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Ramo da matemática aplicada, mais precisamente é aquele ramo da matemática que estuda o comportamento do dinheiro no tempo.
REVISÃO ÚTIL DE MATEMÁTICA
PORCENTAGEM – ou percentagem significa qualquer valor dividido por cem, ou seja, vinte por cento significa vinte dividido por cem, representado pelo símbolo ( % ).
Por exemplo: 20 % = 20/100 = 0,20 ou 0,2
Calcule:
a) 3%		b)14%			c)180%		d)1,6%	e) 0,38%	
RAZÃO – Trata-se da relação, ou ainda, da divisão entre dois números. Em alguns casos representamos razão com “r” ou “q” dependendo da situação.
Por exemplo, a razão entre oito e quatro é dois. A razão entre vinte e quatorze é dez sobre sete.
Ex.: 8/4=2		20/14=10/7
Calcule:
a)16/8=		b)40/18=		c)20/10=		d)6/3=		e)13/5=
PROPORÇÃO – repara que o resultado dos itens anteriores “a”, “c” e “d” são iguais, isto quer dizer que a razão entre ele é constante, ou ainda que esses números são proporcionais.
A razão e proporção são muito utilizadas na regra de três e por conseguinte na matemática financeira. Por exemplo, uma operação financeira foi negociada a taxa de 6% ao ano, calcule a taxa proporcional mensal?
1ano 12 meses 6%			x = 6.1 / 12 = 6/12 = 0.5 %
 1 mês x%	
Calcule:
a) 12% ao ano / ao mês	b) 6% ao semestre / ao bimestre	c) 24% ao ano / ao trimestre.
POTENCIAÇÃO – produtos de fatores iguais.
X1 = X			X0 = 1		 	X-n = 1/Xn			X a / b = b Xa
 Xa . X b = Xa+b	Xa / X b = Xa – b	(Xa) b = Xa . b
(X . Y) n = Xn . Yn (X / Y) n = Xn / Yn 
Calcule:
a) 3470 =		b) 7-2 =			c) 33 / 32=
LOGARITMO – Utilizaremos na matemática financeira quando estudarmos capitalização composta(juros e descontos).
Loga X = b => a b = X
Propriedades:
log a.b = log a + log b		log a / b = log a - log b	log ab = b.log a 
Calcule:
 a) log5 25 = X		b) a) log 1000 = X
Em matemática financeira trabalharemos com logaritmo decimal, ou seja, logaritmo de base 10. Com HP 12c usaremos o logaritmo neperiano. 
		FUNDAMENTOS E CONCEITOS BÁSICOS
JURO (j) - correção atribuída ao capital; percentual adicionada ao principal (proporcional ao tempo da transação); remuneração do capital aplicado 
		
CAPITAL ou CAPITAL INICIAL (C) ou PRINCIPAL (P) ou VALOR PRESENTE (PV) - valor ou capital usado em alguma transação financeira.
TAXA (i) - é a relação juro/principal expressa em unidade de tempo, apresentada de forma percentual (para a utilização em cálculos é utilizada de forma decimal).
 
 ex: A taxa de juro de 3% ao mês significa que o juro mensal é igual a 0,03 do capital aplicado (principal).
Para que as fórmulas sejam válidas, é preciso que as unidades de tempo referentes à taxa de juros e ao período sejam as mesmas. Por exemplo: 5% ao mês durante 3 meses; 10% ao semestre durante 3,5 semestres.	
PERÍODOS (n) – espaço temporal de determinada operação financeira, apresentada sempre uma unidade de tempo.
 
MONTANTE (M) ou SALDO ou FALOR FUTURO (FV) – resultado de um valor inicial (C), aplicado a uma taxa (i) de juros, durante (n) períodos.
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO
Quando aplicamos um principal a determinada taxa, por um determinado período de tempo, este principal poderá calculado segundo dois tipos de capitalização, a saber: capitalização simples ( JUROS SIMPLES) e composta (JUROS COMPOSTOS).
Na capitalização simples os juros são calculados a partir do capital inicial.
 
Capitalização composta – trata-se do tipo de juros sobre juros, ou ainda, o juro do segundo período é calculado a partir do saldo do primeiro período, e assim, sucessivamente.
 
