EXERCICIOS MECÂNICA

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ENG 01156 – Aula 01
Prof. Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM
1
1 INTRODUÇÃO
1.1 GENERALIDADES
Conceito. Mecânica é a ciência física que descreve e prediz as condições de repouso
ou movimento de corpos sob a ação de forças.
Aplicações. Cálculo Estrutural, Projeto de Máquinas, Escoamento de Fluídos,
Instrumentação Elétrica.
Áreas do conhecimento que têm como base a Mecânica.
Mecânica dos Corpos Rígidos
M e c â n i c a d o s C o r p o s
Deformáveis
Mecânica dos Fluídos
Estática
Dinâmica
Fluídos Incompressíveis
Fluídos Compressíveis
Elasticidade
Plasticidade
Viscoelasticidade
A divisão da Mecânica dos Corpos Rígidos em Estática e Dinâmica existe por razões
práticas e históricas, já que a Estática é um caso particular da Dinâmica.
Histórico.
� Aristóteles (384 a 322 AC) : Maioria dos Princípios da Estática;
� Arquimedes (287 a 212 AC) : Equilíbrio de Alavancas;
� Galileu Galilei (1564 a 1642) : Pêndulos e corpos em queda livre, medidas precisas do
tempo;
� Isaac Newton (1642 a 1727) : Formulação satisfatória para os princípios da Estática,
Leis fundamentais do movimento, Lei Universal da Atração Gravitacional;
� D’Alembert, Lagrange, Euler, Hamilton;
� Einstein (1905) : Teoria da Relatividade – Mecânica Relativista
Apesar das limitações da Mecânica Newtoniana terem sido reconhecidas, ela continua
como base da Engenharia nos dias de hoje.
Conceitos úteis.
� Espaço: Região geométrica ocupada por corpos cujas posições são descritas por medidas
lineares e angulares em relação a um sistema de coordenadas. Um ponto é definido no
espaço por 3 coordenadas (x, y, z).
� Tempo: Medida da sucessão de eventos. Além da posição no espaço, o instante em que
ocorre cada evento deve ser conhecido.
� Massa: Medida da inércia de um corpo.
� Força: Representa a ação de um corpo sobre o outro. Esta ação pode ser por contato ou a
distância (forças gravitacionais, forças eletromagnéticas). A força é uma grandeza vetorial
sendo, então, representada por seu módulo, direção e sentido.
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2
P1
P2
R
� Partícula (ponto material): Porção da matéria que pode ser considerada como ocupando
um único ponto no espaço (a sua forma e dimensão não são consideradas).
� Corpo Rígido: É uma combinação de um grande número de partículas que ocupam
posições fixas relativamente umas às outras. O corpo se desloca como um todo, não há
movimento relativo entre as partículas, portanto não há deformação.
1.2 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA
Lei do paralelogramo para a adição de forças. Duas forças atuantes sobre uma
partícula podem ser substituídas por uma única força resultante obtida pela diagonal do
paralelogramo conforme ilustrado na Fig. 1.1. Este princípio não pode ser demonstrado
matematicamente, mas é verificado experimentalmente.
21 PPR +=
Figura 1.1 – Regra do paralelogramo.
Princípio da transmissibilidade. A condição de repouso ou movimento de um corpo
rígido não se altera, caso se modifique o ponto de aplicação da força sobre a mesma linha de
ação. A Fig. 1.2 ilustra este princípio, num primeiro momento tem-se a força aplicada no
ponto A da reta s e num segundo momento a força está aplicada no ponto B pertencente a
mesma reta.
F
A
B
r
=
F
A
B
r
Figura 1.2 – Princípio da transmissibilidade.
Este princípio se aplica sem restrições na Mecânica dos Corpos Rígidos, mas o mesmo
não ocorre com os corpos deformáveis, como por exemplo, o caso de um cabo submetido à
tração, que está ilustrado na Fig. 1.3. No caso A tem-se tração no cabo e no caso B tem-se
compressão no cabo.
Figura 1.3 – Exemplo de falha do princípio da transmissibilidade.
- F F F - FA B
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3
Primeira Lei de Newton. Se a força resultante que atua sobre uma partícula em
repouso é nula, então ela permanecerá em repouso. Se a força resultante que atua sobre uma
partícula em movimento retilíneo uniforme (MRU) é nula, então ela permanecerá em MRU.
