pela equação (4) 
caso haja boa precisão e o valor da incerteza seja baixo (VOULO, 1996). 
 
∆𝑊 = √(
𝜕𝑊
𝜕𝑥
)
�̅�,�̅�,�̅�
2
(∆𝑥)2 + (
𝜕𝑊
𝜕𝑦
)
�̅�,�̅�,�̅�
2
(∆𝑦)2 + (
𝜕𝑊
𝜕𝑥
)
�̅�,�̅�,�̅�
2
(∆𝑥)2 (4) 
 
3. Procedimento Experimental 
A fim de reportar o volume do objeto analisado, foi utilizado um paquímetro, cuja 
incerteza instrumental é de 0,05 milímetros. Com o instrumento, foram realizadas vinte 
medições de cada dimensão da peça considerada relevante para o cálculo do volume, em 
milímetros. O objeto pode ser decomposto em dois cilindros empilhados com um furo 
central passando por toda a peça. 
 
Figura 1: Vista frontal e superior do objeto analisado neste experimento, assim como as 
dimensões medidas. 
 
 
ℎ1- altura do menor cilindro; 𝑑1- diâmetro do menor cilindro; 
ℎ2- altura do maior cilindro; 𝑑2- diâmetro do maior cilindro; 
ℎ3- altura total da peça; 𝑑3- diâmetro do furo; 
Após a realização das medições, os dados foram utilizados para a determinação 
do volume total do objeto. 
 
4. Resultados e Discussão 
Apesar de não ser um sólido geométrico de volume conhecido, o objeto pode ser 
decomposto em três cilindros de dimensões e volumes conhecidos, sendo eles: 
𝐶1 - de diâmetro 𝑑1, altura ℎ1 e volume 𝑉1; 
𝐶2 - de diâmetro 𝑑2, altura ℎ2 e volume 𝑉2; 
𝐶3 - de diâmetro 𝑑3 , altura ℎ3 e volume 𝑉3; 
 
Figura 2: Representação dos cilindros propostos no objeto em vista superior. 
 
 
 
Nota-se que o cilindro proposto 𝐶3 representa na realidade o furo central do objeto. 
Assim pode-se definir o volume total do objeto como 𝑉 = 𝑉1+𝑉2 − 𝑉3. 
Utilizando-se da Geometria espacial, a equação (3) que detalha o volume de um 
cilindro é possível obter o volume do objeto em função das variáveis medidas no 
experimento. Procura-se, então, uma equação que descreva o volume total do objeto em 
função das medidas conhecidas. 
 
𝑉 = 𝑉(𝑑1, 𝑑2, 𝑑3, ℎ1ℎ2, ℎ3) 
𝑉 = 𝜋 (
𝑑1
2
)
2
ℎ1 + 𝜋 (
𝑑2
2
)
2
ℎ2 − 𝜋 (
𝑑3
2
)
2
ℎ3 
𝑉 =
𝜋
4
(𝑑1
2ℎ1 + 𝑑2
2ℎ2 − 𝑑3
2ℎ3) 
 
Como ℎ1 + ℎ2 = ℎ3 , pode-se realizar a substituição na equação. 
𝑉 =
𝜋
4
(𝑑1
2ℎ1 + 𝑑2
2ℎ2 − 𝑑3
2(ℎ1 + ℎ2)) 
𝑉 =
𝜋
4
[ℎ1(𝑑1
2 − 𝑑3
2) + ℎ2 (𝑑2
2 − 𝑑3
2)] 
 
Então tem-se o volume em função das medidas experimentais, porém ℎ3 não é necessário 
para o cálculo uma vez que foi substituído no processo de obtenção da fórmula. 
 
𝑉(𝑑1, 𝑑2, 𝑑3, ℎ1, ℎ2) = 
𝜋
4
[ℎ1(𝑑1
2 − 𝑑3
2) + ℎ2 (𝑑2
2 − 𝑑3
2)] (5) 
 
Inicialmente os resultados experimentais das medições foram dispostos na Tabela 
1 (segundo os dados disponibilizados pelo professor na tabela “Dados 3”). Como não se 
obteve apenas um valor exato para cada dimensão, aplicam-se cálculos estatísticos para 
encontrar o melhor valor para o conjunto obtido levando em consideração as incertezas. 
Primeiro encontrou-se a média aritmética de cada dimensão. 
 
