Sistema de Equações Lineares

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CAPÍTULO 4 – SISTEMA DE EQUAÇÕES LI�EARES 
 
4.1 . Equação Linear 
 
Chamamos de equação linear, nas incógnitas 1 2, , , nx x x⋯ , toda equação do tipo: 
 1 1 2 2 3 3 n na x a x a x a x b+ + + + =⋯ 
Os números 1 2 3, , , , na a a a⋯ , todos reais, são chamados coeficientes e b , também real, é o termo independente 
da equação. 
 
Exemplo: 
Equações lineares: 
1 2 3 4
1 2 3
3 4 5 5
2 0
x x x x
x x x
+ − − =
− − =
 
 
Não são equações lineares: 
2
1 2 3
1 2 3 4
2 4 0
2 3
x x x
x x x x
+ + =
+ + =
 
 
Os valores das variáveis que transformam uma equação linear em identidade, isto é, que satisfazem à equação, 
constituem sua solução. Estes valores são denominados raízes da equação linear. 
 
Exemplo: Seja a equação linear: 
1 2 3 42 3 3x x x x+ − + = 
A seqüência ( )1, 2, 3, -2 é solução pois: 
( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 2 3 2 3+ − + − = 
 
4.2 . Sistema Linear 
 
É o conjunto de ( ) 1m m ≥ equações lineares, nas incógnitas 1 2 3, , , , nx x x x⋯ . Um sistema linear é representado 
conforme abaixo: 
 
 
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
n n
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
+ + + + =
 + + + + =
+ + + + =


+ + + + =
⋯
⋯
⋯
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⋯
 
Lembrando a definição de produto de matrizes, notemos que o sistema linear acima pode ser escrito na forma matricial: 
 2
 
� �
11 12 13 1 1 1
21 22 23 2 2 2
31 32 33 3 3 3
1 2 3
n
n
n
m m m mn n m
X BA
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
     
     
     
     ⋅ =
     
     
          
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
⋯
�������������
 onde: 
matriz de coeficientes
matriz de variáveis
matriz de termos independentes
A
X
B
→
→
→
 
 
Assim, um sistema linear com m equações e n incógnitas fica representado pela equação matricial: A X B⋅ = 
 
Outra matriz que pode ser associada a um sistema linear é a matriz ampliada, aumentada ou completa do sistema, que 
é a matriz dos coeficientes aumentada em uma coluna com os termos independentes: 
 
 
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
1 2 3
n
n
n
m m m mn m
a a a a b
a a a a b
a a a a b
a a a a b
 
 
 
 
 
 
  
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮
⋯
 
 
Exemplo: 
 
1) O sistema linear 
2 3 4
2
x y
x y
+ =

− =
 pode ser escrito na forma matricial: 
2 3 4
1 1 2
x
y
     
⋅ =     −     
 
 
A matriz aumentada do sistema é: 
2 3 4
1 1 2
 
 − 
 
 
2) 
3 4 3 1 1 4
2 5 7 0 2 5 7 0
x
x y z
y
x y z
z
 
+ − = −     ⇒ ⋅ =     + + =      
 matriz aumentada: 
3 1 1 4
2 5 7 0
− 
 
 
 
 
4.3 . Solução de um sistema linear 
 
Dizemos que a seqüência ordenada de reais ( )1 2 3, , , , nα α α α⋯ é solução de um sistema linear, se for solução de 
todas as suas equações. 
 