Segunda Lei de Newton. Se a força resultante que atua sobre um ponto material não é
nula, este terá uma aceleração proporcional à intensidade da resultante e na mesma direção e
sentido desta. Logo pode-se escrever:
aF ⋅= m (1.1)
Na realidade, a segunda Lei de Newton é escrita de modo mais completo como sendo
a derivada da quantidade de movimento L conforme equação (1.2). Nota-se que, neste caso, o
lado direito da expressão é composto por 2 termos. O termo que tem a derivada da massa
dm/dt tem sentido em sistemas que tenham variação contínua de massa, tais como, veículos
lançadores de satélites. Para os demais sistemas, que são a maioria, este termo é nulo. Por este
motivo a segunda Lei de Newton é normalmente apresentada sob a forma da (1.1). Na (1.2) o
termo dv/dt representa a aceleração.
( )
dt
dm
dt
dmm
dt
d vvvLF +=== � (1.2)
Terceira Lei de Newton. As forças de ação e reação entre corpos em contato têm o
mesmo módulo, direção e sentidos opostos.
Lei da atração gravitacional de Newton. Duas partículas de massa m1 e m2 são
mutuamente atraídas por forças iguais e opostas de módulo F, dadas pela equação (1.3), em
que G é Constante Universal de Gravitação (G = 6,673x10-11 m3/kg s2) e r é a distância entre
os centros das partículas.
F G
m m
r
=
1 2
2 (1.3)
Um caso particular do emprego desta lei se dá na determinação da força exercida pela
Terra sobre uma partícula localizada em sua superfície. Esta força, que é definida como Peso
da partícula, é calculada fazendo-se m1 representar a massa da Terra (aproximadamente
5,983x1024 kg) e m2 a massa da partícula. Além disso, considera-se r como sendo o raio
médio da Terra (6,38x106 m). Com estes valores defini-se a aceleração da gravidade g pela
expressão (1.4), e o peso da partícula pela expressão (1.5). O valor de g varia com a posição
da partícula sobre a superfície da Terra. O seu valor usual é de 9,806 m/s2.
g
Gm
r
=
1
2 (1.4)
P m g= 2 (1.5)
1.3 SISTEMA DE UNIDADES
A aplicação das unidades é uma fonte de erro comum em problemas. Neste sentido,
devemos sempre indicar qual a unidade de um certo valor ao longo da solução de um
problema, já que um número sem unidade pode ser interpretado de qualquer forma. Deve-se
tomar cuidado de se trabalhar com sistemas de unidades coerentes. Finalmente ao se obter
uma resposta procure ser crítico com relação a ela. Muitas vezes o uso correto das unidades
pode nos revelar algum erro de cálculo durante a solução do problema.
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Sistemas de unidades coerentes são os sistemas que têm a constante g0, também
chamada de constante de proporcionalidade, empregada na equação (1.6), igual a 1.
0g
maF = (1.6)
Os sistemas de unidades coerentes de uso mais comum são
� Sistema cgs: a força de 1 dina acelera a massa de 1 g de 1 cm/s2;
� Sistema mks: a força de 1 newton acelera a massa de 1 kg de 1 m/s2;
� Sistema pé-libra-segundo: a força de 1 libra-força acelera a massa de 1 slug de 1 ft/s2.
No entanto, quando se aplica a mesma palavra para indicar a unidade de massa e de
força, num mesmo sistema, o valor de g0 não é mais unitário. As definições de força que caem
neste caso são:
� 1 libra-força é a força que acelera 1 libra-massa de 32,174 ft/s2;
� 1 quilograma-força é a força que acelera 1 quilograma-massa de 9,806 m/s2.
Para estes sistemas a constante g0 vale 2 174,32 slbf
ftlb e 2 ,8069 skgf
mkg .
Na solução de problemas procure sempre aplicar o Sistema Internacional, SI, cujas
grandezas fundamentais são comprimento em metros [m], tempo em segundos [s], massa em
quilograma [kg] e força em Newton [N].
Múltiplos
� k : 103 (ex: 2 kN = 2000 N)
� M: 106 (ex: 1 MN = 1000000 N)
1.4 CLASSIFICAÇÃO DAS FORÇAS
Forças Externas. São as forças que atuam num corpo devido àação de outros corpos
sobre este. Estas forças podem ser divididas em Ativas e Reativas. As forças Ativas causam
uma tendência de movimento no corpo, enquanto as forças Reativas tendem a evitar o
movimento do corpo.
