Estática - Vetores Força - 194p

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V e t o r e s F o r ç a
O bjetivos d o C apítulo
• Mostrar como somar forças e decompô-las em 
componentes usando a lei do paralelogramo.
• Expressar a força e sua localização na forma veto- 
rial cartesiana e explicar como determinar a 
intensidade e a direção dos vetores.
• Introduzir o conceito de produto escalar para 
determinar o ângulo entre dois vetores ou a pro­
jeção de um vetor sobre o outro.
2 .1 ESC ALARES E VETORES
A maioria das quantidades físicas, em mecânica, pode 
ser expressa matem aticamente por meio de escalares e 
vetores.
Escalar. Uma quantidade caracterizada por um núm e­
ro positivo ou negativo é chamada escalar. Por exemplo, 
massa, volume e comprimento são quantidades escala­
res usadas freqüentem ente em estática. Neste livro, os 
escalares serão indicados por letras em itálico, como o 
escalar A .
Vetor. Vetor é uma quantidade que tem intensidade e direção. Em estática, as 
quantidades vetoriais encontradas com freqüência são posição, força e momen­
to. Em trabalhos manuscritos, o vetor é representado geralmente por uma letra 
com uma flecha sobre ela, como em A. A intensidade é designada por | A | ou 
simplesmente A. Neste livro, os vetores serão representados em negrito; por 
exemplo, A será usado para designar o vetor A ’. Sua intensidade, que é sempre 
uma quantidade positiva, será representada em itálico, escrita como 1̂ 41 ou sim­
plesmente A , quando ficar entendido que A é um escalar positivo.
Um vetor é representado graficamente por um flecha, usada para definir 
sua intensidade, direção e sentido. A intensidade do vetor é o comprimento da 
flecha, a direção é definida pelo ângulo entre o eixo de referência e a reta de 
ação da flecha e o sentido é indicado pela ponta da flecha. Por exemplo, o vetor 
A m ostrado na Figura 2.1 tem intensidade de 4 unidades, direção de 20° medi­
dos no sentido anti-horário a partir do eixo horizontal e sentido para cima e 
para a direita. O ponto O é chamado cauda do vetor, o ponto P é a ponta.
A torre de comunicações é estabilizada pelos cabos que exercem 
força nos pontos de acoplamento. Neste capítulo mostraremos 
como determinar a grandeza e a direção da força resultante em 
cada ponto.
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 13
Figura 2.1
2 .2 O perações V etoriais
M ultip licação e D ivisão de u m Vetor p o r u m Escalar. O produto do vetor 
A pelo escalar a, dando a A , é definido como o vetor de intensidade \aA\. O 
sentido de a A é o mesmo de A, desde que a seja positivo, e é oposto a A, se a 
for negativo. O valor negativo de um vetor é calculado multiplicando-se o vetor 
pelo escalar (—1) (Figura 2.2). A divisão de um vetor é definida usando-se as 
leis da multiplicação, visto que A/a = (l/a)A , com a # 0. A Figura 2.3 m ostra 
graficamente exemplos dessas operações.
Multiplicação e divisão escalares
Figura 2.3
A d içã o Vetorial. Dois vetores A e B. tais como uma força ou posição 
(Figura 2.4a), podem ser somados para form ar um vetor ‘resu ltan te ' R = A 
+ B usando-se a lei do paralelogramo. Para isso, A e B são unidos em suas 
origens (Figura 2.4b). Retas paralelas desenhadas a partir da extrem idade de 
cada vetor interceptam -se em um ponto comum, form ando os lados adjacen­
tes de um paralelogram o. Como m ostrado na figura, a resultante R é a 
diagonal do paralelogram o que vai das origens de A e B à intersecção das 
retas desenhadas.
Pode-se tam bém adicionar B a A usando a construção do triângulo , que 
é um caso especial da lei do paralelogram o, pela qual o vetor B é som ado ao 
vetor A ‘da origem para a extrem idade’, ou seja, unindo a origem de A à 
extrem idade de B (Figura 2.4c). A resultante R vai da origem de A à ex tre­
midade de B. De m aneira similar, R tam bém pode ser obtida adicionando-se 
A a B (Figura 2Ad). Pode-se perceber que a adição de vetores é com utativa; 
em outras palavras, os vetores podem ser somados em qualquer ordem , isto 
é, R = A + B = B + A .
Vetor A e sua contrapartida negativa
Figura 2.2
Lei do paralelogramo
(b)
R = A + B
Construção do triângulo
(c)
Figura 2.4
R = B + A
Construção do triângulo 
(d)
14 E s t á t i c a
R = A+B 
Adição de vetores colineares
Figura 2.5
No caso especial em que os dois vetores A e B são colineares, isto é, ambos 
têm a mesma linha de ação, a lei do paralelograma reduz-se a uma adição algé­
brica ou escalar R - A + B, como mostra a Figura 2.5.
S u b tra çã o Vetorial. A resultante diferença entre dois vetores A e B do 
mesmo tipo pode ser expressa como
R = A B = A + ( —B)
Esse vetor soma é m ostrado graficamente na Figura 2.6. A subtração é 
definida, portanto, como um caso especial de adição, de modo que as regras da 
adição vetorial também se aplicam à subtração vetorial.
- K
A ou
Lei do paralelogramo 
Subtração vetorial
Figura 2.6
Construção do triângulo
D ecom posição de Vetores. Um vetor pode ser decomposto em dois 
‘com ponentes’ que têm linhas de ação conhecidas usando-se a lei do paralelo­
gramo. Por exemplo, se R da Figura 2.1a for decomposto nos com ponentes 
que atuam ao longo das retas a e uma começa na origem de R e estende- 
se em uma reta paralela a a até interceptar b. Do mesmo modo, desenha-se 
uma reta paralela a b a partir da origem de R até o ponto de intersecção com 
a (Figura 2.1a). Os dois com ponentes A e B são então traçados de modo que 
se estendam da origem de R até os pontos de intersecção, como mostra a 
Figura 2.1b.
(a) (b)
Decomposição de um vetor
Figura 2.7
2 .3 A d iç ã o de Forças V etoriais
Foi dem onstrado experim entalm ente que uma força é uma quantidade 
vetorial, uma vez que tem intensidade, direção e sentido especificados e sua 
som a é feita de acordo com a lei do paralelogram o. Dois problem as comuns 
em estática são a determ inação da força resultante, conhecendo-se seus com­
ponentes, e a decomposição de uma força conhecida em dois componentes.
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 15
Como descrito na Seção 2.2, ambos os problem as requerem a aplicação da 
lei do paralelogramo.
Se a soma envolve mais de duas forças, é preciso realizar aplicações suces- F2 
sivas da lei do paralelogram o a fim de obter a força resultante. Por exemplo, 
se três forças Fj. F2, F3 atuam sobre o ponto O (Figura 2.8), determ ina-se a 
resultante de duas forças quaisquer — digamos, Fj + F2 — e depois se adi­
ciona essa resultante à terceira força, obtendo-se a resultante das três forças, 
ou seja, F * = (F, f 2) + F3. O uso da lei do paralelogram o para adicionar
mais de duas forças, como mostrado, norm alm ente requer cálculos extensos 
de geometria e trigonom etria para determ inar os valores num éricos da inten­
sidade e direção da resultante. Problemas desse tipo são resolvidos mais 
facilmente usando-se o ‘m étodo dos componentes retangulares’, que será 
explicado na Seção 2.4.
Se são conhecidas as forças Fa e Ffe que 
duas correntes a e b exercem sobre o gan­
cho, pode-se determinar a força resultante 
F( usando a lei do paralelogramo. Isso 
requer que se desenhem retas paralelas a 
a e b a partir das extremidades de Fa e Ffc, 
como mostrado, formando um paralelo­
gramo.
De maneira similar, se a força Ft 
ao longo da corrente c é conhecida, 
então seus dois componentes Fa e Ffc, 
que atuam ao longo de a e b, podem ser 
determinados pela lei do paralelogramo. 
Nesse caso, deve-se começar pela extre­
midade de Fc, traçar retas paralelas a a 
e b e assim construir o paralelogramo.
Lei dos senos:
A _ B _ C 
sen a sen b sen c
Lei dos cossenos:
C= >lA2 + B2- 2AB cos c
Figura 2.9
P r o c e d i m e n t o p a r a A n á l is e
Problemas que envolvem a soma de duas forças podem ser resolvidos como se segue.
Lei do Paralelogramo
• Trace um desenho esquemático que mostre a adição vetorial usando a lei do paralelogramo.
• Duas forças ‘componentes’ são somadas de acordo com a lei do paralelogramo, dando uma força resultante 
que forma a diagonal do paralelogramo.
• Se uma força tiver de ser decomposta em componentes ao longo de dois eixosorientados a partir da cauda 
dela, então comece na extremidade da força e construa linhas paralelas aos eixos, formando, desse modo, o 
paralelogramo. Os lados do paralelogramo representam as forças componentes.
• Identifique todas as intensidades das forças conhecidas e desconhecidas e os ângulos no desenho esquemáti­
co e determine as duas forças desconhecidas.
Trigonometria
• Desenhe metade do paralelogramo para mostrar a adição ponta-cauda triangular das forças componentes.
• A intensidade da força resultante é determinada pela lei dos cossenos e sua direção, pela lei dos senos 
(Figura 2.9).
• As intensidades das duas forças componentes são determinadas pela lei dos senos (Figura 2.9).
Figura 2.8
1 6 E s t á t i c a
P o n t o s I m p o r t a n t e s
• Escalar é um número positivo ou negativo.
• Vetor é uma quantidade que tem grandeza, direção e sentido.
• A multiplicação ou divisão de um vetor por um escalar muda a intensidade do vetor. O sentido dele muda se
o escalar for negativo.
• No caso especial em que os vetores são colineares, a resultante é formada pela adição algébrica ou escalar dos
vetores.
E X E M P L O 2 .1
O parafuso tipo gancho da Figura 2.10a está sujeito a duas forças F! e F2. 
D eterm ine a intensidade (m ódulo) e a direção da força resultante.
(a) (b)
Figura 2.10
(c)
SOLUÇÃO
Lei do P aralelogram o. A lei do paralelogramo de adição é mostrada na 
Figura 2.106. As duas incógnitas são a intensidade de F/? e o ângulo 6.
Trigonom etria . Pela Figura 2.106, o triângulo de vetores (Figura 2.10c) foi 
construído. F* é determ inada usando-se a lei dos cossenos.
Fr = \ / ( 1 0 0 N ) 2 + (150 N )2 - 2(100 N )(150N ) cos 115c
= V10 000 + 22 500 - 30 000(-0,4226) = 212,6 N 
= 213 N Resposta
O ângulo 0 é determ inado aplicando-se a lei dos senos, usando-se o valor 
calculado de F^.
150 N 212,6 N
sen 9 
sen 6 -
sen 115c 
150 N
212,6 N 
d = 39,8°
(0,9063)
Assim, a direção (J) áe FR medida a partir da horizontal é:
<f> = 39,8° + 15° = 54,8° ^ Resposta
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 17
E X EM P LO 2.2
Decomponha a força de 200 lb que atua sobre o tubo (Figura 2.11 a), em 
componentes, nas direções (a) x e y\ (b) x ' e y.
(a) (c)
SOLUÇÃO
Em cada um dos casos, a lei do paralelogramo é usada para decom por F 
em seus dois componentes. Constrói-se então o triângulo de vetor para deter­
minar os resultados numéricos por trigonometria.
