FERRAMENTAS MATEMÁTICAS APLICADAS - AULA 1+2+3+4+5+6

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1
Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini
Ferramentas Matemáticas Aplicadas
Aula 01
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2
Conversa Inicial
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3
Python: importante linguagem de 
programação
Utilizada em análise de dados, machine
learning, data science, big data e mais
Utilização de bibliotecas existentes na 
resolução de problemas reais
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Textos
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© Microsoft 2019
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© Microsoft 2019
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© Microsoft 2019
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13
# Título nível 1
## Título nível 2
### Título nível 3
#### Título nível 4
##### Título nível 5
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15
Variáveis
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16
temperatura=32
print(temperatura)
40
17
TemperaturaInicial=25
TemperaturaFinal=28
print(TemperaturaInicial)
print(TemperaturaFinal)
40
18
TemperaturaInicial,TemperaturaFinal=25,28
print(TemperaturaInicial)
print(TemperaturaFinal)
40
19
TemperaturaInicial,TemperaturaFinal=25,28
print(TemperaturaInicial,TemperaturaFinal)
40
20
Adição e subtração
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21
Sabemos que a margem de contribuição é o 
resultado que resta do preço de venda de um 
produto ou serviço depois da dedução de 
seus custos e de suas despesas variáveis
40
22
Uma fábrica de mesas de centro produz seus 
artigos a um custo unitário de R$ 122,30. 
Sabendo que uma mesa é vendida por
R$ 283,90, determine a margem de 
contribuição de cada mesa
40
23
A margem de contribuição é igual a R$ 
161,60.
40
24
PrecoDeVenda=283.90
CustoUnitario=122.30
PrecoDeVenda-CustoUnitario
40
25
PrecoDeVenda=283.90
CustoUnitario=122.30
MargemDeContribuicao=PrecoDeVenda-CustoUnitario
print(MargemDeContribuicao)
40
26
Um furo tem um 
diâmetro de 40 mm e 
tolerância de -0,035 e 
+ 0,042. Determine a 
dimensão mínima e a 
dimensão máxima 
desse furo
40
27
Diametro=40
a=-0.035
b=0.042
DiametroMinimo=Diametro+a
DiametroMaximo=Diametro+b
print('Diâmetro mínimo: ', DiametroMinimo)
print('Diâmetro máximo: ', DiametroMaximo)
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28
40
29
Diametro=40
a=-0.035
b=0.042
DiametroMinimo=Diametro+a
DiametroMaximo=Diametro+b
print('Diâmetro mínimo: %.2f' % 
DiametroMinimo)
print('Diâmetro máximo: %.2f' % 
DiametroMaximo)
40
30
40
31
Multiplicação e divisão
40
32
Um automóvel custa R$ 39.900 à vista, mas 
será pago em 8 parcelas mensais iguais, sem 
juros. Qual o valor de cada parcela? 
40
33
Supondo que 1 dólar corresponde a 4,08 
reais, qual é o preço em reais de um aparelho 
celular que custa 499 dólares? 
40
34
Na modalidade de juros simples, o cálculo da 
taxa de juros é feito pela fórmula i=(m-
c)/(c.n) onde “i” é a taxa de juros simples, 
“c” é o capital, “m” é montante e “n” é o 
tempo. Se uma fatura no valor de R$ 
5.387,76 foi paga com 23 dias de atraso 
totalizando R$ 5.612,89, qual foi a taxa diária 
de juros utilizada?
40
35
c=5387.76
m=5612.89
n=23
taxa=((m-c)/n/c)*100
print('A taxa é %.2f%%' % taxa)
40
36
Potenciação e radiciação
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37
Calcule, por meio do Python, 64.
40
38
Calcule, por meio do Python, . Obs.: .
40
39
Na modalidade de juros compostos, o cálculo 
do valor futuro é feito pela fórmula 
vf=vp*(1+i)n, onde “vf” é o valor futuro, “vp” 
é o valor presente, “i” é a taxa de 
crescimento e “n” é o tempo. Qual o valor 
futuro de uma aplicação de R$ 12.300,00 
feita por 10 meses a uma taxa de juros 
compostos de 2% ao mês?
40
40
c=12300.00
n=10
i=2/100
m=c*(1+i)**n
print('O montante é R$ %.2f.' % m)
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1
Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini
Ferramentas Matemáticas Aplicadas
Aula 2
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2
Conversa Inicial
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3
Bibliotecas Python
Matemática Simbólica
Fatoração e Expansão
Raízes e Equações
Gráficos
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4
Bibliotecas Python
33
5
33
6
33
7
Introdução à Matemática Simbólica
33
8
33
9
33
10
A relação entre o preço de venda x
de um modelo de aparelho de telefone
celular e o lucro y referente
à comercialização desse aparelho é dada
pela função y=-4x2+4000x-200000
Sendo assim, qual é o lucro quando o preço 
de venda de cada aparelho corresponde
a R$ 480,00?
33
11
O lucro será de R$ 798.400,00, quando o 
preço unitário for igual a R$ 480,00
33
12
O custo y de produção de
x motocicletas é dado pela função
y=0,003x3-0,5x2-50x+5000
Determine o custo referente à produção de 
1.100 motocicletas
33
13
O custo para a produção de 1.100 
motocicletas corresponde a R$ 3.338.000,00
33
14
Em uma indústria, o custo c referente à 
produção diária de x unidades é de 
c(x)=x2+2x+300
Sabe-se que o nível de produção dessa 
indústria é de x(t)=20t unidades durante
t horas de trabalho
Expresse o custo de produção em função do 
tempo
33
15
A expressão “400*t**2+40*t+300” 
corresponde a “c=400t2+40t+300”
33
16
Fatoração e Expansão de Expressões
33
17
Fatorar x2+8x
33
18
Fatorar xy3+2x2y4
33
19
Fatorar 𝑥𝑥
2−5𝑥𝑥+6
𝑥𝑥−2
33
20
Expandir x(x+y)
33
21
Sabemos que o produto 
notável
(a+b)2 pode ser 
interpretado
geometricamente como a 
área
de um quadrado de lados
iguais a “a+b”
Utilizando Python, 
escreva
a forma expandida de 
(a+b)2
33
22
A forma expandida de (a+b)2 é 
igual a a2+2ab+b2
33
23
Utilizando Python, expanda a expressão 
(x+y)4
A forma expandida de (x+y)4 corresponde a 
x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4
33
24
Raízes e Equações
33
25
Uma empresa que fabrica antenas para TV 
digital vende cada unidade por R$ 186,00
O custo para a produção de cada unidade é 
de R$ 109,00
Os custos fixos totais correspondem
a R$ 11.200,00 por mês
Escreva a função receita e a função custo
Determine também o ponto de equilíbrio
33
26
c=109x+11200
r=186x
33
27
33
28
Quais são as raízes da função y=-x3-
5x2+9x+11?
33
29
Gráficos
33
30
33
31
33
32
Uma empresa que fabrica antenas para TV 
digital vende cada unidade por R$ 186,00
O custo para a produção de cada unidade é 
de R$ 109,00, e os custos fixos totais 
correspondem a R$ 11.200,00 por mês
Escreva a função receita e a função custo
Faça o gráfico dessas funções em um mesmo 
sistema de eixos coordenados
33
33
33
34
Ferramentas Matemáticas Aplicadas – Ao Vivo 
1. Quando estudamos desenho técnico, é comum pensarmos em tolerâncias relacionadas à construção de peças. 
Sendo assim, considere um furo que tem um diâmetro de 92 mm e tolerância de -0,118 e +0,193. Determine a 
dimensão mínima e a dimensão máxima deste furo. 
 
