Matematica Financeira - Secao 02 - Juros Compostos - ok

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Conteúdo da Seção 2
(Seção 3 Novo)
Juros Compostos
Juros Exatos
Juros Comerciais
Funções Financeiras da HP12c
Equivalência de Fluxo de Caixa
Juros Compostos em Prazos Fracionados
Sem Cobrança de Juros
Convenção Linear
Convenção Exponencial
1
Seção 2
1
Juros Simples:
Apenas o capital inicial rende juros;
O Juro é diretamente proporcional ao tempo e à taxa.
Juros Compostos:
O Juro gerado pela aplicação, em um período, será incorporado;
No período seguinte, o capital mais o juro passa a gerar novos juros;
O regime de juros compostos é mais importante, porque, além de ser teoricamente mais consistente, é o de maior utilização prática.
Juros Simples X Juros Compostos
2
Seção 2
2
Diferença entre 
os Regimes de Capitalização
Aplicação de R$ 200,00 a uma taxa de 5%a.p.
3
Seção 2
3
Os juros gerados a cada período de capitalização serão calculados a partir do montante ao final do período anterior, incidindo pois sobre os juros gerados a cada período.
Juros Compostos
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Seção 2
4
Juros Compostos
Cálculo da taxa de juros (i)
Cálculo do período (n)
5
Seção 2
5
Juros Compostos
6
Seção 2
6
Juros Compostos
Taxas Variáveis no Período
As fórmulas desenvolvidas até aqui consideram que a taxa de juros é constante em todos os períodos da operação.
No caso das taxas variarem período à período o montante (S) pode ser calculado a partir do principal ou capital (C), utilizando a seguinte fórmula
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Seção 2
7
Juros Compostos
Exercício 1
Qual o montante de uma aplicação de R$ 140.000,00 após 9 meses, a uma taxa de juros de 3,25% a.m.?
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Seção 2
8
Juros Compostos
Exercício 2
Qual a taxa de juros mensal que transformou uma aplicação de R$ 150.000,00 em R$ 155.695,61 após 3 meses, considerando o regime de juros compostos?
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Seção 2
9
Juros Compostos
Exercício 3
Qual o principal que gerou um montante de R$ 255.695,61 após 7 meses, a uma taxa de juros de 5,25% a.m. considerando o regime de juros compostos?
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Seção 2
10
Juros Compostos
Exercício 4
Qual o período em que uma aplicação de R$ 150.000,00 gera um montante de R$ 155.695,61, a uma taxa de juros de 1,25% a.m. considerando o regime de juros compostos?
11
Seção 2
11
Juros Compostos
Até agora resolvemos o seguinte tipo de fluxo de caixa
Infelizmente a realidade comporta situações bem mais complexa que isto!
0
1
2
3
...
n-1
n
C
S
i % a.p.
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Seção 2
12
Juros Compostos
Exercício 5
Uma pessoa está pensando em comprar um carro novo e para isto está pensando em fazer uma poupança a fim de evitar o pagamento de juros. Ela dispõe hoje de R$ 3.000,00 para este fim e deve receber seu 13º salário (R$ 5.000,00) daqui a quatro meses. Parte deste investimento será usado para pagar um IPTU (R$1.200,00) daqui a 2 meses. Sabendo-se que ele pretende comprar o carro daqui a seis meses e que o seu banco tem uma aplicação que rende uma taxa efetiva de 3% a.m., qual o valor do carro que ela poderá comprar com o dinheiro do investimento?
13
Seção 2
13
Juros Compostos
Exercício 5 – Solução
Fluxo de Caixa
Dois investimentos (saídas)
R$ 3000,00 – hoje
R$ 5000,00 – daqui a 4 meses
Retiradas (entradas)
R$ 1200,00 – daqui a 2 meses
R$ ? – daqui a 6 meses
Taxa de juros de 3% a.m.
0
1
2
3
5
6
3000
S
4
5000
1200
14
Seção 2
14
Juros Compostos
Exercício 5 – Solução
Seja Sk o saldo em conta corrente e Mk a movimentação consolidada de depósitos e retiradas, na época k, no fim do expediente. Como (retiradas=depósitos) temos:
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Seção 2
15
Exercício 5
Solução Alternativa
0
1
2
3
5
6
3000
S
4
5000
1200
16
Seção 2
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Exercício
Solução HP-12C
	<CLX><f><FIN>	Apaga as memórias ativas e financeiras
	3<i>	Entra a taxa de juros percentual
	3000 <CHS> <g> <CF0>	Fluxo Período 0
	0 <g> <CFj>	Fluxo Período 1
	1200 <g> <CFj>	Fluxo Período 2
	0 <g> <CFj>	Fluxo Período 3
	5000 <CHS> <g> <CFj>	Fluxo Período 4
	<f><NPV>	Calcula o Valor Presente (Período 0)
	<6>< n >	ENTRA o número de períodos
	<FV>	Calcula o Valor Futuro no período 6
Passos na HP12c
Significado dos Passos
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Seção 2
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Equivalência de Capitais 