Parte (a). O vetor adição F = Fv -I- Fv é mostrado na Figura 2.11 b. Observe que 
o comprimento dos componentes encontra-se em escala ao longo dos eixos x e y, 
construindo-se primeiro linhas a partir da extremidade de F paralelas aos eixos, 
de acordo com a lei do paralelogramo. Pelo triângulo de vetores (Figura 2.11c):
Fx = 200 lb cos 40° = 153 lb 
F v = 200 lb sen 40° = 129 lb
Resposta
Resposta
Parte (b). O vetor adição F = F v- + Fy é mostrado na Figura 2.1 k/. Observe 
com atenção como o paralelogramo foi construído. Aplicando-se a lei dos senos 
e usando-se os dados listados no triângulo de vetores (Figura 2.1 le), obtém-se:
Fx> 200 lb
sen 50° sen 60°
F* = 200 lb^
Fy 200 lb
sen 70° sen 60°
Fy
(
= 200 lb V
sen 50° 
V sen 60°
= 177 lb Resposta
sen 70° 
V sen 60°
— = 217 lb Resposta
(e)
Figura 2.11
EX EM PLO 2 .3 ________________________________________________
A força F que atua sobre a estrutura m ostrada na Figura 2.12a tem inten­
sidade de 500 N e deve ser decomposta em dois com ponentes que atuam ao 
longo dos elementos A B e AC. Determ ine o ângulo 0, medido abaixo da hori­
zontal, de modo que o com ponente F^c seja orientado de A para C e tenha 
grandeza de 400 N.
18 E s t á t ic a
b A
SOLUÇÃO
Usando-se a lei do paralelogramo, a adição de vetores dos dois compo­
nentes que dão a resultante é m ostrada na Figura 2.126. Observe atentam ente 
como a força resultante é decomposta nos dois componentes ¥AB e ¥AC, que 
têm as linhas de ação especificadas. O triângulo de vetores correspondente é 
m ostrado na Figura 2.12c.
O ângulo <f> é determ inado usando-se a lei dos senos:
400 N 500 N
sen 4> sen 60c 
/4 0 0 N '
sen <f> = f ) sen 60° = 0,6928
4> = 43,9°
(a) Portanto:
= 180° - 60° - 43,9° = 76,1° Resposta
Usando esse valor para 9, aplique a lei dos cossenos ou dos senos e mos­
tre que tem intensidade de 561 N.
Observe que F tam bém pode ser orientada com o ângulo 9 acima da hori­
zontal, como m ostra a Figura 2.\2d, e ainda assim origina o componente 
necessário FAC. M ostre que, nesse caso, 9 = 16,1° e ¥AB = 161 N.
500 N
(c)
Figura 2.12
J20°7\60o 
_1___ _______i___
Fac = 400 N
(d)
E X EM PLO 2 .4 ____________________________________________________________________________
O anel m ostrado na Figura 2.13a está submetido a duas forças Fj e F2. Se 
for necessário que a força resultante tenha intensidade de 1 kN e seja orien­
tada verticalmente para baixo, determ ine (a) a intensidade de F} e F2, desde 
que 9 = 30°, e (b) as intensidade de Fi e F2, se F2 for mínima.
SOLUÇÃO
P arte (a). O desenho esquemático da adição dos vetores, de acordo com a 
lei do paralelogramo, é m ostrado na Figura 2.136. Pelo triângulo de vetores 
construído na Figura 2.13c, as intensidades desconhecidas Fx e F2 são determ i­
nadas usando-se a lei dos senos:
F i _ 1.000 N 
sen 30° sen 130°
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 19
v 1000N
130°
1000 N
<20°
(b)
Fi = 653 N 
F 2 1.000 N
sen 20° sen 130c 
F2 = 446 N
Resposta
Resposta
P arte (b). Se 6 não for especificado, então, pelo triângulo de vetores (Figura 
2.13d), F2 pode ser adicionada a Fx de várias maneiras para dar força resultan­
te de 1.000 N. O comprimento ou intensidade mínima de F2 ocorrerá quando 
sua linha de ação for perpendicular a F j . Qualquer outra direção, tal como O A 
ou O B , dá um valor m aior para F2. Portanto, quando d = 90° —20° = 70°, F2 é 
mínima. Pelo triângulo m ostrado na Figura 2A3e, vê-se que:
Fx = 1.000 sen 70°N = 940 N 
F2 = 1.000 cos 70°N = 342 N
R esposta
R esposta
N
2 0 E s t á t i c a
L P roblem as
2.1. Determine a intensidade da força resultante = F, 
+ F2 e sua direção, medida no sentido anti-horário, a partir 
do eixo x positivo.
Problema 2.1
2.2. Determine a intensidade da força resultante se: (a) FR
= F, + F2; (b) F'r = ¥ , - F2.
2.3. Determine a intensidade da força resultante F* = Fi 
+ F2 e sua direção, medida no sentido anti-horário, a partir 
do eixo x positivo.
Problema 2.3
*2.4. Determine a intensidade da força resultante F^ = Fi 
+ F2 e sua direção, medida no sentido anti-horário, a partir 
do eixo u positivo.
2.5. Decomponha a força Fi nos componentes que atuam 
ao longo dos eixos u e v e determine a intensidade deles.
2.6. Decomponha a força F2 nos componentes que atuam 
ao longo dos eixos « e v e determine a intensidade deles.
F,= 300 N
F2= 500 N V
Problemas 2.4/S/6
2.7. A chapa está submetida a duas forças em A e B, como 
mostrado na figura. Se 6 = 60°, determine a intensidade da 
resultante das duas forças e sua direção medida a partir da 
horizontal.
*2.8. Determine o ângulo 9 necessário para acoplar o ele­
mento A à chapa, de modo que a força resultante de FA e FB 
seja orientada horizontalmente para a direita. Além disso, 
informe qual é a intensidade da força resultante.
= 8 kN
2.9. A força vertical F atua para baixo em A nos dois ele­
mentos da estrutura. Determine as intensidades dos dois 
componentes de F orientados ao longo dos eixos de AB e 
AC. Considere que F = 500 N.
2.10. Resolva o Problema 2.9 para F = 350 lb.
Problemas 2.9/10
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 21
2.11. A força que atua no dente da engrenagem é F = 20 
1b. Decomponha a força nos componentes que atuam ao 
longo das linhas aa e bb.
*2.12. O componente da força F que atua ao longo da linha 
aa deve ter 30 lb. Determine a intensidade de F e de seu com­
ponente ao longo da linha bb.
b
F
Problemas 2.11/12
2.13. A força de 500 lb que atua na estrutura deve ser 
decomposta em dois componentes que atuem ao longo do 
eixo das escoras AB e AC. Seo componente da força ao longo 
de AC tiver de ser de 300 lb, orientado de A para C, deter­
mine a intensidade da força que atua ao longo de AB e o 
ângulo 6 da força de 500 lb.
F = 500 lb
2.15. Determine o ângulo de projeto 6 (0o < 9 ^ 90°) da 
escora A B , de modo que a força horizontal de 400 lb tenha 
um componente de 500 lb orientado de A para C. Qual é o 
valor do componente da força que atua ao longo do elemen­
to A B ? Considere que = 40°.
*2.16. Determine o ângulo de projeto cf> (0o < (f) < 90°) entre 
as escoras AB e AC, de modo que a força horizontal de 400 
lb tenha um componente de 600 lb que atue para cima e para 
a esquerda, na direção de B para A. Considere que 6 - 30°.
Problemas 2.15/16
2.17. O cinzel exerce uma força de 20 lb sobre o pino de 
madeira que gira em um torno mecânico. Decomponha a 
força em componentes que atuem (a) ao longo dos eixos n e 
t e (b) ao longo dos eixos x e y.
Problema 2.17
2.14. A estaca deve ser arrancada do solo usando-se duas 
cordas A e B. A corda A está submetida a uma força de 600 
lb orientada a 60° a partir da horizontal. Se a força resultan­
te que atua verticalmente para cima sobre a estaca for de 
1.200 lb, determine a força T na corda B e o ângulo corres­
pondente 0.
6001b
Problema 2.14
2.18. Duas forças são aplicadas na extremidade de um olhai 
a fim de remover a estaca. Determine o ângulo 6 (0o ^ 6 < 
90°) e a intensidade da força F, de modo que a força resul­
tante que atua sobre a estaca seja orientada verticalmente 
para cima e tenha intensidade de 750 N.
y
Problema 2.18
2 2 E s t á t i c a
2.19. Se Fi = F2 = 30 lb, determine os ângulos 6 e (f>, de 
modo que a força resultante seja orientada ao longo do eixo 
x positivo e tenha intensidade FR = 20 lb.
*2.20. A caminhonete deve ser rebocada usando-se duas 
cordas. Determine a intensidade das forças e F# que 
atuam em cada corda a fim de produzir uma força resultan­
te de 950 N, orientada ao longo do eixo x positivo. Considere 
que d = 50°.
Problema 2.20
2.21. A caminhonete deve ser rebocada usando-se duas cor­
das. Se a força resultante for de 950 N, orientada ao longo do 
eixo x positivo, determine as intensidades das forças F^ e Ffl 
que atuam em cada corda e o ângulo 6 de FB, de modo que 
a intensidade de Fs seja mínima. F^ atua com 20° a partir do 
eixo Jt, como mostra a figura.
n
L— i
2.22. Determine a intensidade e a direção da resultante F« 
= Fi + F2 + F3 das três forças, encontrando primeiro a resul­
tante F' = Fi + F2 e depois compondo F/? = F' + F3.
2.23. Determine a intensidade e a direção da resultante FR 
= Fx + F2 + F3 das três forças, encontrando primeiro a resul­
tante F' = F2 + F3 e depois compondo F« = F' + F^
*2.24. Decomponha a força de 50 lb nos componentes que 
atuam ao longo (a) dos eixos x e y e (b) dos eixos x e y'.
50 lb
2.25. A tora deve ser rebocada por dois tratores A e B. 
Determine as intensidades das duas forças de arrasto e 
FB, se for necessário que a força resultante tenha intensida­
de Fr = 10 kN e seja orientada ao longo do eixo x. Considere 
que 6 = 15°.
2.26. Se a resultante F* das duas forças que atuam sobre a 
tora estiver orientada ao longo do eixo x positivo, com inten­
sidade de 10 kN, determine o ângulo 0 do cabo acoplado a B 
para que a força F« nesse cabo seja mínima. Qual é a inten­
sidade da força em cada cabo, nessa situação?
Problema 2.21 Problemas 2.25/26
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 2 3
Problemas 2.27/28
2.29. Três correntes atuam sobre o suporte da figura, 
criando uma força resultante de 500 lb de intensidade. Se duas 
das correntes estão submetidas a forças conhecidas, como 
mostrado, determine a orientação 6 da terceira corrente, 
medida no sentido horário a partir do eixo x positivo, de 
modo que a intensidade da força F nessa corrente seja míni­
ma. Todas as forças estão localizadas no plano x-y. Qual é a 
intensidade de F? Dica: determine primeiro a resultante das 
duas forças conhecidas. A força F atua nessa direção.
Problema 2.30
2.27. A viga da figura deve ser içada usando-se duas corren­
tes. Determine a intensidade das forças F^ e Ffí que atuam em 
cada corrente, a fim de obter uma força resultante de 600 N 
orientada ao longo do eixo y positivo. Considere que 6 = 45°.