Resolução: 
Diametro=92 
a=-0.118 
b=0.193 
DiametroMinimo=Diametro+a 
DiametroMaximo=Diametro+b 
print('Diâmetro mínimo: %.3f' % DiametroMinimo) 
print('Diâmetro máximo: %.3f' % DiametroMaximo) 
 
2. Para a produção de suportes metálicos para notebooks, o custo unitário de produção é de R$ 39,00. O preço de 
venda de cada suporte corresponde a R$ 77,50. Sabendo que os custos fixos mensais correspondem a R$ 31.410,00, 
obtenha, utilizando a biblioteca sympy do Python, o ponto de equilíbrio. 
Resolução: 
from sympy import * 
C,R,x=symbols("C R x") 
R=77.50*x 
C=39*x+31410.00 
xp=solve(Eq(R,C),x) 
yp=R.subs(x,xp[0]) 
print(xp[0]) 
print(yp) 
 
3. Dada a função y=-5x3+12x2-3x+1, quais são as respectivas raízes? 
Resolução: 
import numpy as np 
c=[-5, 12, -3, 1] 
np.roots(c) 
 
4. A tabela a seguir apresenta a quantidade de downloads de um aplicativo para celular nos meses de janeiro a maio. 
Mês Janeiro Fevereiro Março Abril Maio 
Downloads 34300 21010 28601 33011 33353 
 
Por meio do Python, faça um gráfico de linha com círculos para cada mês relacionando a quantidade de downloads 
com cada um destes meses. 
Resolução: 
import matplotlib.pyplot as plt 
x=['Janeiro', 'Fevereiro', 'Março', 'Abril', 'Maio'] 
y=[34300, 21010, 28601, 33011, 33353] 
plt.plot(x,y) 
plt.plot(x,y,'r o') 
plt.title('Downloads de janeiro a maio') 
plt.xlabel('Mês') 
plt.ylabel('Downloads') 
plt.show() 
 
5. Após a realização de um estudo, um investidor decidiu aplicar 38% em renda fixa, 28% em imóveis, 29% em renda 
variável e o restante em ativos de alto risco.Faça um gráfico de pizza que mostra as porcentagens referentes a cada 
um dos investimentos. 
Resolução: 
import matplotlib.pyplot as plt 
altorisco=100-38-28-29 
x=[38, 28, 29, altorisco] 
inv=['Renda Fixa', 'Imóveis', 'Renda Variável', 'Ativos de Alto Risco'] 
cores=['r', 'm', 'y', 'g'] 
plt.axis('equal') 
plt.pie(x, labels=inv, colors=cores, shadow=True, autopct='%1.0f%%') 
plt.title('Carteira de Investimentos') 
plt.show() 
 
6. Considere f(x)=12x5-10x4-8x+9. Calcule, por meio do Python, a derivada primeira desta função. 
Resolução: 
from sympy import * 
x,f=symbols("x f") 
init_printing() 
f=12*x**5-10*x**4-8*x+9 
diff(f, x) 
 
