Questão 9 | CALCULO VETORIAL E EDO Código da questão: 158842 Uma equação diferencial ordinária do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 é equivalente a M(x, y...

Question

Questão 9 | CALCULO VETORIAL E EDO Código da questão: 158842 Uma equação diferencial ordinária do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 é equivalente a M(x, y...

Questão 9 | CALCULO VETORIAL E EDO Código da questão: 158842 Uma equação diferencial ordinária do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 é equivalente a M(x, y) + N(x, y)y’ = 0, pois y’ = dy/dx, ou seja, uma equação diferencial ordinária é exata se pode ser escrita como M(x, y) + N(x, y)y’ = 0, e teremos que M/dy = N/dx. Considere a situação problema a seguir: Um grupo de cientistas que estavam estudando o efeito de um certo gene em pessoas com câncer chegou na seguinte equação, que descreve o comportamento do gene aliado ao fato de as pessoas fumarem: 2xydx + (x2 -1)dy = 0 Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações diferenciais exatas, calcule, com base na equação acima, a relação entre as variáveis x e y: Avalie as afirmativas a seguir e selecione a alternativa com a relação correta A A relação entre x e y é x2y2 – y = c B A relação entre x e y é 2xy2 + x = c C A relação entre x e y é y2 + 2x = c D A relação entre x e y é x2y – y = c E A relação entre x e y é 2xy – y = c

Cálculo II

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UNINASSAU FORTALEZA

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1

Denis Emanoel

11/03/2024

Ed · Answer

Para resolver essa questão, precisamos verificar se a equação diferencial apresentada é exata. Para isso, precisamos verificar se M/dy = N/dx.

Temos que M(x,y) = 2xy e N(x,y) = x² - 1.

Calculando as derivadas parciais de M e N em relação a y e x, respectivamente, temos:

dM/dy = 2x
dN/dx = 2x

Como dM/dy = dN/dx, a equação é exata.

Agora, precisamos encontrar uma função f(x,y) tal que df/dx = M e df/dy = N.

Integrando M em relação a x, temos:

f(x,y) = x²y + g(y)

Agora, derivando f(x,y) em relação a y e igualando a N, temos:

∂f/∂y = x² + g'(y) = x² - 1

Logo, g'(y) = -1 e g(y) = -y + c, onde c é uma constante.

Substituindo g(y) na expressão de f(x,y), temos:

f(x,y) = x²y - y + c

Portanto, a relação entre x e y é dada por x²y - y = c.

Assim, a alternativa correta é a letra D.

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