*2.28. A viga da figura deve ser içada usando-se duas cor­
rentes. Se a força resultante for de 600 N, orientada ao longo 
do eixo y positivo, determine as intensidades das forças F^ e 
Fã que atuam em cada corrente e a orientação 6 de Fs , de 
modo que a intensidade de Fs seja mínima. F^ atua com 30° 
a partir do eixo y, como mostrado.
2.30. Os três cabos puxam um tubo de tal modo que geram 
uma força resultante com intensidade de 900 lb. Se dois dos 
cabos estiverem submetidos a forças conhecidas, como mostra 
a figura, determine a direção 6 do terceiro cabo, de modo que 
a intensidade da força F nesse cabo seja mínima. Todas as 
forças estão localizadas no plano x-y. Qual é a intensidade 
de F? Dica: determine primeiro a resultante das duas forças 
conhecidas.
200 lb 
Problema 2.29
2 .4 A d iç ã o de u m S istem a de Forças C oplanares
Quando é necessário obter a resultante de mais de duas forças, é mais fácil 
determ inar os componentes de eixos especificados, adicionar algebricam ente 
esses componentes e depois gerar a resultante, em vez de determ inar a resul­
tante das forças pela aplicação sucessiva da lei do paralelogram o, como 
discutido na Seção 2.3.
Nesta seção, vamos decompor cada uma das forças em seus com ponentes 
retangulares F* e Fy, que se localizam ao longo dos eixos x e y, respectivam en-
2 4 E s t á t i c a
te (Figura 2.14a). A pesar de um eixo ser horizontal e o outro, vertical, podem 
ser orientados com qualquer inclinação, desde que permaneçam perpendicula­
res um ao outro (Figura 2.14b). Em qualquer dos casos, pela lei do 
paralelogramo, é necessário que:
F = F, + Fv
(a) F' = F'r + F'
(b)
Figura 2.14
Como m ostrado na Figura 2.14, o sentido da direção de cada força com­
ponente é representado graficamente pela ponta da flecha. E ntretanto, para 
um trabalho analítico, deve-se estabelecer a notação que representa o senti­
do de direção dos com ponentes retangulares, o que pode ser feito de duas 
maneiras.
N o ta çã o E scalar. Como os eixos x e v têm direções positiva e negativa desig­
nadas, a intensidade e o sentido de direção dos componentes retangulares da 
força podem ser expressos em termos de escalares algébricos. Por exemplo, os 
com ponentes de F na Figura 2.14a são representados por escalares positivos 
Fx e Fy, uma vez que seu sentido de direção é ao longo dos eixos . r e y positi­
vo.s, respectivam ente. De modo semelhante, os componentes de F ' na Figura 
2.14b são F'x e — F'y. Nesse caso, o componente y é negativo, visto que F 'y é 
orientado ao longo do eixo y negativo.
É im portante lem brar que a notação escalar deve ser usada apenas para 
fins de cálculo, não para representações gráficas em figuras. Neste livro, a extre­
midade do vetor, em qualquer figura, representa o sentido do vetor graficamente; 
sinais algébricos não são usados para essa finalidade. Assim, os vetores das 
figuras 2.14a e 2.14b são designados usando-se notação (de vetor) em negrito.1 
Sempre que forem escritos símbolos em itálico próximo das flechas de veto­
res nas figuras, eles indicam a intensidade do vetor, que é sempre uma 
quantidade positiva.
N o ta çã o de Vetor C artesiano . Também é possível representar os compo­
nentes de uma força em termos de vetores cartesianos unitários. Q uando isso 
é feito, os m étodos da álgebra vetorial são mais fáceis de aplicar e pode-se 
ainda verificar que essa prática torna-se particularm ente vantajosa para resol­
ver problem as tridimensionais.
Em duas dimensões, os vetores cartesianos unitários i e j são usados para 
designar as direções dos eixos .r e y, respectivamente (Figura 2.15a).2 Esses 
vetores têm intensidade unitária e seu sentido (ou ponta da flecha) será des­
crito analiticam ente por um sinal de mais oude menos, dependendo se apontam 
ao longo do sentido positivo ou negativo dos eixos .v ou y.
Como mostra a Figura 2.15a, a intensidade de cada componente de F é 
sempre uma quantidade positiva , representada pelos escalares (positivos) Fx e 
Fy. Tendo, portanto, estabelecido a notação para representar a intensidade e a 
direção de cada vetor componente, pode-se expressar F na Figura 2.15a como 
o vetor cartesiano:
F = Fx\ + Fy]
1 Sinais negativos são usados nas figuras com notação em negrito apenas quando mostram pares 
de vetores iguais mas opostos, como na Figura 2.2.
2 Em trabalho manuscrito, os vetores unitários são indicados usualmente por um acento circun- 
flexo, por exemplo, i e j.
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 2 5
Da mesma maneira, F' na Figura 2.156 pode ser expresso como: 
F' = F'x\ + F'y{ — j)
ou simplesmente:
F = F 'xi - F'y\
Figura 2.15
R e su lta n te s de Forças C oplanares. Q ualquer um dos m étodos descritos 
pode ser usado para determ inar a resultante de várias forças coplanares. Para 
isso, cada força é primeiro decomposta em seus com ponentes x e y\ depois os 
respectivos com ponentes são somados usando-se álgebra escalar, uma vez que 
são colineares. A força resultante é então composta adicionando-se as resul­
tantes de x e y, usando a lei do paralelogramo. Por exemplo, vamos considerar 
as três forças concorrentes na Figura 2.16a, que têm os com ponentes x e y, 
como m ostra a Figura 2.166. Para resolver esse problem a usando notação veto­
rial cartesiana, cada força é representada como um vetor cartesiano, isto é:
Fi = Fu \ + Flyj 
F2 = - F lx\ + Fly\
F3 = F3x i - F3yi
y
^ ^ r F .
F 2y F,v
f - - - r F u
\
f3
F 3, P
--------------X
(a) (b)
Figura 2.16
O vetor resultante é, portanto:
Ffl = Ft + F2 + F3
= Flxi + Flyj - F2xi + F2yj + F3xi - F3yj
= (Flx - Flx + ^3x)i + + Fly - F3y)\
= (Frx) i + (FRy) j
2 6 E s t á t ic a
F/?v L_ Fs
(c)
Figura 2.16
Se for usada a notação escalar, então pela Figura 2.166, uma vez que Jt é 
positivo para a direita e y é positivo para cima, teremos:
( ^ ) 
( + í)
Fr* = F\x - F 2x + Flx 
FRy = F\y + F 2y ~ F 3y
Os resultados são os mesmos que os componentes i e j de F/? determ ina­
dos anteriorm ente.
Em geral, os com ponentes x e y da resultante de qualquer núm ero de for­
ças coplanares podem ser representados simbolicamente pela soma algébrica 
dos com ponentes x e y de todas as forças, ou seja:
* II 2 F ,
II>>
£
'ZFy
(2.1)
A força resultante das quatro forças que 
atuam sobre os cabos é determinada 
somando-se algebricamente os compo­
nentes x e y separados de cada força do 
cabo. A resultante FK produz o mesmo 
efeito de tração no suporte que os qua­
tro cabos.
Ao aplicar essas equações, é im portante usar a convenção de sinal estabe­
lecida para os com ponentes; assim, os componentes que têm sentido de direção 
ao longo do eixo de coordenadas positivo são considerados escalares positivos, 
ao passo que aqueles que têm sentido de direção ao longo do eixo de coorde­
nadas negativo são considerados escalares negativos. Se essa convenção for 
seguida, os sinais dos com ponentes da resultante especificarão o sentido deles. 
Por exemplo, um resultado positivo indica que o componente tem sentido de 
direção da coordenada de direção positiva.
Uma vez que os com ponentes da resultante estejam determinados, podem 
ser traçados em um desenho esquemático ao longo dos eixos x e y, nas dire­
ções apropriadas, e a força resultante pode ser determ inada por adição vetorial, 
como mostra a Figura 2.16c. Pelo desenho esquemático, a intensidade de F^ é 
determ inada pelo teorem a de Pitágoras, isto é:
Fr Rx + F
Além disso, o ângulo de direção 0, que especifica a orientação da força, é 
determ inado trigonom etricam ente:
0 = tg^1
P Ry
F r,
Os conceitos anteriores são ilustrados numericamente nos exemplos que 
se seguem.
P o n t o s I m p o r t a n t e s
• A resultante de várias forças coplanares é determinada facilmente se for estabelecido um sistema de coorde­
nadas x e y e as forças forem decompostas ao longo dos eixos.
• A direção de cada força é especificada pelo ângulo que sua reta de ação forma com um dos eixos ou por um 
triângulo inclinado.
• A orientação dos eixos x e y é arbitrária e suas direções positivas são especificadas pelos vetores cartesianos 
unitários i e j.
• Os componentes x e ^ d a força resultante são simplesmente a soma algébrica dos componentes de todas as for­
ças coplanares.
• A intensidade da força resultante é determinada pelo teorema de Pitágoras e, quando os componentes são tra­
çados em um desenho esquemático de eixos jc e y, a direção é determinada trigonometricamente.
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 2 7
EX EM PLO 2.5
Determine os componentes . v e y d e F 1e F 2 que atuam sobre a lança mos­
trada na Figura 2.17a. Expresse cada força como vetor cartesiano.
SOLUÇÃO
N otação Escalar. Pela lei do paralelogramo, F] é decom posta nos com po­
nentes x e y (Figura 2.17b). A intensidade de cada com ponente é determ inada 
por trigonometria. Uma vez que F u. atua na direção — x e F ly, na direção +y, 
temos:
A força F2 é decomposta em seus componentes x e y, como m ostrado na 
Figura 2.17c. Nesse caso, o declive da reta de ação da força é indicado. Por esse 
‘triângulo representando a inclinação’ pode-se obter o ângulo 0, ou seja,
9 = tg _ 1 (^2) e determ inar as intensidades dos componentes da mesma m anei­
ra que para F (. Um método mais fácil, entretanto, consiste em usar partes 
proporcionais de triângulos semelhantes, isto é:
y
F, = 2 0 f '
F,= 200 N
ÀFlv= 200 cos 30° N
\
x
V
\
\
F2 = 260 N x
(a)
Fix = 200 sen 30°N
(b)
Figura 2.17
F lx = -2 0 0 sen 30° N = -1 0 0 N = 100 N ^ - 
F{y = 200 cos 30° N = 173 N = 173 N f
Resposta
Resposta
De maneira semelhante:
F2í = 2 6 0 ( ||)N
(c)
Figura 2.17
2 8 E s t á t ic a
Observe que a intensidade do componente horizontal, F ^ , foi obtida mul­
tiplicando a intensidade da força pela relação entre o cateto horizontal do
triângulo inclinado e a hipotenusa, enquanto a intensidade do componente ver­
tical, F2y, foi obtida multiplicando a intensidade da força pela relação entre o 
cateto vertical dividido pela hipotenusa. Então, usando notação escalar:
F2x = 240 N — 240 N —> Resposta
F2y = -1 0 0 N = 1 0 0 N | Resposta
N o ta çã o Vetorial C a rte s ia n a . Tendo determ inado a intensidade e a dire­
ção dos com ponentes de cada força, pode-se expressar cada um deles como um 
vetor cartesiano.