JUROS SIMPLES
Conceito – é aquele calculado apenas sobre o principal (capital inicial)
Cálculo de juros – conforme abaixo:
Principal: $ 100
Taxa mensal de juro: 10%
Qual os juros após 1, 2, 3,..., n meses?
Após 1 mês J = 100 x 0,1 x 1 = 10
Após 2 meses J = 100 x 0,1 x 2 = 20
Após 3 meses J = 100 x 0,1 x 3 = 30 
Desta forma podemos calcular: J = C x i x n
Cálculo do Montante - é igual ao principal mais o juro, ou ainda: M = C + J
onde: M = C + J (lembre que J = c .i .n) => M = C + C .i .n => M = C (1 + i .n)
EXERCÍCIOS
1) Qual o juro de uma aplicação de $ 2.500, a 10% a.m., após três meses? ($ 750)
2) Calcular os juros de $1.250, à taxa de 1,25% ao mês, durante 1,25 meses. ($19, 53)
3) Calcular o juro de $50.000, a 3,6% ao ano, em 1 ano e 3 meses. ($2.250)
4) Qual a taxa anual de um capital de $75.600, em que 3 anos rendeu $22.680 de juros? (10%)
5) A que taxa o capital de $2.400 rende $108 de juros em 6 meses? (0,75% a. m.)
6) Quanto tempo um capital de $3000, à taxa de 2% a. m. rende um juro de $600?
 (10 meses)
7) Aplicando $1.000 à taxa de 0,3% ao dia, em quanto tempo obteremos juros de $1260? (420 dias)
8) Quantos meses um capital de $32.000, aplicado a 12% a.a., rende $4.800 de juros? (15meses)
9) Qual o capital que, em 2 anos, à 1,5% ao mês, rende juro de $93,60 de juros? ($260)
10) Qual o capital que, à taxa de 2,5% ao mês, rende juro de $126.000 em 3 anos? (140.000)
11) Que tempo um capital deve ser aplicado à taxa de 2,5% a.m., para que o valor de juros seja igual principal? (40 meses)
12) O capital de $50.000 foi aplicado à taxa de 30% a.a. pelo prazo de 54 dias. Determine o juro dessa aplicação. ($2.250)
13) Aplicou-se $15.000 à taxa de 18% a.a. durante 54 dias. Qual o valor do saldo dessa aplicação? ($ 15.405)
14) Se aplicarmos $8.000, à taxa mensal de 1,5%, quanto teremos no final de 18 meses? ($10.160)
15) Que principal é necessário para se ter um montante de $10.000, daqui a 6 semestres, à taxa de 12% a.s.? ($5.813,95)
16) Se aplicarmos $2.400 à taxa de 5% a.a., calcule o montante após 2 quadrimestres. ($2.480)
17) Aplicou-se $800, à taxa de 12% a.a, obtendo $1.184 como montante, qual o prazo de aplicação? Qual o valor dos juros? (4 anos / $ 384,00)
18) Qual a taxa que transforma $1.000 em $ 1.500 durante 20 meses? (2,5% a.m.)
19) Aplicamos $955.000, à taxa de 2,4% ao mês, rende $144.396 de juros. Calcule o prazo de aplicação em dias. (189 dias)
20) Aplicando $2.000, á taxa de 2% a.b., qual o montante após 2,5 quadrimestres? ($2.200)	
DESCONTOS SIMPLES 
Valor referente a antecipação de um pagamento. Giuseppe Milone conceitua como garantia deduzida do valor nominal de um título ou dívida em razão de liquidação antecipada, ou ainda, é a diferença entre o valor nominal de um título e seu valor atual.
Também chamado de abatimento, que se faz quando um título é pago antes do vencimento.
Existem dois tipos de descontos:
Desconto racional ou “por dentro” (não é muito utilizado no Brasil).
Desconto Comercial ou Bancário ou “ por fora” – utilizado nas operações comerciais e bancárias , tanto na capitalização simples quanto composta, com isso temos:
				
			
d = N – A 			d = N. i. n				A = N ( 1 – i.n)				
	
EXERCÍCIOS DESCONTOS SIMPLES
1) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de $ 3.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês? ($ 225,00) 
2) Qual a taxa mensal simples de desconto utilizado numa operação a 120 dias cujo valor nominal é de $ 1.000,00 e cujo o valor líquido é de $ 880,00 ? ( 3% ao mês)
 
3) Uma duplicata de $ 32.000,00, com 90 dias a decorrer até seu vencimento, foi descontada por um banco à taxa de 2,70 % ao mês. Calcular o valo líquido entregue ou creditado ao cliente. ( $ 29.408,00)
4) determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de $ 9.800,00, que sofreu um desconto comercial simples de $ 450,80, à taxa de 18 % ao ano. (92 dias)
5) Calcular o valor líquido e o valor total de juros de um conjunto de duplicatas descontadas a 2,4% ao mês, conforme o borderô a seguir:($ 11.768,00 / $ 232,00)
6.000	15 dias
3.500 25 dias
2.500 45 dias
6) Uma duplicata, no valor de $ 2.000,00, é resgatada 2 meses antes do vencimento, obedecendo ao critério de desconto comercial composto. Sabendo-se que a taxa de desconto éde 10% ao mês, qual o valor descontado? ( $ 1.620,00)
7) Um título de valor nominal de $ 59.895,00 foi pago 3 meses antes do vencimento. Se a taxa mensal de desconto composto era de 10 %, o valor líquido desse título era? ($ 45.000,00) 
8) À taxa de 60% a.a. e 1,5 bimestres antes do vencimento, o desconto simples foi de $ 900,00. Qual o valor nominal? ( $ 6.000,00 )
9) Um título de valor nominal $ 5.627,00, à taxa de 27 % ao ano. Calcule o valor líquido sabendo que foi descontado 72 dias antes do vencimento. ( $ 5.323,14)
10) Um título de $ 25.000,00 vence em dez meses, três meses antes do vencimento foi descontado à taxa de 36% a.a., qual o valor pago, sabendo que esta operação foi feita em desconto simples?
($ 22.750,00)
11) Um título de $ 25.000,00 será pago com 36% ao ano, vence em dez meses. Três meses antes do vencimento, quanto valerá esse título descontado à taxa simples de 30% a.a.? ($ 30.062,50)
12) Qual a taxa mensal de desconto simples utilizada no resgate de dois títulos de $ 3.500,00 e $ 1.500,00, sendo o desconto do primeiro $ 621,00 maior do que o do segundo, no prazo de três trimestres?(3,45% a.m.)
Matemática Financeira – 2012 –1
 Profº. José Roberto