7. Considere f(x)=12x5-10x4-8x+9. Calcule, por meio do Python, a derivada segunda desta função. 
Resolução: 
from sympy import * 
x,f=symbols("x f") 
init_printing() 
f=12*x**5-10*x**4-8*x+9 
diff(f, x, 2) 
 
8. Calcule, por meio do Python, a integral indefinida da função f(x)=12x5-10x4-8x+9. 
Resolução: 
from sympy import * 
x,f=symbols("x f") 
init_printing() 
f=12*x**5-10*x**4-8*x+9 
integrate(f, x) 
 
9. Utilizando o Python, calcule a integral da função f(x)= 12x5-10x4-8x+9 no intervalo [0, 3]. 
Resolução: 
from sympy import * 
x,f=symbols("x f") 
init_printing() 
f=12*x**5-10*x**4-8*x+9 
integrate(f, (x, 0, 3)) 
 
10. Dados os números complexos z1=3+4j e z2=-5+9j, calcule z1+z2, z1.z2 e z1/z2. 
Resolução: 
z1=complex(3, 4) 
z2=complex(-5, 9) 
soma=z1+z2 
produto=z1*z2 
divisao=z1/z2 
print(soma) 
print(produto) 
print(divisao) 
 
11. Resolva, por meio do Python, o sistema linear 





jbjaj
jbjaj
47)22()2(
311)4()26(
. 
Resolução: 
import numpy as np 
A=np.array([[complex(6,2), complex(4,1)],[complex(2,-1), complex(2,2)]]) 
b=np.array([[complex(11,3)],[complex(7,4)]]) 
np.linalg.solve(A,b) 
 
12. Na física é muito comum o estudo de movimentos parabólicos. Utilizando o Python, obtenha a função quadrática 
relacionada ao movimento parabólico de um projétil que foi lançado a partir do ponto de coordenadas (0, 1), passou 
pelo ponto de coordenadas (12, 9) e atingiu o solo no ponto de coordenadas (20, 0). 
 