Forças Internas. São as forças responsáveis por manter unidas as partículas que
formam o corpo rígido.
Forças Concentradas. São forças que atuam num único ponto. Estas forças são uma
idealização da realidade, que tem a função de facilitar os processos de cálculo. Não existe
constatação prática da sua existência.
Forças Distribuídas. São forças que atuam numa determinada região do corpo. Por
exemplo pressão atuando sobre uma superfície.
Forças Estáticas. São forças que podem ser consideradas constantes no tempo. Estas
forças são aplicadas de modo bastante lento.
Forças Dinâmicas. São forças variáveis no tempo.
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5
A
b
C
B
a
c
B
D
CA
60o
α
3 m
6 m
P
T
800 N
R
α θ
θ600 N
1.5 OPERAÇÕES COM VETORES
Vetor Oposto. O vetor oposto a P é definido como um vetor que tem a mesma
intensidade, direção e sentido contrário ao de P, tal que P + (-P) = 0.
Subtração. P – Q = P + (- Q).
Soma de mais de dois vetores. A soma de vetores admite a propriedade associativa
ou seja P + Q + S = (P + Q) + S, conforme ilustrado na Fig. 1.4.
Figura 1.4 – Esquema para a soma de mais de dois vetores.
Exemplo 1.1 Combine as duas forças P e T, que atuam no ponto B da estrutura fixa ilustrada
na Fig. 1.5, numa só força. Considere P = 800 N e T = 600 N.
Solução: Para a solução deste problema
deve-se aplicar a lei dos senos e a lei dos cossenos.
Lei dos senos
c
C
b
B
a
A
sensensen
==
Lei dos cossenos
cABBAC cos222 −+=
Figura 1.5 - Ilustração do exemplo 1.
Inicialmente representa-se um diagrama de corpo livre das forças que estão atuando no ponto
B. Para se determinar o ângulo α faz-se
m 2,560sen6 =⋅=BD
m 6ADm 360cos6 =→=⋅=CD
9,40
6
2,5tan =→== αα
AD
BD
Com α conhecido obtém-se facilmente
N 5249,40cos6008002800600 22 ≈⋅⋅⋅−+=R
6,48
sen
600
9,40sen
524
=→= θ
θ
Obs - Diagrama de corpo livre. Representação num esquema separado de todas as forças que
atuam no problema.
P
P+Q
S
Q
R
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6
X
Y
F
Fx
Fy
θx
θy
i
j
8 m
6 
m
A
B
1.6 COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA NO PLANO
O procedimento utilizado para resolver o problema anterior, embora seja válido, fica
cada vez mais difícil de ser aplicado a medida que o número de forças envolvidas vai
aumentando. Além disso, este procedimento é mais difícil de ser programado.
Na grande maioria dos problemas de Engenharia trabalha-se com as forças
representadas por suas componentes como ilustrado na Fig. 1.6.
Representando a força F por suas componentes pode-
se escrever yx FFF += em que Fx e Fy são as componentes
vetoriais da força F. Expressão semelhante pode ser escrita
em função dos vetores unitários i e j, ou seja jiF yx FF +=
em que Fx e Fy são as componentes escalares da força F.
Figura 1.6 – Representação da força F por suas componentes.
Como a força F é um vetor são válidas as seguintes propriedades:
xx FF θcos⋅= , yy FF θcos⋅= e 
22
yFFF x +=
em que θx e θy são os ângulos diretores da força F em
relação aos eixos X e Y. Em alguns problemas pode ser
mais interessante empregar o sistema de referência
inclinado como na Fig. 1.7.
Figura (1.7) Representação da força F por componentes definidas em relação a um sistema de
referência inclinado.
Exemplo 1.2 Aplica-se uma força de 300 N na corda AB conforme Fig. 1.8. Quais são as
componentes horizontal e vertical da força exercida pela corda no ponto A?
Solução:
m 1068 22 =+=AB
N 240
10
8300cos =⋅== αFFx
N 180
10
6300cos =⋅== θFFy
As formas de representar o vetor força neste caso são
N )180;240( ouN 180240 −=−= FjiF ou
N )6,0;8,0(300 −=F
Figura 1.8 – Ilustração do exemplo 1.2.
