Cálculo Diferencial e Integral

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Curso: Telemática 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral Desempenho:__________ 
Aluno (a):__________________________________________________________ 
Professor (a): Alves Neto Data:_____ / _____ / 2011 
 
 
INSTRUÇÕES: 
i. Responder com caneta azul ou preta em folha de papel almaço ou ofício; 
ii. As resoluções podem ser digitadas (Times New Roman, nº 12); 
iii. A nota máxima é 6,0. 
 
Trabalho Avaliativo 
 
1. Calcule os limites caso exista, se não existir, justifique: 
a) 
2
2lim
44
2
−
−
→ x
x
x
 b) 
532
1lim
1
−+
−
→ x
x
x
 
c) 





<
≥
=
−
−
−→ 2
2
2
)(
2
)2()(lim 2
2 xse
x
xsex
xgonde
x
gxg
x
 d) ( )
1
163lim 3
43
1
−
−−
→ x
x
x
 
e) 
x
x
sen
x
xsen
x






−





+
→
11
lim
2
0
 f) 
x
x x
x






+
+
+∞→ 1
2lim 
g) 
h
eh
h
1lim
0
−
→
 g) 
121lim
+
+∞→






+
x
h x
 
 
 
2. Em 1993, a quantidade T(x) de imposto de renda devida num rendimento de x dólares era 
determinada pela fórmula 
( )
( )



≥−+
<≤−+
<≤
=
00,900.5100,900.5131,050,743.11
00,900.5100,450.2100,450.2128,050,217.3
00,450.21015,0
)(
xparax
xparax
xparax
xT 
Esboçe o gráfico e T(x) e determine se possui alguma descontinuidade. Se T(x) tivesse 
alguma descontinuidade de salto, explique por que seria vantajoso, em certas situações, ter 
um rendimento menor. 
 
 
3. Seja A(n) a área de um polígono regular de n lados inscrito num 
círculo unitário (ver figura). 
a) Prove que 





=
n
sennnA pi2.
2
1)( ; 
b) Intuitivamente, por que pode ser esperado que A(n) convirja à 
área do círculo unitário quando ∞→n ? 
c) Calcular )(lim nA
n ∞→
. 
 
4. Dada a função real definida por ( )23
22)(
−
−=
x
xf . Analise a lateralidade nos pontos 2 e 4 e 
calcule os limites no infinito. 
 
 
 
5. Prove que para qualquer expoente n, ( ) 1. −= nn xnx
dx
d
. 
 
 
6. i(t) é a intensidade da corrente (em ampères) no instante t (segundos) que percorre o circuito 
mostrado no desenho abaixo. De acordo com a lei de Kirchoff, vale )()´()( 1 tvRtCvti −+= , em 
que v(t) é a voltagem (em volts) no instante t, C é a capacitância (em farads) e R é a 
resistência (em ohms, Ω). 
Calcule a corrente em t = 3 se v(t) = (0,5 t + 4)V, C = 0,001F e R = 100 Ω. 
 
 
7. Calcule a derivada de 
1
)(
+
=
x
x
xf e 
5
1)( 45
+
+−=
x
xxxf . 
 
8. Encontre uma euqção da reta tangente ao gráfico de 
14
23)( 3
2
+
−
=
x
x
xf no ponto x = 1. 
 
9. A potência que uma bateria consegue fornecer a um aparelho (como um celular) depende da 
resistência intrna da bateria. Para uma bateria de voltagem V e resistência interna r, a 
potência total fornecida a um aparelho de resistência R é ( )2
2
rR
RVP
+
= ; 
a) Calcule 
dR
dP
, supondo que V e r sejam constantes; 
b) Encontre o valor de R no qual a tangente ao gráfico de P por R é horizontal. 
 
“o ponto em que a tangente é horizontal é o ponto máximo do gráfico. Isso prova um 
resultado importante em projetos de circuitos: a potência máxima é obtida quando a 
resistência da carga (aparelho) é igual a resistência interna da bateria” 
 
10. A curva 
1
1)( 2 += xxf
 é denominada bruxa de Agnesi, segundo a matemática italiana Maria 
Agnesi (1718-1799) que escreveu um dos primeiros livros de cálculo. Esse nome estranho é 
o resultado de uma tradução mal feita para o inglês da expressão italiana la versiera, que se 
refere à corda que enrola uma vela. Encontre as equações das retas tangentes em x = ±1 e 
determine a área da superfície limitada pelas tangentes e o eixo x.