Questão resolvida - Encontre a solução geral da equação diferencial dy_dx=2x(y³+y)_(3y²+1) - Equação diferencial ordinária (EDO) - Cálculo II - UNIP

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Encontre a solução geral da equação diferencial .=
dy
dx
2x y³ + y
3y² + 1
( )
 
Resolução:
 
É preciso fazer a sepação de variáveis, com os termos com y e dy no primeiro termo e os 
termos com x e dx no segundo, com visto posteriormente;
 
= dy = 2xdx
dy
dx
2x y³ + y
3y² + 1
( )
→
3y² + 1
y³ + y
 
Para encontrar a solução vamos integrar os 2 membros da igualdade:
 
dy = 2xdx∫3y² + 1
y³ + y
∫
Devemos integrar os 2 membros, mas, primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma 
mais conveniente;
 
dy = 2xdx + dy = 2xdx∫3y² + 1
y³ + y
∫ →∫ 3y³
y³ + y
1
y³ + y
∫
 
+ dy = 2xdx dy + dy = 2xdx→∫ 3y
y y + 1
2
2
1
y³ + y
∫ →∫ 3y
y y + 1
2
2
∫ 1
y³ + y
∫
 
dy + dy = 2xdx→∫ 3y
y + 12
∫ 1
y³ + y
∫
 
Agora, resolvemos cada integral separadamente;
1 2xdx = = x)∫ 2x
2
2
2
 
2 dy u = y + 1 du = 2ydy = ydy)∫ 3y
y + 12
→
2
→ →
du
2
 
 
Substituindo e resolvendo; dy = = 3 =∫ 3y
y + 12
∫3
u
du
2
ln u
2
( ) 3ln y + 1
2
2
 
3 dy)∫ 1
y³ + y
 
Integrando por funções parciais, devemos fazer;
 
= = + =
1
y³ + y
1
y y + 12
A
y
Cy + B
y + 12
→
1
y y + 12
A y + 1 + y Cy + B
y y + 1
2 ( )
2
 
= =→
1
y y + 12
Ay + A + Cy + By
y y + 1
2 2
2
→
1
y y + 12
A + C y + By + A
y y + 1
( ) 2
2
 
Temos então que; 1 + C = 0 C = -1
A + C = 0
B = 0
A = 1
→ →
 
Voltando para a integral, fica;
 
dy = + dy dy = - dy∫ 1
y³ + y
∫ 1
y
-1y + 0
y + 12
→∫ 1
y³ + y
∫ 1
y
y
y + 12
 
dy = dy - dy→∫ 1
y³ + y
∫1
y
∫ y
y + 12
 
dy = ln y e dy t = y + 1 dt = 2ydy = ydy∫1
y
( ) ∫ y
y + 12
→
2
→ →
dt
2
 dy = = =∫ y
y + 12
∫1
t
dt
2
ln t
2
( ) ln y + 1
2
2
 
dy = dy - dy = ln y -∫ 1
y³ + y
∫1
y
∫ y
y + 12
( )
ln y + 1
2
2
 
Voltando para a EDO;
 
 
 
+ ln y - = x + ln y = x
3ln y + 1
2
2
( )
ln y + 1
2
2
2
→
2ln y + 1
2
2
( ) 2
 
ln y + 1 + ln y + c = x ln y + 1 ⋅ y + c = x + c ln y + y + c = x + c→ 2 ( ) 1 2 → 2 1 2 2 → 2 1 2 2
 
Usando propriedades exponenciais, reescrevemos essa igualdade como :
 
e = e e ⋅ e = e ⋅ e y + y ⋅ e = e ⋅ e y + y = e ⋅ln y +y +c
2
1 x +c2 2
→
ln y +y2 c1 x2 c2
→
2 c1 x2 c2
→
2 x2 e
e
c2
c1
 
Fazendo : = c, a solução da equação é dada implicitamente por;
e
e
c2
c1
y + y = e ⋅ c2 x2
 
 
(Resposta )