X
Y
F
F x
F y θ x
θ y
i
j
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7
75 kg
FAB
FAC
B
A
C
30o50
o
736 N
50
30
FAB
FAC
736 N
50 30
FAB FAC
x
y
1.7 EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA
Objetos considerados como partículas somente podem ser submetidos a sistemas de
forças concorrentes, ou seja todas as forças passam pelo ponto em que está a partícula.
A condição de equilíbrio de uma partícula está relacionada com a primeira Lei de
Newton: Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre uma partícula é nula, esta
partícula está em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. Logo a condição necessária
para que uma partícula esteja em equilíbrio no plano é
( ) jiji0F 00 +=+→= ∑∑ yx FF que resulta em 0,0 == ∑∑ yx FF .
Exemplo 1.3 Calcular as forças que atuam nos cabos AB e AC, ver Fig. 1.9,
considerando-se que o objeto sustentado pelos cabos está em equilíbrio.
Solução:
Empregando-se o triângulo de forças deve-se inicialmente
fazer um esquema do mesmo.
Figura (1.9) – Ilustração do exemplo 1.3.
Com base neste esquema pode-se escrever N 647
40sen60sen80sen
736
=→== AB
ACAB F
FF
 e N 480 =ACF
Trabalhando-se com as componentes cartesianas das forças, deve-se fazer um diagrama de corpo livre
do ponto A. A partir deste diagrama pode-se escrever as equações de equilíbrio (1) e (2).
ABACABACx FFFFF 742,0050cos30cos0 =→=−→=∑ (1)
073650sen30sen0 =−+→=∑ ABACy FFF (2)
Substituindo-se (1) em (2) obtém-se
N 480 eN 647 == ACAB FF
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8
45o
α
A B
C
30o
P
1.8 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Um bloco de 3 kN é suportado por dois cabos AC e BC conforme ilustrado na Fig 1.10.
Para que valor de α a força no cabo AC é mínima? Quais os valores correspondentes das
forças nos cabos AC e BC?
Figura 1.10 – Ilustração do exercício 1.
Solução: A solução deste problema parte da escrita das equações de equilíbrio para o ponto C.
60cos
cos0cos60cos0 αα ACCBACCBx
FFFFF =→=−→=∑ (1)
03sen60sen0 =−+→=∑ αACCBy FFF (2)
Substituindo-se (1) em (2) obtém-se
( ) ( )60tancossen
3360tancossen
αα
αα
+
=→=+ ACAC FF (3)
Como o objetivo da questão é minimizar a força FAC vamos calcular a derivada da expressão (3) e igualar ela a
zero.
( )
( ) 0cos
60tansen1060tansencos0
60tancossen
60tansencos3
2 =−→=−→=+
−−
α
α
αα
αα
αα
kN 6,2 ekN 5,130
60tan
1tan ==→=→= CBAC FFαα
2) A força P está aplicada sobre uma pequena polia que rola sobre o cabo ACB conforme
ilustrado na figura 1.11. Sabendo que a força em ambas as partes do cabo é de 750 N,
determine a força P.
Solução:
Para se resolver este problema deve-se
escrever as equações de equilíbrio para o ponto C.
Figura 1.11 – Ilustração do exercício 2.
19,119sen0sen30cos45cos0 =→=+−→=∑ αα PPFFF CACBx (1)
33,905cos0cos30sen45sen0 =→=−+→=∑ αα PPFFF CACBy (2)
3 kN
60oα
A B
C
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9
A B20
 o 50 o
C
F
β
Figura (1)
135o
60o
2 kgf
Figura (2)
C
A
B
Substituindo-se (2) em (1) obtém-se
N 1,913 e 5,71316,0tan19,119sen
cos
33,905
==→=→= Pααα
α
1.9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Duas cordas estão amarradas em C, conforme figura (1). Se a tração máxima permissível
em cada corda é de 2.5 kN, qual é a máxima força F que pode ser aplicada? Em que
direção deve atuar esta força máxima?
Resposta: kN 87,2105 =→= Fβ
2) Uma luminária pesando 2 kgf, figura (2), está suspensa pelos cabos AC e BC. Determine
os valores das forças nos cabos para que o ponto C esteja em equilíbrio.
Resposta: kgf 03,1=CAF e kgf 46,1=CBF
3) Considerando que o ponto B está em equilíbrio,figura (3) determine o valor da força no
cabo AB e o valor da carga P.
45o 60o
P
10 kgf
A
B
C
Figura (3)