Fi = { —lOOi + 173j} N Resposta
F2 = {240i - 100j} N Resposta
E X E M P L O 2 .6
O elo da Figura 2.18a está submetido a duas forças F t e F2. Determ ine a 
intensidade e a orientação da força resultante.
= 400N b\ = 600N F2 = 400N F, = 600N
. 4 5 °
> - ^ 3 0 °/+ i
y x 45° -
_____________ ,
' s
(a) (b)
(c)
Figura 2.18
SOLUÇÃO I
Figura 2.18
Notação Escalar. Este problema pode ser resolvido usando-se a lei do paralelo­
gramo. Entretanto, nesse caso, vamos decompor cada força em seus componentes
x e y (Figura 2.186) e som ar esses componentes algebricamente. Indicando o 
sentido ‘positivo’ dos com ponentes x e y da força ao lado de cada equação, 
temos:
FRx = ZFX- FRx = 600 cos 30° N - 400 sen 45° N
= 236,8 N ->
+ '[Ffy = ZFy. FRy = 600 sen 30° N + 400 cos 45° N
= 582,8 N f
A força resultante m ostrada na Figura 2.18c tem a seguinte intensidade:
Fr = \ / (236,8 N )2 + (582,8 N )2 
= 629 N Resposta
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 2 9
Pela adição vetorial (Figura 2.18c), o ângulo de direção d é:
_1/5 8 2 ,8 N \
9 = t g ~ = 6 7 ’9 ° R e s p m ,a
SOLUÇÃO II
N otação V etorial C artesiana . Pela Figura 2.18b, cada força é expressa 
como um vetor cartesiano:
F t = {600 cos 30°i + 600 sen 30°j} N
F2 = { -4 0 0 sen 45°i + 400 cos 45°j} N
Assim:
FR = ¥ l + F2 = (600 cos 30° N - 400 sen 45° N )i 
+ (600 sen 30° N + 400 cos 45° N )j 
= {236,8i + 582,8j} N
A intensidade e a direção de F^ são determ inadas da mesma m aneira mos­trada acima.
Comparando-se os dois métodos de solução, pode-se verificar que o uso da 
notação escalar é mais eficiente, visto que os componentes são determ inados 
diretamente, sem ser necessário expressar primeiro cada força como um vetor 
cartesiano antes de adicionar os componentes. Vamos mostrar, mais adiante, que 
a análise vetorial cartesiana facilita a solução de problemas tridimensionais.
EX EM PLO 2 .7 ________________________________________________
A extrem idade de uma lança O na Figura 2.19a está subm etida a três for­
ças concorrentes e coplanares. Determ ine a intensidade e a orientação da força 
resultante.
3- y.
Figura 2.19
SOLUÇÃO
Cada força está decomposta em seus componentes x e y (Figura 2.19b). 
Somando os com ponentes x, temos:
FRx = 2 F ,; F Rx = -4 0 0 N + 250 sen 45° N - 200(f) N
= -383,2 N = 383,2 N < -
3 0 E s t á t ic a
O sinal negativo indica que FRx atua para a esquerda, ou seja, na direção 
x negativa, como indicado pela flecha pequena. Somando-se os componentes 
y, obtém-se:
FRy = 250 cos 45° N + 200(f) N 
= 296,8 N f
+ 1F Xy = 2 F y;
A força resultante, m ostrada na Figura 2.19c, tem a seguinte intensidade:
F R = \ / ( - 3 8 3 ,2 N ) 2 + (296,8N )2 
= 485 N
Pela adição vetorial na Figura 2.19c, o ângulo de direção 6 é:
_xf 296,8
= tg 383,2
= 37,8C
Resposta
Resposta
Observe a conveniência de usar esse método, com parado às duas aplica­
ções da lei do paralelogramo.
P r o b l e m a s
2.31. Determine os componentes x e y da força de 800 lb.
20 kN
Prohlema 2.31
*2.32. Determine a intensidade da força resultante e sua 
direção, medida no sentido horário a partir do eixo x positivo.
12 kN
Problema 2.33
2.34. Determine a intensidade da força resultante e sua dire­
ção, medida no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo.
70 N
65 N
Problema 2.32
2.33. Determine a intensidade da força F, de modo que a 
resultante FR das três forças seja a menor possível.
800 lb
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 31
2.35. Três forças atuam sobre o suporte da figura. 
Determine a intensidade e a direção 9 de Fj, de modo que a 
força resultante seja orientada ao longo do eixo x' positivo 
e tenha intensidade de 1 kN.
*2.36. Se Fi = 300 N e 9 = 20°, determine a intensidade 
e a direção, medida no sentido anti-horário, a partir do eixo 
x', da força resultante das três forças que atuam sobre o 
suporte.
Problemas 2.35/36
2.37. Determine a intensidade e a direção 9 de Fj, de modo 
que a força resultante seja orientada verticalmente para cima 
e tenha intensidade de 800 N.
2.38. Determine a intensidade e a direção, medida no sen­
tido anti-horário, a partir do eixo jc, da força resultante das 
três forças que atuam sobre o anel A. Considere que Fi = 
500 N e 9 = 20°.
y
Problemas 2.37/38
2.39. Expresse Fj e F2 como vetores cartesianos.
*2.40. Determine a intensidade da força resultante e sua 
direção, medida no sentido anti-horário, a partir do eixo x 
positivo.
Problemas 2.39/40
2.41. Resolva o Problema 2.1 somando os componentes 
retangulares ou x e y das forças para obter a força resultante.
2.42. Resolva o Problema 2.22 somando os componentes 
retangulares ou x e y das forças para obter a força resultante.
2.43. Determine a intensidade e a orientação 9 de Ffí, de 
modo que a força resultante seja orientada ao longo do eixo 
y positivo e tenha intensidade de 1.500 N.
*2.44. Determine a intensidade e a orientação, medida no 
sentido anti-horário, a partir do eixo v positivo, da força resul­
tante que atua sobre o suporte, se FB = 600 N e 9 = 20°.
y
2.45. Determine os componentes x e y de Fj e F2.
2.46. Determine a grandeza da força resultante e sua dire­
ção, medida no sentido anti-horário, a partir do eixo x positivo.
3 2 E s t á t ic a
2.47. Determine os componentes x e y de cada força que 
atua sobre a chapa de ligação da estrutura tipo treliça que 
sustenta a ponte. Demonstre que a força resultante é nula.
2.51. Expresse cada uma das três forças que atuam sobre a 
coluna na forma vetorial cartesiana e calcule a intensidade 
da força resultante.
F,=150 lb
F2=275 lb
F3=75 lb 
60°
lb
Problema 2.47
*2.48. Se 6 = 60° e F = 20 kN, determine a intensidade da 
força resultante e sua direção, medida no sentido horário, a 
partir do eixo x positivo.
y
50 kN
x
Problema 2.48
2.49. Determine a intensidade e a orientação 6 de F^, de 
modo que a força resultante seja orientada ao longo do eixo 
jc positivo e tenha intensidade de 1.250 N.
2.50. Determine a intensidade e a orientação, medida no 
sentido anti-horário, a partir do eixo x positivo, da força resul­
tante que atua sobre o anel em O, se FA = 750 N e 0 = 45°.
.......................................... frir
x
Problemas 2.49/50
Problema 2.51
*2.52. As três forças concorrentes que atuam sobre o olhai 
produzem uma força resultante F/? = 0. Se F2 = \ fx e Ft esti­
ver a 90° de F2, como mostrado, determine a intensidade 
necessária de F3 expressa em termos de F\ e do ângulo 6.
2.53. Determine a intensidade da força F, de modo que a 
resultante das três forças F/* seja a menor possível. Qual é a 
intensidade mínima de F^?
Problema 2.53
N
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 3 3
2.54. Expresse cada uma das três forças que atuam sobre o 
suporte em forma vetorial cartesiana em relação aos eixos x 
e y. Determine a intensidade e a orientação 6 de Fj, de modo 
que a força resultante seja orientada ao longo do eixo x' posi­
tivo e tenha intensidade FR — 600 N.
y
*2.56. Três forças atuam sobre um suporte. Determine a 
intensidade e a orientação 0 de F2, de modo que a força resul­
tante seja orientada ao longo do eixo u positivo e tenha 
intensidade de 50 lb.
2.57. Se F2 — 150 lb e 6 = 55°, determine a intensidade e a 
orientação, medida no sentido horário, a partir do eixo x posi­
tivo, da força resultante das três forças que atuam sobre o 
suporte.
y
Problema 2.54
2.55. As três forças concorrentes que atuam sobre o poste 
produzem uma força resultante = 0. Se F2 = \F X e F\ 
estiver a 90° de F2, como mostrado, determine a intensidade 
necessária de F3 expressa em termos de F̂ e do ângulo d.
y
Problema 2.55
Problemas 2.56/57
2.58. Determine a intensidade da força F, de modo que a 
força resultante das três forças seja a menor possível. Qual é 
a intensidade da força resultante?
Problema 2.58
2 .5 V etores C artesianos
As operações da álgebra vetorial, quando aplicadas na solução de proble­
mas tridimensionais, são simplificadas se os vetores são representados prim eiro 
na forma vetorial cartesiana. Nesta seção será apresentado um m étodo geral 
para fazer a conversão. Na próxima seção, o m étodo será aplicado na resolu­
ção de problemas que envolvem a adição de forças. Aplicações sem elhantes 
serão utilizadas para vetores de posição e de m omento dados, em seções pos­
teriores do livro.
S is tem a de C oordenadas U tilizando a Regra da M ão D ireita . Um sis­
tema de coordenadas utilizando a regra da mão direita será usado para 
desenvolver a teoria da álgebra vetorial a seguir. Diz-se que um sistema de
F3 =521b
fj = 80 lb 
—i— ►-------- *
25°
3 4 E s t á t i c a
Sistema de coordenadas da mão direita
Figura 2.20
z
Figura 2.22
coordenadas retangulares ou cartesianas é da mão direita desde que o polegar 
dessa mão direita aponte na direção positiva do eixo z, quando os dedos dessa 
mão são dobrados em torno desse eixo e orientados a partir do eixo x positi­
vo para o eixo y positivo (Figura 2.20). Além disso, de acordo com essa regra, 
o eixo z para um problem a bidimensional, como na Figura 2.19, está orienta­
do para fora, perpendicularm ente à página.
Com ponentes Retangulares de um Vetor. Um vetor A pode ter um, dois 
ou três com ponentes ao longo dos eixos de coordenadas x, y , z, dependendo 
de como está orientado em relação aos eixos. Em geral, quando A está orien­
tado em um oitante do sistema x, y, z (Figura 2.21), com duas aplicações 
sucessivas da lei do paralelogram o pode-se decompô-lo em componentes, como 
A= A' + A, e depois A' = A x + Av. Combinando essas equações, A é repre­
sentado pela soma vetorial de seus três componentes retangulares.
A = A v + Ay + Aj (2.2)
Vetor Unitário. A direção de A é especificada usando-se um vetor unitário, 
que tem esse nome porque apresenta intensidade 1. Se A é um vetor com inten­
sidade A =£ 0, então o vetor unidade que tem a mesma direção de A é 
representado por:
A
Ua ~ Ã (2.3)
de modo que:
A = A ua (2.4)
Sendo A de um certo tipo. por exemplo, vetor força, costuma-se usar o 
conjunto de unidades apropriadas para descrevê-lo. A intensidade de A tam ­
bém tem o mesmo conjunto de unidades. Então, pela Equação 2.3, o vetor
unitário é adimensional, visto que as unidades se anulam. A Equação 2.4 indi­
ca, portanto, que o vetor A é expresso em termos tanto de sua intensidade 
quanto de sua direção separadamente, ou seja, A (escalar positivo) define a 
intensidade de A, e u^ (vetor adimensional) define a direção e o sentido de A 
(Figura 2.22).
