Raciocínio lógico FURG

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DIGITAÇÕES E CONCURSOS 
 
 
Pesquisas realizadas pela equipe da Digitações e Concursos 
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RACIOCÍNO LÓGICO 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Nesta parte da matemática estudaremos as 
diversas possibilidades da ocorrência de um 
evento, como por exemplo, de quantas 
maneiras distintas pode uma pessoa subir 
até o último andar de um prédio havendo 
três portas de entrada e mais quatro 
elevadores? Ou mesmo, quantos números 
de três algarismos distintos há em nosso 
sistema de numeração decimal? 
Para responder a essas duas perguntas 
estudaremos o primeiro assunto da Análise 
Combinatória: 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA 
CONTAGEM 
Vamos descobrir de quantas maneiras 
distintas pode um homem (H), subir até o 
apartamento de sua mulher (M) que mora no 
último andar de um prédio. Sabe-se este 
prédio possui três portas de entrada e após, 
quatro elevadores para subir até o andar 
desejado. 
Observe todas as possibilidades 
relacionadas: 
 
H 
Porta1 
Porta2 
Porta3 
M 
Elevador
1 
Elevador
2 
Elevador
3 
Elevador
4 
 
 
Observamos que para cada porta de entrada 
há quatro elevadores de acesso ao andar 
destinado, e portanto se temos três portas 
de entrada obteremos então 4 + 4 + 4 = 12 
formas distintas de subir até M, o que seria 
mais fácil efetuar 3 ´ 4 = 12 possibilidades. 
 
O Princípio Fundamental da Contagem nos 
diz exatamente isso: 
 
Se um acontecimento pode ocorrer por 
várias etapas sucessivas e independentes, 
de tal modo que: 
 
p1 é o número de possibilidades da 1ª etapa 
p2 é o número de possibilidades da 2ª etapa 
p3 é o número de possibilidades da 3ª etapa 
... 
pk é o número de possibilidades da k-ésima 
etapa, então: p1.p2.p3 ... .pk é o número de 
possibilidades de o acontecimento ocorrer. 
 
No nosso caso tínhamos duas etapas, a 
entrada por uma das portas e a subida por 
um dos quatro elevadores e, portanto 12 
maneiras distintas de H chegar até M. 
 
Exercícios Resolvidos 
 
R1) Quatro carros (c1, c2, c3 e c4) disputam 
uma corrida. Quantas são as possibilidades 
de chegada para os três primeiros lugares? 
 
Resolução: 
Para separarmos as etapas possíveis 
utilizaremos os três retângulos abaixo: 
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 1º Lugar 2º Lugar 3º Lugar 
 
 
O primeiro retângulo para o primeiro lugar, o 
segundo para o segundo lugar e o terceiro 
para o terceiro lugar. Temos, portanto, 4 
possibilidades para o primeiro lugar, 3 
possibilidades para o segundo lugar e 2 
possibilidades para o terceiro lugar, logo o 
número de possibilidades de chegada para 
os três primeiros lugares é 4 ´ 3 ´ 2 = 24. 
 
R2) Calcule quantos números de quatro 
algarismos distintos podemos formar usando 
os algarismos: 
 
a) 1, 2, 3, 4, 5 e 6 
 
b) 0, 1, 2, 3, 4 e 5 
 
Resolução: 
 
a) Aplicando o princípio fundamental da 
contagem temos o esquema abaixo e, 
portanto podemos formar 360 números. 
 
6 5 4 3 = 360 
 
b) Temos o mesmo esquema, com a 
ressalva de que para o algarismo da 
unidade de milhar temos 5 possibilidades e 
não 6, como no item anterior, uma vez que o 
zero no início não é contado como 
algarismo, para a centena temos 5 
possibilidades também, pois o zero poderá 
ocupar esta "casa". 
 
 
5 5 4 3 = 300 
 
R2) Calcule quantos números ímpares de 
três algarismos distintos podemos formar 
usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 
9. 
Resolução: 
Para sabermos se um número é ímpar ou 
não, devemos olhar para o último algarismo 
onde devemos ter um algarismo ímpar, 
então constatamos que há 5 terminações 
possíveis (1, 3, 5, 7 e 9): 
 
 
8 7 5 = 280 
 
Logo, podemos formar 280 números 
ímpares. 
 
R3) Para pintarmos uma bandeira com 5 
listras verticais dispomos de 4 cores 
diferentes de tinta. De quantas formas 
distintas podemos pintar a bandeira de 
modo que duas listras vizinhas nunca sejam 
pintadas com a mesma cor? 
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Resolução: 
Observe o desenho da bandeira com 5 
listras verticais e aplicando o P.F.C., 
obtemos: 
 
 
4 3 3 3 3 = 972 
 
 
ARRANJOS SIMPLES 
 
Todo problema de contagem pode, pelo 
menos ser resolvido pelo Princípio 
Fundamental da Contagem e, no entanto 
podemos ainda utilizar a técnica dos 
agrupamentos para a resolução dos 
mesmos. 
 
Obs.: Consideramos os agrupamentos 
(arranjos, permutações e combinações) 
simples, isto é, formados apenas por 
elementos distintos. 
FÓRMULA: p)!(n
n!
A pn,
 
 
Exercícios Resolvidos 
R4) Obtenha o valor de A5,2 (Arranjo de 5 
elementos tomados 2 a 2). 
 
Resolução: 
 
2)!(5
5!
A5,2 = 
3!
5!
= 
3!
3!45
 = 20 
 
R5) Quantos números com 2 algarismos 
distintos podemos formar utilizando os 
elementos do conjunto {1, 2 ,3 , 4, 5}? 
Resolução: 
Utilizando o P.F.C. obtemos: 
 
5 4 = 20 
 
Podemos ainda utilizar o Arranjo para a 
resolução deste problema: 
 
2)!(5
5!
A5,2 = 
3!
5!
= 
3!
3!45
 = 20 
 
R6) A senha de um cartão eletrônico é 
formada por duas letras distintas escolhidas 
de um alfabeto com 26 letras, seguidas de 
uma seqüência de três algarismos distintos. 
Quantas senhas poderiam ser 
confeccionadas, nestas condições? 
Resolução: 
Por Arranjo: 
Escolhendo duas letras de um total de 26 
letras e como importa a ordem dos 
elementos da escolha faremos A26,2. 
Analogamente para a escolha dos três 
algarismos temos A10,3: 
 
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A26,2 A10,3 = 468 000 
 
Pelo P.F.C.: 
 
 26 25 10 9 = 468 000 8 
Letras 
Distintas 
Algarismos 
Distintos 
 
EXERCÍCIOS 
 
01- De a negação das seguintes 
proposições: 
a) O flamengo não é um bom time. 
b) Os cariocas são chatos e os baianos são 
preguiçosos. 
c) As morenas não são convencidas ou os 
brancos são almofadinhas. 
d) Se for flamenguista, então é cardíaco. 
e) Eu estudo e aprendo 
f) O Brasil é um país ou a Bahia é um 
estado. 
g) Se eu estudo, então eu aprendo. 
 
02- A negação da afirmação condicional “se 
estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” 
é: 
a) Se não estiver chovendo, eu levo o 
guarda-chuva 
b) Não está chovendo e eu levo o guarda-
chuva 
c) Não está chovendo e eu não levo o 
guarda-chuva 
d) Se estiver chovendo, eu não levo o 
guarda-chuva 
e) Está chovendo e eu não levo o guarda-
chuva 
 
03- A negação de “não sabe matemática ou 
sabe português” é: 
a) Não sabe matemática e sabe português. 
b) Não sabe matemática e não sabe 
português. 
c) Sabe matemática ou sabe português. 
d) Sabe matemática e não sabe português. 
e) Sabe matemática ou não sabe português. 
 
04- (ESAF – Analista – TCU) Dizer que não 
é verdade que Pedro é pobre e Alberto é 
alto, é logicamente equivalente a dizer que é 
verdade que: 
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto 
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto 
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto 
d) Se Pedro não é pobre, então Alberto é 
alto 
e) Se Pedro não é pobre, então Alberto não 
é alto 
 
05- Assinale a opção que corresponde 
logicamente a qp~ . 
a) ~q~p b) ~q~p c) q~p 
d) q~p e) qp 
 
06- A negação de “se hoje chove então fico 
em casa” é: 
a) Hoje não chove e fico em casa. 
b) Hoje chove e não fico em casa. 
c) Hoje chove ou não fico em casa. 
d) Hoje não chove ou fico em casa. 
e) Se hoje chove então não fico em casa. 
 
07- Sejam p e q proposições simples e ~p 
e ~q , respectivamente, as suas negações. 
Os conectivos e e ou são representados, 
respectivamente, por e . A negação da 
proposição composta ~qp é 
a) q~p b) ~q~p c) ~qp 
d) q~p e) ~q~p 
 
08- (ESAF – CGU/2008) Mariafoi informada 
por João que Ana é prima de Beatriz e 
Carina é prima de Denise. Como Maria sabe 
que João sempre mente, Maria tem certeza 
que a afirmação é falsa. Desse modo, e do 
ponto de vista lógico, Maria pode concluir 
que é verdade que: 
a) Ana é prima de Beatriz ou Carina não é 
prima de Denise. 
b) Ana não é prima de Beatriz e Carina não 
é prima de Denise. 
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c) Ana não é prima de Beatriz ou Carina não 
é prima de Denise. 
d) se Ana não é prima de Beatriz, então 
Carina é prima de Denise. 
e) se Ana não é prima de Beatriz, então 
Carina não é prima de Denise. 
 
09- A negação de “O gato mia e o rato chia” 
é: 
a) O gato não mia e o rato não chia 
b) O gato mia ou o rato chia 
c) O gato não mia ou o rato não chia 
d) O gato e o rato não chiam nem miam 
e) O gato chia e o rato não mia 
 
10- (ESAF – SEFAZ/2009) A negação de: 
Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital 
da Inglaterra é: 
a) Milão não é a capital da Itália e Paris não 
é a capital da Inglaterra. 
b) Paris não é a capital da Inglaterra. 
c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não 
é a capital da Inglaterra. 
d) Milão não é a capital da Itália. 
e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a 
capital da Inglaterra. 
 
11- (Cespe – DP/PMDF – 2009) Julgue os 
itens que se seguem, acerca de proposições 
e seus valores lógicos. 
1º- A negação da proposição “O concurso 
será regido por este edital e executado pelo 
CESPE/UnB” estará corretamente 
simbolizada na forma BA , isto é, “O 
concurso não será regido por este edital 
nem será executado pelo CESPE/UnB”. 
2º- A proposição BABA é uma 
tautologia. 
 