Tabela 1: Medidas sequenciais dos diâmetros e alturas do cilindro composto, em 
milímetros, realizadas com o paquímetro. 
i d1(mm) d2(mm) d3(mm) h1(mm) h2(mm) h3(mm) 
1 16,05 25,87 7,22 4,60 24,04 28,69 
2 16,88 25,55 7,33 4,38 24,73 28,21 
3 16,86 25,34 6,98 4,57 24,47 28,57 
4 16,82 25,74 6,94 4,54 24,33 28,80 
5 16,16 25,17 7,40 4,69 24,72 28,41 
6 16,62 26,01 7,30 5,12 24,27 28,67 
7 16,80 25,14 7,27 4,47 24,21 28,06 
8 16,89 25,83 6,82 5,27 23,86 28,80 
9 16,42 25,19 6,76 4,66 24,65 28,12 
10 16,83 25,53 7,43 4,59 24,11 28,52 
11 17,10 25,66 7,09 4,79 24,49 28,49 
12 16,69 25,35 6,86 4,67 23,91 28,7213 16,77 26,01 7,01 5,19 24,66 28,50 
14 16,83 25,78 7,60 5,12 24,56 28,06 
15 16,66 25,75 7,19 4,94 24,73 28,39 
16 16,30 25,26 7,00 5,11 24,06 28,05 
17 16,84 25,33 7,42 5,20 24,24 28,35 
18 16,52 25,25 7,46 4,50 24,16 28,82 
19 16,74 25,18 7,32 4,63 24,38 27,96 
20 16,75 25,19 6,86 5,29 24,79 28,34 
 
 �̅�1=16,6765 �̅�2=25,5065 �̅�3=7,1630 ℎ̅1=4,8165 ℎ̅2=24,3685 ℎ̅3=28,4265 
Foram incluídas também as médias para cada uma das dimensões. O cálculo foi 
realizado utilizando ferramentas do Excel tal que 𝑥 “ =SOMA(i1:i20) / 20”, ou seja, o 
somatório do valor de todas as cédulas sendo consequentemente divididas pelo total de 
cédulas. (Ver figura 1, para detalhes sobre as dimensões do cilindro composto). 
Para encontrar o volume �̅� com base nos valores experimentais obtidos basta 
aplicá-los a Equação (3). 
 
�̅� = 𝑉(�̅�1, �̅�2, �̅�3, ℎ̅1, ℎ̅2) 
�̅� =
𝜋
4
[ℎ̅1(�̅�1
2 − �̅�3
2) + ℎ̅2 (�̅�2
2 − �̅�3
2)] 
�̅� =
𝜋
4
[4,8165(16,67652 − 7,16302) + 24,3685(25,50652 − 7,16302)] 
�̅� = 12327,4145 𝑚𝑚³ 
 
Em seguida, procura-se descobrir a incerteza total do volume ΔV, pois se trata de 
um valor experimental que é passível de erro. Para isso leva-se em consideração a teoria 
de propagação de erros, ou seja, a incerteza total do volume é dependente das incertezas 
das variáveis utilizadas na equação para encontrá-la (𝑑1, 𝑑2, 𝑑3, ℎ1, ℎ2). 
 
Assim, é necessário encontrar antes a incerteza total para cada uma das dimensões 
do objeto levando em consideração os dados da Tabela 1 e a incerteza instrumental do 
paquímetro (𝛿𝑖𝑛𝑠𝑡 = 0,05𝑚𝑚). Observe que o erro instrumental é utilizado ao calcular o 
erro total de cada dimensão, levando em consideração também o erro estatístico. 
 
i (𝑑1 − �̅�1)
2
 (𝑑2 − �̅�2)
2
 (𝑑3 − �̅�3)
2
 (ℎ1 − ℎ̅1)
2
 (ℎ2 − ℎ̅2)
2
 (ℎ3 − ℎ̅3)
2
 
1 0,39250225 0,13213225 0,00324900 0,04687225 0,10791225 0,06943225 
2 0,04141225 0,00189225 0,02788900 0,19053225 0,13068225 0,04687225 
3 0,03367225 0,02772225 0,03348900 0,06076225 0,01030225 0,02059225 
4 0,02059225 0,05452225 0,04972900 0,07645225 0,00148225 0,13950225 
5 0,26677225 0,11323225 0,05616900 0,01600225 0,12355225 0,00027225 
6 0,00319225 0,25351225 0,01876900 0,09211225 0,00970225 0,05929225 
7 0,01525225 0,13432225 0,01144900 0,12006225 0,02512225 0,13432225 
8 0,04558225 0,10465225 0,11764900 0,20566225 0,25857225 0,13950225 
9 0,06579225 0,10017225 0,16240900 0,02449225 0,07924225 0,09394225 
10 0,02356225 0,00055225 0,07128900 0,05130225 0,06682225 0,00874225 
11 0,17935225 0,02356225 0,00532900 0,00070225 0,01476225 0,00403225 
12 0,00018225 0,02449225 0,09180900 0,02146225 0,21022225 0,08614225 
13 0,00874225 0,25351225 0,02340900 0,13950225 0,08497225 0,00540225 
14 0,02356225 0,07480225 0,19096900 0,09211225 0,03667225 0,13432225 
15 0,00027225 0,05929225 0,00072900 0,01525225 0,13068225 0,00133225 
16 0,14175225 0,06076225 0,02656900 0,08614225 0,09517225 0,14175225 
17 0,02673225 0,03115225 0,06604900 0,14707225 0,01651225 0,00585225 
18 0,02449225 0,06579225 0,08820900 0,10017225 0,04347225 0,15484225 
19 0,00403225 0,10660225 0,02464900 0,03478225 0,00013225 0,21762225 
20 0,00540225 0,10017225 0,09180900 0,22420225 0,17766225 0,00748225 
 
 
 𝜎𝑑1= 0,25718233 𝜎𝑑2= 0,29350085 𝜎𝑑3=0,24100000 𝜎ℎ1=0,29543654 𝜎ℎ2=0,28492587 𝜎ℎ3=0,27122454 
 𝛿𝑑1=0,0575077168734770 𝛿𝑑2=0,0656287856050986 𝛿𝑑3=0,0538892382577449 𝛿ℎ1=0,0660616189629046 𝛿ℎ2=0,0637113608393354 𝛿ℎ3=0,0606476504079095 
 ∆𝑑1=0,0762045766342153 ∆𝑑2=0,0825053786125486 ∆𝑑3=0,0735122438781459 ∆ℎ1=0,0828500905249958 ∆ℎ2=0,0809885022703840 ∆ℎ3=0,0786011291267499 
Tabela 2: Cálculo dos desvios padrões, desvios padrões das médias e incertezas totais para cada uma das 6 variáveis medidas com paquímetro. 
 
Ver Tabela 1, para detalhes sobre as medidas utilizadas. Os cálculos foram realizados pela ferramenta Excel considerando a incerteza instrumental igual a 
0,05 mm e aplicando as fórmulas: 
σ “= RAIZ (SOMA (i1:i 20) /20)”; δ “= (σ /RAIZ (20))”; Δ “=RAIZ(0,0025+SOMAQUAD(δ))” 
 
Aplicando-se a teoria da propagação de erros na Equação (4) e utilizando os valores obtidos na Tabela 2, obtém-se a incerteza total do 
volume do objeto. 
∆𝑉 = √(
𝜕𝑉
𝜕𝑑1
)
�̅�1,�̅�2,�̅�3,ℎ̅1,ℎ̅2
2
(∆𝑑1)
2 + (
𝜕𝑉
𝜕𝑑2
)
�̅�1,�̅�2,�̅�3,ℎ̅1,ℎ̅2
2
(∆𝑑2)
2 + (
𝜕𝑉
𝜕𝑑3
)
�̅�1,�̅�2,�̅�3,ℎ̅1,ℎ̅2
2
(∆𝑑3)
2 + (
𝜕𝑉
𝜕ℎ1
)
�̅�1,�̅�2,�̅�3,ℎ̅1,ℎ̅2
2
(∆ℎ1)
2 + (
𝜕𝑉
𝜕ℎ2
)
�̅�1,�̅�2,�̅�3,ℎ̅1,ℎ̅2
2
(∆ℎ2)
2 
 
Em seguida, é necessário desenvolver as derivadas parciais. 
𝜕𝑉
𝜕𝑑1
=
𝜋ℎ1𝑑1
2
 
𝜕𝑉
𝜕𝑑2
=
𝜋ℎ2𝑑2
2
 
𝜕𝑉
𝜕𝑑3
= −
𝜋ℎ1𝑑3
2
−
𝜋ℎ2𝑑3
2
= −
𝜋𝑑3
2
(ℎ1 + ℎ2) 
𝜕𝑉
𝜕ℎ1
=
𝜋(𝑑1
2 − 𝑑3
2)
4
 
𝜕𝑉
𝜕ℎ2
=
𝜋(𝑑2
2 − 𝑑3
2)
4
 
Aplicando as médias experimentais obtidas na Tabela 1. 
𝜋ℎ̅1�̅�1
2
=
𝜋 ∗ 4,8165 ∗ 16,6765
2
= 126,17007158178 
𝜋ℎ̅2�̅�2
2
=
𝜋 ∗ 24,3685 ∗ 25,5065
2
= 976,3365905916 
−
𝜋�̅�3
2
(ℎ̅1 + ℎ̅2) = −
𝜋 ∗ 7,1630
2
(4,8165 + 24,3685) = −328,37835718255 
𝜋(�̅�1
2 − �̅�3
2)
4
=
𝜋(16,6765² − 7,1630²)
4
= 178,12601264844 
𝜋(�̅�2
2 − �̅�3
2)
4
=
𝜋(25,5065² − 7,1630²)
4
= 470,66789256427 
 
Desenvolvendo cada parcela separadamente, tem-se: 
(
𝜕𝑉
𝜕𝑑1
)
�̅�1,�̅�2,�̅�3,ℎ̅1,ℎ̅2
2
(∆𝑑1)
2 = (126,17007158178)2(0,0762045766342153)2 = 92,4674 
(
𝜕𝑉
𝜕𝑑2
)
�̅�1,�̅�2,�̅�3,ℎ̅1,ℎ̅2
2
(∆𝑑2)
2 = (976,3365905916)2(0,0825053786125486)2 = 6488,7890 
(
𝜕𝑉
𝜕𝑑3
)
�̅�1,�̅�2,�̅�3,ℎ̅1,ℎ̅2
2
(∆𝑑3)
2 = (−328,37835718255)2(0,0735122438781459)2 = 582,7314 
(
𝜕𝑉
𝜕ℎ1
)
�̅�1,�̅�2,�̅�3,ℎ̅1,ℎ̅2
2
(∆ℎ1)
2 = (178,12601264844)2(0,0828500905249958)2 = 217,7914 
(
𝜕𝑉
𝜕ℎ2
)
�̅�1,�̅�2,�̅�3,ℎ̅1,ℎ̅2
2
(∆ℎ2)
2 = (470,66789256427)2(0,0809885022703840)2 = 1453,0344 
 
Aplicando todas as parcelas da soma à equação inicial, obtém-se a incerteza total do volume. 
∆𝑉 = √8834,8136 
∆𝑉 = 93,9937 𝑚𝑚3 
 
Finalmente, o valor experimental do volume do objeto pode ser escrito. 
𝑉 = 12327,4 ± 94,0 𝑚𝑚³ 
 
 
 
5. Conclusão 
Neste relatório apresentamos o resultado do experimento da medição do volume de um 
objeto a partir da utilização de um paquímetro. As medidas nos foram fornecidas juntamente 
com o erro instrumental do paquímetro (0,05 mm), e posteriormente a isso, foram efetuados os 
cálculos através da aplicação da fórmula do volume, cálculos estatísticos (média aritmética e 
propagação de erros) e finalizando com a aplicação de derivadas parciais. 
Por fim, encontramos os resultados da média das dimensões (diâmetro, altura e volume) 
de cada componente do cilindro, tanto cilindro interno como o externo. Efetuamos os cálculos 
de propagação de erros, tendo com seguinte resultado 94,0 mm³, e subsequentemente obteve-
se o resultado do volume total do cilindro 𝑉 = 12327,4 ± 94,0 𝑚𝑚³. 
 
REFERÊNCIAS 
 
IWAMOTO, Wellington Akira et al. Guia e roteiro para Laboratório de Física 
Experimental. Uberlândia. 2014. 
 
LIMA, Jandean da Silva. A utilização do Cálculo Diferencial e Integral para o cálculo de 
volume de sólidos geométricos. 2016. 
 
LIMA JÚNIOR, Paulo et al. Laboratório de mecânica: subsídios para o ensino de Física 
experimental. 2013. 
OLIVEIRA, Cassius Gomes et al. Desvio padrão e imprecisão de leitura: Paquímetro. Caderno 
de Graduação-Ciências Exatas e Tecnológicas-UNIT-SERGIPE, v. 5, n. 3, p. 27, 2019. 
 
VOULO, José Henrique. Fundamentos da Teoria de erros. 2. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 
1996.