 
 3
Exemplo: 
1) O sistema 
6
2 1
3 4
x y z
x y z
x y z
+ + =

+ − =
 − + =
 admite como solução a tripla ordenada ( )1, 2, 3 pois: 
( )
( )
1 2 3 6 (sentença verdadeira)
2 1 2 3 1 (sentença verdadeira)
3 1 2 3 4 (sentença verdadeira)
+ + =
+ − =
− + =
 
Já a tripla ( )-5, 11, 0 não é solução do sistema pois: 
 ( )
( )
5 11 0 6 (sentença verdadeira)
2 5 11 0 1 (sentença verdadeira)
3 5 11 0 4 (sentença falsa)
− + + =
− + − =
− − + =
 
 
2) O sistema linear 
2 3 5
4 1
0 0 0 6
x y z
x y z
x y z
+ + =

− + =
 + + =
 não admite solução, pois a última equação não é satisfeita por nenhuma 
tripla ( )1 2 3, , α α α . 
 
De forma geral, um sistema de equações lineares podemos classificá-lo como: 
 
• Sistema Possível (ou Compatível ou Consistente) 
• Determinado (SPD): há uma única solução 
• Indeterminado (SPI): há infinitas soluções 
• Sistema Impossível (ou Incompatível ou Inconsistente) – SI – não há solução 
 
Para encontrar o conjunto solução de um sistema linear, ou em outras palavras, para resolver o sistema, veremos duas 
formas: empregando o Teorema de Cramer e através do escalonamento do sistema. 
 
4.4 . Teorema de Cramer 
 
Seja S um sistema linear com o número de equações igual ao número de incógnitas. Seja D o determinante da matriz 
dos coeficientes deste sistema. Se 0D ≠ , então o sistema será possível e terá solução única 
( )1 2 3, , , , nα α α α⋯ , tal que: 
 { }1, 2, 3, , nii
D
i
D
α = ∀ ∈ ⋯ 
onde iD é o determinante da matriz obtida substituindo-se a i-ésima coluna pela coluna dos termos independentes das 
equações do sistema. 
 4
Exemplo: Seja o sistema 
6
4
2 1
x y z
x y z
x y z
+ + =

− − = −
 − + =
 . Temos 
1 1 1
1 1 1 4 0
2 1 1
D = − − = − ≠
−
 
 
Logo, o sistema tem solução única. Determinemos esta solução: 
 
1
6 1 1
4 1 1 4
1 1 1
D = − − − = −
−
 2
1 6 1
1 4 1 12
2 1 1
D = − − = − 3
1 1 6
1 1 4 8
2 1 1
D = − − = −
−
 
 
Assim, temos: 
 
1 4 1
4
D
x
D
−
= = =
−
 2
12
3
4
D
y
D
−
= = =
−
 3
8
2
4
D
z
D
−
= = =
−
 
 
Portanto, a solução do sistema é: ( )1, 3, 2S = 
 
Exercício 1: 
Resolver os sistemas abaixo pela regra de Cramer. 
 
a) 
4 0
3 2 5
x y
x y
− − =

+ =
 b)
2 2
3 3
x y
x y
− =

− + = −
 c) 
3 1
2 3 1
4 2 7
x y z
x z
x y z
− + =

+ = −
 + − =
 
d) 
5
2 4 4
3 2 3
x y z
x y z
x y z
− + − =

+ + =
 + − = −
 e) 
1
2 2
0
2 2 1
x y z t
x y z
x y z t
x z t
+ + + =
 − + =

− + − − =
 + + = −
 f) 
1
2 2
2 1
3 2 0
x y z t
x y z
x y z t
x y z t
+ + + =
− + + =

− − − = −
 − + + =
 
 
4.5 . Equivalência de matrizes 
 
Dadas as matrizes A e B , de mesma ordem, diz-se que a matriz B é equivalente à matriz A , e se representa por 
B A∼ , se for possível transformar A em B por meio de uma sucessão finita de operações elementares sobre as 
linhas de A . 
 