Vetores Cartesianos Unitários. Em três dimensões, o conjunto de vetores 
unitários i, j, k é usado para designar as direções dos eixos *, y, z, respectiva­
mente. Como foi dito na Seção 2.4, o sentido (ou ponta da flecha) desses vetores 
será descrito analiticam ente por um sinal positivo ou negativo, dependendo se 
indicam o sentido positivo ou negativo dos eixos x, y ou z. Os vetores carte­
sianos unitários positivos são m ostrados na Figura 2.23.
Figura 2.23
X
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 35
Figura 2.24
Representação de um Vetor Cartesiano. Como os três com ponentes de A 
na Equação 2.2 atuam nas direções positivas i, j. k (Figura 2.24), pode-se escre­
ver A sob a forma de vetor cartesiano como:
A = A x\ + A y\ + A ZV. (2.5)
Há uma vantagem em escrever os vetores dessa maneira. Note que a inten­
sidade e a direção de cada componente do vetor estão separadas e, como 
resultado, simplificam-se as operações de álgebra vetorial, particularm ente em 
três dimensões.
Intensidade de um Vetor Cartesiano. É sempre possível obter a intensidade 
de A, desde que ele esteja expresso sob a forma vetorial cartesiana. Como mostra
a Figura 2.25, temos, pelo triângulo retângulo cinza-claro, A = \ / A ' 2 + A 2,
e, pelo triângulo retângulo cinza-escuro, A ' = \ / A 2X + A 2y. Com binando-se 
essas duas equações, obtém-se:
A = \ / A 2x + A 2 + A 2z (2.6)
Portanto, a intensidade de A é igual à raiz quadrada positiva da soma dos 
quadrados de seus componentes.
Direção de um Vetor Cartesiano. A orientação de A é definida pelos ângu­
los diretores coordenados a (alfa), /3 (beta) e y (gama), medidos entre a origem 
de A e os eixos positivos x, y, z localizados na origem de A (Figura 2.26). 
Observe que cada um desses ângulos está entre 0o e 180°, independentem en­
te da orientação de A.
Para determ inarm os a, /3 e y, vamos considerar a projeção de A sobre os 
eixos x ,y , z, (Figura 2.27). Com referência aos triângulos retângulos som breados 
mostrados em cada uma das figuras, temos:
cos a =
Ay
cos (3 = ——
A
cos y = (2.7)
Figura 2.25
AA
i4,k.
4
/
y /■%/
A
/7 Yaí
( '
^vj
J /
Figura 2.26
Esses números são conhecidos como cossenos diretores de A. Um a vez 
obtidos, os ângulos diretores coordenados a, (3 e y são determ inados pelo inver­
so dos cossenos.
3 6 E s t á t i c a
A
/
j
//
b
s "
90°
90
n
K
///
y / A
V
/
/
/
►.--------v
(a) (b)
Figura 2.27
(c)
Um modo fácil de obter os cossenos diretores de A é criar um vetor uni­
tário na direção de A (Equação 2.3). Desde que A seja expresso sob a forma 
de vetor cartesiano, A = A xi + A yj -I- A zk (Equação 2.5), então:
onde A = \ J A \ + A\, + A \ (Equação 2.6). Por comparação com as equações
2.7, vemos que os componentes de uA (i, j, k) representam os cossenos direto­
res de A, isto é:
u^ = cos ai + cos /3j + cos yk (2.9)
Como a intensidade do vetor é igual à raiz quadrada positiva da soma dos 
quadrados da intensidade de seus componentes e u^ tem intensidade 1, então 
se pode estabelecer uma relação importante entre os cossenos diretores:
cos2 a + cos2 (3 + cos2 y = 1 (2.10)
Como o vetor A localiza-se em um oitante conhecido, essa equação pode 
ser usada para determ inar um dos ângulos da coordenada de direção se os 
outros dois forem conhecidos.
Finalmente, se a intensidade e os ângulos da coordenada de direção de A 
são dados. A pode ser expresso sob forma vetorial cartesiana como:
A = A ua
= A cos a i + A cos /3j + A cos yk 
= A x[ + A y\ + A z k (2.11)
2 .6 A d iç ã o e S ubtração de V etores C artesianos
As operações vetoriais de adição e subtração de dois ou mais vetores são 
bastante simplificadas se os vetores são expressos em função de seus com po­
nentes cartesianos. Por exemplo, se A = A xi + v4vj + A ZV. e B = f ivi + By\ +
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 3 7
Bzk (Figura 2.28), então o vetor resultante R tem componentes que represen­
tam as somas escalares de i, j, k de A e B, ou seja:
R = A + B = (A x + fív)i + ( A v + fiv)j + ( A z + S-)k
z
y
Figura 2.28
O vetor subtração, sendo um caso especial de vetor adição, simplesmente 
requer uma subtração escalar dos respectivos componentes i, j, k, tanto de A 
como de B. Por exemplo:
R = A — B = { A x — B x) i + ( A v — Z?v)j + ( A z — Bz) k
S istem a s de Forças C oncorrentes. Se o conceito de vetor adição for gene­
ralizado e aplicado em um sistema de várias forças concorrentes, então a força 
resultante será o vetor soma de todas as forças do sistema e poderá ser escri­
ta como:
¥r = 2F = 2 F vi + 2F yj + ZFz k (2.12)
Nesse caso, XFV, XFy e XFZ representam as somas algébricas dos respecti­
vos componentes x, y, z ou i. j. k de cada força do sistema.
Os exemplos a seguir ilustram numericamente os m étodos usados para 
aplicar a teoria acima na resolução de problemas envolvendo força como quan­
tidade vetorial.
A força F que o cabo de amarração 
da aeronave exerce sobre o apoio em 
O é orientada ao longo do cabo. Usan- 
do-se os eixos x, y, z locais, pode-se 
medir os ângulos diretores coordena­
dos a,l3 e y. Os cossenos desses ângulos 
são os componentes de um vetor uni­
tário u que atua na direção do cabo. 
Se a força tiver intensidade F, então 
ela será escrita em forma vetorial car- 
tesiana como F = Fu = F cos ai + F 
cos + F cos yk.
3 8 E s t á t ic a
P o n t o s I m p o r t a n t e s
• A análise vetorial cartesiana é usada freqüentemente para resolver problemas em três dimensões.
• A direção positiva dos eixos x, y, z é definida pelos vetores cartesianos unitários i, j, k, respectivamente.
• A intensidade de um vetor cartesiano é A = \J ~ Ã \ + Ã j + A l
• A direção de um vetor cartesiano é definida pelos ângulos que a origem do vetor forma com os eixos positi­
vos x, y y z , respectivamente. Os componentes do vetor unitário u = AJA representam os cossenos diretores a, 
(3, y. Apenas dois dos ângulos a, /3, y devem ser especificados. O terceiro ângulo é calculado pela relação cos2 
a -I- cos2 /3 + cos2 y — 1.
• Para determinar a resultante de um sistema de forças concorrentes, expresse cada força como um vetor carte­
siano e adicione os componentes i, j, k de todas as forças do sistema.
E X E M P L O 2 .8
Expresse a força F, m ostrada na Figura 2.29, como um vetor cartesiano. 
SOLUÇÃO
Como apenas dois ângulos de direção de coordenadas são dados, o tercei­
ro ângulo, a, deve ser calculado pela Equação 2.10, isto é:
cos2 a + cos2 + cos2 7 = 1 
cos2 a -I- cos2 60° + cos2 45° = 1
cos a = V 1 “ (°>5)2 ~ (0,707)2 = ±0,5
Então, existem duas possibilidades:
a = cos-1 (0,5) = 60° ou a = cos_1(-0 ,5 ) = 120°
Pela Figura 2.29, é necessário que a = 60°, desde que Fx esteja na direção +x. 
Usando-se a Equação 2.11, com F = 200 N, tem-se:
F = F cos a i + F cos /3j + F cos yk
= (200 cos 60° N )i + (200 cos 60° N )j + (200 cos 45° N )k 
= {100Í + lOOj + 141,4k}N Resposta
Aplicando a Equação 2.6, observe que realmente a intensidade F = 200 N.
F = y j F \ + f \ + F\
F = 200 N
Figura2.29
= V í 100)2 + (100)2 + (141,4)2 = 200 N
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 3 9
EX EM P LO 2 .9 _______________________________________________
Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força 
resultante que atua sobre o anel, conforme a Figura 2.30a.
(a) (b)
Figura 2.30
S OLUÇÃO
Uma vez que cada força está representada na forma vetorial cartesiana, a 
força resultante, m ostrada na Figura 2.30b, é:
¥ r = £ F = Fi + F2 = {60j + 80k} lb + {50i - lOOj + 100k} lb
= {50i - 40j + 180k} lb
A intensidade de F^ é calculada pela Equação 2.6, isto é:
F r = \ / (50)2 + ( - 4 0 ) 2 + (180)2 = 191
= 191 lb Resposta
As direções dos ângulos das coordenadas a , (3, y são determ inadas pelos 
componentes do vetor unitário que atua na direção de F/?.
F^ _ 50 . 40 . 180
UfR ~ F r ~ 191 * 191 J + 191
= 0,2617i - 0,2094j + 0,9422k
de modo que:
cos a = 0,2617 a = 74,8° Resposta
cos (3 = -0,2094 f3 = 102° Resposta
cos y = 0,9422 y = 19,6° Resposta
Esses ângulos são mostrados na Figura 2.30b. Observe que (3 > 90°, uma 
vez que o componente j de uF/? é negativo.
4 0 E s t á t ic a
E X E M P L O 2 . 1 0 ________________________________________________________________________
Expresse a força F 1? m ostrada na Figura 2.31a, como vetor cartesiano.
z
(a) (b)
Figura 2.31
SOLUÇÃO
Os ângulos de 60° e 45° que definem a direção de F1 não são ângulos dire­
tores coordenados. As duas aplicações sucessivas da lei do paralelogramo 
necessárias para decompor Fi em seus componentes x, y, z são mostradas na 
Figura 2.31b. Pela trigonometria, as intensidades dos componentes são:
F u = 100 sen 60° lb = 86,6 lb
F' = 100 cos 60° lb = 50 lb
F íx = 50 cos 45° lb = 35,4 lb
F ly = 50 sen 45° lb = 35,4 lb
Constatando-se que Fiy tem direção definida por - j . tem-se:
F, = {35,4i - 35,4j + 86,6k} lb Resposta
Para m ostrar que a intensidade desse vetor é na verdade 100 lb, aplique a 
Equação 2.6:
F, = V fI + F,5 + 7}z
= V ( 35’4 )2 + (-3 5 ,4 )2 + (86,6)2 = 100 lb
Se necessário, os ângulos diretores coordenados de ¥ x são determinados 
pelos com ponentes do vetor unitário que atua na direção de F]. Então:
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 41
de modo que:
«! = cos-1(0,354) = 69,3°
/3i = cos-1( -0,354) = 111°
7 ! = cos-1 (0,866) = 30°
Esses resultados são mostrados na Figura 2.31c.