12- (Cespe – SEDUC/CE – 2009) A 
negação da proposição “A prova será 
aplicada no local previsto ou o seu horário 
de aplicação será alterado.” pode ser escrita 
como 
a) A prova não será aplicada no local 
previsto ou o seu horário de aplicação não 
será alterado. 
b) A prova não será aplicada no local 
previsto ou o seu horário de aplicação será 
alterado. 
c) A prova será aplicada no local previsto 
mas o seu horário de aplicação não será 
alterado. 
d) A prova não será aplicada no local 
previsto e o seu horário de aplicação não 
será alterado. 
 
13- (FCC – TRT - 2008) A negação da 
sentença “A Terra é chata e a Lua é um 
planeta.” é: 
a) Se a Terra é chata, então a Lua não é um 
planeta. 
b) Se a Lua não é um planeta, então a Terra 
não é chata. 
c) A Terra não é chata e a Lua não é um 
planeta. 
d) A Terra não é chata ou a Lua é um 
planeta. 
e) A Terra não é chata se a Lua não é um 
planeta. 
 
GABARITO 
01- 
a) O flamengo é um bom time. 
b) Os cariocas não são chatos ou os 
baianos não são preguiçosos. 
c) As morenas são convencidas e os 
brancos não são almofadinhas. 
d) É flamenguista e não é cardíaco. 
e) Eu não estudo ou não aprendo 
f) O Brasil não é um país e a Bahia não é 
um estado. 
g) Eu estudo e não aprendo. 
02- E 
03- D 
04- A 
05- A 
06- B 
07- D 
08- C 
09- C 
10- A 
11- Errado, Certo 
12- D 
13- A 
 
PERMUTAÇÃO 
Permutar significa mudar, toda vez que você 
se deparar com um exercício onde apenas 
trocando (ou mudando) os elementos de 
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posição sem mesmo acrescentar ou retirá-
los, você obterá novas respostas então você 
poderá usar a permutação para a resolução 
do exercício em questão. 
Exemplo: Quantos números de quatro 
algarismos distintos podemos formar 
utilizando os elementos do conjunto {2, 5, 6, 
9}? 
Um número que podemos formar seria o 
2569 (dois mil quinhentos e sessenta e 
nove), trocando o 5 (cinco) com o 6 (seis), 
obteremos o 2659 (dois mil seiscentos e 
cinqüenta e nove), são dois números 
diferentes e utilizamos para a formação dos 
mesmos todos os algarismos do conjunto, 
não tendo que acrescentar, retirar ou 
mesmo repetir. 
 
Vamos, então, descobrir quantos números 
de quatro algarismos distintos podemos 
formar utilizando os elementos do conjunto, 
e para tanto faremos uso do princípio 
fundamental da contagem: 
 
 
4 3 2 1 = 24 
 
Observe que "4 . 3 . 2 . 1" é o mesmo que 
4!, e, portanto para chegarmos na resposta, 
bastava contar a quantidade de elementos e 
utilizar a permutação simples, que no caso 
seria a P4 = 4! 
Definição: "Seja A um conjunto com n 
elementos. Os arranjos simples dos n 
tomados n a n dos elementos de A, são 
chamados permutações simples de n 
elementos." 
Pn = n! 
Exercícios Resolvidos 
R7) Quantos são os anagramas da palavra 
BRASIL? 
Resolução: 
Um possível anagrama da palavra BRASIL 
seria BRLSIA, onde trocamos as posições 
da letra L e letra A. Portanto nos deparamos 
com um problema de troca de elementos, ou 
seja, um problema de Permutação. 
Observe que não há repetições de letras e 
temos 6 letras para serem permutadas, logo: 
P6 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 
Temos portanto, 720 anagramas da palavra 
BRASIL. 
R8) Quantos são os anagramas da palavra 
BRASIL que começam com a letra B? 
Resolução: 
Como devemos descobrir quantos 
anagramas começam com a letra B, 
fixaremos a letra B no início e permutaremos 
o restante das letras, logo: 
 B ___ ___ ___ ___ ___ 
P5 = 5! = 120 
 
R9) Cinco pessoas, entre elas Fred e 
Fabiano, vão posar para uma fotografia. De 
quantas maneiras elas podem ser dispostas 
se Fred e Fabiano recusam-se a ficar lado a 
lado? 
Resolução: 
Sem levar em conta a restrição, o número 
total de possibilidades é P5 = 5! = 120. 
Determinaremos agora, o número de 
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possibilidades que Fred e Fabiano 
aparecem juntos, considerando que os dois 
sejam uma só pessoa que irá permutar com 
as três restantes, num total de P4 = 4! = 24. 
Porém, em cada uma das possibilidades 
acima Fred e Fabiano podem trocar de lugar 
entre si, num total de P2 = 2 maneiras. 
Dessa forma, 2 ´ 24 = 48 é o número de 
maneiras que eles aparecem juntos. 
Logo, a diferença 120 - 48 = 72 nos dá o 
número de situações em que Fred e Fabiano 
não aparecem lado a lado. 
Exercícios de permutação 
 
01- Considere todos os anagramas distintos 
da palavra LIVRO: 
a) Quantos são no total? 
b) Quantos começam com R? 
c) Quantos começam com consoante? 
d) Quantos têm as vogais juntas? 
 
02- Com as letras da palavra PROVA podem 
ser escritos x anagramas que começam por 
vogal e y anagramas que começam e 
terminam por consoante. Os valores de x e y 
são respectivamente: 
a) 48 e 36 b) 48 e 72. c) 72 e 36. 
d) 24 e 36. e) 72 e 24. 
 
03- Um estudante tem cinco livros para 
arrumar uma estante: dois dicionários, uma 
gramática, um livro de exercícios e um 
romance. De quantos modos poderá fazê-lo, 
mantendo os dicionários sempre juntos? 
a) 24 c) 720 e) 120 b) 26 d) 48 
 
04- O número de filas diferentes que podem 
ser formadas com 2 homens e 3 mulheres, 
de modo que os homens não fiquem juntos 
é: 
a) 96 b) 72 c) 48 d) 84 e) 120 
 
05- Quantos anagramas da palavra 
SUCESSO começam por S e terminam em 
O? 
 
06- Seis pessoas, entre elas João e Pedro, 
vão ao cinema. Existem seis lugares vagos, 
alinhados e consecutivos. O número de 
maneiras distintas como as seis pessoas 
podem sentar-se sem que João e Pedro 
fiquem juntos é: 
a) 720 b) 600 c) 480 
d) 240 e) 120 
 
07- Um clube resolve fazer uma Semana de 
Cinema. Para isso, os organizadores 
escolhem sete filmes, que serão exibidos um 
por dia. Porém, ao elaborar a programação, 
eles decidem que três desses filmes, que 
são de ficção científica, devem ser exibidos 
em dias consecutivos. Nesse caso, o 
número de maneiras DIFERENTES de se 
fazer à programação dessa semana é: 
a) 144 b) 576 c) 720 d) 
1040 
 
08- Chico, Caio e Caco vão ao teatrocom 
suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-
se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O 
número de maneiras pelas quais eles podem 
distribuir-se nos assentos de modo que 
Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao 
lado do outro, é igual a: 
a) 16 b) 24 c) 32 
d) 46 e) 48 
Gabarito dos exercícios de permutação. 
01- a) 12 b) 24 c) 72 d) 48 
02- A 
03- D 
04- B 
05- 60 
06- C 
07- C 
08- E 
 
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÕES 
Exemplo: Qual o número de anagramas da 
palavra PANTERA? 
Resolução: 
Um possível anagrama da palavra 
PANTERA é PANTERA... 
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Como temos dois "A(s)" ao permutarmos os 
dois temos um mesmo anagrama, portanto 
devemos levar isso em consideração. 
Cálculo da Permutação com Elementos 
Repetidos: 
...c!b!a!
n!c,...b,a,
nP
 
onde: 
a, 
dos elementos. 
permutados. 
No caso da palavra PANTERA teremos: 
 
!2
!7
P27 = 
2!
2!7.6.5.4.3.
= 2 520 
 
Exercício Resolvido 
 
R9) Qual o número de anagramas da palavra 
MATEMÁTICA? 
Resolução: 
A palavra MATEMÁTICA possui dois "M(s)", 
dois "T(s)" e três "A(s)", então: 
 
 
!3!2!2
!10
P 3,2,2
10 = 3!22
3!45678910
= 151 200 
 
COMBINAÇÃO SIMPLES 
Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 
com os elementos desse conjunto podemos 
formas números de três algarismos distintos 
ou mesmo subconjuntos de três elementos. 
Exemplos: 
 
Números Subconjuntos 
123 456 {1,2,3} {4,5,6
} 
321 654 {3,2,1} {6,5,4
} 
213 546 {2,1,3} {5,4,6
} 
 
Observe que temos 6 números formados de 
três algarismos distintos, e no entanto, não 
teremos 6 subconjuntos formados e sim, 
apenas 2 subconjuntos, uma vez que a 
ordem dos elementos de um conjunto não 
importará, assim: 
 
{1, 2, 3} = {3, 2, 1} = {2, 1, 3} 
por outro lado teremos 
123 ¹ 321 ¹ 213 
Portanto, 
para encontrarmos a quantidade de 
números formados de três algarismos 
distintos com os elementos do conjunto A, 
basta aplicarmos o P.F.C. 
números. 
por outro lado, para encontrarmos a 
quantidade de subconjuntos formados com 
três elementos utilizaremos a Combinação 
Simples, uma vez que neste caso a ordem 
dos elementos não importará. 
FÓRMULA 
 
p)!(np!
n!
C pn,
 
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"Combinação de n elementos tomados p a 
p" 
No exemplo acima teremos: 
 
)!36(!3
!6
C 3,6 = 
!3!3
!6
 = 
!3123
!3456
 = 20 
 
serão, portanto 20 subconjuntos formados. 
 
Exercícios Resolvidos 
 
R10) Numa classe há 40 alunos. Desejamos 
formar comissões de 3 alunos. 
a) De quantas formas distintas podemos 
eleger uma comissão? 
b) De quantas formas distintas podemos 
eleger uma comissão sendo que ela deve ter 
3 cargos diferenciados: um presidente, um 
secretário e um tesoureiro? 
Resolução: 
a) Como não há cargos diferenciados para 
cada membro da comissão, a ordem dos 
elementos não irá importar, ou seja, uma 
comissão com Gregório, Leandro e 
Alexandre é a mesma que uma outra 
formada por Leandro, Alexandre e Gregório. 
Trata-se, portanto, do cálculo de C40,3: 
 
 
)!340(!3
!40
C 3,40 = 
!37123
!37383940
 = 9 880 
 
Logo, esta comissão pode ser formada de 9 
880 formas distintas. 
b) Neste caso, há cargos diferenciados e a 
ordem dos elementos importará, uma vez 
que se Gregório for o presidente, Alexandre 
o secretário e Leandro o tesoureiro, será 
diferente se trocado Gregório e Leandro, por 
exemplo. 
Trata-se, então, do cálculo de A40,3, ou 
mesmo, da aplicação do P.F.C.: 
 
 
 40 39 38 = 59 280 
Pres. Secr. Tes. 
 