 5
A matriz 
1 3 5
0 0 2
0 4 12
 
 
 
  
 é equivalente à matriz 
1 0 4
0 1 3
0 0 2
− 
 
 
  
 pois, usando uma sequência de operações elementares 
nas linhas da 1a matiz foi possível transforma-la na 2a matriz, conforme abaixo: 
 
2 223 1 1 2
1 34
1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 0 4
0 0 2 0 4 12 0 1 3 0 1 3
0 4 12 0 0 2 0 0 2 0 0 2
L LL L L L= = −
−       
       → → →       
              
 
 
4.6 . Matriz na forma Escalonada 
 
Uma matriz está na forma escalonada quando o número de zeros que precede o primeiro elemento não nulo de uma 
linha, aumenta linha a linha. As linhas nulas, se existirem, aparecem abaixo das não nulas. 
 
Exemplo: 
 
2 4 1
0 1 2
0 0 0
 
 − 
  
 
1 0 1
0 1 5
0 0 4
 
 
 
  
 
1 1 2 1
0 0 1 3
0 0 0 0
 
 
 
  
 
0 2 0 1 1 3
0 0 1 1 2 2
0 0 0 0 4 0
0 0 0 0 0 5
− 
 − 
 
 
 
 
 
O primeiro elemento não nulo de cada linha é chamado de pivô. Quando o pivô de cada linha é igual a 1 e, os demais 
elementos da coluna do pivô são todos iguais a zero, diz-se que a matriz está na forma escalonada reduzida. 
 
Exemplo: 
 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 
 
  
 
1 2 0 0 3 1 0
0 0 1 0 4 1 0
0 0 0 1 3 2 0
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0
− 
 − 
 −
 
 
  
 
 
Dada uma matriz qualquer, é possível obter uma matriz escalonada (ou escalonada reduzida), equivalente por linhas à 
matriz original, através da aplicação de operações elementares. A esse processo dá-se o nome de escalonamento. 
 
Exemplo: 
 
Mayara Marangoni
Pencil
Mayara Marangoni
Pencil
Mayara Marangoni
Pencil
Mayara Marangoni
Pencil
Mayara Marangoni
Note
FORMA ESCALONADA REDUZIDA:nullnullnullnullpivo= 1 nullnullnullnullcoluna do pivo só com zeros 
 6
2 2 1 3 3 1 3 3 2( 4) ( 7) ( 2)
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 5 6 0 3 6 0 3 6 0 3 6
7 8 9 7 8 9 0 6 12 0 0 0
L L L L L L L L L= + − = + − = + −
       
       → − − → − − → − −       
       − −       
 
A escolhadas operações em um escalonamento não é única, levando à matrizes escalonadas diferentes. Contudo, a 
matriz escalonada reduzida é única. 
 
4.7 . Sistemas Equivalentes 
 
Dois sistemas lineares 1 2 e S S são equivalentes, se toda solução de 1S for solução de 2S e toda solução de 2S for 
solução de 1S . 
Exemplo: 1
2 3
2 1
x y
S
x y
+ =
= 
+ =
 2
2 3
3 5
x y
S
y
+ =
= 
− = −
 
 
1 2 e S S são equivalentes pois ambos admitem como solução 
1 5
, 
3 3
 − 
 
. 
 
Já que sistemas equivalentes têm as mesmas soluções (ou ambos não têm nenhuma), podemos resolver um sistemas de 
equações lineares pela transformação de um sistema qualquer em outro equivalente, mas na forma escalonada. Isto 
porque sistemas na forma escalonada são fáceis de serem resolvidos. 
 
4.8 . Resolução de Sistemas Lineares – Método de Eliminação de Gauss 
 
Quando a redução por linhas é aplicada à matriz completa de um sistema de equações lineares, criamos um sistema 
equivalente que pode ser resolvido por substituição de trás para a frente. Esse processo é conhecido como método de 
eliminação de Gauss, ou método de eliminação gaussiana. 
 
A aplicação desse método é feita da seguinte forma: 
 
1. Escreva a matriz completa do sistema de equações lineares; 
2. Use operações elementares nas linhas para reduzir a matriz completa à forma escalonada por linhas; 
3. Usando substituição de trás para a frente, resolva o sistema equivalente que corresponde à matriz linha-
reduzida. 
 
