Sistema massa-mola

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PUC Minas 
Departamento de Física e Química – ICEI 
Laboratório de Física 
 
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SISTEMA MASSA-MOLA 
1. INTRODUÇÃO 
Seja uma mola “ideal” em repouso pendurada na vertical, como indicado na Figura 1 
(esquerda). Após prender um objeto de massa 𝑚 na extremidade livre, a mola dilata por 𝑦0 até 
que o sistema fique na posição de equilíbrio, ou seja, o somatório das forças atuando sobre o 
bloco é nulo. Assim (considerando o sentido positivo para baixo), 
𝑚𝑔 + 𝐹𝑚 = 0 (1) 
onde 𝐹𝑚 = −𝑘𝑦 é a força exercida pela mola sobre o bloco (lei de Hooke), 𝑦 é o deslocamento 
da mola em relação a seu comprimento original. Nesse caso, 𝑦 = 𝑦0, então a Eq. (1) fornece: 
𝑚𝑔 − 𝑘𝑦0 = 0 
∴ 𝑘𝑦0 = 𝑚𝑔 (2) 
Daí encontramos a posição de equilíbrio desse sistema massa-mola: 
𝑦0 =
𝑚𝑔
𝑘
 (3) 
 
Figura 1: Movimento oscilatório de um objeto preso a extremidade de uma mola de constante 
elástica 𝑘, em torno da posição de equilíbrio, 𝑦0. Figura adaptada de [1]. 
 
Ao deslocar o sistema por uma distância 𝑦 = 𝑦′ + 𝑦0 em relação a posição da mola livre, 
como indicado na Figura 1 (direita), o bloco irá oscilar em torno da posição de equilíbrio 𝑦0. 
Assim, aplicando a segunda lei de Newton sobre o bloco, temos: 
−𝑘𝑦 + 𝑚𝑔 = 𝑚
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
 
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2 
 
−𝑘(𝑦′ + 𝑦0) + 𝑚𝑔 = 𝑚
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
 
−𝑘𝑦′ − 𝑘𝑦0 + 𝑚𝑔 = 𝑚
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
 
Tendo em vista a Eq. (2), a equação acima fica: 
−𝑘𝑦′ = 𝑚
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
 (4) 
Como 𝑦 = 𝑦′ + 𝑦0, e sendo 𝑦0 constante, então 
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
=
𝑑2𝑦′
𝑑𝑡2
. Portanto, a Eq. (4) nos leva a 
equação de movimento: 
−𝑘𝑦′ = 𝑚
𝑑2𝑦′
𝑑𝑡2
 
∴
𝑑2𝑦′
𝑑𝑡2
= −
𝑘
𝑚
𝑦′ 
Para fins didáticos, e sem perder a essência do problema, iremos reescrever a equação 
diferencial acima substituindo 𝑦′ por 𝑥, tal que: 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
= −
𝑘
𝑚
𝑥 (5) 
Uma das soluções dessa equação de movimento é 
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑), (6) 
onde 𝐴 é a amplitude do movimento, definimos a frequência angular 
𝜔 = √
𝑘
𝑚
 (7) 
 e 𝜑 é uma constante de fase. 
A interpretação da constante 𝜔 é dada como se segue. Como o movimento do bloco é 
periódico, com período 𝑇, então podemos dizer que 
𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡 + 𝑇). 
Assim, pela Eq. (6), temos 
𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) = 𝐴𝑐𝑜𝑠[𝜔(𝑡 + 𝑇) + 𝜑] 
𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) = 𝐴𝑐𝑜𝑠[𝜔𝑡 + 𝜔𝑇 + 𝜑] 
ou 
𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) = 𝐴𝑐𝑜𝑠[𝜔𝑡 + 𝜑 + 𝜔𝑇] (8) 
Levando em consideração que 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 2𝜋), vemos claramente que a Eq. (8) só é 
satisfeita se 
𝜔𝑇 = 2𝜋. 
Portanto 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
 (9) 
então, 
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𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
 (10) 
 
2. ATIVIDADE: 
 
Objetivo: Determinar a constante elástica de uma mola através de diferentes métodos. 
 
Link para a simulação: 
 
https://phet.colorado.edu/sims/html/masses-and-springs/latest/masses-and-
springs_pt_BR.html 
 
 
Ao abrir o link da simulação, escolha a opção “Lab”, como indicado na Figura 2. 
 
 
Figura 2: Tela inicial da simulação. 
 
 
Em todos os procedimentos a seguir, deixe o amortecimento nulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://phet.colorado.edu/sims/html/masses-and-springs/latest/masses-and-springs_pt_BR.html
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PROCEDIMENTO 1: 
 
Deixe a constante elástica da mola em seu ajuste padrão. Selecione as opções para exibir 
o deslocamento da mola, o ponto de equilíbrio e a linha móvel, como indicado na figura 
3. 
 
 
Figura 3: Medição da constante elástica da mola através da deformação da mola. 
 
1) Ajuste o valor da massa do bloco para 50 g e o conecte à extremidade da mola. 
2) Com a régua, meça a deformação da mola quando o bloco está em equilíbrio 
(clique no botão vermelho ao lado da mola para cessar qualquer movimento), 
como indicado na figura 3. Preencha a tabela 1 com o valor da força exercida 
pela mola e sua deformação. 
3) Aumente o valor da massa do bloco por aproximadamente 25 g e preencha os 
respectivos valores na tabela 1. 
4) Repita o procedimento (3) até preencher completamente a tabela 1. 
5) Construa um gráfico de 𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎 vs. 𝑥 com o auxílio do programa SciDavis. Faça 
uma regressão linear e, com base na equação da reta 𝑌 = 𝐴𝑋 + 𝐵, determine 
a constante elástica da mola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela 1: Valores das massas colocadas na extremidade da mola, e os respectivos 
valores da força da mola, 𝐹𝑚, e deformação, 𝑥. 
𝑚 (𝑘𝑔) 𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎 (𝑁) 𝑥 (𝑚) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROCEDIMENTO 2: 
 
Reinicie a simulação. Deixe a constante elástica da mola em seu ajuste padrão. Selecione 
para exibir o ponto de equilíbrio da massa e a linha móvel, como indicado na figura 4. 
 
 
Figura 4: Medição da constante elástica da mola através do período de oscilação do sistema. 
 
1) Ajuste o valor da massa do bloco para 50 g e o conecte à extremidade da mola. 
2) Puxe o bloco para que ele sofra um deslocamento em relação a posição de 
equilíbrio, e solte-o. Marque o tempo que o bloco leva para realizar 10 
oscilações, então anote o período médio de oscilação para esse valor de massa 
na tabela 2. 
3) Aumente o valor da massa em aproximadamente 25 g e repita o procedimento 
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(2), até que preencha completamente a tabela 2. 
4) Observe a eq. (10) e pense qual gráfico linear deve ser construído para que a 
inclinação da reta nos forneça a constante elástica da mola, 𝑘. Construa esse 
gráfico com auxílio do SciDavis e determine o valor da constante elástica. 
5) Compare os valores das constantes elásticas obtidos em cada procedimento, 1 
e 2, calculando o erro relativo. Discuta os resultados. 
 
 
 
Tabela 2: Período de oscilação, 𝑇, em função da massa 𝑚. 
𝑚 (𝑘𝑔) 𝑇 (𝑠) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA: 
 
[1] TIPLER, Paul Allen; MOSCA, Gene. Física para cientistas e engenheiros: volume 1: mecânica, 
oscilações e ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 
c2009. 
[2] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física: volume 1: 
mecânica. Rio de Janeiro: LTC editora, 2016.