Logo, podemos formar 59280 comissões 
distintas. 
R11) Numa classe de 30 alunos, 18 são 
moças e 12 são rapazes. Quantas 
comissões de 5 alunos podemos formar 
sabendo que na comissão deve haver 3 
moças e 2 rapazes? 
 
Resolução: 
 
Para formar a ala feminina: C18,3 = 816 
Para formar a ala masculina: C12,2 = 66 
Aplicando o P.F.C., o número total de 
comissões será: 816 ´ 66 = 53 856. 
EXERCÍCIOS 
P1) Sabendo que números de telefone não 
começam com 0 e nem com 1, calcule 
quantos diferentes números de telefone 
podem ser formados com 7 algarismos? 
 
P2) Para ir ao clube, Neuci deseja usar uma 
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camiseta, uma saia e um par de tênis. 
Sabendo que ela dispõe de seis camisetas, 
quatro saias e três pares de tênis, de 
quantas maneiras distintas poderá vestir-se? 
 
P3) Uma agência de turismo oferece bilhetes 
aéreos para o trecho São Paulo - Miami 
através de duas companhias: Varig ou Vasp. 
O passageiro pode escolher também entre 
primeira classe, classe executiva e classe 
econômica. De quantas maneiras um 
passageiro pode fazer tal escolha? 
P4) Um jantar constará de três partes: 
entrada, prato principal e sobremesa. De 
quantas maneiras distintas ele poderá ser 
composto, se há como opções oito entradas, 
cinco pratos principais e quatro 
sobremesas? 
P5) Com os algarismos 1, 2, 4, 6, 8 e 9: 
a) quantos números de quatro algarismos 
podemos formar? 
b) quantos números de quatro algarismos 
distintos podemos formar? 
P6) Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6 e 7: 
a) quantos números de quatro algarismos 
distintos começam por 3? 
b) quantos números pares de quatro 
algarismos distintos podemos formar? 
P7) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, 
quantos números ímpares de quatro 
algarismos podemos formar? 
P8) Calcule: 
a) A 9, 3b) A 8, 4 
P9) Resolva a equação A x, 2 = 20. 
P10) Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}. 
Quantos números de dois algarismos 
distintos é possível formar com os 
elementos do conjunto A, de modo que: 
a) a soma dos algarismos seja ímpar? 
b) a soma dos algarismos seja par? 
P11) Determine n sabendo que Pn = 120. 
P12) 
Considere os anagramas formados com as 
letras C, A, S, T, E, L, O: 
a) Quantos são? 
b) Quantos começam por C? 
c) Quantos começam por CAS? 
d) Quantos começam e terminam por vogal? 
e) Quantos começam por vogal e terminam 
por consoante? 
 
P13) Uma estante tem 10 livros distintos, 
sendo cinco de Álgebra, três de Geometria e 
dois de Trigonometria. De quantos modos 
podemos arrumar esses livros na estante, se 
desejamos que os livros de um mesmo 
assunto permaneçam juntos? 
P14) Uma classe de 10 alunos, entre eles 
Mariana e Gabriel, será submetida a uma 
prova oral em que todos os alunos serão 
avaliados. De quantas maneiras o professor 
pode escolher a seqüência dos alunos: 
 
a) se Mariana deve ser sempre a primeira a 
ser chamada e Gabriel sempre o último a 
ser chamado? 
b) se Mariana deve ser, no máximo, a 2ª 
pessoa a ser chamada? (Há dois casos a 
serem considerados.) 
P15) Quantos são os anagramas da palavra 
MACACA? 
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P16) Quantos são, ao todo, os anagramas da 
palavra MATEMÁTICA que começam com 
vogal? (Não levar em consideração o 
acento). 
P17) Um torneio de futebol será disputados 
em duas sedes a serem escolhidas entre 
seis cidades. De quantas maneiras poderá 
ser feita a escolha das duas cidades? 
P18) Quinze alunos de uma classe 
participam de uma prova classificatória parta 
a Olimpíada de Matemática. Se há três 
vagas para a Olimpíada, de quantas formas 
o professor poderá escolher os alunos? 
 
P19) De um baralho de 52 cartas, sorteamos 
sucessivamente, e sem reposição, cinco 
cartas. O sorteio sucessivo e sem reposição 
garante que as cartas sorteadas sejam 
distintas. 
a) Quantas são as possibilidades de sorteio 
das cartas? 
b) De quantas formas essas cartaspodem 
ser sorteadas de modo que o ás de copas 
possa ser sempre incluído? 
P20) Uma junta médica deverá ser formada 
por quatro médicos e dois enfermeiros. De 
quantas maneiras ela poderá ser formada se 
estão disponíveis dez médicos e seis 
enfermeiros? 
P21) Uma classe tem 10 meninos e 12 
meninas. De quantas maneiras poderá ser 
escolhida uma comissão de três meninos e 
quatro meninas, incluindo, obrigatoriamente, 
o melhor aluno e a melhor aluna? 
P22) Considere duas retas paralelas. Marque 
7 pontos distintos numa delas e 4 pontos 
distintos na outra. Determine, em seguida, o 
número total de: 
a) Retas determinadas por estes pontos. 
b) Triângulos com vértices nestes pontos. 
c) Quadriláteros com vértices nestes pontos. 
P23) Uma empresa é formada por 6 sócios 
brasileiros e 4 japoneses. De quantos 
modos podemos formar uma diretoria de 5 
sócios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses? 
GABARITO 
P1) 8 000 000 
P2) 72 
P3) 6 
P4) 160 
P5) a) 1296 b) 360 
P6) a) 60 b) 180 
P7) 882 
P8) a) 504 b) 1 680 
P9) S = {5} 
P10) a) 12 b) 8 
P11) 5 
P12) a) 5 040 b) 720 c) 24 d) 720 e) 1 
440 
P13) 8 640 
P14) a) 8! = 40320 b) 2 . 9! = 725760 
P15) 60 
P16) 75 600 
P17) 15 
P18) 455 
P19) a) C52, 5 b) C51, 4 
P20) 3 150 
P21) 5 940 
P22) a) 30 b) 126 c) 126 
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P23) 120 
 Cálculo Combinatório 
Foi a necessidade de calcular o número de 
possibilidades existentes nos chamados 
jogos de azar que levou ao desenvolvimento 
da Análise Combinatória, parte da 
Matemática que estuda os métodos de 
contagem. Esses estudos foram iniciados já 
no século XVI, pelo matemático italiano 
Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido 
como Tartaglia. Depois vieram os franceses 
Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise 
Pascal(1623-1662). A Análise Combinatória 
visa desenvolver métodos que permitam 
contar, de uma forma indirecta, o número de 
elementos de um conjunto, estando esses 
elementos agrupados sob certas condições. 
 
Factorial 
Seja n um número inteiro não negativo. 
Definimos o factorial de n (indicado pelo 
símbolo n!) como sendo: n! = n .(n-1) . (n-2) 
. ... .4.3.2.1 , para n≥2 
Para n = 0 , teremos : 0! = 1. 
Para n = 1 , teremos : 1! = 1 
Exemplos: 
a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 
b) 4! = 4.3.2.1 = 24 
c) 6! = 6.5.4! 
d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 
e) 10! = 10.9.8.7.6.5! 
f) 10! = 10.9.8! 
 
Princípio fundamental da contagem PFC 
Se determinado acontecimento ocorre em n 
etapas diferentes, e se a primeira etapa 
pode ocorrer de k
1 
maneiras diferentes, a 
segunda de k
2 
maneiras diferentes, e assim 
sucessivamente, então o número total T de 
maneiras de ocorrer o acontecimento é dado 
por: 
T = k
1
. k
2 
. k
3 
. ... . k
n 
 
Exemplo: Sabendo que as matrículas do 
carros portugueses usam 2 letras do 
alfabeto e 4 algarismos, qual o número 
máximo de matrículas com esse formato 
(dígito-dígito-letra-letra-letra-letra) 
Solução: Como o alfabeto possui 26 letras e 
nosso sistema numérico possui 10 
algarismos (de 0 a 9), podemos concluir 
que: para a 1ª posição, temos 10 
alternativas, e como pode haver repetição, 
para a 2ª também temos 10 alternativas. Em 
relação as letras, concluímos facilmente que 
temos 26 alternativas para cada um dos 4 
lugares. Podemos então afirmar que o 
máximo de matrículas será de 
10*10*26*26*26*26= 45697600! 
Permutações simples 
Permutações simples de n elementos 
distintos são os agrupamentos formados 
com todos os n elementos e que diferem uns 
dos outros pela ordem de seus elementos. 
Exemplo: 
Com os elementos A, B, C são possíveis as 
seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, 
BCA, CAB e CBA. 
O número total de permutações simples de n 
elementos distintos é dado por n!, isto é 
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P
n 
= n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1 . 
Exemplos: a) P
6 
= 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 b) 
Calcule o número de formas distintas de 5 
pessoas ocuparem os lugares de um banco 
rectangular de cinco lugares. P
5 
= 5! = 
5.4.3.2.1 = 120 Denomina-se ANAGRAMA o 
agrupamento formado pelas letras de uma 
palavra, que podem ter ou não significado 
na linguagem comum. Exemplo: Os 
possíveis anagramas da palavra REI são: 
REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER. 
Permutações com elementos repetidos 
Se entre os n elementos de um conjunto, 
existem a elementos repetidos, b elementos 
repetidos, c elementos repetidos e assim 
sucessivamente, o número total de 
permutações que podemos formar é dado 
por: 
 
Exemplo: 
Determine o número de anagramas da 
palavra MATEMATICA. Solução: Temos 10 
elementos, com repetição. Observe que a 
letra M está repetida duas vezes, a letra A 
três, a letra T, duas vezes. Na fórmula 
anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. 
Sendo k o número procurado, podemos 
escrever: k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200 
Resposta: 151200 anagramas. 
 
Arranjos simples 
Dado um conjunto com n elementos, chama-
se arranjo simples de taxa k, a todo 
agrupamento de k elementos distintos 
dispostos numa certa ordem. Dois arranjos 
diferem entre si, pela ordem de colocação 
dos elementos. Assim, no conjunto E = 
{a,b,c}, teremos: a) Arranjos de taxa 2: ab, 
ac, bc, ba, ca, cb. b) Arranjos de taxa 3: abc, 
acb, bac, bca, cab, cba. 
Representando o número total de arranjos 
de n elementos tomados k a k (taxa k) por 
A
n,k 
, teremos a seguinte fórmula: 
 
Obs.: é fácil perceber que A
n,n 
= n! = P
n . 
 
Exemplo: Um cofre possui um disco 
marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O 
segredo do cofre é marcado por uma 
sequência de 3 dígitos distintos. Se uma 
pessoa tentar abrir o cofre, quantas 
tentativas deverá fazer (no máximo) para 
conseguir abri-lo? 
 