 
 
 
 
 7
Exemplo: 
 
 
2
3 3 2 16
2 9
x y z
x y z
x y z
− − =

− + =
 − + =
 
 
2 2 1 3 3 1 233 2
1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
3 3 2 16 0 0 5 10 0 0 5 10 0 1 3 5
2 1 1 9 2 1 1 9 0 1 3 5 0 0 5 10
L L L L L L L= − = −
− − − − − − − −       
       − → → →       
       − −       
 
Após o escalonamento da matriz, nosso sistema ficou: 
 
 
2 (3)
3 5 (2)
5 10 (1)
x y z
y z
z
− − =

+ =
 =
 
 
Dessa forma podemos resolver o sistema pelo procedimento de substituição de trás para frente. Temos: 
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
em 1 : 2 10 2
em 2 : y 3 2 5 5 6 1
em 3 : 1 2 2 3
z z
y y
x x
= ⇒ =
+ = ⇒ = − ⇒ = −
− − − = ⇒ =
 Solução: { }3, 1, 2− 
 
No sistema do exemplo acima, o número de equações é igual ao número de incógnitas, apresentando uma única solução, 
ou seja, o sistema é possível e determinado. Contudo, pode ocorrer de termos um sistema em que o número de 
equações (m) é menor que o número de incógnitas (n). 
 
Na resolução desse sistema, transpomos as incógnitas que não aparecem no começo de nenhuma das equações do 
sistema escalonado (chamadas variáveis livres) para o segundo membro da igualdade. O novo sistema assim obtido 
pode ser visto como um sistema contendo apenas as incógnitas do primeiro membro das equações. Neste caso, 
atribuindo valores a cada uma das incógnitas do segundo membro, teremos um sistema determinado; resolvendo-o, 
obteremos uma solução do sistema. Se atribuirmos outros valores às incógnitas do segundo membro, teremos outro 
sistema, também determinado; resolvendo-o, obteremos outra solução do sistema. Como esse procedimento, de atribuir 
valores às incógnitas do segundo membro pode se estender indefinidamente, segue-se que podemos extrair do sistema 
original, um número infinito de soluções. Assim, temos um sistema possível e indeterminado. 
 
 
 
 
 
 8
Exemplo: 
 
1) 
4
2
x y z
y z
− + =

− =
 
 
A variável z é uma variável livre (não aparece no começo de nenhuma equação). Transpondo z para o segundo 
membro das equações teremos o sistema: 
 
4
2
x y z
y z
− = −

= +
 
 
Fazendo z α= (onde α é um número real qualquer) teremos: 
 
( )
( )
4 2
2 1
x y
y
α
α
 − = − ⇒

= + ⇒
 
 
O sistema é agora determinado, para cada valor de α . Para resolvê-lo, substituímos o valor de y da equação (1) em 
(2) : 
 
( )2 4 2 4 6x x xα α α α− + = − ⇒ − − = − ⇒ = 
 
Portanto, as soluções do sistema são as triplas ordenadas do tipo ( )6, 2 , α α+ onde α ∈ℝ . Eis algumas: 
( )
( )
( )
( )
1 6, 3, 1
7 6, -5, -7
0 6, 2, 0
51 16, , 2 2 2
α
α
α
α
= →
= − →
= →
= →
 
 
2) 
0
3 2 4
x y z t
z t
+ − − =

+ =
 
 
As variáveis livres são e y t ; transpondo-as para o segundo membro das equações teremos o sistema: 
 
3 4 2
x z y t
z t
− = − +

= −
 Fazendo ( ) e e y tα β α β= = ∈ℝ teremos: 
 9
( )
( )
2
3 4 2 1
x z
z
α β
β
 − = − + ⇒

= − ⇒
 
 
O sistema é agora determinado, para cada valor de α e de β . Resolvendo: 
 