 
Resolução: 
from scipy.interpolate import * 
x=[0, 12, 20] 
y=[1, 9, 0] 
f=lagrange(x,y) 
print(f) 
66
1
Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini
Ferramentas Matemáticas Aplicadas
Aula 4
66
2
Conversa Inicial
66
3
Derivadas
Máximos e mínimos
Otimização em 3D
Integrais
Áreas
66
4
Derivadas
66
5
Derivada: 𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim
Δ𝑥𝑥→0
𝑓𝑓(𝑥𝑥+Δ𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑥𝑥)
Δ𝑥𝑥
66
6
Calcule, por meio do Python, a derivada primeira 
de cada uma das seguintes funções
a) f(x)=-2x3-4x2+13x-1
Resolução
from sympy import *
x,f=symbols("x f")
f=-2*x**3-4*x**2+13*x-1
diff(f, x)
f’(x)=-6x2-8x+13
Exemplo
66
7
b) g(x)=2x+ln(x)
Resolução
from sympy import *
x,g=symbols("x g")
g=2*x+ln(x)
diff(g, x)
g’(x)=2+1/x
66
8
c) h(x)=sen(x)
from sympy import *
x,h=symbols("x h")
h=sin(x)
diff(h, x)
h’(x)=cos(x)
66
9
d) r(x)=tg(x)
from sympy import *
x,r=symbols("x r")
r=tan(x)
diff(r, x)
r’(x)=tan2(x)+1
66
10
e) q(x)=sen(x)cos(x)
from sympy import *
x,q=symbols("x q")
q=sin(x)*cos(x)
diff(q, x)
q’(x)=-sen2(x)+cos2(x)
66
11
f) 𝑣𝑣(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥
from sympy import *
x,v=symbols("x v")
v=(x**2-5*x)**(1/2)
diff(v, x)
v’(x)=(x-2,5)(x2-5x)-0,5
𝑣𝑣𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥−2,5
𝑥𝑥2−5𝑥𝑥
66
12
g) 𝑡𝑡(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥
2−4𝑥𝑥
2𝑥𝑥3+6
from sympy import *
x,t=symbols("x t")
t=(3*x**2-4*x)/(2*x**3+6) 
diff(t, x)
t’(x)=-6x2(3x2-4x)/(2x3+6)2+
(6x-4)/(2x3+6)
66
13
Calcule, por meio do Python, a derivada segunda 
de cada uma das seguintes funções
a) f(x)=-2x3-4x2+13x-1
Resolução
from sympy import *
x,f=symbols("x f")
f=-2*x**3-4*x**2+13*x-1
diff(f, x, 2)
f’’(x)=-4(3x+2)=-12x-8
Exemplo
66
14
b) g(x)=2x+ln(x)
Resolução
from sympy import *
x,g=symbols("x g")
g=2*x+ln(x)
diff(g, x, 2)
g’’(x)=-1/x2
66
15
c) h(x)=sen(x)
from sympy import *
x,h=symbols("x h")
h=sin(x)
diff(h, x, 2)
h’(x)=-sen(x)
66
16
Máximos e Mínimos
66
17
A relação entre o preço de venda x
de um modelo de aparelho de telefone
celular e o lucro y referente
à comercialização desse aparelho é dada
pela função y=-4x2+4000x-200000
Sendo assim, qual é o preço de venda que 
maximiza o lucro?
Qual é o lucro máximo?
66
18
from sympy import *
x,y = symbols("x y")
y=-4*x**2+4000*x-200000
df=diff(y, x)
d2f=diff(y, x, 2)
p=solve(Eq(df,0))
l=y.subs(x, p[0])
ds=d2f.subs(x, p[0])
print('Preço ótimo: ',p[0])
print('Lucro máximo: ',l)
print('Derivada segunda: ',ds)
66
19
O custo c referente à produção diária de x 
unidades de certo item corresponde a 
c(x)=x2-20x+300
Qual é o nível de produção que minimiza o 
custo?
Faça o gráfico
66
20
from sympy import *
x,c = symbols("x c")
c=x**2-20*x+300
df=diff(c, x)
d2f=diff(c, x, 2)
p=solve(Eq(df,0))
ds=d2f.subs(x, p[0])
print('Produção ótima: ',p[0])
print('Derivada segunda: 
',ds)
66
21
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x=np.linspace(0,25,100)
c=x**2-20*x+300
plt.plot(x, c)
plt.show()
66
22
Uma indústria de carne congelada realizou 
um estudo e chegou à conclusão de que o 
lucro mensal L(x) é dado em função do preço 
x do quilo da carne congelada, e essa relação 
é descrita pela função L(x)=-120x2+4800x
Determine para quais valores de x o lucro 
mensal é máximo
66
23
from sympy import *
x,L = symbols("x L")
L=-120*x**2+4800*x
df=diff(L, x)
d2f=diff(L, x, 2)
p=solve(Eq(df,0))
ds=d2f.subs(x, p[0])
print('Preço ótimo: ',p[0])
print('Derivada segunda: ',ds)
66
24
A função f(x)=-0,04185x4+2,52027x3-
54,81718x2+509,27586x-1624,86959 
descreve a variação do consumo de lanches 
em uma praça de alimentação de um centro 
comercial onde x é o horário, das 12 às 22 
horas, e f(x) é o respectivo consumo em 
unidades vendidas
Em que horário o consumo foi máximo?
Em qual horário o consumo foi mínimo?
Faça o gráfico
66
25
from sympy import *
x,f = symbols("x f")
f=-0.04185*x**4+2.52027*x**3-
54.81718*x**2+509.27586*x-1624.86959
df=diff(f, x)
d2f=diff(f, x, 2)
p=solve(Eq(df,0))
print(p)
print('Mínimo: ',p[1])
print('Máximo: ',p[2])
66
26
66
27
import
matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x=np.linspace
(12,22,100)
f=-0.04185*x**
4+2.52027*x**3-
54.81718*x**2+509.2
7586*x-1624.86959
plt.plot(x, f)
plt.show()
66
28
Um objeto desloca-se em linha reta, e a 
relação entre a distância considerada em 
metros do objeto à origem e o tempo em 
segundos é dada por s=2t2+3t
Sabendo que a velocidade corresponde à 
derivada de s em relação a t, determine a 
velocidade do objeto quando t=2 segundos
66