Usando esse mesmo método, mostre que F2, na Figura 2.31a, é escrito na 
forma vetorial cartesiana como:
F2 — {1061 + 184j — 212k} N Resposta
EX EM PLO 2 .11
Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na Figura 2.32a. Especifique 
os ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante F^ 
atue ao longo do eixo positivo y e tenha intensidade de 800 N.
(a) (b)
Figura 2.32
SOLUÇÃO
Para resolver este problema, a força resultante F^ e seus dois com ponen­
tes, F] e F2, serão expressos na forma vetorial cartesiana. Então, como mostra 
a Figura 2.326, é necessário que Fw = ¥i + F2.
Aplicando a Equação 2.11:
Fj = Fj cos a x\ + Fx cos 4- Fx cos y ^
= 300 cos 45° Ni + 300 cos 60° Nj + 300 cos 120° k 
= {212,li + 150j - 150k} N
F2 = Flx i + F2yj + F1: k
Como a força resultante F^ tem intensidade de 800 N e atua na direção +j: 
F * = (800N )(+ j) = {800j} N
Pede-se:
F/? = Fj + F2 
800j = 212,l i + 150j - 150k + F2xi + F 2vj + F2:k
X
(c)
Figura 2.31
= 100 lb
.v
4 2 E s t á t ic a
800j = (212,1 + Flx) i + (150 + F2y) j + ( -1 5 0 + F2z)k
Para satisfazer essa equação, os componentes i, j, k correspondentes dos 
lados esquerdo e direito devem ser iguais. Isso é equivalente a dizer que os com­
ponentes x ,y ,z de devem ser iguais aos componentes x ,y ,z correspondentes 
de (F, + F2). Então:
0 = 212,1 + F2x F2x = -212,1 N
800 = 150 + F2y F2y = 650 N
0 = -1 5 0 + F2z F2z = 150 N
Como as intensidades de F2 e de seus componentes são conhecidas, pode- 
se usar a Equação 2.11 para determ inar a2, fo , y2.
-212,1 = 700 cos a 2 
650 = 700 cos /32
= c o s - ( ^ = 1 0 8 ‘ 
= c o s ~ ' ( i 0 = 2 1 ’ 8 <
* = cos"‘© = 77’6°
150 = 700 cos y2 
Esses resultados são m ostrados na Figura 2.32b.
Resposta
Resposta
Resposta
2.59. Determine a intensidade e os ângulos diretores coor­
denados de Fj = {60i - 50j + 40k} N e F2 = {—40i - 85j + 
30k} N. Esquematize cada força em um sistema de referên­
cia x, y, z.
*2.60. O cabo da extremidade da lança do guincho exerce 
uma força de 250 lb sobre a lança, como mostrado. Expresse 
F como vetor cartesiano.
2.61. Determine a intensidade e os ângulos diretores coor­
denados da força F que atua sobre a estaca.
z
Problema 2.61
Problema 2.60 2.62. Determine a intensidade e os ângulos diretores coor­
denados da força resultante.
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 4 3
z
Problema 2.62
2.63. O tarugo montado no torno está sujeito a uma força 
de 60 N. Determine o ângulo de direção das coordenadas /3 
e expresse a força como vetor cartesiano.
Problema 2.63
*2.64. Determine a intensidade e os ângulos diretores coor­
denados da força resultante e esquematize esse vetor no 
sistema de coordenadas.
2.65. Especifique os ângulos diretores coordenados de Fj e 
F2 e expresse cada força como um vetor cartesiano.
z
2.66. O mastro está sujeito às três forças mostradas. Deter­
mine os ângulos diretores coordenados a 1? y, de Fj, de 
modo que a força resultante que atua sobre o mastro seja 
F« = {350i} N.
2.67. O mastro está sujeito às três forças mostradas. 
Determine os ângulos diretores coordenados j81? yi de F,, 
de modo que a força resultante que atua sobre o mastro seja 
nula.
z
*2.68. Os cabos presos ao olhai estão submetidos às três 
forças mostradas. Expresse cada força na forma vetorial car­
tesiana e determine a intensidade e os ângulos diretores 
coordenados da força resultante.
z
Problema 2.68
2.69. A viga está sujeita às duas forças mostradas. Expresse 
cada força na forma vetorial cartesiana e determine a inten­
sidade e os ângulos diretores coordenados da força 
resultante.
z
2.70. Determine a intensidade e os ângulos diretores coor­
denados da força resultante e esquematize esse vetor no 
sistema de coordenadas.
4 4 E s t á t i c a
z
2.71. As duas forças F| e F2 que atuam em A têm uma força 
resultante F« = { — 100k[ lb. Determine a intensidade e os 
ângulos diretores coordenados de F2.
*2.72. Determine os ângulos diretores coordenados da 
força Fj e indique-os na figura.
z
Problemas 2.71/72
2.73. O suporte está sujeito às duas forças mostradas. 
Expresse cada força na forma vetorial cartesiana e depois 
determine a força resultante F^, a intensidade e os ângulos 
diretores coordenados dessa força.
2
2.74. O poste da figura está submetido à força F, que tem 
componentes atuando ao longo dos eixos *,y, z, como mos­
trado. Se a intensidade de F for de 3 kN, (5 = 30° e y = 75°, 
determine as intensidades de seus três componentes.
2.75. O poste está submetido à força F, que tem componen­
tes Fx = 1,5 kN e Fz = 1,25 kN. Se j3 = 75°, determine as 
intensidades de F e Fv.
z
Problemas 2.74/75
*2.76. A força F está aplicada em A no topo da torre. Se ela 
atua na direção mostrada, de modo que um de seus compo­
nentes localizado no plano sombreado y-z tem intensidade 
de 80 lb, determine sua intensidade F e os ângulos diretores 
coordenados a , /3, y.
z
F, = 250 N
Problema 2.73
Problema 2.76
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 4 5
2.77. Três forças atuam sobre o gancho. Se a força resultan­
te tiver intensidade e direção como mostrado, determine 
a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força F3.
2.78. Determine os ângulos diretores coordenados de F] 
e F*.
Problema 2.79
*2.80. Duas forças Ft e F2 atuam sobre o olhai. Se a força 
resultante F« tiver intensidade de 50 lb e ângulos diretores 
coordenados a = 110° e (3 - 80°, como mostrado, determi­
ne a intensidade de F2 e seus ângulos diretores coordenados.
Problemas 2.77/78
2.79. O parafuso está submetido à força F, que tem com­
ponentes atuando ao longo dos eixos x ,y , z, como mostrado. 
Sea intensidade de F for 80 N, a — 60° e y — 45°, determi­
ne as intensidades de seus componentes.
J
2 .7 V e to r e s P o s iç ã o
Nesta seção será introduzido o conceito de vetor posição e m ostrado que 
esse vetor tem importância na formulação de vetor força cartesiano orientado 
entre dois pontos quaisquer do espaço. Mais adiante, no Capítulo 4, vamos usá-
lo para determ inar o momento de uma força.
Coordenadas x, y, z. Ao longo do livro, será empregado o sistema de coor­
denadas, usando-se a regra da mão direita para indicar a localização de pontos 
no espaço. Além disso, será utilizada a convenção adotada em muitos livros 
técnicos, que é definir o sentido positivo do eixo z orientado para cima (d ire­
ção do zênite), de modo que esse seja o sentido para medir a altura de um 
objeto ou a altitude de um ponto. Então, os eixos x, y ficam no plano horizon­
tal (Figura 2.33). Os pontos no espaço são localizados em relação à origem das 
coordenadas, O , por meio de medidas sucessivas ao longo dos eixos x ,y , z. Por 
exemplo, na Figura 2.33, as coordenadas do ponto A são obtidas começando 
em O e medindo xA = +4 m ao longo do eixo x; yA = +2 m ao longo do eixo 
y; e Za - ~6 m ao longo do eixo z ■ Então, A (4, 2, -6 ) . De maneira sem elhan­
te, medidas ao longo dos eixos x , y, z de O para B dão as coordenadas de B, 
isto é, Z?(0, 2, 0). Observe também que C(6, —1, 4).
A
Vetor Posição. O vetor posição r é definido como um vetor fixo que locali­
za um ponto do espaço em relação a outro. Por exemplo, se r estende-se da 
origem de coordenadas, O , para o ponto P (x,y , z) (Figura 2.34a), então r pode 
ser expresso na forma de vetor cartesiano como:
r = vi + yj + zk
Observe que a adição de vetor da origem para a extremidade dos três com­
ponentes dá o vetor r (Figura 2.346). Começando na origem O, desloca-se sobre 
x na direção +i, depois sobre y na direção + j e finalmente sobre z na direção 
+ k para atingir o ponto P(x, y, z).
Figura 2.33
(a) (b)
Figura 2.34
Em geral, o vetor posição é orientado do ponto A para o ponto B no espa­
ço (Figura 2.35a). Como indicado, esse vetor também é designado pelo símbolo 
r. Por uma questão de convenção, no entanto, vamos nos referir algumas vezes 
a esse vetor com dois índices subscritos para indicar o ponto de origem e o 
ponto para o qual está orientado. Assim, r também será designado como rAB. 
Observe tam bém que rA e rB na Figura 2.35a são escritos com apenas um índi­
ce, visto que se estendem a partir da origem das coordenadas.
Da Figura 2.35a, pela adição de vetores ponta-cauda, é necessário que:
*a + r = rn
Resolvendo-se em r e expressando-se rA e xB na forma vetorial cartesia­
na, tem-se:
r = rR - rA = ( x Bi + yBj + zBk) - (x̂ i + yAj + zAk)
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 4 7
yB’
zA)k
Figura 2.35
ou
(2.13)
Assim, os componentes i, j, k do vetor posição r são form ados tomando-se 
as coordenadas da origem do vetor, A (xa , yA, zA), e subtraindo-as das coorde­
nadas correspondentes da extremidade, B (xB, y B, Zb)- Observe novam ente que 
a adição no sentido da origem para a extremidade desses três com ponentes dá 
r, isto é, indo de A para B (Figura 2.35b), deslocamo-nos prim eiro da distân­
cia (xB — xA) na direção + i, depois (yH — y A) na direção + j e finalmente (zb
— Z a) na direção +k.
O comprimento e a direção do cabo A B usado para suportar a chaminé são determinados medin­
do-se as coordenadas dos pontos A e B e usando-se os eixos x, y, z. O vetor posição r ao longo do 
cabo é então estabelecido. A intensidade r representa o comprimento do cabo e a direção dele é defi­
nida por a, (3, y, que são determinados pelos componentes do vetor unitário calculados a partir do 
vetor posição u = r/r
EX EM PLO 2 .1 2 _______________________________________________
Uma fita elástico está presa aos pontos A e B, como m ostra a Figura 2.36a. 
Determine seu comprimento e sua direção, medidos de A para B.
4 8 E s t á t i c a
SOLUÇÃO
Primeiro se estabelece um vetor posição de A para B (Figura 2.36b). De 
acordo com a Equação 2.13, as coordenadas da origem A ( \ m, 0, —3 m) são 
subtraídas das coordenadas da extremidade B (— 2 m, 2 m, 3 m), o que dá:
r = [—2 m — 1 m]i + [2 m — 0| j + [3 m - ( - 3 m)]k
= {—3i + 2j + 6k} m
Esses com ponentes de r também podem ser determinados diretamente 
observando-se na Figura 2.36a que eles representam a direção e a distância do 
deslocam ento realizado ao longo de cada eixo a fim de mover-se de A para B, 
isto é, {—3i} m ao longo do eixo x, {2j} m ao longo do eixo v e {6k} m ao longo 
do eixo z.