( )
( )
4 2
1
3
4 2
2
3
4 2 3 4
3 3
z
em x
x x
β
β
α β
β α β
α β
−
⇒ =
−
⇒ − = − +
− − + +
= − + ⇒ =
 
 
Portanto, as soluções do sistema são as quádruplas ordenadas do tipo 
3 4 4 - 2
, , , 
3 3
α β β
α β
− + + 
 
 
 onde 
 e α β ∈ℝ . Eis algumas: 
 
( )
( )
( )
4 40 e 0 , 0, , 03 3
1 e 2 1, 1, 0, 2
10 -21 e 3 , -1, , 33 3
α β
α β
α β
= = →
= = →
= − = →
 
 
Os dois sistemas acima são possíveis e indeterminados. Vejamos agora um exemplo de sistema impossível: 
 
2 1
2 3 4
3 3 2 2
x y z
x y z
x y z
+ + =

+ − =
 + − =
 
 
22 2 1 3 3 2
3 3 1
12 33
3
1 2 1 1 1 2 1 11 2 1 1 1 2 1 1
5 52 22 1 3 4 0 3 5 2 0 1 0 13 3 3 3
3 3 2 2 0 3 5 1 0 3 5 1 0 0 0 3
LL L L L L L
L L L
−= − = +
= −
      
       − −− → − − → →      
      − − − −    − − − −   
 
Após o escalonamento da matriz, nosso sistema ficou: 
 
 
2 1
5 20 3 3
0 0 0 3
x y z
x y z
x y z
+ + =
 −+ + =

+ + = −
 A última equação gera uma inconsistência, caracterizando o sistema como 
impossível. 
 10
 
Chama-se posto de uma matriz A , representado por p , o número de linhas não nulas em uma matriz escalonada. 
 
 
 
Um sistema linear de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se, o posto da matriz aumentada 
escalonada ( )p for igual ao posto da matriz dos coeficientes ( )q . Assim: 
 
 Se p q n= = → o sistema é possível e determinado (SPD) 
 Se p q n= < → o sistema é possível e indeterminado (SPI) 
Se p q≠ → o sistema é impossível (SI) 
 
O número de variáveis livres de um sistema de n variáveis é determinado por: n q− 
 
4.9 . Método de Eliminação de Gauss-Jordan 
 
Esse método é uma modificação do método de eliminação de Gauss e baseia-se em reduzir ainda mais a matriz 
completa do sistema, levando-a a forma escalonada reduzida. Assim, o método é aplicado da seguinte forma: 
 
1. Escreva a matriz completa do sistema de equações lineares; 
2. Use operações elementares nas linhas para reduzir a matriz completa à forma escalonada reduzida; 
3. Se o sistema resultante for possível, resolva-o para as variáveis dependentes em termos de quaisquer variáveis 
livres que tenham sobrado. 
 
Exercício 2: 
Escalonar, resolver e classificar os sistemas abaixo. 
 
a) 
2 1
2
2 2
x y z
x y z
x y z
− − =

− + + =
 − + = −
 b) 
3 2 2
3 5 4 4
5 3 4 10
x y z
x y z
x y z
+ + =

+ + =
 + + = −
 
1
3 2 2
2 3 2 1
x y z t
x y z t
x y z t
+ − + =

− − + =
− − + + = −
 
d) 
1
1
2 2
2 1
x y z t
x y z t
y z t
x z t
+ + + =
 − + + = −

− + =
 + − = −
 e) 
2 3 5
2 5 2 3
3 2
x y z
x y z
x y z
− − =

− + + =
− + − =
 f) 
5 2 3 2
3 4 1
4 3 3
x y z
x y z
x y z
− + =

+ + = −
 − + =
 
g) 
3 5 2 26
7 16
5 3 14
x y z
x y z
x y z
+ + =

− + = −
 − + =
 
 
 11
4.10 . Sistemas Homogêneos 
 
Um sistema de equações lineares é chamado de homogêneo se o termo independente em cada equação for igual a zero. 
 