Solução: As sequências serão do tipo xyz. 
Para a primeira posição teremos 10 
alternativas, para a segunda, 9 e para a 
terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de 
arranjos, mas pelo princípio fundamental de 
contagem, chegaremos ao mesmo 
resultado: 
10.9.8 = 720. 
Observe que 720 = A
10,3 
 
Combinações simples 
Denominamos combinações simples de n 
elementos distintos tomados k a k (taxa k) 
aos subconjuntos formados por k elementos 
distintos escolhidos entre os n elementos 
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dados. Observe que duas combinações são 
diferentes quando possuem elementos 
distintos, não importando a ordem em que 
os elementos são colocados. 
 
Exemplo: 
No conjunto E= {a,b.c,d} podemos 
considerar: 
a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, 
cd. 
 b) combinações de taxa 3: abc, 
abd,acd,bcd. 
c) combinações de taxa 4: abcd. 
Representando por Cn,k o número total de 
combinações de n elementos tomados k a k 
(taxa k) , temos a seguinte fórmula: 
Cn,p = 
 
Exemplo: Uma prova consta de 15 questões 
das quais o aluno deve resolver 10. De 
quantas formas ele poderá escolher as 10 
questões? Solução: Observe que a ordem 
das questões não muda o teste. Logo, 
podemos concluir que trata-se de um 
problema de combinação de 15 elementos 
com taxa 10. 
Aplicando simplesmente a fórmula 
chegaremos 
a: C
15,10 
= 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 
10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 
3003 
 
Tente resolver os 3 problemas seguintes: 
1) - Um cocktail é preparado com duas ou 
mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas 
distintas, quantos cocktails diferentespodem 
ser preparados? 
Resp: 120 
2) - Sobre uma circunferência são marcados 
9 pontos, dois a dois distintos. Quantos 
triângulos podem ser construídos com 
vértices nos 9 pontos marcados? Resp: 84 
3) - Uma família com 5 pessoas possui um 
automóvel de 5 lugares. Sabendo que 
somente 2 pessoas sabem dirigir, de 
quantos modos poderão se acomodar para 
uma viagem? 
Resp: 48 
 
Exercício resolvido: Um salão tem 6 portas. 
De quantos modos distintos esse salão pode 
estar aberto? Solução: Para a primeira porta 
temos duas opções: aberta ou fechada Para 
a segunda porta temos também, duas 
opções, e assim sucessivamente. Para as 
seis portas, teremos então, pelo Princípio 
Fundamental da Contagem PFC: N = 
2.2.2.2.2.2 = 64 Lembrando que uma dessas 
opções corresponde a todas as duas portas 
fechadas, teremos então que o número 
procurado é igual a 64 - 1 = 63. 
Resposta: o salão pode estar aberto de 63 
modos possíveis. 
 
Vimos em Análise Combinatória que o 
número de combinações simples de n 
elementos de um conjunto dado, tomados k 
a k, ou seja, de taxa k, é dado por: C
n , k 
= n! 
/ k! (n – k)! onde n! = 1.2.3.4.5. ... .(n – 1).n, 
é denominado factorial de n. Exemplo: 
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C
7,5 
= 7! / 5! (7 – 5)! = 7! / 5! 2! = 
(7.6.5.4.3.2.1)/(5.4.3.2.1.2.1) = 21 
Considere o conjunto A = {a, b, c, d, e} 
formado por cinco elementos distintos. As 
combinações desses cinco elementos 
tomados dois a dois são: 
 ab ac ad ae bc bd be cd ce de , num total 
de 10 combinações. Realmente são 10 
combinações, pois: C
5,2 
= 5! / 2!(5 – 2)! 
=(5.4.3.2.1) / (2.1.3.2.1) = 10. 
As combinações desses cinco elementos 
tomados três a três são: abc abd abe acd 
ace ade bcd bce , num total de 10 
combinações. Realmente neste caso, 
também são 10 combinações, pois: C
5,3 
= 5! 
/ 3!(5 – 3)! = (5.4.3.2.1) / (3.2.1.2.1) = 10. 
Observe que no conjunto dado, para cada 
combinação de taxa dois, corresponde uma 
única combinação de taxa três, ou seja, 
definida uma combinação de taxa dois, fica 
definida imediatamente uma outra 
combinação (dita complementar) de taxa 
três. Isto justifica o fato de que C
5,2 
= C
5,3 
Assim, por exemplo, no caso acima, 
poderemos escrever as combinações e suas 
respectivas combinações complementares: 
 
Combinação Combinação complementar: 
ab cde 
ac bde 
ad bce 
ae bcd 
bc ade 
bd ace 
be acd 
cd abe 
ce abd 
de abc 
De uma forma geral, num conjunto de n 
elementos, para cada combinação dos n 
elementos tomados k a k, ou seja, de taxa k, 
corresponderá uma única combinação 
complementar formada pelos n – k 
elementos restantes e, portanto, deveremos 
ter sempre 
C
n , k 
= C
n , n - k
. 
Isto pode também ser verificado 
algebricamente, conforme mostraremos a 
seguir: 
Já sabemos que: 
C
n , k 
= n! / k! (n – k)! 
Para C
n , n - k 
poderemos escrever: 
 C
n,n-k 
= n! / [(n – k)! [n – (n – k)] = n! / (n – 
k)! k! = C
n , k 
Assim, poderemos exemplificar: 
C
7,3 
= C
7,4 
porque 3 + 4 = 7. 
C
1000, 60 
= C
1000, 940 
porque 60 + 940 = 1000. 
C
700, 100 
= C
700, 600 
porque 100 + 600 = 700. 
Genericamente, C
n , n - k 
= C
n , k 
porque (n – k) 
+ k = n. 
 
Um caso particular e importante é obtido 
fazendo k = 0 na igualdade acima, obtendo-
se: 
C
n, n – 0 
= C
n,0 
ou seja: C
n , n 
= C
n , 0 
Pela fórmula C
n , k 
= n! / k! (n – k)! , fazendo k 
= 0, obteremos finalmente: 
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C
n,0 
= n! / 0! (n – 0)! = n! / n! = 1, já que, por 
definição , o fatorial de zero é igual a 1 ou 
seja, 0! = 1. 
Portanto, C
n , n 
= C
n , 0 
= 1. 
 
Exercício resolvido Determine o conjunto 
solução da equação C
200 , 2x 
= C
200,9-x 
Solução: Deveremos ter: 2x = 9 – x ou 2x + 
9 – x = 200. Da primeira, tiramos: 2x + x = 9 
∴x = 3. Da segunda, tiramos: 2x – x = 200 – 
9 ∴x = 191. Logo, o conjunto solução é S = 
{3, 191} 
 
Exercício proposto: Resolva a equação C
14, 
x+2 
= C
14, 5x 
Resposta: S = {2}. 
 
ANAGRAMAS 
As permutações são agrupamentos 
formados pelos mesmos elementos, por isso 
diferem entre si somente pela ordem dos 
mesmos. 
 
Por exemplo, se C = (2, 3, 4), as 
permutações simples de seus elementos 
são: 234, 243, 324, 342, 423 e 432. 
 
Indicamos o número de Permutações 
simples de n elementos distintos por Pn = n! 
 
Exemplo 1 
Quais os anagramas da palavra AMOR? 
Um anagrama formado com A, M, O, R 
corresponde a qualquer permutação dessas 
letras, de modo a formar ou não palavras. 
 
Temos 4 possibilidades para a primeira 
posição, 3 possibilidades para a segunda 
posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 
1 possibilidade para a quarta posição. 
Pelo princípio fundamental da contagem 
temos 4 * 3 * 2 * 1 = 24 possibilidades ou 24 
anagramas. 
 
Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, 
ARMO, MORA . . . 
Exemplo 
Formar os anagramas a partir da palavra 
PATO 
 
Pelo Princípio Fundamental da Contagem 
podemos dizer que é possível formar 24 
sequências. 
P4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 
 
PATO PAOT POTA POAT PTOA PTAO 
APTO APOT ATPO ATOP AOTP AOPT 
 TAPO TAOP TOPA TOAP TPAO TPOA 
OAPT OATP OPTA OPAT OTPA OTAP 
 
Exemplo 
 
Carlos e Rose têm três filhos: Sérgio, 
Adriano e Fabíola. Eles querem tirar uma 
foto de recordação na qual todos apareçam 
lado a lado. Quantas fotos diferentes podem 
ser registradas? 
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A forma como irão se distribuir corresponde 
a uma permutação entre eles, então: 
P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 formas 
distintas. 
 
FUNDAMENTOS DE LÓGICA 
 
Proposição 
 
Denomina-se proposição a toda 
sentença, expressa em palavras ou 
símbolos, que exprima um juízo ao qual se 
possa atribuir, dentro de certo contexto, 
somente um de dois valores lógicos 
possíveis: verdadeiro ou falso. 
Somente as sentenças declarativas 
podem-se atribuir valores de verdadeiro ou 
falso, o que ocorre quando a sentença é, 
respectivamente, confirmada ou negada. 
Quando uma proposição é 
verdadeira, atribuímos-lhe o valor lógico V; 
quando ela é falsa, atribuímos-lhe o valor 
lógico F. 
 
Observação: 
Não se pode atribuir valores de 
verdadeiro ou falso às outras formas de 
sentenças como as interrogativas, as 
exclamativas e as imperativas, embora elas 
também expressem juízos. 
 
Exemplos de proposições: 
 
 “O número 5 é ímpar” – é uma declaração 
(afirmativa); portanto, uma proposição. 
Sabemos ser verdadeira (valor lógico V). 
 “Todo homem é mortal” – é uma 
declaração (afirmativa); portanto, uma 
proposição. Sabemos ser verdadeira (valor 
lógico V). 
 “ 15127 ” – é uma declaração 
(negativa); portanto, uma proposição. 
Sabemos ser falsa (valor lógico F). 
 “Nenhum peixe sabe ler” - é uma 
declaração (afirmativa); portanto, uma 
proposição. Sabemos ser verdadeira (valor 
lógico V). 
 
Exemplos de sentenças que não são 
proposições: (sentenças abertas) 
 
 “Qual o seu nome?” – é uma pergunta, e 
não uma declaração. Portanto, não é uma 
proposição. Não se pode atribuir a ela um 
valor lógico (V ou F). 
 “Que dia lindo!” – é uma sentença 
exclamativa, e não uma declaração. 
Portanto, não é uma proposição. Não se 
pode atribuir a ela umvalor lógico (V ou F). 
 “Ana, vá estudar sua lição” – é uma 
sentença imperativa, e não uma declaração. 
Portanto, não é uma proposição. Não se 
pode atribuir a ela um valor lógico (V ou F). 
 “ 2013x ” – é uma sentença aberta, e 
não uma declaração. Portanto, não é uma 
proposição. Não se pode atribuir a ela um 
valor lógico (V ou F). 
 
Proposição simples 
 
Uma proposição é dita proposição 
simples quando não contém qualquer outra 
proposição como sua componente. 
Isso significa que não é possível 
encontrar como parte de uma proposição 
simples alguma outra proposição diferente 
dela. Não se pode subdividi-la em partes 
menores tais que alguma delas seja uma 
nova proposição. 
 
Exemplo: 
 A sentença “Júlio gosta de esporte” é 
uma proposição simples, pois não é possível 
identificar como parte dela qualquer outra 
proposição diferente. 
 
Outros exemplos: 
“Júlio fala inglês” 
“Laranja é uma fruta” 
“Todos os ricos são homens” 
 
Proposição composta 
 
Uma proposição é composta quando 
se pode extrair como parte dela uma nova 
proposição. 
 
Exemplo: 
 A sentença “Paulo é irmão de Ana e 
de César” é uma proposição composta, pois 
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é possível retirar-se dela outras proposições: 
“Paulo e irmão de Ana” e “Paulo é irmão de 
César”. 
 
Conectivos lógicos (ou estruturas 
lógicas) 
 
Os conectivos lógicos agem sobre as 
proposições a que estão ligadas de modo a 
criar novas proposições. 
 Alguns dos conectivos são: 
 
Exemplo: 
A sentença “Se Talita não bebe, 
então Carlos vai ao clube ou Bruna toma 
café”. É uma proposição composta na qual 
podemos observar alguns conectivos lógicos 
(“não”, “se..., então” e “ou”) que estão 
agindo sobre as proposições simples “Talita 
não bebe”, “Carlos vai ao clube” e “Bruna 
toma café”. 
 
Operações com proposições 
 
Assim como na Álgebra tradicional 
existem as operações com números (adição, 
subtração etc.), na Álgebra Booleana 
existem operações com as proposições. 
O valor lógico (verdadeiro ou falso) de 
uma proposição composta depende 
somente do valor lógico de cada uma de 
suas proposições componentes e da forma 
como estas sejam ligadas pelos conectivos 
lógicos utilizados. 
 
Exemplo 
 
 
Tabela - verdade 
 
 É uma forma usual de representação 
das regras da Álgebra Booleana. Nela, é 
representada cada proposição (simples ou 
composta) e todos os seus valores lógicos 
possíveis. 
 
1º- Conjunção: “A e B” (Representação: 
BA ). 
 
Denominamos conjunção a proposição 
composta formada por duas proposições 
quaisquer que estejam ligadas pelo 
conectivo “e”. 
 
Exemplo: 
 
Dadas as proposições simples: 
A: Marta é mãe de Beto. 
B: Marta é mãe de Carlos. 
 
A conjunção “A e B” pode ser escrita como: 
BA : Marta é mãe de Beto e de Carlos. 
 
2º- Disjunção: “A ou B” (Representação: 
BA ). 
 
Denominamos disjunção a proposição 
composta formada por duas proposições 
quaisquer que estejam ligadas pelo 
conectivo “ou”. 
 
Exemplo: 
 
Dadas as proposições simples: 
A: Tiago fala Francês. 
B: Tiago é universitário. 
 
A disjunção “A ou B” pode ser escrita como: 
BA : Tiago fala Francês ou é universitário. 
 
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3º- Disjunção exclusiva: “ou A ou B” 
(Representação: BA ). 
 
Denominamos disjunção exclusiva a 
proposição composta formada por duas 
proposições quaisquer em que cada uma 
delas esteja precedida pelo conectivo “ou”. 
 
Exemplo: 
 
Dadas as proposições simples: 
A: O número 7 é par. 
B: O número 7 é ímpar. 
 
A disjunção exclusiva “ou A ou B” pode ser 
escrita como: 
BA : Ou o número 7 é par ou o número 7 
é ímpar. 
 
4º- Implicação (Condicional): “Se A, então 
B” (Representação: BA ). 
 
Denominamos condicional a proposição 
composta formada por duas proposições 
quaisquer que estejam ligadas pelo 
conectivo “Se..., então” ou por uma de suas 
formas equivalentes. 
 
Exemplo: 
 
Dadas as proposições simples: 
A: Lucas é goiano. 
B: Lucas é brasileiro. 
 
A condicional “Se A, então B” pode ser 
escrita como: 
BA : Se Lucas é goiano, então Lucas é 
brasileiro. 
 
5º- Dupla Implicação (Bicondicional): “A 
se e somente se B” (Representação: 
BA ). 
 
Denominamos bicondicional a 
proposição composta formada por duas 
proposições quaisquer que estejam ligadas 
pelo conectivo “se e somente se”. 
 
Exemplo: 
 
Dadas as proposições simples: 
A: Sérgio é meu tio. 
B: Sérgio é irmão de um de meus pais. 
 
A bicondicional “A se e somente se B” pode 
ser escrita como: 
 
BA : Sérgio é meu tio se e somente se 
Sérgio é irmão de um de meus pais. 
 
6º- Negação: “Não A” (Representação: 
A ) 
 
Definição 
Uma proposição é a negação de outra 
quando: se uma for verdadeira, então a 
outra é obrigatoriamente falsa e, se uma for 
falsa, então a outra é obrigatoriamente 
verdadeira. 
 
Modos de Negação de uma Proposição 
Simples 
 
1) Antepondo-se a expressão “não” ao 
seu verbo. 
Exemplo: 
“Beto gosta de futebol”. 
“Beto não gosta de futebol”. 
 
2) Retirando-se a negação antes do 
verbo. 
Exemplo: 
“Ítalo não é irmão de Maria”. 
“Ítalo é irmão de Maria”. 
 
3) Substituindo-se um termo da 
proposição por um de seus antônimos. 
Exemplo: 
“n é um número ímpar”. 
“n é um número par”. 
 
Observação 
 
“Este lápis é verde” contradiz, mas 
não é a negação de “Este lápis é azul”, 
porque a negação desta “Este lápis não é 
azul” não obriga a que a cor do lápis seja 
verde. Poderia ser de qualquer outra cor, 
diferente das citadas. 
 
Tautologia 
 
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Uma proposição composta é uma 
tautologia se ela for sempre verdadeira 
independentemente dos valores lógicos das 
proposições que a compõem. 
 
Exemplos 
 
1º- A proposição “ AA ” é uma 
tautologia, pois é sempre verdadeira, 
independentemente dos valores lógicos de 
A. Veja na tabela-verdade a seguir: 
 
2º- A proposição “ BABA ” é uma 
tautologia, pois é sempre verdadeira, 
independentemente dos valores lógicos de 
A e de B. Veja na tabela-verdade a seguir: 
 
 
Contradição 
 
Uma proposição composta é uma 
contradição se ela for sempre falsa 
independentemente dos valores lógicos das 
proposições que a compõem. 
 
Exemplo 
1º- A proposição “ AA ” é uma 
contradição, pois é sempre falsa, 
independentemente dos valores lógicos de 
A. Veja na tabela-verdade a seguir: 
 
 
Observação 
 
 A negação de uma tautologia é sempre 
uma contradição. 
 A negação de uma contradição é sempre 
uma tautologia. 
 
O exemplo citado mostra que uma 
proposição qualquer A e sua negação A 
nunca serão ambas verdadeiras ou ambas 
falsas. 
 
As três Leis Fundamentais do 
Pensamento Lógico 
 
1º- Princípio da Identidade 
Se um enunciado é verdadeiro, então 
ele é verdadeiro. 
Em símbolos: pp 
 
2º- Princípio da Não Contradição 
Nenhum enunciado pode ser 
verdadeiro e também ser falso. 
Em símbolos: pp 
 
3º- Princípio do Terceiro Excluído 
Um enunciado ou é verdadeiro ou é 
falso. 
Em símbolos: pp 
 
EXERCÍCIOS 
 
01- Sejam as proposições: 
 P: o rato entrou no buraco. 
 Q: o gato seguiu o rato 
Forme sentenças, na linguagem corrente, 
que correspondam às proposições 
seguintes: 
a) P 
b) Q 
c) QP 
d) QP 
e) QP 
f) QP 
g) QP 
h) QP 
i) QP 
j) QP 
k) P 
l) Q 
m) PQP 
 
02- Sejam as proposições: 
 P: o rato entrou no buraco. 
 Q: o gato seguiu o rato 
 
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Expresse em simbologia a proposição “Se o 
rato não entrou no buraco ou o gato seguiu 
o rato, então não é verdade que ou o rato 
entrou no buraco ou o gato não seguiu o 
rato. 
 
03- Julgue as proposiçõesa seguir: 
1. ( ) Se 623 , então 974 . 
2. ( ) Não é verdade que 12 é um número 
ímpar. 
3. ( ) Não é verdade que “ 513 ou 
761 ” 
 
04- Se p é uma proposição verdadeira, 
então: 
a) qp , é verdadeira, qualquer que seja q . 
b) qp , é verdadeira, qualquer que seja q . 
c) qp , é falsa, qualquer que seja q . 
 
05- Sabendo que as proposições p e q são 
verdadeiras e que as proposições r e s são 
falsas, determinar o valor lógico (V ou F) de 
cada uma das seguintes proposições: 
a) ( ) qpr 
b) ( ) sprq 
c) ( ) qpsr 
 
06- (ESAF – SEFAZ) Assinale a opção 
verdadeira. 
a) 43 e 943 
b) Se 33 , então 943 
c) Se 43 , então 943 
d) 43 ou 943 
e) 33 se e somente se 943 
 
07- (FCC – TJ/Sergipe - 2009) Considere as 
seguintes premissas: 
 
p : Trabalhar é saudável 
q : O cigarro mata. 
 
A afirmação “Trabalhar não é saudável" ou 
"o cigarro mata” é FALSA se 
a) p é falsa e ~q é falsa. 
b) p é falsa e q é falsa. 
c) p e q são verdadeiras. 
d) p é verdadeira e q é falsa. 
e) ~p é verdadeira e q é falsa. 
 
08- (Cespe – Banco do Brasil – 
Escriturário) Na lógica de primeira ordem, 
uma proposição é funcional quando é 
expressa por um predicado que contém um 
número finito de variáveis e é interpretada 
como verdadeira (V) ou falsa (F) quando são 
atribuídos valores às variáveis e um 
significado ao predicado. Por exemplo, a 
proposição “Para qualquer x , tem-se que 
0>2x ” possui interpretação V quando x é 
um número real maior do que 2 e possui 
interpretação F quando x pertence, por 
exemplo, ao conjunto 
0,1,2,3,4 . Com base nessas 
informações, julgue os próximos itens. 
1º- A proposição funcional “Para qualquer x , 
tem-se que x>2x ” é verdadeira para todos 
os valores de x que estão no conjunto 
2
1
,2,
2
3
,3,
2
5
,5 . 
2º- A proposição funcional “Existem 
números que são divisíveis por 2 e por 3” é 
verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 
9, 10, 15, 16}. 
 
09- Considere a afirmação P: 
P: “A ou B” 
 
Onde A e B, por sua vez, são as 
seguintes afirmações: 
A: “Carlos é dentista” 
B: “Se Enio é economista, então Juca é 
arquiteto” 
 
Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. 
Logo: 
a) Carlos não é dentista; Enio não é 
economista; Juca não é arquiteto. 
b) Carlos não é dentista; Enio é economista; 
Juca não é arquiteto. 
c) Carlos não é dentista; Enio é economista; 
Juca é arquiteto. 
d) Carlos é dentista; Enio não é economista; 
Juca não é arquiteto. 
e) Carlos é dentista; Enio é economista; 
Juca não é arquiteto. 
 
10- (FCC – TRE/Piauí - 2009) Considere as 
três informações dadas a seguir, todas 
verdadeiras. 
 
 Se o candidato X for eleito prefeito, então 
Y será nomeado secretário de saúde. 
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 Se Y for nomeado secretário de saúde, 
então Z será promovido a diretor do hospital 
central. 
 Se Z for promovido a diretor do hospital 
central, então haverá aumento do número 
de leitos. 
 
Sabendo que Z não foi promovido a diretor 
do hospital central, é correto concluir que 
a) o candidato X pode ou não ter sido eleito 
prefeito. 
b) Y pode ou não ter sido nomeado 
secretário de saúde. 
c) o número de leitos do hospital central 
pode ou não ter aumentado. 
d) o candidato X certamente foi eleito 
prefeito. 
e) o número de leitos do hospital central 
certamente não aumentou. 
 
11- (Cespe – SEBRAE – 2008) 
 
Considere que cada um dos cartões acima 
tenha um número em uma face e uma figura 
na outra, e que alguém fez a seguinte 
afirmação: “se, em um cartão, há um 
número ímpar em uma face, então, na outra 
face, há um quadrado”. Para comprovar se 
essa afirmação é verdadeira, será 
necessário olhar a outra face 
a) apenas dos cartões A e B. 
b) apenas dos cartões A, D e E. 
c) apenas dos cartões B, C e E. 
d) de todos os cartões.UESTÃO 8 
 
12- (Cespe – SEDUC/CE – 2009) Em 
determinada escola, ao organizar as salas 
de aula para o ano letivo de 2010, diretor e 
professores trabalharam juntos no sentido 
de se obter a melhor distribuição dos 
espaços. A escola tem três blocos: norte, 
central e sul, e o problema maior estava na 
localização dos ambientes da biblioteca, do 
laboratório de informática, do laboratório de 
português e da sala de educação física. 
Chegou-se às seguintes conclusões: 
 
 Ou o laboratório de português e a 
biblioteca ficariam no mesmo bloco ou a sala 
de educação física e o laboratório de 
informática ficariam no mesmo bloco; 
 Se a biblioteca ficar no bloco central, o 
laboratório de informática ficará no bloco sul. 
 
Considerando que cada bloco tenha ficado 
com pelo menos um desses 4 ambientes e 
que, entre eles, apenas o laboratório de 
informática tenha ficado no bloco norte, 
então a sala de educação física e o 
laboratório de português ficaram 
a) ambos no bloco sul. 
b) ambos no bloco central. 
c) nos blocos central e sul, respectivamente. 
d) nos blocos sul e central, 
respectivamente.ÃO 20 
 
13- (UnB/Cespe – MS – 2008 - Agente 
Administrativo) Para julgar os itens de 01 a 
05, considere as seguintes informações a 
respeito de estruturas lógicas, lógicas de 
argumentação e diagramas lógicos. 
 
Uma proposição é uma frase a 
respeito da qual é possível afirmar se é 
verdadeira (V) ou se é falsa (F). Por 
exemplo: “A Terra é plana”; “Fumar faz mal 
à saúde”. As letras maiúsculas A, B, C etc. 
serão usadas para identificar as 
proposições, por exemplo: 
A: A Terra é plana; 
B: Fumar faz mal à saúde. 
As proposições podem ser 
combinadas de modo a representar outras 
proposições, denominadas proposições 
compostas. Para essas combinações, usam-
se os denominados conectivos lógicos: 
significando “e” ; significando “ou”; 
significando “se ... então”; significando 
“se e somente se”; e significando “não”. 
Por exemplo, com as notações do parágrafo 
anterior, a proposição “A Terra é plana e 
fumar faz mal à saúde” pode ser 
representada, simbolicamente, por BA . “A 
Terra é 
plana ou fumar faz mal à saúde” pode ser 
representada, simbolicamente, por BA . 
“Se a Terra é plana, então fumar faz mal à 
saúde” pode ser representada, 
simbolicamente, por BA . “A Terra não é 
plana” pode ser representada, 
simbolicamente, por A . Os parênteses são 
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usados para marcar a pertinência dos 
conectivos, por exemplo: ABA , 
significando que “Se a Terra é plana e fumar 
faz mal à saúde, então a Terra não é plana”. 
Na lógica, se duas proposições são 
tais que uma é a negação de outra, então 
uma delas é F. Dadas duas proposições em 
que uma contradiz a outra, então uma delas 
é V. 
Para determinar a valoração (V ou F) 
de uma proposição composta, conhecidas 
as valorações das proposições simples que 
as compõem, usam-se as tabelas abaixo, 
denominadas tabelas-verdade. 
 
Uma proposição composta que é 
valorada sempre como V, 
independentemente das valorações V ou F 
das proposições simples que a compõem, é 
denominada tautologia. Por exemplo, a 
proposição AA é uma tautologia. 
Tendo como referência as informações 
apresentadas no texto, julgue os seguintes 
itens. 
 
Raul, Sidnei, Célio, João e Adélio, 
agentes administrativos do MS, nascidos em 
diferentes unidades da Federação: São 
Paulo, Paraná, Bahia, Ceará e Acre, 
participaram, no último final de semana, de 
uma reunião em Brasília – DF, para discutir 
projetos do MS. Raul, Célio e o paulista não 
conhecem nada de contabilidade; o 
paranaense foi almoçar com Adélio; Raul, 
Célio e João fizeram duras críticas às 
opiniões do baiano; o cearense, Célio, João 
e Sidnei comeram um lauto churrasco no 
jantar, e o paranaense preferiu fazer apenas 
um lanche. 
 
Com base na situação hipotética 
apresentada acima, julgue os itens a seguir. 
Se necessário, utilize a tabela à disposição. 
 
1º- A proposição “Se Célio nasceu no Acre, 
então Adélio nãonasceu no Ceará”, que 
pode ser simbolizada na forma BA , 
em que A é a proposição “Célio nasceu no 
Acre” e B, “Adélio nasceu no Ceará”, é 
valorada como V. 
 
2º- Considere que P seja a proposição “Raul 
nasceu no Paraná”, Q seja a proposição 
“João nasceu em São Paulo” e R seja a 
proposição “Sidnei nasceu na Bahia”. Nesse 
caso, a proposição “Se Raul não nasceu no 
Paraná, então João não nasceu em São 
Paulo e Sidnei nasceu na Bahia” pode ser 
simbolizada como RQP e é 
valorada como V. 
 
14- (Esaf) Maria tem três carros: um gol, um 
palio e um uno. Um dos carros é branco, o 
outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: 
1) ou o gol é branco, ou o uno é branco, 2) 
ou o gol é preto, ou o palio é azul, 3) ou o 
uno é azul, ou o palio é azul, 4) ou o palio é 
preto, ou o uno é preto. Portanto, as cores 
do gol, do palio e do uno são, 
respectivamente: 
a) Branco, preto, azul 
b) Preto, azul, branco 
c) Azul, branco, preto 
d) Preto, branco, azul 
e) Branco, azul, preto 
 
15- (Cespe 2007 – Banco do Brasil – 
Escriturário) As afirmações que podem ser 
julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), 
mas não ambas, são chamadas 
proposições. As proposições são 
usualmente simbolizadas por letras 
maiúsculas: A, B, C etc. A expressão 
BA , lida, entre outras formas, como “se 
A então B”, é uma proposição que tem 
valoração F quando A é V e B é F, e tem 
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valoração V nos demais casos. Uma 
expressão da forma A , lida como “não A”, 
é uma proposição que tem valoração V 
quando A é F, e tem valoração F quando A é 
V. A expressão da forma BA , lida como 
“A e B”, é uma proposição que tem 
valoração V apenas quando A e B são V, 
nos demais casos tem valoração F. Uma 
expressão da forma BA , lida como “A ou 
B”, é uma proposição que tem valoração F 
apenas quando A e B são F; nos demais 
casos, é V. Com base nessas definições, 
julgue os itens que se seguem. 
 Uma expressão da forma BA é 
uma proposição que tem exatamente as 
mesmas valorações V ou F da proposição 
BA . 
 Considere que as afirmativas “Se 
Mara acertou na loteria então ela ficou rica” 
e “Mara não acertou na loteria” sejam ambas 
proposições verdadeiras. Simbolizando 
adequadamente essas proposições pode-se 
garantir que a proposição “Ela não ficou rica” 
é também verdadeira. 
 A proposição simbolizada por 
ABBA possui uma única 
valoração F. 
 Considere que a proposição “Sílvia 
ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja 
verdadeira. Então pode-se garantir que a 
proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira. 
 
16- Há três suspeitos de um crime: o 
cozinheiro, a governanta e o mordomo. 
Sabe-se que o crime foi efetivamente 
cometido por um ou por mais de um deles, 
já que podem ter agido individualmente ou 
não. Sabe-se ainda que: a) se o cozinheiro é 
inocente, então a governanta é culpada; b) 
ou o mordomo é culpado ou a governanta é 
culpada; c) o mordomo não é inocente. 
Logo: 
a) A governanta e o mordomo são os 
culpados 
b) O cozinheiro e o mordomo são os 
culpados 
c) Somente a governanta é culpada 
d) Somente o cozinheiro é inocente 
e) Somente o mordomo é culpado 
 
17- Ou BA , ou CB , mas não ambos. 
Se DB , então DA . Ora, DB . Logo: 
a) CB b) AB c) AC 
d) DC e) AD 
 
18- Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à 
África, ou Rui vai a Roma. Se Ana vai à 
África, então Luís compra um livro. Se Luís 
compra um livro, então Rui vai a Roma. Ora, 
Rui não vai a Roma, logo: 
a) Celso compra um carro e Ana não vai à 
África 
b) Celso não compra um carro e Luís não 
compra o livro 
c) Ana não vai à África e Luís compra um 
livro 
d) Ana vai à África ou Luís compra um livro 
e) Ana vai à África e Rui não vai a Roma 
 
19- Se o jardim não é florido, então o gato 
mia. Se o jardim é florido, então o 
passarinho não canta. Ora, o passarinho 
canta. Logo: 
a) O jardim é florido e o gato mia 
b) O jardim é florido e o gato não mia 
c) O jardim não é florido e o gato mia 
d) O jardim não é florido e o gato não mia 
e) Se o passarinho canta, então o gato não 
mia 
 
20- Se Frederico é francês, então Alberto 
não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou 
Egídio é espanhol. Se Pedro não é 
português, então Frederico é francês. Ora, 
nem Egídio é espanhol nem Isaura é 
italiana. Logo: 
a) Pedro é português e Frederico é francês 
b) Pedro é português e Alberto é alemão 
c) Pedro não é português e Alberto é alemão 
d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês 
e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês 
 
21- De três irmãos – José, Adriano e Caio -, 
sabe-se que ou José é o mais velho, ou 
Adriano é o mais moço. Sabe-se, também, 
que ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o 
mais velho. Então, o mais velho e o mais 
moço dos três irmãos são, respectivamente: 
a) Caio e José 
b) Caio e Adriano 
c) Adriano e Caio 
d) Adriano e José 
e) José e Adriano 
 
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22- Em um posto de fiscalização da PRF, os 
veículos A, B e C foram abordados, e os 
seus condutores, Pedro, Jorge e Mário, 
foram autuados pelas seguintes infrações: (i) 
um deles estava dirigindo alcoolizado; (ii) 
outro apresentou a CNH vencida; (iii) a CNH 
apresentada pelo terceiro motorista era de 
categoria inferior à exigida para conduzir o 
veículo que ele dirigia. Sabe-se que Pedro 
era o condutor do veículo C; o motorista que 
apresentou a CNH vencida conduzia o 
veículo B; Mário era quem estava dirigindo 
alcoolizado. 
 
Com relação a essa situação hipotética, 
julgue os itens que se seguem. Caso queira, 
use a tabela a seguir. 
 
I. A CNH do motorista do veículo A era 
de categoria inferior à exigida. 
II. Mário não era o condutor do veículo 
A. 
III. Jorge era o condutor do veículo B. 
IV. A CNH de Pedro estava vencida. 
V. A proposição “Se Pedro apresentou 
CNH vencida, então Mário é o 
condutor do veículo B” é verdadeira. 
Estão certos apenas os itens 
a) I e II b) I e IV c) II e III 
d) III e V e) IV e V 
 
23- (Cesp – SEBRAE – 2008) 
 
Na tabela acima, as letras poderão assumir 
somente os valores 1, 2, 3 ou 4, seguindo as 
seguintes regras: 
 cada algarismo deverá aparecer em 
todas as linhas e em todas as 
colunas, mas não poderá haver 
algarismo repetido em nenhuma linha 
e em nenhuma coluna; 
 em cada uma das 4 minitabelas, de 4 
células e separadas por linhas 
espessas, deverão aparecer todos os 
4 algarismos; 
 os algarismos nas células 
sombreadas não poderão ser 
alterados. 
Com base nessas informações, julgue os 
itens seguintes. 
I. Os valores das letras A, B, C, F, G e L 
são logicamente determinados a 
partir das informações acima. 
II. Necessariamente, H = 3. 
III. Se I = 3, então, necessariamente, E = 
3. 
IV. Se H = 3, então é possível 
determinar, de uma única forma, 
todos os valores das outras letras. 
Estão certos apenas os itens 
a) I e II. b) I e IV. 
c) II e III. d) III e IV. 
 
24- Se não durmo, bebo. Se estou furioso, 
durmo. Se durmo, não estou furioso. Se não 
estou furioso, não bebo. Logo, 
a) Não durmo, estou furioso e bebo. 
b) Durmo, estou furioso e não bebo. 
c) Não durmo, estou furioso e bebo. 
d) Durmo, não estou furioso e não bebo. 
e) Não durmo, não estou furioso e bebo. 
 
25- Chama-se tautologia a toda proposição 
que é sempre verdadeira, 
independentemente da verdade dos termos 
que a compõem. Um exemplo de tautologia 
é: 
a) Se João é alto, então João é alto ou 
Guilherme é gordo. 
b) Se João é alto, então João é alto e 
Guilherme é gordo. 
c) Se João é alto ou Guilherme é gordo, 
então Guilherme é gordo. 
d) Se João é alto ou Guilherme é gordo, 
então João é alto e Guilherme é gordo. 
e) Se João é alto ou não é alto, então 
Guilherme é gordo. 
 
26- Assinale a opção que corresponde a 
uma tautologia. 
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a) qpp b) qpp 
c) qp d) qp ~ 
e) pp ~ 
 
GABARITO 
01- 
a) O rato não entrou no buraco. 
b) O gato não seguiu o rato. 
c) O rato entrou no buraco e o gato seguiu o 
rato. 
d) O rato entrou no buraco ou o gato seguiu 
o rato. 
e) O rato não entrou no buraco e o gato 
seguiu o rato. 
f) O rato entrou no buraco ou o gato não 
seguiu o rato. 
g) Não é verdade que o rato entrou no 
buraco e o gato seguiu o rato. 
h) Não é verdade que o rato entrou no 
buraco ou o gato seguiu o rato. 
i) O rato não entrou no buraco e o gato não 
seguiu o rato. 
j) O rato não entrou no buraco ou o gato não 
seguiu o rato. 
k) Não é verdade que o rato não entrou no 
buraco. 
l) Não é verdade que o gato não seguiu o 
rato. 
m) Se o rato entrou no buraco e o gato não 
seguiu o rato, então o rato entrou no buraco. 
02- QPQP 
03- Certo, Certo, Errado 
04- B 
05- VVV 
06- C 
07- D 
08- Errado, Errado 
09- B 
10- C 
11- B 
12- C 
13- Errado, Certo 
14- E 
15- Certo, Errado, Certo, Errado 
16- B 
17- A 
18- A 
19- C 
20- B 
21- B 
22- D 
23- B 
24- D 
25- A 
26- B 
 
EQUIVALÊNCIA LÓGICA E NEGAÇÃO 
DE PROPOSIÇÕES 
Equivalência lógicaà São proposições que 
apresentam a mesma tabela verdade, ou 
seja, são proposições que expressas de um 
modo diferente possuem o mesmo valor 
lógico. 
Ex: 
Se Brasília é a Capital do Brasil então 
Santiago é a Capital do Chile (p → q) 
Se Santiago não é a capital do Chile então 
Brasília não é a Capital do Brasil.(¬q → ¬p) 
Vejamos as tabelas verdade de ambas às 
proposições compostas: 
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Podemos verificar que as duas proposições 
possuem a mesma tabela verdade 
(valoração), portanto são equivalentes. 
P → Q <=> ¬Q → ¬P (Representação da 
“equivalência lógica”) 
Agora passemos para negação das 
proposições compostas 
Negação da operação da Conjunção. “p e 
q” 
¬(P ^ Q ) <=> ¬P v ¬Q (Lei de Morgan) 
Para negarmos uma proposição composta 
ligada pelo conectivo operacional “E” , basta 
negarmos ambas as proposições 
individuais(simples) e trocarmos o conectivo 
“e” pelo conectivo”ou”. Ou seja, 
transformaremos uma conjunção em uma 
disjunção. Vejamos; 
Ex:“Pedro é Mineiro e João é Capixaba”. 
 P= Pedro é Mineiro 
 Q= João é Capixaba 
Negando-a ,temos; 
Pedro não é mineiro ou João não é 
capixaba. 
Pela tabela verdade podemos” confirmar” a 
negação da proposição.
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Negação da operação da Disjunção 
Inclusiva. “p ou q” 
P v Q <=> ¬P ^ ¬Q Lei de Morgan 
Para negarmos uma proposição composta 
ligada pelo conectivo operacional “OU” , 
basta negarmos ambas as proposições 
individuais(simples) e trocarmos o conectivo 
“ou” pelo conectivo”e”. Ou seja, 
“transformaremos” uma disjunção inclusiva 
em uma conjunção. Vejamos; 
“Augusto é feio ou Maria é Bonita”. 
 P= Augusto é feio 
 Q= Maria é bonita 
Negando-a, temos; 
“Augusto não é feio e Maria não é bonita” . 
Pela tabela verdade podemos” confirmar” a 
negação da proposição.
 
 
Negação da operação da Disjunção 
Exclusiva. “ou p ou q” 
¬(P v Q) <=> P ↔ Q 
Para negarmos uma proposição com a 
estrutura de uma disjunção exclusiva , 
transformá-la-emos em uma estrutura 
bicondicional. Vejamos; 
“Ou João é rico ou Pedro é Bonito”. 
 P= João é rico 
 Q= Pedro é Bonito 
Negando-a temos; 
“João é rico se e somente se Pedro é 
bonito” 
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Pela tabela verdade podemos” confirmar” a negação da proposição 
 
Obviamente podemos perceber que a 
negação de uma estrutura bicondicional é 
também a disjunção exclusiva 
Negação da operação da condicional (ou 
implicação). 
 ¬ (p → q) <=> p^ ¬q 
Para negarmos uma proposição condicional, 
repete-se a primeira parte troca-se o 
conectivo por “e” e nega-se a segunda 
parte.Vejamos 
Ex: Se sou inteligente então passarei de 
ano. 
 P= Sou inteligente 
 Q= Passarei de ano 
Negando-a, temos; 
“Sou inteligente e não passarei de ano” 
Pela tabela verdade podemos” confirmar” a 
negação da proposição. 
 
 
Exercícios propostos de proposições 
logicamente equivalentes 
 
01- (FCC – Analista de Sistemas) Do ponto 
de vista lógico, se for verdadeira a 
proposição condicional “se eu ganhar na 
loteria, então comprarei uma casa”, 
necessariamente será verdadeira a 
proposição: 
a) se eu não ganhar na loteria, então não 
comprarei uma casa. 
b) se eu não comprar uma casa, então não 
ganhei na loteria. 
c) se eu comprar uma casa, então terei 
ganho na loteria. 
d) só comprarei uma casa se ganhar na 
loteria. 
e) só ganharei na loteria quando decidir 
comprar uma casa. 
 
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02- Dizer que “Beto é paulista ou Paulo não 
é carioca” é do ponto de vista lógico, o 
mesmo que dizer que: 
a) Se Beto é paulista, então Paulo não é 
carioca 
b) Se Beto não é paulista, então Paulo é 
carioca 
c) Se Paulo não é carioca, então Beto é 
paulista 
d) Se Paulo é carioca, então Beto é paulista 
e) Se Beto é paulista, então Paulo não é 
carioca 
 
03- Considere verdadeira a declaração: “Se 
durmo cedo, então não acordo tarde”. 
Assim, é correto concluir que 
a) Se não durmo cedo, então acordo tarde. 
b) Se não durmo cedo, então não acordo 
tarde. 
c) Se acordei tarde, é porque não dormi 
cedo. 
d) Se não acordei tarde, é porque não dormi 
cedo. 
e) Se não acordei tarde, é porque dormi 
cedo. 
 
04- Uma proposição logicamente 
equivalente a “Se eu me chamo André, 
então eu passo no vestibular.” é: 
a) Se eu não me chamo André, então eu 
não passo no vestibular. 
b) Se eu passo no vestibular, então me 
chamo André. 
c) Se eu não passo no vestibular, então me 
chamo André. 
d) Se eu não passo no vestibular, então não 
me chamo André. 
e) Eu passo no vestibular e não me chamo 
André. 
 
05- Dizer que “Pedro não é pedreiro ou 
Paulo é paulista” é do ponto de vista lógico, 
o mesmo que dizer que: 
a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é 
paulista 
b) Se Paulo é paulista, então Pedro é 
pedreiro 
c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é 
paulista 
d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é 
paulista 
e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não 
é Paulista 
 
06- Dizer que “Antônio é carioca ou José 
não é baiano” é do ponto vista lógico, o 
mesmo que dizer que: 
a) Se Antônio é carioca, então José não é 
baiano 
b) Se Antônio não é carioca, então José é 
baiano 
c) Se José não é baiano, então Antônio é 
carioca 
d) Se José é baiano, então Antônio é carioca 
e) Antônio é carioca e José não é baiano 
 
07- (ESAF – MPOG/2001) Dizer que “Andre 
é artista ou Bernardo não é engenheiro” é 
logicamente equivalente a dizer que: 
a) André é artista se e somente se Bernardo 
não é engenheiro; 
b) Se André é artista, então Bernardo não é 
engenheiro; 
c) Se André não é pedreiro, então Paulo é 
pedreiro; 
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é 
artista; 
e) André não é artista e Bernardo é 
engenheiro. 
 
08- (ESAF – MPOG/2009) Admita que, em 
um grupo: “se algumas pessoas não são 
honestas, então algumas pessoas são 
punidas”. Desse modo, pode-se concluir 
que, nesse grupo: 
a) as pessoas honestas nunca são punidas. 
b) as pessoas desonestas sempre são 
punidas. 
c) se algumas pessoas são punidas, então 
algumas pessoas não são honestas. 
d) se ninguém é punido, então não há 
pessoas desonestas. 
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e) se todos são punidos, então todos são 
desonestos. 
 
09-(ESAF – MPOG) Dizer que “Ana não é 
alegre ou Beatriz é feliz” é do ponto de vista 
lógico, o mesmo que dizer: 
a) se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz. 
b) se Beatriz é feliz, então Ana é alegre. 
c) se Ana é alegre, então Beatriz é feliz. 
d) se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz. 
e) se Ana não é alegre, então Beatriz não é 
feliz. 
 
10- (ESAF – CGU) Um renomado 
economista afirma que “A inflação não baixa 
ou a taxa de juros aumenta”. Do ponto de 
vista lógico, a afirmação do renomado 
economista equivale a dizer que: 
a) se a inflação baixa, então a taxa de juros 
não aumenta. 
b) se a taxa de juros aumenta, então a 
inflação baixa. 
c) se a inflação não baixa, então a taxa de 
juros aumenta. 
d) se a inflação baixa, então a taxa de juros 
aumenta. 
e) se a inflação não baixa, então a taxa de 
juros não aumenta. 
 
11- Um economista deu a seguinte 
declaração em uma entrevista: “Se os juros 
bancários são altos, então a inflação é 
baixa”. Uma proposição logicamente 
equivalente à do economista é: 
a) Se a inflação não é baixa, então os juros 
bancários não são altos 
b) Se a inflação é alta, então os juros 
bancários são altos 
c) Se os juros bancários não são altos, 
então a inflação não é baixa 
d) Os juros bancários são baixos e a inflação 
é baixa 
e) Ou os juros bancários são baixos, ou a 
inflação é baixa. 
 
12- (Cespe – TCE/RN – 2009) Com relação 
a lógica sentencial e de primeira ordem, 
julgue os itens que se seguem. 
1º- As proposições “Se Mário é assessor de 
Pedro, então Carlos é cunhado de Mário” e 
“Se Carlos não é cunhado de Mário, então 
Mário não é assessor de Pedro” são 
equivalentes. 
2º- Se A, B, C e D são proposições, em que 
B é falsa e D é verdadeira, então, 
independentemente das valorações falsa ou 
verdadeira de A e C, a proposição 
DCBA será sempre verdadeira. 
 
13- (Cespe – SEBRAE – 2008) 
Considerando que os números naturais x e y 
sejam tais que “se x é ímpar, então y é 
divisível por 3”, é correto afirmar que 
a) se x é par, então y não é divisível por 3. 
b) se y é divisível por 3, então x é ímpar. 
c) se y = 9, então x é par. 
d) se y = 10, então x é par. 
 
14- (FCC – TRE/Piauí - 2009) Um dos 
novos funcionários de um cartório, 
responsável por orientar o público, recebeu 
a seguinte instrução: 
 
“Se uma pessoa precisar autenticar 
documentos, encaminhe-a ao setor 
verde.” 
 
Considerando que essa instrução é sempre 
cumprida corretamente, pode-se concluir 
que, necessariamente, 
a) uma pessoa que não precise autenticar 
documentos nunca é encaminhada ao setor 
verde. 
b) toda pessoa encaminhada ao setor verde 
precisa autenticar documentos. 
c) somente as pessoas que precisam 
autenticar documentos são encaminhadas 
ao setor verde. 
d) a única função das pessoas que 
trabalham no setor verde é autenticar 
documentos. 
e) toda pessoa que não é encaminhada ao 
setor verde não precisa autenticar 
documentos. 
 
GABARITO 
01- B 
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02- D 
03- C 
04- D 
05- A 
06- D 
07- D 
08- D 
09- C 
10- D 
11- A 
12- Certo, Errado 
13- D 
14- E 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
14- De a negação das seguintes 
proposições: 
h) O flamengo não é um bom time. 
i) Os cariocas são chatos e os baianos são 
preguiçosos. 
j) As morenas não são convencidas ou os 
brancos são almofadinhas. 
k) Se for flamenguista, então é cardíaco. 
l) Eu estudo e aprendo 
m) O Brasil é um país ou a Bahia é um 
estado. 
n) Se eu estudo, então eu aprendo. 
 
15- A negação da afirmação condicional “se 
estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” 
é: 
f) Se não estiver chovendo, eu levo o 
guarda-chuva 
g) Não está chovendo e eu levo o guarda-
chuva 
h) Não está chovendo e eu não levo o 
guarda-chuva 
i) Se estiver chovendo, eu não levo o 
guarda-chuva 
j) Está chovendo e eu não levo o guarda-
chuva 
 
16- A negação de “não sabe matemática ou 
sabe português” é: 
f) Não sabe matemática e sabe português. 
g) Não sabe matemática e não sabe 
português. 
h) Sabe matemática ou sabe português. 
i) Sabe matemática e não sabe português. 
j) Sabe matemática ou não sabe português. 
 
17- (ESAF – Analista – TCU) Dizer que não 
é verdade que Pedro é pobre e Alberto é 
alto, é logicamente equivalente a dizer que é 
verdade que: 
f) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto 
g) Pedro não é pobre e Alberto não é alto 
h) Pedro é pobre ou Alberto não é alto 
i) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto 
j) Se Pedro não é pobre, então Alberto não é 
alto 
 
18- Assinale a opção que corresponde 
logicamente a qp~ . 
a) ~q~p b) ~q~p c) q~p 
d) q~p e) qp 
 
19- A negação de “se hoje chove então fico 
em casa” é: 
f) Hoje não chove e fico em casa. 
g) Hoje chove e não fico em casa. 
h) Hoje chove ou não fico em casa. 
i) Hoje não chove ou fico em casa. 
j) Se hoje chove então não fico em casa. 
 
20- Sejam p e q proposições simples e ~p 
e ~q , respectivamente, as suas negações. 
Os conectivos e e ou são representados, 
respectivamente, por e . A negação da 
proposição composta ~qp é 
a) q~p b) ~q~p c) ~qp 
d) q~p e) ~q~p 
 
21- (ESAF – CGU/2008) Maria foi informada 
por João que Ana é prima de Beatriz e 
Carina é prima de Denise. Como Maria sabe 
que João sempre mente, Maria tem certeza 
que a afirmação é falsa. Desse modo, e do 
ponto de vista lógico, Maria pode concluir 
que é verdade que: 
a) Ana é prima de Beatriz ou Carina não é 
prima de Denise. 
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b) Ana não é prima de Beatriz e Carina não 
é prima de Denise. 
c) Ana não é prima de Beatriz ou Carina não 
é prima de Denise. 
d) se Ana não é prima de Beatriz, então 
Carina é prima de Denise. 
e) se Ana não é prima de Beatriz, então 
Carina não é prima de Denise. 
 
22- A negação de “O gato mia e o rato chia” 
é: 
f) O gato não mia e o rato não chia 
g) O gato mia ou o rato chia 
h) O gato não mia ou o rato não chia 
i) O gato e o rato não chiam nem miam 
j) O gato chia e o rato não mia 
 
23- (ESAF – SEFAZ/2009) A negação de: 
Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital 
da Inglaterra é: 
a) Milão não é a capital da Itália e Paris não 
é a capital da Inglaterra. 
b) Paris não é a capital da Inglaterra. 
c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não 
é a capital da Inglaterra. 
d) Milão não é a capital da Itália. 
e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a 
capital da Inglaterra. 
 
24- (Cespe – DP/PMDF – 2009) Julgue os 
itens que se seguem, acerca de proposições 
e seus valores lógicos. 
3º- A negação da proposição “O concurso 
será regido por este edital e executado pelo 
CESPE/UnB” estará corretamente 
simbolizada na forma BA , isto é, “O 
concurso não será regido por este edital 
nem será executado pelo CESPE/UnB”. 
4º- A proposição BABA é uma 
tautologia. 
 
25- (Cespe – SEDUC/CE – 2009) A 
negação da proposição “A prova será 
aplicada no local previsto ou o seu horário 
de aplicação será alterado.” pode ser escrita 
como 
e) A prova não será aplicada no local 
previsto ou o seu horário de aplicação não 
será alterado. 
f) A prova não será aplicada no local 
previsto ou o seu horário de aplicação será 
alterado. 
g) A prova será aplicada no local previsto 
mas o seu horário de aplicação não será 
alterado. 
h) A prova não será aplicada no local 
previsto e o seu horário de aplicação não 
será alterado. 
 
26- (FCC – TRT - 2008) A negação da 
sentença “A Terra é chata e a Lua é um 
planeta.” é: 
a) Se a Terra é chata, então a Lua não é um 
planeta. 
b) Se a Lua não é um planeta, então a Terra 
não é chata. 
c) A Terra não é chata e a Lua não é um 
planeta. 
d) A Terra não é chata ou a Lua é um 
planeta. 
e) A Terra não é chata se a Lua não é um 
planeta. 
 
GABARITO 
14- 
h) O flamengo é um bom time. 
i) Os cariocas não são chatos ou os baianos 
não são preguiçosos. 
j) As morenas são convencidas e os brancos