29
from sympy import *
s,t = symbols("s t")
s=2*t**2+3*t
ds=diff(s, t)
v=s.subs(ds, 2)
print('Velocidade: %.2f 
m/s ' % v)
66
30
Otimização em 3D
66
31
Dada a função f(x,y)=x2+y2, faça o gráfico e 
em seguida obtenha e classifique os pontos 
críticos
66
32
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import numpy as np
xx=np.linspace(-5,5,100)
yy=np.linspace(-5,5,100)
x,y=np.meshgrid(xx,yy)
z=x**2+y**2
fig=plt.figure()
ax=plt.axes(projection='3d')
ax.plot_surface(x,y,z)
66
33
from sympy import *
x,y,f = symbols("x y f")
f=x**2+y**2
fx=diff(f, x)
fy=diff(f, y)
fxx=diff(f, x, 2)
fyy=diff(f, y, 2)
fxy=diff(fx,y)
fyx=diff(fy,x)
66
34
px=solve(Eq(fx,0))
py=solve(Eq(fy,0))
fxxp=fxx.subs({x:px[0], y:py[0]})
fyyp=fyy.subs({x:px[0], y:py[0]})
fxyp=fxy.subs({x:px[0], y:py[0]})
fyxp=fyx.subs({x:px[0], y:py[0]})
D=fxxp*fyyp-fxyp*fyxp
print('Solução: (%.2f, %.2f)' % (px[0], 
py[0]))
print('Determinante: ',D)
print('Derivada segunda em relação a x: ',fxxp)
66
35
66
36
Considerando a função
f(x,y)=(1-x2)2+100(y-x2)2, faça o gráfico
e em seguida determine e classifique os 
pontos críticos
66
37
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d 
import Axes3D
import numpy as np
xx=np.linspace(-5,5,100)
yy=np.linspace(-5,5,100)
x,y=np.meshgrid(xx,yy)
f=(1-x**2)**2+100*(y-
x**2)**2
fig=plt.figure()
ax=plt.axes(projection='3d')ax.plot_surface(x,y,f)
66
38
from sympy import *
x,y,f = symbols("x y f")
f=(1-x)**2+2*(3-y)**2
fx=diff(f, x)
fy=diff(f, y)
fxx=diff(f, x, 2)
fyy=diff(f, y, 2)
fxy=diff(fx,y)
fyx=diff(fy,x)
66
39
px=solve(Eq(fx,0))
py=solve(Eq(fy,0))
fxxp=fxx.subs({x:px[0], y:py[0]})
fyyp=fyy.subs({x:px[0], y:py[0]})
fxyp=fxy.subs({x:px[0], y:py[0]})
fyxp=fyx.subs({x:px[0], y:py[0]})
D=fxxp*fyyp-fxyp*fyxp
print('Solução: (%.2f, %.2f)' % (px[0], 
py[0]))
print('Determinante: ',D)
print('Derivada segunda em relação a x: ',fxxp)
66
40
66
41
Integrais
66
42
Calcule, por meio do Python, se possível, a integral 
indefinida de cada uma das seguintes funções
a) f(x)=-2x3-4x2+13x-1
Resolução
from sympy import *
x,f=symbols("x f")
f=-2*x**3-4*x**2+13*x-1
integrate(f, x)
F(x)=-x4/4-4x3/3+13x2/2-x+C
Exemplo
66
43
b) g(x)=2x+ln(x)
Resolução
from sympy import *
x,g=symbols("x g")
g=2*x+ln(x)
integrate(g, x)
G(x)=x2+x.log(x)-x+C
66
44
c) h(x)=sen(x)
from sympy import *
x,h=symbols("x h")
h=sin(x)
integrate(h, x)
H(x)=-cos(x)+C
66
45
d) r(x)=tg(x)
from sympy import *
x,r=symbols("x r")
r=tan(x)
integrate(r, x)
R(x)=-log(cos(x))+C
66
46
e) q(x)=sen(x)cos(x)
from sympy import *
x,q=symbols("x q")
q=sin(x)*cos(x)
integrate(q, x)
Q(x)=sen2(x)/2
66
47
f) 𝑣𝑣(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥
from sympy import *
x,v=symbols("x v")
v=(x**2-5*x)**(1/2)
integrate(v, x)
V(x)=Integral((x**2-5*x)**0.5,x)
66
48
g) 𝑡𝑡(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥
2−4𝑥𝑥
2𝑥𝑥3+6
from sympy import *
x,t=symbols("x t")
t=(3*x**2-4*x)/(2*x**3+6) 
integrate(t, x)
T(x)=-6x2(3x2-4x)/(2x3+6)2+
(6x-4)/(2x3+6)
66
49
Utilizando o Python, calcule a integral 
definida da função f(x)=-2x3-4x2+13x-1 no 
intervalo [1, 2]
66
50
from sympy import *
x,f=symbols("x f")
f=-2*x**3-4*x**2+13*x-1
integrate(f, (x, 1, 2))
5/3
66
51
Áreas
66
52
Seja a função f(x)=x2
Obtenha a área entre o gráfico de f e o eixo x 
no intervalo [0, 2]
Faça o gráfico
66
53
from sympy import *
x,f=symbols("x f")
f=x**2
integrate(f, (x, 0, 2))
8/3
66
54
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import sympy as sy
x=np.linspace(-1,3,1000)
f=x**2
plt.plot(x,f,color='blue')
plt.axhline(color='blue')
plt.fill_between(x, f, 
where=[(x>0) and (x<2) for x in 
x],color='green')
66
55
Qual é a área abaixo da curva y=x3, de x=1 a 
x=3?
66
56
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy import *
import numpy as np
x,f=symbols("x f")
f=x**3
A=integrate(f, (x, 1, 3))
66
57
x=np.linspace(0.5,3.5,1000)
f=x**3
plt.plot(x,f,color='blue')
plt.axhline(color='blue')
plt.fill_between(x, f, where=[(x>1) and
(x<3) for x in x],color='magenta')
print('Área:', A)
66
58
66
59
Calcule a área limitada pelo gráfico da função 
y=-x2+4x+1 e pelo eixo x
66
60
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy import *
import numpy as np
x,f=symbols("x f")
f=-x**2+4*x+1
coeff=[-1, 4, 1]
r=np.roots(coeff)
A=integrate(f, (x, min(r), max(r)))
66
61
x=np.linspace(min(r)-
0.5,max(r)+0.5,1000)
f=-x**2+4*x+1
plt.plot(x,f,color='blue’)
plt.axhline(color='blue’)
plt.fill_between(x, f, where=[(x>min(r)) 
and (x<max(r)) for x in x],color='yellow’)
print('Área:', A)
66
62
66
63