a Juros Compostos
Dados uma taxa i e dois ou mais capitais (C1, C2...,Cn) disponíveis nos prazos n1, n2, ..., nn, diremos que eles são equivalentes se, ao serem avaliados para uma data qualquer, todos gerarem o mesmo valor.
Diferentemente do caso de juros simples, no regime de juros compostos capitais equivalentes em uma data, também o serão obrigatoriamente em qualquer outra data.
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Seção 2
18
Equivalência de Capitais 
a Juros Compostos
2000
2200
2420
2662
0
1
2
3
4
i=10%a.p
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Seção 2
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Equivalência de Fluxos de Caixa
Considerada uma dada taxa de juros dois fluxos de caixas são ditos equivalentes, se em uma data qualquer, as somas de cada um dos seus respectivos valores atualizados naquela data, àquela taxa, são iguais. 
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Seção 2
20
Equivalência de Fluxos de Caixa
Os dois fluxos de caixas abaixo são equivalentes à taxa de 10% a.p. Já que, na data zero, os valores atuais dos dois são iguais a -5310,44 
0
1
2
3
5
6
3000
200
4
5000
1200
0
1
2
3
5
6
3300
200
4
5000
991,73
i=10%
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Seção 2
21
Cálculo do Número 
de Dias entre Datas
Em diversas situações necessitamos calcular o exato número de dias entre duas datas para determinar o juro a ser pago ou recebido em uma aplicação.
Tanto o Excel quanto as calculadoras financeiras têm funções para facilitar este cálculo.
22
Seção 2
22
Calcule o número de dias entre as datas de 01/01/2004 e 02/01/2005.
	<CLX><f><FIN>	Apaga as memórias ativas e financeiras
	<g> <D.MY>	Define o modo de entrada das datas (DD/MM/AA)
	01.012004 <ENTER>	Define a data Inicial
	02.012005 <g><DDYS>	Define a data Final e calcula o número de dias=367
Passos na HP12c
Significado dos Passos
Cálculo do Número de Dias 
entre Datas HP-12c
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Seção 2
23
Prezado Professor
Algumas máquinas HP 12c mais antigas apresentam erro na programação para calculo de dias e períodos. Duas máquinas fazendo a mesma operação uma pode resolver enquanto a outra apresenta o mesmo erro do simulador.
Juros Compostos 
Prazos Fracionados
Existem três formas básicas para se tratar prazos fracionários em regime de juros compostos.
Sem incidência de juros no período
Convenção Linear – Juros compostos no número de períodos inteiros e juros simples na parte fracionária.
Convenção Exponencial– Juros compostos no número de períodos inteiros e na parte fracionária.
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Seção 2
24
Juros Compostos 
Prazos Fracionados
Suponha que um cliente da loja ABC tenha financiado a compra de um produto avaliado em R$700,00 e deseje pagá-lo daqui a 70 dias, considerando uma taxa mensal de 12% a.m. Considere as três formas de tratamento do período fracionário e calcule quanto deveria ser pago por cada forma de cálculo.
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Seção 2
25
Sem incidência de juros
700 700
0 0’
10
dias
2
F
MESES
	<CLX>
	<f><FIN>
	700 <CHS><PV>
	12<i>
	2<n>
	<FV>
HP -12c
Juros Compostos em Prazos Fracionados Sem Incidência de Juros
26
Seção 2
26
Pela convenção linear - Juros simples no período fracionário e composto no resto. 
700
0 0’
10
dias
2
S
MESES
S’
C’
Juros Compostos em Prazos Fracionados Pela Convenção Linear
27
Seção 2
27
Juros Compostos em Prazos Fracionados Pela Convenção Linear - Alternativa
Pela convenção linear - Juros simples no período fracionário e composto no resto. 
28
Seção 2
28
Juros Compostos no período total. 
700
10
S
dias
70
0
Juros Compostos em Prazos Fracionados
 Pela Convenção Exponencial
29
Seção 2
29
Juros Compostos em Prazos Fracionados
 Pela Convenção Exponencial - Alternativa
Juros Compostos no período total. Encontrar a taxa equivalente. 
30
700
10
S
dias
70
0
Seção 2
30
Juros Compostos em Prazos Fracionados
Linear x Exponencial
n
C
n=1
n<1
n>1
Cn
Composta
Linear
31
Seção 2
31
Extra 1
Pedro emprestou R$ 1.000,00 a João, pelo prazode 1 ano, nas seguintes
condições:
 Nos primeiros 6 meses será cobrado juros simples à taxa de 4% a.m.
 No restante do período será cobrado juros compostos à taxa de 2% a.m.
a) Quanto deverá João pagar a Pedro ao fim de 1 ano?
b) Qual a taxa mensal de juros simples, constante durante todo o período de 1 ano, que produziria o mesmo montante?
c) Qual a taxa mensal de juros compostos, constante durante todo o período de 1 ano, que produziria o mesmo montante?
32
Seção 2
Extra 2