A intensidade de r representa o comprimento da fita elástica.
r = \ / ( —3 )2 + (2 )2 + (6 ) 2 = 7 m Resposta
Definindo um vetor unitário na direção de r, temos:
r - 3 . 2 . 6 ,
u = - = —i H— j H— k
r 7 7 J 7
Os componentes desse vetor unitário dão os ângulos diretores coordenados: 
a = cos^1̂ = 115° Resposta
(3 = cos"1! 7 ) = 73’4° Resposta
y = cos j = 31° Resposta
Esses ângulos são medidos a partir dos eixos positivos de um sistema de 
coordenadas cartesianas localizado na origem de r, ponto A , como mostrado 
na Figura 2.36c.
Figura 2.36
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 4 9
2 .8 V etor Força O rientado ao lo n g o 
de u m a R eta
Freqüentem ente, nos problemas de estática tridimensional, a direção de 
uma força é definida por dois pontos pelos quais passa sua linha de ação. Essa 
situação é m ostrada na Figura 2.37, na qual a força F é orientada ao longo da 
corda A B . Pode-se definir F como um vetor cartesiano pressupondo que ele 
tenha a mesma direção e sentido que o vetor posição r orientado do ponto A 
para o ponto B da corda. Essa direção comum é especificada pelo vetor unitá­
rio u = r/r. Então:
F = Fu = F -
A pesar de term os representado F simbolicamente na Figura 2.37, note 
que ele tem unidades de força, ao contrário de r, que tem unidades de com ­
primento.
Figura 2.37
A força F que atua ao longo da corrente pode ser 
representada como um vetor cartesiano definindo- 
se primeiro os eixos x, y, z, formando-se um vetor 
posição r ao longo do comprimento da corrente e 
determinando-se depois o vetor unitário u = t/r cor­
respondente que define a direção tanto da corrente 
quanto da força. Finalmente, a intensidade da força 
é combinada com sua direção, F = Fu.
P o n t o s I m p o r t a n t e s
• Um vetor posição localiza um ponto no espaço em relação a outro ponto.
• A maneira mais simples de definir os componentes de um vetor posição é determinar a distância e a direção 
que devem ser percorridas ao longo das direções x, y, z, indo da origem para a extremidade do vetor.
• Uma força F que atua na direção de um vetor posição r é representada na forma cartesiana se o vetor uni­
tário u do vetor posição estiver determinado e se este for multiplicado pela intensidade da força, isto é, F = 
Fu = F(r/r).
EX EM PLO 2 .1 3 _______________________________________________
O homem mostrado na Figura 2.38a puxa a corda com uma força de 70 lb. 
Represente essa força, que atua sobre o suporte A , como vetor cartesiano e 
determ ine sua direção.
5 0 E s t á t i c a
SOLUÇÃO
A força F é m ostrada na Figura 2.38b. A direção desse vetor, u, é deter­
minada pelo vetor posição r. que se estende de A a B (Figura 2.38b). As 
coordenadas das extrem idades da corda são A {0,0, 30 pés) e 5(12 pés, - 8 pés,
6 pés). Definindo o vetor posição pela subtração das coordenadas correspon­
dentes x, y e z de A das coordenadas de B , temos:
r = (12 pés — 0)i + ( - 8 pés — 0)j + (6 pés - 30 pés)k 
= {12i - 8j — 24k} pés
Esse resultado tam bém pode ser obtido diretamente pela Figura 2.38a. 
Deve-se ir de ^4{— 24k) pés, depois {—8j) pés e finalmente {12i} pés para atin­
gir B.
A intensidade de r, que representa o comprimento da corda A B , é:
r = \ / ( 1 2 p é s ) 2 + ( - 8 pés)2 + (—24 pés)2 = 28 pés
Figura 2.38
Definindo-se o vetor unitário que determ ina a direção e o sentido de r e 
F, obtém-se:
r 1 2 . 8 . 2 4,
U “ r ~ 28 ' 28 J 28
Como F tem intensidade de 70 lb e direção especificada por u, então:
,1 2 8 24
F = F u = 701b [ — i - — j
2 8 ' 2 8 J 28 
= {30i - 20j - 60k} lb Resposta
Os ângulos diretores coordenados são medidos entre r (ou F) e os eixos 
positivos de um sistema de coordenadas cartesianas com origem em A (Figura 
2.38b). Pelas com ponentes do vetor unitário:
a = cos - < § ) - « •
/3 = cos 1
y — cos 1
28 1 = 10V
-2 4
28
= 149c
Resposta
Resposta
Resposta
E X E M P L O 2 . 1 4 ...— .............. - ..................................................
A placa circular da Figura 2.39a é parcialmente suportada pelo cabo AB. 
Se a força do cabo no gancho em A for F = 500 N, expresse F como vetor car­
tesiano.
SOLUÇÃO
Como mostra a Figura 2.39b, F tem a mesma direção e sentido que o vetor 
posição r, que se estende de A a B. As coordenadas dos pontos das extremi­
dades do cabo são v4(0, 0, 2 m) e 5(1,707 m, 0,707 m, 0), como indicado na 
figura. Assim:
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 51
r = (1,707 m — 0)i + (0,707 m - 0)j + (0 - 2 m )k 
= {l,707i + 0,707j - 2k} m
Observe que se pode calcular esses componentes diretamente indo de A , 
{—2k} m ao longo do eixo z, depois para {1,707i} m ao longo do eixo x e para 
{0,707j} m ao longo do eixo y para chegar a B.
A intensidade de r é:
= V O V T O T j ^ + l Õ j Õ T ) ^ ^ ^ = 2,723 m
Assim:
r __ 1,707 . 0,707 . 2
U _ r ~ 2,723 ' + 2,723 J ~ 2,723 k
= 0,6269i + 0,2597j - 0,7345k
Como F - 500 N e F tem a direção de u, temos:
F = Fu = 500 N(0,6269i + 0,2597j - 0,7345k) 
= {313i + 130j - 367k} N Resposta
Usando esses componentes, observe que na verdade a intensidade de F é 
500 N, isto é:
F = \ / ( 313)2 + ( 130)2 + (—367)2 = 500 N
Mostre que o ângulo de direção da coordenada y = 137° e indique esse 
ângulo na figura.
(a)
1 m
i
1 sen 45° m 
B (1,707 m, 0,707 m. 0)
EXEMP LO 2 . 15
A cobertura é suportada por cabos, como m ostrado na foto. Se os cabos 
exercerem as forças FAB = 100 N e FAC - 120 N no gancho em A , como 
m ostrado na Figura 2.40a, determ ine a intensidade da força resultante que 
atua em A.
SOLUÇÃO
A força resultante F* é mostrada graficamente na Figura 2.406. Pode-se 
expressar essa força como vetor cartesiano definindo antes ¥ AB e ¥AC como 
vetores cartesianos e depois adicionando seus componentes. As direções de 
Ea b e Fa c são especificadas definindo-se os vetores unitários e uAC ao 
longo dos cabos. Esses vetores unitários são obtidos dos vetores posição asso­
ciados rAB e rAC. Com referência à Figura 2.406, para temos:
rAB ~ (4 m — 0)i + (0 - 0)j + (0 - 4 m )k 
= {4i — 4k} m
5 2 E s t á t ic a
(b)
Figura 2.40
F- = 100Nf e ) = 100N( Í i - Í k 
Fab = {70,7i - 70,7k} N
Para FAC temos:
rAC = (4 m - 0)i + (2 m - 0)j + (0 - 4 m)k 
= {4i + 2j - 4k} m
mrAc = V ( 4 ) 2 + (2)2 + (-4 )2 = 6
F- = 120Nf e ) = 120N( t Í + | j ^ k 
= {80i 4- 40j - 80k} N
A força resultante é, portanto:
F/? = ?AB + ?AC = {70,7i - 70,7k} N + {801 + 40j - 80k} N 
= {150,71 + 40j - 150,7k} N
A intensidade de FR é, então:
F r = \ / ( 1 5 Õ j ) 2 + (40)2 + (-1 5 0 ,7)2 
= 217 N Resposta
P roblem as
2.81. Se rt = {3i — 4j + 3k} m, r2 = {41 — 5k} m, r3 = {3i — 
2j + 5k} m, determine a intensidade e direção de r = 2tx — 
r2 + 3r3.
2.82. Represente o vetor posição r que atua do ponto A(5 m, 
5 m, 6 m) para o ponto B(5 m, —2 m, 1 m) na forma de vetor 
cartesiano. Determine seus ângulos diretores coordenados e 
a distância entre os pontos A e B.
2.83. Um vetor posição estende-se da origem ao ponto 
A(2 m, 3 m, 6 m). Determine os ângulos a, /3, y que a origem 
do vetor faz, respectivamente, com os eixos jc, y, z.
*2.84. Expresse o vetor posição r na forma cartesiana; 
depois determine sua intensidade e os ângulos diretores coor­
denados.
2.85. Expresse o vetor posição r na forma cartesiana; 
depois determine sua intensidade e os ângulos diretores 
coordenados.
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 5 3
z
Problema 2.85
2.86. Expresse a força F como um vetor cartesiano; depois 
determine seus ângulos diretores coordenados.
z
Problema 2.86
2.87. Determine o comprimento do elemento AB da treli- 
ça estabelecendo primeiro um vetor posição cartesiano de A 
para B e depois determinando sua intensidade.
y
Problema 2.87
*2.88. Em um dado instante, a posição de um avião em A 
e a de um trem em B são medidas em relação à antena de 
radar em O. Determine a distância d entre A e B nesse ins­
tante. Para resolver o problema, defina um vetor posição 
orientado de A para B e depois determine sua intensidade.
2.89. A chapa articulada é suportada pela corda AB. Se a 
força na corda for F — 340 lb, expresse essa força orientada 
de A para B e como um vetor cartesiano. Qual é o compri­
mento da corda?
Problema 2.89
2.90. Determine o comprimento AB da biela definindo 
antes um vetor posição cartesiano de A para B e depois deter­
minando sua intensidade.
y
Problema 2.90
2.91. Determine os comprimentos dos arames A D, BD e 
CD. O anel em D está no centro entre A e B.
5 4 E s t á t i c a
z
X
Problema 2.91
*2.92. Expresse a força F como um vetor cartesiano; depois 
determine seus ângulos diretores coordenados.
z
Problema 2.92
2.93. Expresse a força F como um vetor cartesiano; depois 
determine seus ângulos diretores coordenados.
z
2.94. Determine a intensidade e os ângulos diretores coor­
denados da força resultante que atua sobre o ponto A.
2.95. A porta é mantida aberta por meio de duas correntes. 
Se a tensão em AB e CD for FA = 300 N e F c = 250 N, res­
pectivamente, expresse cada uma dessas forças na forma 
vetorial cartesiana.
Problema 2.94
Problema 2.95
*2.96. Os dois cabos de amarração exercem forças na popa 
de um navio, como mostrado na figura. Represente cada força 
como um vetor cartesiano e determine a intensidade e a dire­
ção da resultante.
z
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 5 5
2.97. Os dois tratores puxam a árvore com as forças mos­
tradas. Represente cada força como um vetor cartesiano e 
determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados 
da força resultante.
Problema 2.97
2.98. Os cabos de tração são usados para suportar o poste 
de telefone. Represente a força em cada cabo na forma de 
vetor cartesiano.