Calcule a área limitada pelos gráficos das 
funções y=2x e y=1/x, com x variando de 
1 a 4
66
64
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy import *
import numpy as np
x,f,g=symbols("x f g")
f=2*x
g=1/x
A=integrate((f-g), (x, 1, 4))
66
65
x=np.linspace(0.5,4.5,1000)
f=2*x
g=1/x
plt.plot(x,f,color='blue’)
plt.plot(x,g,color='red’)
plt.axhline(color='black’)
plt.fill_between(x, f, g, where=[(x>1) and
(x<4) for x in x],color='magenta’)
print('Área:', A)
66
66
66
67
50
1
Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini
Ferramentas Matemáticas Aplicadas
Aula 5
50
2
Conversa Inicial
50
3
Nesta aula:
Vetores e matrizes
Sistemas lineares
Funções trigonométricas
Números complexos
Sistemas lineares com 
números complexos
50
4
Vetores e Matrizes
50
5
A tabela a seguir apresenta os preços
e os lucros, em dólares, referentes a
três mercadorias importadas:
Escreva os valores em uma tabela e, sabendo 
que 1 dólar corresponde a 4,10 reais, 
obtenha os respectivos valores em reais
Item Preço de custo Lucro unitário
Caixa de som $ 5.90 $ 7.10
Carregador $ 2.38 $ 2.52
Pen drive $ 2.90 $ 2.00
50
6
import numpy as np
A=np.array([[5.90, 7.10],[2.38, 2.52],[2.90, 2.00]])
B=4.10*A
print(B)
50
7
import numpy as np
A=np.array([[5.90, 7.10],[2.38, 2.52],[2.90, 2.00]])
B=4.10*A
print(B)
50
8
Dados os vetores u=(3, -5, 2)
e v=(4, 6, 3), calcule u.v e uXv
50
9
import numpy as np
u=np.array([[3, -5, 2]])
v=np.array([[4, 6, 3]])
uv=np.inner(u,v)
uXv=np.cross(u,v)
print(uv)
print(uXv)
50
10
50
11
Sistemas Lineares
50
12
Resolva o sistema linear: 
50
13
import numpy as np
A=np.array([[4, 2, -1],[3, 3, 2],[0, 5, 2]])
b=np.array([[7],[20],[-1]])
x=np.linalg.solve(A,b)
print(x)
50
14
50
15
Resolva o sistema linear:
50
16
import numpy as np
A=np.array([[1, 3, 4],[2, -1, 1],[-4, 2, -2]])
b=np.array([[18],[10],[-7]])
x=np.linalg.solve(A,b)
print(x)
50
17
50
18
Em uma transportadora, 10 pallets com 12 
caixas cada pesam 844 quilos. Nas mesmas 
condições, 8 pallets com 10 caixas cada um 
deles pesam 576 quilos. Qual é o peso de 
cada pallet e qual é o peso de cada caixa?
50
19
O sistema linear associado é:
import numpy as np
A=np.array([[10, 120],[8, 80]])
b=np.array([[844],[576]])
x=np.linalg.solve(A,b)
print(x)
50
20
50
21
Funções Trigonométricas
50
22
Qual é o seno de 57°?
50
23
import numpy as np
arco=np.deg2rad(57)
np.sin(arco)
50
24
import numpy as np
arco=np.deg2rad(57)
np.sin(arco)
50
25
Qual é o ângulo cujo cosseno é igual a 0,7?
50
26
import numpy as np
angulo=np.arccos(0.7)
np.rad2deg(angulo)
50
27
import numpy as np
angulo=np.arccos(0.7)
np.rad2deg(angulo)
50
28
Números Complexos
50
29
Números complexos: 
50
30
Número complexo na forma algébrica: 
z=a+bi
a=parte real:
a=Re(z)
b=parte imaginária:
b=Im(z)
50
31
Exemplos:
a) z=2+7i
Re(z)=2
Im(z)=7
b) z=4i
Re(z)=0
Im(z)=4
50
32
50
33
50
34
50
35
Escreva o número complexo z=3+5j 
utilizando o Python
50
36
z=complex(3, 5)
print(z)
50
37
z=complex(3, 5)
print(z)
50
38
Obtenha o módulo do número complexo 
z=3+5j
50
39
z=complex(3, 5)
abs(z)
50
40
z=complex(3, 5)
abs(z)
50
41
Dados os números complexos z1=3+5j e 
z2=7-3j, calcule z1+z2, z1.z2 e z1/z2
50
42
z1=complex(3, 5)
z2=complex(7, -3)
soma=z1+z2
produto=z1*z2
divisao=z1/z2
print(soma)
print(produto)
print(divisao)
50
43
50
44
Sistemas Lineares com
Números Complexos
50
45
Resolva o sistema:
50
46
import numpy as np
A=np.array([[complex(2,1), complex(5,-
1)],[complex(5,-1), complex(7,4)]])
b=np.array([[complex(3,8)],[complex(2,5)]])
np.linalg.solve(A,b)
50
47
a=1,81+0,02j
b=-0,35+1,16j
50
48
Resolva o sistema:
50
49
import numpy as np
A=np.array([[complex(3,2), complex(-2,-
6)],[complex(-2,-6), complex(10,1)]])
x1=np.cos(np.deg2rad(0))
y1=np.sin(np.deg2rad(0))
x2=np.cos(np.deg2rad(30))
y2=np.sin(np.deg2rad(30))
b=np.array([[70*complex(x1,y1)],[110*complex(
x2,y2)]])
np.linalg.solve(A,b)
50
50
a=9,13+12,68j
b=5,05+13,01j
50
51
50
1
Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini
Ferramentas Matemáticas Aplicadas
Aula 6
50
2
Conversa Inicial
50
3
Regressão linear
Interpolação
Séries de Fourier
Formulação de problemas de programação 
linear
Resolução de problemas de programação 
linear
50
4
Regressão linear
50
5
Em uma indústria, a produção nos quatro 
primeiros meses do ano foi, respectivamente, 
5000, 5300, 5200 e 5500 unidades. Obtenha 
a reta de regressão, o coeficiente de 
correlação e faça o gráfico contendo os dados 
originais e a reta de regressão
50
6
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
x=np.array([1, 2, 3, 4])
y=np.array([5000,5300, 5200, 5500])
a,b,correlacao,p,erro=stats.linregress(x,y)
print('Reta de regressão: y=%.2fx+%.2f'% (a,b))
print('Coeficiente de correlação: r=%.2f'% 
correlacao)
50
7
plt.plot(x, y, 'o', label='Dados originais') 
f=a*x+b
plt.plot(x, f, 'r', label='Reta de regressão')
plt.ylim(4900, 5600)
plt.legend()
plt.show()
50
8
50
9
Reta de regressão: y=140.00x+4900.00
Coeficiente de correlação: r=0.87
Dados originais
Reta de regressão
50
10
Interpolação
50
11
Muitas estruturas de construções são 
baseadas em uma parábola. Obtenha 
graficamente, por meio do Python, a 
parábola relacionada 
à estrutura de uma
ponte que tem 20
metros de
comprimento e 7
metros de altura
50
12
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.interpolate import *
x=[0, 10, 20]
y=[0, 7, 0]
f=interp1d(x,y,kind='quadratic')
xi=np.linspace(1,20,100)
yi=f(xi)
plt.plot(x,y,'o')
plt.plot(xi,yi)
plt.show()
50
13
50
14
Muitas estruturas de construções são 
baseadas em uma parábola. Obtenha a 
equação da parábola relacionada à 
estrutura de uma
ponte que tem 20
metros de
comprimento e 7
metros de altura
50
15
from scipy.interpolate import *
x=[0, 10, 20]
y=[0, 7, 0]
f=lagrange(x,y)
print(f)
50
16
y=-0,07x2+1,4x
50
17
Uma empresa fez uma ilustração de uma 
garrafa e precisa obter uma boa estimativa 
para o seu volume. Para isso, precisa da 
função que interpola 
os pontos C, D, E, F, 
G, H e I. Obtenha o 
respectivo
polinômio 
interpolador
50
18
from scipy.interpolate import *
x=[4.6, 15.45, 17.72, 10.65, 1.73, 7.69, 0.45]
y=[5.97, 2.11, 2.37, 3.74, 4.94, 5.37, 3.27]
f=lagrange(x,y)
print(f)
50
19
y=-0,000009056x6+0,0004847x5-
0,009883x4+0,1024x3-0,6495x2+2,377x+2,323
50
20
Séries de Fourier
50
21
Obtenha, por meio de série de Fourier, 
aproximações para a função y=x utilizando 2, 
3 e 4 termos da série. Faça os respectivos 
gráficos
50
22
from sympy import *
x,f=symbols("x f")
init_printing()
f=x
s=fourier_series(f, (x, -pi, pi))
s.truncate(2)
50
23
50
24
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x=np.linspace(-np.pi, np.pi, 100)
f=x
y=2*np.sin(x)-np.sin(2*x)
plt.plot(x,y,x,f)
plt.legend(['Aproximação por Fourier', 'Função 
original'], loc=2)
plt.show()
50
25
50
26
from sympy import *
x,f=symbols("x f")
init_printing()
f=x
s=fourier_series(f, (x, -pi, pi))
s.truncate(3)
50
27
50
28
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x=np.linspace(-np.pi, np.pi, 100)
f=x
y=2*np.sin(x)-np.sin(2*x)+2*np.sin(3*x)/3
plt.plot(x,y,x,f)
plt.legend(['Aproximação por Fourier', 'Função 
original'], loc=2)
plt.show()
50
29
50
30
from sympy import *
x,f=symbols("x f")
init_printing()
f=x
s=fourier_series(f, (x, -pi, pi))
s.truncate(4)
50
31
50
32
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x=np.linspace(-np.pi, np.pi, 100)
f=x
y=2*np.sin(x)-np.sin(2*x)+2*np.sin(3*x)/3-
np.sin(4*x)/2
plt.plot(x,y,x,f)
plt.legend(['Aproximação por Fourier', 'Função 
original'], loc=2)
plt.show()
50
33
50
34
Formulação de problemas de 
programação linear
50
35
Uma importadora pretende comprar pen 
drives, caixas de som e carregadores para 
celular. Essa importadora tem 30 mil dólares 
e pretende decidir quantas unidades de cada 
um desses itens irá adquirir de modo a 
maximizar o lucro referente à posterior 
venda dessas mercadorias
50
36
As informações relacionadas a cada um dos 
itens são
Resolva o problema como um problema de 
programação linear
Item Preço de 
custo
Lucro 
unitário
Quantidade 
mínima
Quantidade 
máxima
Caixa de som $ 5.90 $ 7.10 50 200
Carregador $ 2.38 $ 2.52 200
Pen drive $ 2.90 $ 2.00 100
50
37
Variáveis
x1=quantidade de caixas de som
x2=quantidade de carregadores para 
celular
x3=quantidade de pen drives
50
38
Função objetivo
max L=7.10x1+2.52x2+2.00x3
Item Preço de 
custo
Lucro 
unitário
Quantidade 
mínima
Quantidade 
máxima
Caixa de som $ 5.90 $ 7.10 50 200
Carregador $ 2.38 $ 2.52 200
Pen drive $ 2.90 $ 2.00 100
50
39
Restrições
5.90x1+2.38x2+2.90x3<=30000
x1>=50
x1<=200
x2>=200
x3>=100
Item Preço de 
custo
Lucro 
unitário
Quantidade 
mínima
Quantidade 
máxima
Caixa de 
som
$ 5.90 $ 7.10 50 200
Carregador $ 2.38 $ 2.52 200
Pen drive $ 2.90 $ 2.00 100
50
40
Formulação
max L=7.10x1+2.52x2+2.00x3
5.90x1+2.38x2+2.90x3<=30000
x1>=50
x1<=200
x2>=200
x3>=100
50
41
Resolução de problemas de 
programação linear
50
42
Uma importadora pretende comprar pen 
drives, caixas de som e carregadores para 
celular. Essa importadora tem 30 mil dólares 
e pretende decidir quantas unidades de cada 
um desses itens irá adquirir de modo a 
maximizar o lucro referente à posterior 