Araújo quer comprar uma maquina de lavar que custa à vista R$ 950,00. A loja oferece duas opções de pagamento:
 A primeira consiste de uma parcela ao final de 10 meses, à uma taxa de juros, em regime de juros simples, de 4%a.m.
 A segunda consiste de uma parcela ao final de 10 meses, à uma taxa de juros, em regime de juros compostos, de 3%a.m.
Qual deve ser a opção escolhida por Araújo?
33
Seção 2
Extra 3
Dois capitais, um de R$ 2.000,00 e outro de R$ 1.500,00, foram aplicados, em
regime de juros simples; o primeiro à uma taxa de 1% ao mês e o segundo à uma taxa de 2% ao mês. Em quantos meses os montantes respectivamente produzidos por essas duas aplicações são iguais?
34
Seção 2
Extra 4
Um investidor aplicou no mercado financeiro a quantia de R$ 750.000,00 e após 183 dias
resgatou R$ 1.033.650,00 brutos.
a) Qual foi a taxa mensal de juros composto auferida pelo investidor?
b) Qual a taxa efetiva diária se uma alíquota de 10% de imposto sobre operações
financeiras for aplicada sobre o rendimento auferido, antecipadamente e
postecipadamente?
35
Seção 2
Extra 5
Qual é o montante líquido de uma aplicação de R$ 8.000,00, com prazo de 5 meses, à taxa
de juros compostos de 22% a.a., se for pago imposto de renda, com a alíquota de 20%
incidindo sobre os juros, no resgate da aplicação, considerando:
a) a Convenção Exponencial?
b) a Convenção Linear?
36
Seção 2
Extra 5
Ana colocou R$ 100.000,00 à taxa de juros composto de 1% a.m. pelo prazo de 50 meses.
Entretanto, antes do término do prazo, conseguiu um aumento da taxa para 1,5% a.m.
referente ao restante do prazo. Sabe-se que, no final do período, recebeu um montante de
R$ 190.725,49. Quais foram os prazos em que o capital esteve aplicado à cada uma das
taxas , considerando a Convenção Exponencial?
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Seção 2
Extra 6
Uma aplicação rende 15% a.s. e é taxada pelo Imposto de Operações Financeiras
(IOF), no recebimento do rendimento, a uma alíquota fixa de 1,5% aplicada sobre o
mesmo. Se você aplicou R$ 100.000,00 pelo prazo de um ano, qual a taxa líquida
semestral obtida, considerando que o rendimento líquido obtido no fim do 1º
semestre, foi reaplicado à mesma taxa pelo restante do período?
38
Seção 2
Extra 7
Você foi comprar uma geladeira e a loja lhe ofereceu 4 opções:
i. R$ 1.800,00 à vista.
ii. R$ 300,00 à vista mais 3 prestações mensais e sucessivas de R$ 600,00.
iii. R$ 500,00 à vista mais 3 prestações mensais e sucessivas de R$ 500,00.
iv. 8 prestações mensais e sucessivas de R$ 275,00, com carência de 3 meses.
Pede-se:
a) qual é a melhor opção para você, comprador, considerando uma taxa de juros
composto de 4% a.m. e data focal na data da compra?
b) qual a taxa de juros compostos, que está embutida em cada um dos 3 planos de
compra à prazo?
39
Seção 2
Extra 8
O fluxo de caixa da Indústria Zé Bolinha apresenta os pagamentos de R$ 120.000,00 e
R$ 80.000,00, respectivamente, de hoje a 3 e 9 meses. Antevendo dificuldades, o gerente
financeiro, Dr. Araújo, tenta negociar junto à instituição credora essa dívida, na forma de
dois pagamentos iguais vencíveis de hoje a 12 e 15 meses. Supondo que essa renegociação se faça à taxa de 5%a.t., qual o valor dos novos pagamentos?
40
Seção 2
Extra 9
Uma pessoa deve R$ 50.000,00 daqui a 2 meses, R$100.000,00 daqui a 3 meses e R$20.000,00 daqui a 4 meses. Desejando liquidar esses débitos com um único pagamento daqui a um mês, qual deverá ser o valor do mesmo, considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, com convenção exponencial? 
41
Seção 2
Extra 10
Determinada pessoa, ao comprar um carro novo cujo preço é R$ 20.000,00, teve seu carro usado aceito como entrada. O saldo do preço de venda será pago em cinco prestações mensais de R$ 2.600,00, a primeira vencendo um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros compostos do financiamento é de 2% a.m., qual o valor da avaliação do carro usado? 
42
Seção 2
Exercícios Propostos
Livro Básico 1 
Exercícios de 1 a 22, pp.107-109
Livro Básico 2
Exercícios de 1 a 30, pp. 139-142
Livro Básico 3
Exercícios de 1 a 53, pp. 32-35
Livro Complementar 1
Exercícios de 1 a 8 e 12, pp. 79-83
43
Seção 2
43
PeríodoJuros (Simples)MontanteJuros (Compostos)Montante
0200,0200,000
1200 X 0,05 =10210,0200 X 0,05 =10210,000
2200 X 0,05 =10220,0210 X 0,05 =10,5220,500
3200 X 0,05 =10230,0220,5 X 0,05 =11,025231,525
Plan1
	Período	Juros (Simples)	Montante	Juros (Compostos)	Montante
	0		200.0		200.000
	1	200 X 0,05 =10	210.0	200 X 0,05 =10	210.000
	2	200 X 0,05 =10	220.0	210 X 0,05 =10,5	220.500
	3	200 X 0,05 =10	230.0	220,5 X 0,05 =11,025	231.525
Plan2
	
Plan3
	
n
n
i
S
CiCS
iCiSiSSJSS
iCiCCJCS
)1(
)1(
:
)1()1(
)1(
2
111212
11




1
)1(
)1()1(
1
1
















n
n
nn
C
S
i
i
C
S
i
C
S
iCS
 
)1ln(
)ln(
)1ln()1(lnln
)1()1(
i
CS
n
ini
C
S
i
C
S
iCS
n
nn










n
i
S
C
)1(

1
1








n
C
S
i
)1ln(
)ln(
i
CS
n


]1)1[( 
n
iCJ
n
iCS )1(

n
iiiiCS  1...111
321
05,75360)03,1(55,7316
55,73160)03,1(45,7103
45,71035000)03,1(18,2042
18,20420)03,1(70,1982
70,19821200)03,1(3090
30900)03,1(3000
3000
6
5
4
3
2
1
0







S
S
S
S
S
S
S
kkk
MiSS 

)1(
1
05
,
7536
61
,
1350
50
,
5304
16
,
3582
)
03
,
0
1
(
1200
6
 
data
 
na
 
retiradas
das
Acumulação
)
03
,
0
1
(
5000
)
03
,
0
1
(
3000
6
 
data
 
na
 
tos
investimen
dos
Acumulação
4
2
6
=
-
+
=
=
+
+
´
+
´
+
+
´
S
S
Retiradas
tos
Investimen
S

08,878)12,1(700 
)1(
2


n
iCS
 
20,913)12,1(728 
)12,01(728
728)
30
10
12,01(700 
)1(
2
2















S
SC
niCS
20,913)
30
1012,0
1()12,01(700 
)1()12,01()1(
2

























k
pi
C
k
pi
CS
t
t
89,911)12,01(700 
)1(
30
70
30















nd
m
iCS

 

 
885,911)003785,01(700 
)1(
..003785,0112,01
11
70
30
1




n
d
n
n
md
iCS
dai
ii
m
d