Capítulo02

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CAPÍTULO 2 
 
 
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA ( P.I.F ) 
 
 Antes de enunciarmos o Princípio propriamente dito,vamos ilustrar o texto com uma 
pequena introdução histórica, que vai mostrar-nos a importância de termos um método 
científico para que não formulemos conclusões errôneas sobre um determinado 
experimento matemático... 
 
Considerando N = { 0, 1, 2, 3, ... } 
 
I ) 
n
y 22 + 1  n  N 
 
 n = 0  
022y + 1 = 21 + 1 = 2 + 1 = 3 
 n = 1  
122y + 1 = 22 + 1 = 4 + 1 = 5 
 n = 2  
222y + 1 = 24 + 1 = 16 + 1 = 17 
 n = 3  
322y + 1 = 28 + 1 = 256 + 1 = 257 
 n = 4  
422y + 1 = 216 + 1 = 65.536 + 1 = 65.537 
 
 Os números encontrados são primos. Fermat ( 1601-1665 ) acreditou que a 
fórmula acima daria números primos qualquer que fosse o valor de n  N. FALSO !!! 
Pois Euler ( 1707-1783 ) mostrou que para n = 5 tem como resultado y = 4.294.967.297 
, ou seja, 641 X 6.700.417, isto é, resulta num número divisível por 641, portanto, 
NÃO É PRIMO. 
 
II )  3
3
7
2
3
6
23 nnny n  N* 
 
 n = 1  
6
1814913
3
1.7
2
1.3
6
1 23y y = 2 
 
 n = 2  
6
18283683
3
2.7
2
2.3
6
2 23y y = 3 
 
 n = 3  y = 5 
 
 n = 4  y = 7 
 
 Poderíamos concluir precipitadamente : “ y é numero primo, qualquer n  N*. 
FALSO !!! 
 Pois : n = 5  
6
18702251253
3
5.7
2
5.3
6
5 23y y = 8 (NÃO PRIMO). 
 
 
 
 
 
 
 
6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO : 
 
1 + 3 + 5 + ... + ( 2n – 1 ) = n2  n  N* 
 
Que expressa : “A soma dos n primeiros números ímpares positivos é n2 “. 
 
 Se provarmos que a igualdade é válida até 1.000.000, ainda assim não representa 
que ela é verdadeira, pois para n > 1.000.000 poderá existir uma falha. 
 Para provar, usaremos o Princípio da Indução Finita ( P.I.F ) para todo n  N* 
cujo enunciado é : 
“ Uma proposição P(n), aplicável aos números naturais n, é verdadeira para todo 
n  N*, n  n0 ( n0 = 1° elemento da seqüência --- n0 = 1 ). 
 1 ) P(n0) é verdadeira, isto é, a proposição é válida para n = n0 
 2 ) Se k  N*, k  n0 e P(k) é verdadeira, então para P(k+1) também é 
verdadeira. 
 
DEMONSTRANDO MATEMATICAMENTE O EXEMPLO : 
 n0 
 
1 + 3 + 5 + ... + ( 2n – 1 ) = n2  n  N* = { 1, 2, 3, 4, ... } 
 
1 ) Verificar P(n0) com n0 = 1 , portanto P(1)  n = 1  1 = 12 , logo P(1)  OK. 
2 ) Admitindo que seja verdadeira P(k), com k  N* temos : 
 P(k) = 1 + 3 + 5 + ... + ( 2k–1 ) = k2 ( Hipótese de Indução – H.I ) 
Provemos que decorre a validade de P(k+1), isto é : 
 P(k+1) = 1 + 3 + 5 + ...+ 2k – 1 + [ 2( k + 1 ) – 1 ] = ( k + 1 )2, temos então : 
 1 + 3 + 5 + ...+ 2k – 1 + 2k + 1  k2 + 2k + 1 = ( k + 1 )2 
 
 H.I = k² C.M.Q.D 
 
Demonstre, usando P.I.F : 
 
1 ) 1 + 2 + 3 + …+ n = 
 ;
2
)1(nn
 n  N*. 
 
2 ) 20 + 2¹ + 2² + ... + 2n -1 = 2n - 1 ;  n  N*. 
 
3 ) 1² + 2² + 3² + ... + n² = 
6
)12)(1(  nnn
 ;  n  N*. 
4 ) 13 + 23 + 33 + ... + n3 = 
2
2
)1(





 nn
 ;  n  N*. 
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* É NECESSÁRIO, DISPORMOS DE UM MÉTODO, COM BASE 
LÓGICA, QUE PERMITA DECIDIR SOBRE A VALIDADE, OU NÃO, 
DE UMA INDUÇÃO VULGAR.