venda dessas mercadorias
50
43
As informações relacionadas a cada um dos 
itens são
Resolva o problema como um problema de 
programação linear
Item Preço de 
custo
Lucro 
unitário
Quantidade 
mínima
Quantidade 
máxima
Caixa de 
som
$ 5.90 $ 7.10 50 200
Carregador $ 2.38 $ 2.52 200
Pen drive $ 2.90 $ 2.00 100
50
44
Formulação:
max L=7.10x1+2.52x2+2.00x3
5.90x1+2.38x2+2.90x3<=30000
x1>=50
x1<=200
x2>=200
x3>=100
50
45
import sys
!{sys.executable} -m pip install pulp
50
46
from pulp import *
prob=LpProblem('Exemplo1',LpMaximize)
x1=LpVariable("Caixa de som",0)
x2=LpVariable("Carregador",0)
x3=LpVariable("Pen drive",0)
50
47
prob += 7.1*x1 + 2.52*x2 + 2*x3
prob += 5.9*x1 + 2.38*x2 + 2.9*x3 <= 30000
prob += x1 >= 50
prob += x1 <= 200
prob += x2 >= 200
prob += x3 >= 100
50
48
prob.solve()
for v in prob.variables():
print(v.name, "=", v.varValue)
print("Lucro máximo = ", value(prob.objective))
50
49
50
50
Caixas de som: 200 unidades
Carregadores para celular: 11.987 unidades
Pen drives: 100 unidades
Lucro máximo: $ 31,828.23
50
51
	FERRAMENTAS MATEMÁTICAS APLICADAS - AUA 1
	Ferramentas Matemáticas Aplicadas
	Conversa Inicial
	Número do slide 3
	Textos
	Número do slide 5
	Número do slide 6
	Número do slide 7
	Número do slide 8
	Número do slide 9
	Número do slide 10
	Número do slide 11
	Número do slide 12
	Número do slide 13
	Número do slide 14
	Variáveis
	Número do slide 16
	Número do slide 17
	Número do slide 18
	Número do slide 19
	Adição e subtração
	Número do slide 21
	Número do slide 22
	Número do slide 23
	Número do slide 24
	Número do slide 25
	Número do slide 26
	Número do slide 27
	Número do slide 28
	Número do slide 29
	Número do slide 30
	Multiplicação e divisão
	Número do slide 32
	Número do slide 33
	Número do slide 34
	Número do slide 35
	Potenciação e radiciação
	Número do slide 37
	Número do slide 38
	Número do slide 39
	Número do slide 40
	Número do slide 41
	FERRAMENTAS MATEMÁTICAS APLICADAS - AULA 2
	Ferramentas Matemáticas Aplicadas
	Conversa Inicial
	Número do slide 3
	Bibliotecas Python
	Número do slide 5
	Número do slide 6
	Introdução à Matemática Simbólica
	Número do slide 8
	Número do slide 9
	Número do slide 10
	Número do slide 11
	Número do slide 12
	Número do slide 13
	Número do slide 14
	Número do slide 15
	Fatoração e Expansão de Expressões
	Número do slide 17
	Número do slide 18
	Número do slide 19
	Número do slide 20
	Número do slide 21
	Número do slide 22
	Número do slide 23
	Raízes e Equações
	Número do slide 25
	Número do slide 26
	Número do slide 27
	Número do slide 28
	Gráficos
	Número do slide 30
	Número do slide 31
	Número do slide 32
	Número do slide 33
	Número do slide 34
	FERRAMENTAS MATEMÁTICAS APLICADAS - AULA 3
	FERRAMENTAS MATEMÁTICAS APLICADAS - AULA 4
	Ferramentas Matemáticas Aplicadas
	Conversa Inicial
	Número do slide 3
	Derivadas
	Número do slide 5
	Exemplo
	Número do slide 7
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	Número do slide 10
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	Número do slide 12
	Exemplo
	Número do slide 14
	Número do slide 15
	Máximos e Mínimos
	Número do slide 17
	Número do slide 18
	Número do slide 19
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	Número do slide 21
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	Númerodo slide 27
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	Número do slide 29
	Otimização em 3D
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	Integrais
	Exemplo
	Número do slide 43
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	Áreas
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	FERRAMENTAS MATEMÁTICAS APLICADAS - AULA 5
	Ferramentas Matemáticas Aplicadas
	Conversa Inicial
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	Vetores e Matrizes
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	Sistemas Lineares
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	Sistemas Lineares com�Números Complexos
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	FERRAMENTAS MATEMÁTICAS APLICADAS - AULA 6
	Ferramentas Matemáticas Aplicadas
	Conversa Inicial
	Número do slide 3
	Regressão linear
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	Interpolação
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	Séries de Fourier
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	Formulação de problemas de programação linear
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	Resolução de problemas de programação linear
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