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
1 1 2 2 3 3
0
0
0
0
n n
n n
n n
m m m mn n
a x a x a x a x
a x a x a x a x
a x a x a x a x
a x a x a x a x
+ + + + =
 + + + + =
+ + + + =


+ + + + =
⋯
⋯
⋯
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⋯
 
 
A matriz dos termos independentes é a matriznula. Assim, um sistema homogêneo é sempre possível, já que admite a 
solução trivial { }0,0,0, ,0S = … . 
 
A solução trivial é a única solução de um sistema homogêneo determinado e uma das soluções de um sistema 
homogêneo indeterminado. 
 
Exemplo: 
 
1) Seja o sistema 
0
2 0
2 0
x y z
x y z
x y z
+ − =

− + =
 + − =
. 
 
A matriz ampliada é: 
1 1 1 0
2 1 1 0
1 2 1 0
− 
 − 
 − 
 e a matriz escalonada é: 
1 1 1 0
0 1 0 0
0 0 3 0
− 
 
 
  
. 
 
Como podemos observar, 3p q n= = = . O sistema é possível e determinado. 
 
O sistema equivalente é: 
0
0
3 0
x y z
y
z
+ − =

=
 =
 Esse sistema só admite a solução trivial. 
 
2) Seja o sistema 
0
2 2 0
2 3 0
6 3 6 0
x y z
x y z
x y z
x y z
+ + =
 − − =

− − =
 − − =
. 
 
 
 12
A matriz ampliada é: 
1 1 1 0
2 1 2 0
1 2 3 0
6 3 6 0
 
 − − 
 − −
 
− − 
 e a matriz escalonada é: 
1 1 1 0
40 1 03
0 0 0 0
0 0 0 0
 
 
 
 
 
  
. 
 
Como podemos observar, 2 3p q n= = < = . O sistema é possível e indeterminado. 
 
O sistema equivalente é: 
0
4 03
0 0
x y z
y z
z
+ + =

+ =

=
. A variável z é a variável livre e a solução do sistema é: 
 
 
1 4
, , ,
3 3
S α α α α = − ∈ 
 
ℝ 
 
Exercício 3: 
 
Resolver os sistemas: 
 
a) 
3 2 0
2 0
2 4 6 0
x y z
x y z
x y z
− − =

− + + =
 + + =
 b) 
2 3 0
4 0
3 2 0
x y z
x y z
x y z
+ − =

− + =
 + − =
 
 
c) 
2 0
2 3 0
4 3 0
x y z
x y z
x y z
+ − =

− + =
 + + =
 d) 
5 4 2 0
8 2 0
2 0
x y z
x y z
x y z
+ − =

+ + =
 + − =
 
 
4.11 – Discussão de Sistemas Lineares 
 
Seja o sistema linear 
1
1
kx y
x ky
+ =

+ = −
. Vamos verificar como se classifica o sistema, de acordo com os valores 
assumidos pelo parâmetro k . 
 
Inicialmente, vamos calcular o determinante da matriz de coeficientes do sistema. 
 
 
 
 13
21 1
1
k
k
k
= − . Igualando o determinante a zero, temos: 2 1 0 1k k− = ⇒ = ± . 
 
Dessa forma, concluímos que: para 1k ≠ − e 1k ≠ o determinante da matiz incompleta será diferente de zero. Logo 
o sistema será possível e determinado. 
 
Vamos agora avaliar como se comporta o sistema no caso de 1k = ou 1k = − . 
 
Iniciamos montando a matriz completa do sistema para 1k = e escalonamos a matriz. 
 
2 2 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 0 2
L L L= −→
− −
 
 
Verificamos então que a segunda equação do sistema 0 0 2x y+ = − é impossível. Logo, neste caso, o sistema é 
impossível. 
 
Montando agora a matriz completa do sistema para 1k = − e escalonando a matriz. 
 
2 2 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 0 0
L L L= +− −→
− −
 
 
Verificamos então que a segunda equação do sistema 0 0 0x y+ = pode ser suprimida, ficando o sistema reduzido a 
uma equação com duas incógnitas. Neste caso, o sistema é possível e indeterminado. 
 
Em resumo, temos: 
1 e 1 SPD
1 SI
1 SPI
k k
k
k
≠ ≠ − ⇒
= ⇒
= − ⇒
 
 
Vejamos outro exemplo. Discutir o sistema abaixo em função dos parâmetros a e b . 
 
2 3
4 10
x y b
x ay
+ =

+ =
 Inicialmente, vamos calcular o determinante da matriz de coeficientes do sistema, igualando-
o a zero. 
 
2 3
2 12 0 6
4
a a
a
= − = ∴ = . 
 
Substituindo 6a = no sistema e escalonando a matriz completa, temos: 
 14
 
2 2 12
2 3 2 3
4 6 10 0 0 10 2
L L Lb b
b
= −→
−
 10 2 0 5b b− = ∴ = 
 
Então: 
6, SPD
6, 5 SPI
6, 5 SI
a b
a b
a b
≠ ∀ ⇒
= = ⇒
= ≠ ⇒
 
 
Exercício 4: 
 
1) Discutir os sistemas lineares abaixo. 
 
a) 
2
2 4
x y
mx y
+ =

+ =
 b) 
2 1a x y
x y a
 + =

+ =
 
 
c) 
1
2 4
4 3 6 2
x y mz
x my z m
x y z m
+ + =

+ + =
 + + =
 d) 
1
2 3 2
2
x y mz
x y z
x y z m
+ + =

+ + =
 − + =
 
 
2) Calcule a e b de modo que o sistema 
9 12
6 4
x ay
x y b
+ =

+ =
 seja indeterminado. 
 
3) Para que valores de k o sistema 
2( 1) 1
( 3) 2 1
k x y
k x y
 + + =

+ + =
 admite apenas uma solução? 
 
4) Dê a condição para que o sistema 
3 2
3
x ay
x y b
+ =

+ =
 não tenha solução. 
 
4.12 – Resposta dos exercícios 
 
Exercício 1: 
 
a) 
1
2, 
2
 − 
 
 b) 
3 4
, 
5 5
 − 
 
 c) ( )1, 1, 1− d) ( )2, 3, 0− 
e) 
1 11
4, , , 2
2 2
 − 
 
 f) ( )0, 0, 2, -1 
 
 15
Exercício 2: 
 
a) ( )-11, -6, -3 sistema possível e determinado b) sistema impossível 
c) 
6 14 2 7 1 14
, , , 
7 7 7
α α α
α
− − − 
 
 
 sistema possível e indeterminado 
d) 
1 1 2
, 1, , 
5 5 5
 − − 
 
 sistema possível e determinado e) sistema impossível 
f) ( ), 1, , α α α− − − sistema possível e indeterminado g) ( )1, 3, 4 sistema possível e determinado 
 
Exercício 3: 
 
a) ( ), , α α α− − b) ( )0, 0, 0 c) ( ), , α α α− d) ( )2 , 3 , 3α α α 
 
Exercício 4: 
 
1) a) 
2
2
m SPD
m SPI
≠ ⇒
= ⇒
 b) 
1
1
1
a SPD
a SPI
a SI
≠ ± ⇒
= ⇒
= − ⇒
 c) 
1 e 2
1
2
m m SPD
m SI
m SPI
≠ ≠ ⇒
= ⇒
= ⇒
 d) 
2
2
m SPD
m SI
≠ ⇒
= ⇒
 
 
2) 6, 8a b= = 3) 
1
 e 1
2
k k≠ − ≠ 4) 
2
9,
3
a b= ≠