Problema 2.98
2.99. Expresse cada uma das forças na forma vetorial car- 
tesiana e determine a intensidade e os ângulos diretores 
coordenados da força resultante.
*2.100. O cabo preso ao trator em B exerce uma força de 
350 lb sobre a estrutura. Expresse essa força como um vetor 
cartesiano.
Problema 2.100
2.101. A carga em A cria uma força de 60 lb no arame AB. 
Expresse essa força como um vetor cartesiano atuando sobre 
A e orientada para B, como mostrado na figura. Problema 2.101
5 6 E s t á t i c a
2.102. O tubo é suportado em sua extremidade pela corda 
AB. Se a corda exerce uma força F — 12 lb no tubo em A, 
expresse essa força como um vetor cartesiano.
Problema 2.102
2.103. A corda exerce uma força F = {12i + 9j — 8k} lb no 
gancho. Se ela tiver 8 pés de comprimento, determine a loca­
lização x,y do ponto de acoplamento B e a altura z do gancho.
*2.104. A corda exerce uma força F = 30 lb no gancho. Se 
ela tiver 8 pés de comprimento, z — 4 pés e o componente x 
da força for Fx — 25 lb, determine a localização jc, y do ponto 
de acoplamento B da corda no chão.
Problema 2.105
Problemas 2.103/104
2.105. Cada uma das quatro forças que atuam em E tem 
intensidade de 28 kN. Expresse cada força como um vetor 
cartesiano e determine a força resultante.
2.106. A torre é mantida reta pelos três cabos. Se a força 
em cada cabo que atua sobre a torre for aquela mostrada na 
figura, determine a intensidade e os ângulos diretores coor­
denados a, /3, y da força resultante. Considere que x = 20 m, 
y = 15 m.
Problema 2.106
2.107. O cabo preso à estrutura de barras exerce uma força 
F = 350 lb. Expresse essa força como um vetor cartesiano.
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 5 7
50 lb que atuaem A ao longo da corrente como um vetor 
z cartesiano e determine seus ângulos diretores coordenados.
Problema 2.107 *
*2.108. A janela é mantida aberta pela corrente AB. Problema 2.108
Determine o comprimento da corrente, expresse a força de
2 .9 P ro duto Escalar
Às vezes, em estática, é preciso calcular o ângulo en tre duas re tas ou 
os com ponentes de uma força paralela ou perpendicular a um a reta . Em 
duas dimensões, esses problem as são resolvidos por trigonom etria , uma vez 
que a geom etria é fácil de vizualizar. Em três dim ensões, en tre tan to , fre ­
qüentem ente a visualização é difícil e torna-se necessário em pregar m étodos 
vetoriais para a solução. O produto escalar define um m étodo particu lar 
para ‘m ultiplicar’ dois vetores e é usado para resolver os problem as m en­
cionados.
O produto dos vetores A e B, escrito A • B e lido como 'A escalar B’, é 
definido como o produto das intensidades de A e de B e do cosseno do ângu­
lo 6 entre suas origens (Figura 2.41). Expresso na forma de equação:
A • B = A B cos 0 (2.14)
onde 0o < 6 < 180°. O produto escalar com freqüência é chamado produto 
escalar de vetores, visto que o resultado é um escalar, e não um vetor.
Leis das Operações
1. Lei comutativa:
A B = B A
2. Multiplicação por escalar:
a ( \ ■ B) = ( a \ ) • B = A • (aB) = (A • B )a
3. Lei distributiva:
A • (B + D) = (A • B) + (A - D )
5 8 E s t á t i c a
A prim eira e a segunda leis são fáceis de ser provadas usando a Equação
2.14. No caso da lei distributiva. a prova será feita por você, como um exercí­
cio (veja o Problema. 2.109).
D efin içã o de Vetor C artesiano . A Equação 2.14 é usada para determ inar
o produto escalar de cada um dos vetores unitários cartesianos. Por exemplo, 
i • i = (1)(1) cos 0° = l e i - j = ( l ) ( l ) cos 90° = 0. De m aneira similar:
mente como cada um é obtido.
Considerem os o produto escalar de dois vetores gerais A e B expressos 
na form a vetorial cartesiana. Temos:
Efetuando as operações do produto escalar, obtemos o resultado final
Então, para se calcular o produto escalar de dois vetores cartesianos, mul- 
tiplicam-se seus componentes correspondentes x, y, z e somam-se os produtos 
algebricamente. Como o resultado é um escalar, deve-se tom ar cuidado para 
não incluir nenhum vetor unitário no resultado final.
Aplicações. O produto escalar tem duas aplicações importantes em mecânica:
1. O ângulo form ado entre dois vetores ou retas que se interceptam. O 
ângulo 8 entre as origem dos vetores A e B na Figura 2.41 pode ser 
determ inado pela Equação 2.14 e escrito como:
Nesse caso. A • B é calculado pela Equação 2.15. Observe que, se A * B 
= 0, então d — cos-1 0 = 90°, de modo que A será perpendicular a B.
2. Os componentes paralelo e perpendicular de uma reta a um vetor. O 
com ponente do vetor A paralelo ou colinear à reta aa' na Figura 2.42 
é definido por A|, onde A\\ = A cos 0. Esse componente é algumas
i * i = 1 j • j = 1 k • k = 1
i j = 0 i -k = 0 k • j = 0
Esses resultados não devem ser decorados. É preciso com preender clara-
A B = ( A x i + A yj + /Lk)*(f lvi + By\ + B. k) 
“ A A ( i - i ) + Ar#>-(*'j) + A xBz( Í ‘ k)
+ A yBx{\ - \ ) + AyBy(i * j) + A yBz(j • k)
+ A ZBX( k -i) + A zBy{ k -j ) + A ZBZ{ k*k)
A • B — A XBX + A vBy + A ZBZ (2.15)
a ii a
A m = A cos 6 ii
Figura 2.42
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 5 9
vezes chamado de projeção de A sobre a reta, já que se forma um 
ângulo reto na construção. Se a direção da reta é especificada pelo 
vetor unitário u. então, como u = 1, podemos determ inar A\\ d ireta­
mente pelo produto escalar (Equação 2.14), isto é:
A\\ = A cos 6 = A • u
Portanto, a projeção escalar de A ao longo de uma reta é determinada 
pelo produto escalar de A e o vetor unitário u que define a direção da 
reta. Observe que, se esse resultado for positivo, então A | terá o mesmo 
sentido de direção de u, enquanto, se A\\ for um escalar negativo, então 
A\\ terá sentido de direção oposto a u. O componente A. representa­
do como um vetor é, portanto:
A| = A cos 0 u = (A • u)u
O componente de A perpendicular à reta aa' também pode ser obti­
do (Figura 2.42). Como A = A| + A ± , então A ± = A — A|. H á 
duas maneiras de obter A ± . Uma delas é determ inar 6 a partir do 
produto escalar, 0 = cos-1 (A • n/A )- então A ± = A sen 0. Da mesma 
maneira, se A \ for conhecido, então, pelo teorema de Pitágoras, pode­
remos também escrever: A ± — v A2 — A \ .
O ângulo 9 entre a corda e a viga A pode 
ser determinado usando-se o produto 
escalar. Definem-se vetores posição ou 
vetores unitários ao longo da viga, u 4 = 
rAlrA, e ao longo da corda, ur = rrlrr. 
Como 0 é definido entre as caudas 
desses vetores, pode-se resolver em 6 
usando-se 6 = c o s ^ ^ r ^ T f / r ^ ) = 
cos- ux • uR.
Se a corda exerce uma força F sobre a junta, 
a projeção dessa força ao longo da viga A 
pode ser determinada definindo-se primei­
ro a direção da viga, usando-se o vetor 
unitário uA = rAlrA e, depois definindo-se 
a força como um vetor cartesiano, F = 
F {tjrr) = Fu, Aplicando-se o produto 
escalar, a projeção será: Fj = F • u ,(.
6 0 E s t á t ic a
P o n t o s I m p o r t a n t e s
• O produto escalar é usado para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor em uma 
direção especificada.
• Se os vetores A e B forem expressos na forma cartesiana, o produto escalar será determinado multiplicando- 
se os respectivos componentes escalares x, y, z e adicionando-se algebricamente os resultados, isto é, 
A • B = A XBX + A yBy + A ZBZ.
• Pela definição de produto escalar, o ângulo formado entre as origens dos vetores A e B é 6 = cos 1 (A B /A B ) .
• A intensidade da projeção do vetor A ao longo da uma reta cuja direção é especificada por u é determinada 
pelo produto escalar A \ = A • u.
E X E M P L O 2 . 1 6
A estrutura m ostrada na Figura 2.43a está submetida a uma força hori­
zontal F = {300j} N. D eterm ine a intensidade dos componentes da força 
paralela e perpendicular ao elem ento A B .
(a)
Figura 2.43
SOLUÇÃO
(b)
A intensidade do com ponente de F ao longo de A B é igual ao produto 
escalar de F pelo vetor unitário u fl, que define a direção de A B (Figura 2.436). 
Como
u B = r B
2i + 6j + 3k
rB \ / ( 2 ) 2 + (6)2 + (3)2
= 0,286i + 0,857j + 0,429k
então
F a b = F cos 6 = F • u l{ = (300j) • (0,286i + 0,857j + 0,429k)
= (0) (0,286) + (300) (0,857) + (0)(0,429)
= 257,1 N Resposta
Como o resultado é um escalar positivo, ¥AB tem o mesmo sentido de dire­
ção de us (Figura 2.43b).
Expressando F ^ na forma vetorial cartesiana, temos:
F ab = F ab ub = (257,1 N)(0,286i + 0,857j + 0,429k)
= {73,51 + 220j + 110k} N Resposta
Cap. 2 V e t o r e s F o r ç a 6 1
O com ponente perpendicular (Figura 2.43Z?) é, portanto:
F_l = F - Fab = 300j - (73,5i + 220j + llO k)
- {—73,5i + 80j - llOk} N
Sua intensidade é determ inada tanto por meio desse vetor como pelo teo­
rema de Pitágoras (Figura 2.43Ò):
ABF ± = \ / F 2 ~ F :
= \ / (300 N )2 - (257,1 N )2
= 155 N Resposta
E X E M P L O 2 . 17
O tubo da Figura 2.44a está sujeito à força F = 80 lb. Determ ine o ângu­
lo 6 entre F e o segmento BA do tubo e as grandezas dos com ponentes de F, 
que são paralelos e perpendiculares a BA.
(a)
Figura 2.44
SOLUÇÃO
 n g u lo 6. Primeiro definiremos vetores posição de B para A e de B para C. 
Em seguida, calcularemos o ângulo 6 entre as caudas desses dois vetores.
*b a = {—2i - 2j + lk} pés 
iflc = {“ 3j + lk} pés
Então:
cos u =
r/M' r8ç (-2)(0) + (~2)(—3) + (1)(1) 
tb a tbc 3V ÍÕ
= 0,7379 
0 = 42,5° Resposta
6 2 E s t á t i c a
C o m p o n en tes de F. A força F é decomposta em componentes, como mos­
trado na Figura 2.44b. Como Fba ~ F • u BA, devemos primeiro definir o vetor 
unitário ao longo de BA e a força F como vetores cartesianos.
rBA
'BA
rBA
F = 80 lb
( —2i - 2j + lk) 2 . 2 . 1 
----------------------- — ----I — — j + — K
3 3 3 J 3
(?) -»(- 3 j + lkVTÕ
Portanto: