Fundamentos de Cartografia - (Timbó)

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FUNDAMENTOS DE 
CARTOGRAFIA 
 
 
Prof. Marcos A Timbó Elmiro 
Prof. Marcos A. Timbó Fundamentos de Cartografia 
SUMÁRIO Pag. 
1 – Apresentação 3 
2 - Conceito e campos de aplicação da Cartografia 4 
3 - Ciências e tecnologias de suporte da Cartografia 
4 
4 - Representação cartográfica do planeta Terra 11 
4.1 - Modelo forma e dimensões da Terra 12 
4.2 - Datum horizontal 14 
4.3 - Datum vertical 18 
4.4 - Sistema de coordenadas geodésicas 19 
4.5 - Sistema de coordenadas cartesianas geocêntricas 20 
4.6 - Algumas medidas na esfera terrestre 21 
4.7 - Orientação terrestre por azimutes e rumos 22 
4.8 - Sistema de coordenadas planas cartesianas 23 
4.9 - Sistema de projeção cartográfica 24 
4.10 - Sistema topográfico local 30 
4.11 - Operações e transformações com pontos e coordenadas 32 
5 - Sistema Geodésico Brasileiro 35 
6 - Sistema Cartográfico Nacional 37 
7 - Etapas da produção de mapas topográficos 39 
8 - Interpretação de cartas, mapas e plantas topográficas 41 
9 - Precisão das medidas cartográficas 50 
10 – Modelos Digitais de Elevação 52 
11 - Atualização de cartas e bases de dados 56 
12 - Questões de avaliação e Práticas de laboratório 58 
13 - Referências bibliográficas 59 
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1 - APRESENTAÇÃO 
Nos dias atuais existe um consenso de que a informação é um dos recursos mais 
estratégicos e mais valiosos para a condução de qualquer tipo negócio ou projeto, seja de 
natureza pública ou privada, seja de abrangência global, nacional, regional, local e até mesmo 
pessoal. Nenhum País, Estado ou Município atingirá seu pleno desenvolvimento se não dispuser 
de informações atualizadas, precisas e sinópticas sobre a natureza a quantidade e a distribuição 
geográfica dos seus recursos naturais e riquezas produzidas pela sua população. O 
Geoprocessamento surgiu, cresceu e se expande com base na filosofia de que a informação 
organizada, correta e disponível de forma ágil é indispensável para planejar e tomar decisões 
importantes de forma correta. O provérbio popular de que “informação é poder” nunca foi tão 
verdadeiro e atual, ganhando vigor renovado em relação à informação geográfica com o advento 
da tecnologia de Geoprocessamento. 
Em uma visão abrangente, Geoprocessamento é o conjunto de técnicas que lidam com 
aquisição, tratamento, interpretação e análise de dados georeferenciados, ou seja, é o 
processamento da informação que tem relacionamento com o espaço geográfico. O 
Geoprocessamento caracteriza-se por aplicações transdisciplinares em diversas áreas do 
conhecimento, apoiadas pela utilização de novas tecnologias como satélites de observação da 
Terra, sensores remotos aerotransportados, técnicas de mensuração e coleta de dados por meio 
do sistema GPS/GNSS, estações topográficas eletrônicas e medidores a laser. O processamento e 
a análise dos dados são feitas em ambientes integrados de software, hardware e procedimentos 
chamados sistemas de informações geográficas (SIG). 
O ambiente de Geoprocessamento/SIG disponibiliza valiosas ferramentas para aplicações 
em diferentes áreas do conhecimento que lidam com recursos geograficamente distribuídos. 
Qualquer atividade em que a posição geográfica tenha alguma importância é tipicamente uma 
aplicação de Geoprocessamento e pode contar com suas ferramentas. Áreas tão diversificadas 
como a Engenharia, Geografia, Geologia, Pedologia, Agricultura, Arquitetura, Navegação, 
Turismo, Meteorologia, Transportes, Urbanismo, além de muitas outras, podem tirar grande 
proveito das técnicas e ferramentas de Geoprocessamento. 
A Cartografia tem um papel de relevância fundamental dentro do Geoprocessamento 
constituindo um dos seus pilares mais importantes, porquanto o mapa tem sido o principal meio 
de apresentação dos resultados, é a forma de visualização mais natural e de interpretação mais 
intuitiva para a informação espacial. Varias operações espaciais que são base para diversas 
funções de analises em Geoprocessamento (interseção, união, fusão, etc.) são executadas por 
meio de álgebra de mapas. Além disso, tradicionalmente já existe uma enorme quantidade de 
informações sob a forma de mapas e cartas, tanto no formato digital como em papel na forma 
analógica que alimentam as análises em Geoprocessamento. 
Muitos profissionais que ingressam nessa área emergente e efervescente de 
Geoprocessamento, visando tirar proveito das suas ferramentas e técnicas para aumentar 
produtividade e agilizar suas atividades, têm sido “atrapalhados” pela falta de entendimento de 
conceitos fundamentais relacionados à Cartografia e Mapeamento. Estas breves notas de aulas 
que foram planejadas para dar suporte à disciplina Fundamentos de Cartografia têm como 
objetivo principal minimizar essas dificuldades, procurando fornecer uma visão geral do assunto 
com enfoque voltado ao ambiente de Geoprocessamento. 
 
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2- CONCEITO E CAMPOS DE APLICAÇÃO DA CARTOGRAFIA 
Cartografia é a Ciência e Arte que se propõe a representar por meio de mapas, cartas e 
plantas, além de outras formas como a computação gráfica, os diversos ramos do conhecimento 
do homem sobre a superfície e o ambiente terrestre. Ciência quando se utiliza do apoio científico 
da Astronomia, da Matemática, da Física, da Geodesia, da Estatística e de outras Ciências para 
alcançar exatidão satisfatória. Arte, quando recorre às leis estéticas da simplicidade e da clareza, 
buscando atingir o ideal artístico da beleza
Pela definição, percebe-se que um documento cartográfico, seja ele em papel ou na forma 
digital tem um compromisso com a exatidão. Esta exatidão deve ser compatível com a escala de 
representação ou resolução. Quando extraímos uma informação do documento cartográfico, 
temos a possibilidade de quantificar o erro em termos da posição geográfica, comprimento ou 
área. Da mesma forma, a definição indica que as informações apresentadas na carta devem ser 
claras, logicamente organizadas, de fácil leitura e de interpretação imediata. 
A Cartografia é considerada uma das mais antigas ciências de que se tem conhecimento. 
Sua origem remonta aos primórdios da civilização, quando o homem primitivo já sentia 
necessidade de registrar o espaço em sua volta a fim de marcar os lugares importantes para a sua 
sobrevivência. Ao registrar nas paredes das cavernas os locais onde havia abundância de água e 
de alimentos, locais perigosos, redutos de tribos hostis, etc. utilizando-se de instrumentos 
rudimentares, o homem da antiguidade já estaria desenvolvendo um trabalho de cartografia na 
sua forma mais rudimentar. 
Desde então a Cartografia evoluiu de forma gradual em seus métodos e instrumentos. Nas 
últimas décadas essa evolução foi notavelmente rápida, de forma que nos dias atuais a 
cartografia se utiliza de ferramentas de alta tecnologia como medidores a laser, sensores 
remotos, satélites artificiais, softwares e hardwares para produzir documentos cartográficos com 
as mais diferentes finalidades e para as mais diversas áreas de aplicações. Atualmente, a 
cartografia é uma ferramenta de suporte para aplicações em praticamente todas as áreas que 
lidam com recursos geograficamente distribuídos tais como Engenharia, Geografia, Geologia, 
Pedologia, Agricultura, Arquitetura, Navegação, Transportes,Turismo, Meteorologia, 
Urbanismo, etc. com uma lista crescente a cada dia. 
 
3 - CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS DE SUPORTE 
Para bem cumprir seus objetivos a Cartografia se apoia em várias ciências, tecnologias e 
áreas do conhecimento, algumas já são bem consolidadas e outras em constante processo de 
evolução e efervescência tecnológica. Apresentamos um breve resumo das áreas mais 
importantes para nosso estudo de cartografia. 
ASTRONOMIA 
A Astronomia é a mais antiga ciência de suporte à Cartografia. Foi utilizada desde 
tempos imemoriais para determinar a posição geográfica (latitude, longitude e azimutes) de 
lugares e direções na superfície terrestre. Os astrônomos e os observatórios astronômicos, desde 
remotas datas, determinam e divulgam as coordenadas das principais estrelas e astros em relação 
à Esfera Celeste. Um observador na superfície da Terra, ao observar uma estrela ou astro de 
coordenadas celestes já conhecidas e utilizando os conceitos de trigonometria esférica, pode 
determinar as coordenadas geográficas e azimutes da posição terrestre. Os antigos cartógrafos e 
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navegadores só dispunham deste único recurso para se localizar, navegar e construir mapas 
(Figura 1). 
Em 27 de abril de 1500, mal haviam sido enrolados os panos das caravelas ancoradas na 
Terra de Vera Cruz, João Emenelaus, um físico da esquadra de Cabral, desceu a terra e por meio 
do astrolábio mediu a altura do Sol ao meio dia e determinou a latitude de 17 graus para o local 
de desembarque (Cêurio de Oliveira, 1993). Nos dias atuais as medições astronômicas 
convencionais para determinação de posição geográfica foram praticamente substituídas por 
metodologias mais modernas como o posicionamento por satélites e outras que serão abordadas 
mais adiante. 
 
Figura 1 – Astronomia usada como recurso único pelos cartógrafos e navegadores antigos. 
TOPOGRAFIA e AGRIMENSURA 
Os trabalhos de Topografia são utilizados para determinar a posição tridimensional 
X,Y,Z ou E, N e Altitude de pontos e feições do terreno. Os métodos tradicionais de Topografia 
costumam atuar em pequenas extensões da superfície da Terra onde se pode desconsiderar sua 
curvatura. Utilizam diversos instrumentos que medem ângulos (horizontais e verticais) e 
distâncias, calculam as posições dos objetos terrestres com base na geometria e na trigonometria 
planas considerando um modelo plano da Terra local (Figura 2). Com o desenvolvimento das 
estações topográficas eletrônicas (chamadas Estações Totais) as técnicas de topografia alcançam 
atualmente alta produtividade na coleta de dados geográficos, sendo largamente utilizadas. 
 
Figura 2 – Visão geral do método topográfico. Observa-se o ponto inicial de instalação do 
instrumento com posição conhecida, o ponto de referência de azimute inicial 
também com posição conhecida (linha pontilhada com seta), os prismas de reflexão 
do laser instalados nos pontos de posição a determinar (linhas cheias sem setas). 
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GEODÉSIA 
A Geodésia é a ciência que trata do estudo da forma e dimensões da Terra, sendo 
responsável pelo estabelecimento do apoio geodésico básico para posicionamento, ou seja, uma 
malha de pontos geodésicos com latitude, longitude e altitude de alta precisão (Figura 3). Essa 
malha é necessária para dar suporte aos trabalhos que requeiram novas posições, com novas 
coordenadas, tais como mapeamentos cartográficos, trabalhos de engenharia, estudos de 
geodinâmica e atividades de navegação. A Geodésia utiliza instrumentos e métodos de alta 
precisão. As posições geodésicas são calculadas utilizando fórmulas matemáticas rigorosas e 
completas da trigonometria esférica sobre um modelo da Terra mais próximo possível do real. A 
Terra é considerada como um elipsóide de revolução para cálculo das latitudes e longitudes e 
como um modelo gravitacional complexo para cálculo das altitudes. 
 
Figura 3 – Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo (RBMC), em fase de expansão, mantida 
pelo IBGE para servir de infra-estrutura geodésica geral apoiada em GPS. 
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POSICIONAMENTO GLOBAL POR SATÉLITES 
O Sistema de Posicionamento Global - GPS é um sistema de posicionamento e navegação 
baseado em satélites que foi projetado de forma que em qualquer lugar do mundo e a qualquer 
instante existam pelo menos quatro satélites GPS acima do horizonte do observador. Esta 
situação garante a condição geométrica mínima necessária para determinação de uma posição em 
tempo real. Assim, qualquer usuário equipado com um receptor e processador de sinais GPS 
poderá determinar sua posição imediatamente. O Sistema GPS é constituído por 3 segmentos 
distintos, a saber: Segmento Espacial, Segmento de Controle e Segmento do Usuário. 
O segmento espacial é composto por pelo menos 24 satélites que orbitam em volta da 
Terra a uma altitude aproximada de 20.000 km, distribuídos em seis planos orbitais com 
inclinação de 55° em relação ao plano do Equador e com um período de revolução de 12 horas 
siderais. A função do segmento espacial é gerar e transmitir para os usuários os sinais GPS 
(códigos, portadoras e mensagens de navegação). 
O segmento de controle é responsável pela operação do Sistema GPS. Este segmento é 
constituído por diversas estações de monitoramento espalhadas pelo mundo que rastreiam 
continuamente todos os satélites visíveis no campo da antena. A função principal deste segmento 
é manter atualizada a mensagem de navegação que é transmitida pelos satélites para os usuários. 
O segmento do usuário refere-se a tudo que se relaciona com a comunidade usuária para 
determinação de posição, velocidade ou tempo. São os receptores, algoritmos, programas, 
metodologias, técnicas de levantamentos. 
O sistema GPS é capaz de fornecer posições geográficas com diversos níveis de precisões 
desde as mais grosseiras, em torno de 30 metros, até altas precisões, da ordem de 1 milímetro, 
dependendo dos instrumentos e metodologias utilizadas na coleta e processamento dos sinais. A 
Figura 4 ilustra o segmento espacial GPS e instrumentos usados nas medidas de campo. 
 
Figura 4 – Ilustração sem escala do segmento espacial do Sistema GPS e instrumentos receptores 
terrestres. 
FOTOGRAMETRIA 
A Fotogrametria é a técnica utilizada para obtenção de medidas tridimensionais terrestres 
e mapeamentos planialtimétricos precisos utilizando-se coberturas fotográficas, obtidas por meio 
de câmaras métricas com recobrimento estereoscópico longitudinal e lateral (Figura 5). É uma 
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técnica largamente utilizada em Cartografia para elaboração de mapas e cartas topográficas e 
cadastrais de áreas extensas, bem como, para produção de modelos digitais de terreno. Para 
mapeamento de grandes áreas as técnicas pontuais de Topografia e GPS tornam-se de baixa 
produtividade. 
 
Figura 5 – Visão geral do método aerofotogramétrico. O avião fotografa o terreno em faixas 
paralelas com recobrimento longitudinal de 60% e lateral de 30%. A reconstrução 
do modelo tridimensional é feita pela reconstrução exata da geometria inversa com 
base nas fotos e em pontos de controle medidos no campo com exatidão. As 
medidas planialtimétricas são extraídas do modelo tridimensional reconstruído com 
exatidão cartográfica. 
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VARREDURA LASER 
O método LIDAR (Light Detection and Ranging) tal como afotogrametria é uma técnica 
para levantamento e mapeamento de recursos da Terra que permite a obtenção de posições 
tridimensionais precisas em curto espaço de tempo. Um sistema de LIDAR utiliza uma 
combinação de três diferentes tecnologias avançadas: 1) um Sistema de navegação inercial de 
alta precisão (Inertial Navigation System - INS) para fornecer atitude e orientação do sensor; 2) 
um varredor de distâncias a laser; e 3) um Sistema de Posicionamento Global por satélite (GPS) 
operando no modo cinemático diferencial por fase para fornecer a posição do sensor. Com a 
integração dos três subsistemas em um único instrumento montado no avião ou em um pequeno 
helicóptero, é possível adquirir rapidamente nuvens de pontos tridimensionais do terreno abaixo 
da trajetória de vôo. A Figura 6 ilustra os principais aspectos da base conceitual do sistema 
LIDAR. 
 
Figura 6 – Visão geral do levantamento a laser. O sensor avança na direção de vôo enquanto o 
dispositivo de varredura desloca o feixe de laser lateralmente com passo constante 
cobrindo o terreno nas duas dimensões com pontos de amostras espaçados. As 
posições geográficas dos pontos são obtidas com base na posição GPS do Centro 
Elétrico do emissor de laser, na distância, no azimute e na inclinação do feixe de 
laser até o terreno. 
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SENSORIAMENTO REMOTO 
O Sensoriamento Remoto é a ciência e técnica que utiliza modernos sensores, 
equipamentos e programas de processamento e transmissão de dados, aeronaves e/ou 
espaçonaves para fins de estudo do ambiente terrestre por meio do registro e da análise das 
interações entre a radiação eletromagnética e as substâncias componentes do planeta em suas 
mais diversas manifestações. O Sensoriamento Remoto veio complementar o método da 
fotogrametria, principalmente para atualização de mapeamentos e nas aplicações para obtenção 
de informações temáticas. A Figura 7 ilustra uma visão geral do Sensoriamento Remoto. 
 
Figura 7 – Visão geral do Sensoriamento Remoto. A revolução do satélite em orbita quase-polar 
e a rotação da Terra permitem obter imagens de qualquer lugar da Terra com 
possibilidade de revisitas periódicas. As imagens em diferentes bandas do espectro 
eletromagnético são processadas e combinadas para gerar vários produtos de 
mapeamento topográfico. 
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INTERFEROMETRIA DE RADAR 
A interferometria RADAR é uma técnica que usa pares de imagens de radar para produzir 
modelos digitais precisos da elevação do terreno (MDE). Na técnica InSAR um par de imagens é 
adquirido de duas posições da antena, separadas espacialmente por uma distância, conhecida 
como linha de base. Como são adquiridas de posições diferentes, as imagens não se sobrepõem 
perfeitamente. Assim, é necessário que sejam co-registradas com exatidão antes que qualquer 
outra etapa adicional de processamento possa ser executada. As duas antenas podem ser 
montadas na mesma plataforma, o que é chamado de modalidade de passagem única ou a mesma 
área pode ser sobrevoada em horários diferentes pela mesma antena, o que se chama modalidade 
de passagem repetida. A Figura 8 ilustra de forma esquemática o princípio de operação do 
método InSAR, em passagem única usado na missão SRTM da NASA. 
 
Figura 8 – Visão geral, sem escala, do método InSAR usado na missão SRTM que fez o 
mapeamento topográfico global em 2001. 
COMPUTAÇÃO E GEOPROCESSAMENTO 
O advento e desenvolvimento da computação nas últimas décadas contribuíram para um 
grande salto tecnológico da Cartografia. Dentre as maiores contribuições da computação 
destacam-se os seguintes avanços: 1) desenvolvimento das ferramentas de computação gráfica; 
2) algoritmos e softwares para processamento digital de imagens; 3) sistemas de gerenciamento 
de bancos de dados; 4) mesas digitalizadoras; 5)scanners de grande formato; 6) plotters e 
impressoras de alta resolução; 7) softwares e plataformas para Sistemas de Informações 
Geográficas - SIG. 
 
4 - REPRESENTAÇÃO CARTOGRÁFICA DO PLANETA TERRA 
Para representar a superfície da Terra, que tem a forma de um esferóide, por meio de 
mapas, que são representações sobre planos, é necessário, antes de tudo, discutir três aspectos 
fundamentais envolvidos no processo: 
1. Entender sua forma real e definir um modelo matemático de representação simplificada e 
apropriado para viabilizar os cálculos, transformações e representações das medidas reais; 
2. Estabelecer um sistema de conversão (projeção) das medidas reais obtidas ou calculadas na 
superfície esférica do modelo do planeta para o plano cartográfico do mapa; e 
3. Adotar uma escala de representação para os elementos e feições da Terra, no caso de usar 
documentos impressos, tendo em vista que não é possível a representação em verdadeira 
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grandeza. Com o advento da cartografia digital, atualmente, a escala no mapeamento digital 
só é considerada no momento da impressão do mapa. 
4.1 - MODELO FORMA E DIMENSÕES DA TERRA 
Especulações sobre a forma da Terra, embora revestidas de roupagens místicas, 
remontam aos primórdios da civilização. Os primeiros seres inteligentes já olhavam para o 
universo infinito e questionavam de alguma forma a situação do nosso planeta dentro de toda 
aquela incomensurável grandeza e atribuíam à Terra uma transcendente importância no cenário 
universal. Existem diversos relatos históricos muito antigos que atribuem formas bastante 
inusitadas para a Terra (como, por exemplo, um enorme disco suportado por elefantes gigantes). 
Pitágoras e Sócrates (Séc V AC) já se recusavam a aceitar a idéia da Terra plana embora não 
pudessem provar. Aristóteles (Séc IV AC) reforçou a idéia da esfericidade da Terra por meio dos 
seguintes argumentos: 1) contorno circular da sombra da Terra nos eclipses da Lua; 2) variação 
do céu estrelado com a latitude; 3) diferença de horário na observação do mesmo eclipse para 
observatórios afastados em longitude. Ele, porem, defendia a imobilidade absoluta do planeta. 
Arquimedes (Séc IIV AC) afirmou que o diâmetro da Terra era superior ao da Lua e inferior ao 
do Sol. Eratóstenes (Séc II AC) determinou o raio da Terra por meio de operações geométricas e 
devido a algumas coincidências achou resultado muito próximo do verdadeiro. 
Sabe-se atualmente que a Terra tem uma forma real bastante complexa, entretanto pode 
ser simplificada de forma muito próxima por meio de modelos para fins de representação 
cartográfica sem prejuízos significativos. As principais formas de interesse para representação 
cartográfica da Terra são: 
SUPERFÍCIE TOPOGRÁFICA 
É a forma verdadeira da Terra com suas montanhas, vales, oceanos e as inúmeras 
saliências e reentrâncias geográficas da superfície. É a superfície física de existência real onde 
são executadas as medições e observações cartográficas (Figura 9). Os instrumentos de medida 
operam na superfície topográfica. 
 
Figura 9 – Superfície topográfica em relação a outras superfícies de interesse cartográfico. 
GEÓIDE 
É a forma verdadeira da Terra quando são subtraídas as montanhas, as depressões e 
outras saliências e reentrâncias geográficas da superfície. Estes elementos são muito pequenos 
(máximo 8,9 km no pico do Everest) em relação ao diâmetro da Terra (12.740,0 km). A 
superfície do geóide não tem definição geométrica ou matemática, é um modelo gravitacional 
cuja superfície é definida pelo potencial da gravidade equivalente ao do nível medo do mar. A 
superfície do geóide é aproximadamente esférica com suaves ondulações e achatada nos pólos. 
Seu diâmetro equatorial é aproximadamente 43 km maior que o diâmetro polar.O Geóide pode 
ser definido como sendo a superfície do nível médio das águas tranqüilas dos mares prolongada 
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por baixo dos continentes e é utilizado, em cartografia, como o modelo de referência padrão para 
as medidas de altitudes. 
ESFERA 
É a forma da Terra, com definição matemática, que representa uma simplificação do 
Geóide, considerando que o achatamento polar da Terra é muito pequeno (43 km em relação a 
12.740 km de diâmetro). É uma forma geométrica simplificada eventualmente utilizada em 
cartografia apenas em cálculos auxiliares e trabalhos aproximados. A equação do círculo 
máximo que define uma seção meridiana ou o Equador na esfera é dada por: X2 + Z2 = R2, onde 
X e Z são as coordenadas do círculo e R é o raio. 
ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO 
O Elipsóide de Revolução (Figura 10) é definido como sendo o sólido geométrico gerado 
por uma elipse que gira em torno do seu eixo menor (eixo polar). Consiste na forma com 
definição matemática que mais se aproxima do geóide (prolongamento do nível do mar pelos 
continentes), portanto é a forma/modelo que permite a maior precisão de representação da Terra. 
Os mapas e cartas topográficas, o sistema GPS e a maioria dos sistemas e processos envolvidos 
em cartografia e navegação, utilizam o modelo elipsóidico terrestre. Esta é a forma padrão 
considerada pela Geodesia para os trabalhos de precisão rigorosa. 
 
Figura 10 – Elipsóide de revolução, modelo matemático da Terra que mais se aproxima do 
geóide (modelo físico), portanto mais usado na representação da Terra. 
A elipse é uma curva definida pelo lugar geométrico dos pontos do plano onde a soma 
dos raios vetores, que partem dos focos, é uma constante de valor igual ao dobro do semi-eixo 
maior da elipse, ou seja, r1 + r2 = 2a. A equação da elipse é dada por: X2/a2 + Y2/b2 =1, onde 
Raios vetores r1, r2
Semi-eixo maior a 
Semi-eixo menor b 
Coordenadas X, Y 
Achatamento f = (a-b)/a 
Excentricidade ε = [(a2 - b2 )/ a2 ] 1/2
PLANO 
É o modelo/forma da Terra mais simplificada de todas, prestando-se unicamente para 
representação local, em extensões limitadas de acordo com a aplicação, geralmente até um raio 
máximo de aproximadamente de 50 km. Nessa extensão a diferença entre o arco e a corda é 
menor que 40 cm. Neste caso, todas as medidas feitas sobre o terreno natural são simplesmente 
projetadas em um plano horizontal tangente à superfície terrestre local (conhecido como Plano 
Topográfico) usando fórmulas da trigonometria plana. Muitos trabalhos de topografia e 
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mapeamentos para obras de engenharia civil, arquitetura e parcelamentos urbanos utilizam o 
Plano Topográfico Local como base de projeção. 
OUTROS CONCEITOS RELACIONADOS À FORMA DA TERRA 
Superfícies Eqüipotenciais – Lugar geométrico dos pontos do espaço de igual potencial da 
gravidade. O geóide é uma superfície equipotencial de altitude zero 
Vertical do Lugar – Direção do fio de prumo, perpendicular á superfície equipotencial que passa 
no lugar considerado. 
Normal ao Elipsóide – Direção perpendicular à superfície do elipsóide de revolução no lugar 
considerado. 
Desvio da Vertical – Ângulo formado entre a Vertical do Lugar e a Normal ao Elipsóide de 
Revolução no lugar considerado. Locais da Terra onde o desvio da vertical é nulo são 
especialmente adequados para servir de origem a um Datum Local. 
Altura Geoidal ou Ondulação Geoidal (N) – Desnível da superfície do geóide acima ou abaixo 
da superfície de um determinado elipsóide. O conhecimento da Altura Geoidal é de grande 
importância para medições altimétricas por meio do Sistema GPS, pois a altitude dada pelo GPS 
é relativa à superfície do elipsóide de revolução. Para ficar referida ao geóide, a altitude 
fornecida pelo GPS deve ser diminuída da altura geoidal no ponto considerado. Locais da Terra 
onde o a altura geoidal é nula e o desvio da vertical também, são ótimos para servir de origem a 
um Datum Local, pois o geóide coincide localmente com o elipsóide. 
4.2 - DATUM HORIZONTAL 
Desde os estudos gravitacionais de Sir Isaac Newton, que derrubou a esfericidade simples 
do Planeta, concluiu-se que o modelo matemático mais adequado para a representação da Terra é 
o elipsóide de revolução. Porém, vários países e continentes adotaram elipsóides com parâmetros 
ligeiramente diferentes, com objetivo de que eles se ajustassem localmente melhor às suas 
regiões específicas e produzissem resultados locais mais precisos, visto que àquela época não 
havia integração global. O modelo da Terra usado pelos Estados Unidos era um elipsóide 
diferente do elipsóide usado pelo Brasil que, por sua vez, diferente do elipsóide usado pela 
Rússia. Assim, existem vários modelos elipsoídicos terrestres locais e a adoção de um modelo 
terrestre global, que seria ideal, geralmente esbarrava nas fronteiras políticas. 
 
Um Datum Horizontal (Figura 11) é definido como sendo um sistema de referência 
padrão adotado por um país ou por todo o planeta ao qual devem ser referenciadas as posições 
geográficas planimétricas (latitude e longitude ou coordenadas cartesianas derivadas da projeção 
cartográfica). É fundamental que os dados geográficos usados em um mesmo projeto de 
Geoprocessamento estejam referenciados a um único Datum Horizontal para evitar 
incompatibilidades. Um datum horizontal local ou topocêntrico é definido pela adoção de um 
Elipsóide de Referência que representará a figura matemática simplificada da Terra real,, um 
Ponto Geodésico Origem onde o geóide coincide localmente com o elipsóide e um Azimute 
inicial para fixar o sistema de coordenadas na Terra, servindo como marco geodésico inicial para 
propagar as medições de latitudes e longitudes. O critério básico para escolha do Ponto 
Geodésico Origem de um datum local é a ocorrência de máxima coincidência entre a superfície 
do geóide e a superfície do elipsóide de referência adotado, ou seja, o desvio da vertical e 
ondulação geoidal deve ser nulo. 
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Figura 11 – Ilustração de datuns diferentes (elipsóides diferentes fixados ao geóide em locais 
diferentes) os quais, conseqüentemente, apresentarão diferentes coordenadas para os 
mesmos objetos da Terra. 
Atualmente há uma tendência mundial para adoção de datums globais geocênticos que 
são determinados com base em medições de satélites artificiais e observações de radioastronomia 
de alta precisão, onde a origem dos eixos de coordenadas tridimensionais é o centro de massa da 
Terra e o elipsóide adotado se ajusta à figura da Terra de forma global para todos os continentes. 
É importante lembrar que um mesmo ponto do terreno terá valores de coordenadas diferentes 
quando referidas a diferentes datuns. 
Existe atualmente uma grande quantidade de datuns horizontais usados em diferentes 
partes do mundo. No Brasil lidamos, basicamente, com apenas quatro datuns, a saber: 1) Sistema 
de Referência Geodésico para as Américas (SIRGAS 2000) que é o datum global geocêntrico 
oficial adotado por lei a partir da R.PR-IBGE-1/2005 de 25/02/2005; 2) South American Datum 
(SAD-69), que é o datum local topocêntrico oficial anterior ao SIRGAS e que deverá ser por este 
completamente substituído no prazo de 10 anos a partir da R.PR-IBGE-1/2005; 3) Córrego 
Alegre, que é o datum local topocêntrico anterior ao SAD-69, ao qual existem ainda vários 
trabalhos antigos referenciados; e 3) World Geodetic System (WGS-84), que é o datum global 
geocêntrico utilizado pelo Sistema GPS (muito similar ao SIRGAS 2000), cuja a tendência é ser 
adotado como padrão mundial. 
O WGS-84 é um datum global e geocêntrico, onde o elipsoideadotado (GRS80) ajusta-se 
o mais possível ao geóide em todo o globo e a origem dos seus eixos coordenados é fixada no 
geocentro (centro de massa da Terra). No datum global, como o elipsóide é fixado à Terra no 
geocentro, não há Ponto Geodésico Origem na superfície da Terra nem Azimute inicial. A 
Tabela 1 ilustra vários elipsóides estabelecidos para a Terra desde que Newton contestou sua 
simples esfericidade e postulou sua forma elipsóidica. 
 
Tabela 1 - Parâmetros de vários Elipsóides Terrestres de Revolução em ordem cronológica desde 
que Newton derrubou a esfericidade da Terra. 
 
Seq. Autor SemiEixo a SemiEixo b f-1 = a/(a-b) Ano Método Usado 
1 BOUGUER, MAUPERTIUS 6379300 6349875.2 216.80 1738 Astrogeodésico 
2 Comissão de Pesos e Medidas 6375739 6356650.0 334.00 1800 Astrogeodésico 
3 LAPLACE 6375739 6352804.7 278.00 1800 Astrogeodésico 
4 LAPLACE 6375739 6354834.9 305.00 1802 Astronômico 
5 DELAMBRE 6376523 6355860.3 308.60 1810 Astrogeodésico 
6 WALBECK 6376896 6355836.2 302.80 1819 Astrogeodésico 
7 SHIMIDT 6376959 6355523.8 297.50 1829 Astrogeodésico 
8 EVEREST 6377276 6356074.9 300.80 1830 Astrogeodésico 
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9 AIRY 6377563 6356254.7 299.30 1830 Astrogeodésico 
10 BESSEL 6377397 6356078.6 299.15 1841 Astrogeodésico 
11 EVEREST 6376901 6356399.1 311.04 1847 Astrogeodésico 
12 JAMES & CLARKE 6377936 6356513.4 297.72 1856 Astrogeodésico 
13 CLARKE 6378345 6356669.1 294.26 1857 Astrogeodésico 
14 SHUBERT 6378345 6356876.3 297.10 1859 Gravimétrico 
15 PRATT 6378245 6356645.8 295.30 1863 Astrogeodésico 
16 CLARKE 6378206 6356583.5 294.98 1866 Astrogeodésico 
17 FISCHER 6378338 6356229.4 288.50 1868 Astrogeodésico 
18 CLARKE 6378199 6356445.3 293.20 1878 Astrogeodésico 
19 CLARKE 6378249 6356514.4 293.46 1880 Astrogeodésico 
20 HELMERT 6378249 6356934.9 299.25 1884 Gravimétrico 
21 BONSDORF 6378444 6357082.8 298.60 1888 Astrogeodésico 
22 DARWIN 6378444 6356924.3 296.40 1889 Astronômico 
23 DARWIN 6378444 6356989.4 297.30 1889 Astronômico 
24 IVANOV 6378444 6356982.2 297.20 1889 Gravimétrico 
25 CALLANDREAU 6378444 6356996.6 297.40 Astronômico 
26 HARKNESS 6378039 6356793.0 300.20 1891 Astrogeodésico 
27 HELMERT 6378039 6356657.7 298.30 1901 Gravimétrico 
28 MAYFORD 6378283 6356865.0 297.80 1906 Astrogeodésico 
29 HELMERT 6378200 6356818.2 298.30 1907 Astrogeodésico 
30 HAYFORD 6378388 6356911.9 297.00 1909 Astrogeodésico 
31 HELMERT 6378388 6356890.2 296.70 1915 Gravimétrico 
32 BERROTH 6378388 6356969.6 297.80 Gravimétrico 
33 BOWIE 6378388 6356940.8 297.40 1917 Gravimétrico 
34 MACCAW 6378300 6356766.2 296.20 1924 
35 HEISKANEN 6378300 6356853.1 297.40 1924 Gravimétrico 
36 HEISKANEN 6378397 6356920.9 297.00 1926 Astrogeodésico 
37 DE SITTER 6378397 6356918.0 296.96 1927 Astronômico 
38 HEISKANEN 6378397 6356920.9 297.00 1928 Gravimétrico 
39 HEISKANEN 6378397 6357007.3 298.20 1929 Gravimétrico 
40 KRASSOWSKI 6378245 6356884.5 298.60 1936 Astrogeodésico 
41 ISOTOV 6378279 6356982.6 299.50 1938 Astrogeodésico 
42 DE SITTER 6378279 6356785.2 296.75 1938 Astronômico 
43 HEISKANEN 6378279 6356889.7 298.20 1938 Gravimétrico 
44 SHURAVLEV 6378279 6356908.4 298.46 1940 Gravimétrico 
45 KRASSOWSKI 6378245 6356863.0 298.30 1940 Astrogeodésico 
46 NISKANEN 6378245 6356827.1 297.80 1945 Gravimétrico 
47 SCHUTTE 6378245 6356806.2 297.51 1950 Gravimétrico 
48 LEDERSTEGER 6378300 6356824.2 297.00 1951 Gravimétrico 
49 JEFFREIS 6378300 6356845.2 297.29 1952 Astronômico 
50 SPENCER JONES 6378300 6356845.9 297.30 1953 Astronômico 
51 LIEBERMAN-TANNI 6378160 6356684.7 297.00 1955 Combinado 
52 A.M.S 6378240 6356764.4 297.00 1956 Astrogeodésico 
53 A.M.S 6378285 6356809.3 297.00 1956 Astrogeodésico 
54 HOUGH 6378270 6356794.3 297.00 1957 Astrogeodésico 
55 UOTILA 6378270 6356801.6 297.10 1957 Gravimétrico 
56 O'KEEFFE 6378270 6356887.9 298.30 1958 Satélites 
57 BUCHAR 6378270 6356844.8 297.70 1958 Satélites 
58 LECAR, SORENSON, ECKELS 6378270 6356889.4 298.32 1958 Satélites 
59 MERSON, HELE 6378270 6356873.6 298.10 1958 Satélites 
60 RUSHWORTH, LOWER 6378201 6356772.5 297.65 1958 Astrogeodésico 
61 MERSON, HELE 6378201 6356812.0 298.20 1959 Satélites 
62 BLITZER 6378201 6356768.9 297.60 1959 Satélites 
63 JACCHIA 6378201 6356818.4 298.29 1959 Satélites 
64 FISCHER 6378160 6356778.3 298.30 1960 Combinado 
65 COOK 6378160 6356774.0 298.24 1960 Satélites 
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66 KOZAI 6378160 6356778.3 298.30 1960 Satélites 
67 ZHONGOLOVITCH 6378160 6356771.1 298.20 1960 Satélites 
68 KING-HELE 6378160 6356771.1 298.20 1961 Satélites 
69 KAULA 6378163 6356777.0 298.24 1961 Combinado 
70 BUCHAR 6378163 6356766.9 298.10 1962 Satélites 
71 RAPP 6378194 6356926.3 299.90 1963 Astrogeodésico 
72 Sistema Geodésico de Ref-67 6378160 6356774.7 298.25 1967 Combinado 
73 Sistema Geodésico de Ref-80 6378137 6356752.3 298.25722 1980 Combinado 
CONVERSÃO DE DATUM HORIZONTAL 
Conhecendo-se os parâmetros de transformação, é possível converter posições 
geográficas de um datum horizontal para outro e vice-versa, por meio de equações matemáticas. 
Os Softwares de Geoprocessamento/Cartografia incorporam ferramentas para conversão entre os 
datuns mais conhecidos e utilizados no mundo. Deve-se, entretanto, tomar o cuidado de checar a 
nomenclatura e fidelidade dos parâmetros, pois tem sido objeto de muitas confusões em alguns 
programas. Para consolidar os conceitos veja demonstração usando os programas. 
A conversão de datum é possível para coordenadas cartesianas X,Y,Z por meio do conhecimento 
dos sete parâmetros abaixo: 
∆x, ∆y, ∆z componentes do vetor diferença do geocentro; 
α, β, γ ângulos de rotação dos três eixos; 
S fator de escala entre os sistemas. 
Entretanto a forma mais comum é a aplicação das equações diferenciais simplificadas de 
MOLODENSKI para transformações das coordenadas geográficas de um datum origem para um 
datum de destino. As equações são: 
∆φ0” = [∆z.cosφ1 - senφ1.(cosλ1. ∆X + senλ1. ∆Y) + (a1.∆f + f1.∆a). sen(2φ1) ] / (M1.sen 1”) 
∆λ0” = (∆y.cosλ1 - ∆x.senλ1) / (N1.cosφ1.sen 1”) 
φ2 = φ1 + ∆φ0 ; 
λ2 = λ1 + ∆λ0 ; 
onde : 
a1 = semi-eixo maior do elipsóide do sistema S1
f1 = achatamento do elipsóide do sistema S1
φ1 = latitude geodésica do sistema S1
λ1 = longitude geodésica do sistema S1
a2 = semi-eixo maior do elipsóide do sistema S2
f2 = achatamento do elipsóide do sistema S2
φ2 = latitude geográfica do sistema S2
λ2 = longitude geográfica do sistema S2
 
∆a = a2 - a1 ⇒ diferença dos semi-eixos maiores dos elipsóides entre os sistemas S2 e S1
∆f = f1- f2 ⇒ diferença de achatamento dos elipsóides entre os sistemas S2 e S1
N1 = a / (1- e12 . sen2 ϕ1 )1/2 = grande normal ou raio de curvatura da 1a. vertical no sistema S1
M1 = N1/ (1- e’12 . cos2 ϕ1) = raio de curvatura da seção meridiana no sistema S1
e12 = f1.(2 - f1) = 1a. excentricidade do elipsóide do sistema S1
e’12 = e12/ (1- e12) = 2a. excentricidade do elipsóide do sistema S1
O Decreto Lei 89.317 de 20/06/84 especificou o uso das equações diferenciais 
simplificadas de MOLODENSKI para as transformações de coordenadas geográficas de um 
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datum para outro e o IBGE estabeleceu os parâmetros de transformação entre os principais 
Datuns horizontais utilizados no Brasil (SIRGAS; SAD-69; Córrego Alegre e WGS-84) a seguir. 
De Córrego Alegre para SAD-69: 
a1 = 6.378.388,00 m 
f1 = 1/297,00 
a2 = 6.378.160,00 m 
f2 = 1/298,25 
∆x = -138,70 m 
∆y = +164,40 m 
∆z = +34,40 m 
De WGS-84 para SAD-69: 
a1 = 6.378.160,00 m 
f1 = 1/298,25 
a2 = 6.378.137,00 m 
f2 = 1/298,26 
∆x = +66,87 m 
∆y = -4,37 m 
∆z = +38,52 m 
SAD 69 para SIRGAS2000 
a1 = 6.378.160 m 
f1 = 1/298,25a2 = 6.378.137 m 
f2 = 1/298,257222101 
∆X = − 67,35 m 
∆Y = + 3,88 m 
∆Z = − 38,22 m 
SIRGAS2000 para SAD 69 
a1 = 6.378.137 m 
f1 = 1/298,257222101 
a2 = 6.378.160 m 
f2 = 1/298,25 
∆X = + 67,35 m 
∆Y = − 3,88 m 
∆Z = + 38,22 m 
É importante ressaltar que, salvo em uma aproximação grosseira, não tem sentido falar 
em posição geográfica (latitude, longitude ou coordenada plana cartesiana X e Y ou E e N) sem 
especificar o datum horizontal de referência. 
4.3 - DATUM VERTICAL 
As altitudes são referidas ao nível médio das águas tranqüilas dos mares, ou seja, à 
superfície do geóide. Porém, tal como ocorre com o datum horizontal, cada país mede e adota o 
seu próprio nível do mar. O nível do mar sofre influência de vários fatores tais como ventos, 
atração do Sol e da Lua, densidade das massas continentais e dos fundos dos oceanos, correntes 
marítimas, etc. Para obter um valor estável e preciso é necessário tomar medidas da variação das 
marés durante um período de aproximadamente 19 anos, quando todos os fatores mais influentes 
passam a se repetir (Figura 12). Assim, o Datum Vertical é um sistema padrão ao qual devem ser 
referenciadas as altitudes de um país ou região. Na prática é dado pela média das observações de 
 18
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um Marégrafo (Figura 12) que tem o registro das variações de marés por um longo período (pelo 
menos 19 anos, quando se repete o ciclo da Lua). É de fundamental importância que os dados 
altimétricos de um mesmo projeto estejam referenciados a um único datum Vertical para evitar 
incompatibilidades. Cabe ressaltar que, salvo em uma aproximação grosseira, não tem sentido 
falar em altitude sem especificar o datum vertical de referência. 
 
Figura 12 – Ilustração do Datum Vertical, onde é necessário medir a variação das marés durante 
um longo período para obter um valor de referência estável. 
4.4 - SISTEMA DE COORDENADAS GEODÉSICAS 
O sistema de coordenadas geodésicas (elipsóidicas ou esféricas, também chamadas de 
coordenadas geográficas) é um sistema adequado para a localização inequívoca da posição dos 
objetos e acidentes geográficos na superfície terrestre. Neste sistema o modelo elipsoídico da 
Terra é dividido em círculos paralelos ao Equador chamados PARALELOS e em elipses que 
passam pelos pólos terrestres (perpendiculares aos paralelos) chamados MERIDIANOS (Figura 
13). Cada ponto na Terra terá uma posição única constituída de duas coordenadas geodésicas 
definidas por: 
Latitude Geodésica ou Geográfica (ϕ): ângulo entre a normal ao elipsóide de referência no ponto 
considerado e sua projeção no plano equatorial. Ou seja, é o arco de meridiano que vai do 
equador ao ponto considerado. A latitude é positiva a Norte (0 a +90°), negativa a Sul (0 a –90°) 
 
Longitude Geográfica ou Geodésica (λ): ângulo diedro entre os planos do meridiano de 
Greenwich e do meridiano que passa pelo ponto considerado. Ou seja, é o arco de paralelo que 
vai do meridiano de Greenwich até o ponto considerado. Positiva a Este (0 a +180°), negativa a 
Oeste (0 a -180°) 
 
Altitude Elipsoidal (H): distância sobre a normal ao elipsóide que se estende da superfície do 
elipsóide até o ponto considerado. 
 
Na prática geral usa-se a altitude em relação ao nível do mar que é chamada de 
 
Altitude Ortométrica (h): distância vertical que se estende do nível médio do mar 
(Geóide ≡ Datum Vertical) até o ponto considerado. Difere de H pela Ondulação Geoidal. 
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Figura 13 – Ilustração dos conceitos de coordenadas esféricas, geográficas ou geodésicas e 
ondulação do geóide. 
4.5 - SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS GEOCÊNTRICAS (X, Y e Z) 
Constitui-se de um sistema de três eixos cartesianos ortogonais (X,Y,Z) muito utilizado 
pelos satélites artificiais do sistema GNSS (GPS, GLONASS, GALILEO) para cálculo de 
posições, utilizando geometria tridimensional (Figura 14). As fórmulas e transformações neste 
sistema são de manipulação bastante simples e direta, além de serem facilmente programáveis 
em softwares. As coordenadas fornecidas pelo GPS são inicialmente calculadas neste sistema e 
posteriormente convertidas para o sistema curvilíneo de coordenadas geodésicas ou geográficas 
e coordenadas UTM. As principais características do sistema de coordenadas cartesianas 
geocêntricas são: 
Origem dos eixos coordenados no centro de massa da Terra (Geocentro) 
Eixo X coincidente com o traço do meridiano de Greenwich no plano do Equador (positivo na 
direção da longitude 0°) 
Eixo Y ortogonal ao eixo X no plano do Equador (positivo na direção da longitude 90° E) 
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Eixo Z coincide com o eixo de rotação da Terra (positivo na direção Norte) 
 
Figura 14 – Ilustração do Sistema Cartesiano Tridimensional (X,Y,Z) utilizado no cálculo de 
posições em geodésia por satélites artificiais. 
A transformação de coordenadas cartesianas tridimensionais x,y,z WGS84 para x,y,z SAD69 
consiste apenas em aplicar 3 translações, pois assume-se que os dois sistemas são paralelos e de 
mesma escala. Assim, basta somar os parâmetros de transformação, Tx = 66,87 m; Ty = -4,37 m; 
Tz = 38,52 m, às coordenadas x,y,z WGS84 para obter as correspondentes x,y,z SAD69. 
Para converter SAD69 em WGS84 basta subtrair esses mesmos parâmetros das coordenadas 
x,y,z SAD69. Os parâmetros para transformar Córrego Alegre em SAD69 são: 
Tx = -138,70 m; Ty = 164,40 m; Tz = 34,40 m; 
Para transformar coordenadas x,y,z SIRGAS em coordenadas x,y,z SAD69 somam-se as 3 
translações abaixo às coordenadas SIRGAS 
Tx = + 67,35 m; Ty = − 3,88 m; Tz = + 38,22 m; 
Para converter SAD69 em SIRGAS basta subtrair esses mesmos parâmetros das coordenadas 
x,y,z SAD69. 
As coordenadas cartesianas e geodésicas podem ser transformadas entre si pelas fórmulas 
simples a seguir 
X = (N+H).cosϕ.cosλ Tanλ = Y/X 
Y = (N+H).cosϕ.senλ Tanϕ = (Z+e2N senϕ)/(X2+Y2) 
Z = [(1-e2)N +H].senϕ H = X.secϕ.secλ - N = Y.secϕ.cosecλ -N 
Onde 
H = altitude elipsoidal 
N = a / (1- e2.sen2ϕ)1/2 = raio de curvatura da seção 1a. vertical do elipsóide 
M = N/ (1- e’2.cos2ϕ) = raio de curvatura da seção meridiana do elipsóide 
e2 = f.(2 - f) = (a2 - b2)/ a2 = 1a. excentricidade do elipsóide 
e’2 = e2/ (1- e2) = 2a. excentricidade do elipsóide 
4.6 - ALGUMAS MEDIDAS NA ESFERA TERRESTRE 
Para nossa maior familiarização com as grandezas terrestres, são apresentadas algumas 
medidas utilizando o modelo esférico terrestre (modelo simplificado) neste caso a esfera adotada 
tem raio igual ao semi-eixo maior do modelo SAD69. 
Comprimento de um grau de Latitude (Meridiano) 
 1° = 2 x 3,141592(π) x 6378160m / 360 = 111320 metros 
 1’ minuto = 111320m/60 = 1855 metros 
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 1’’ segundo = 1852m/60 = 31 metros
Comprimento de um grau de Longitude (Paralelo) é variável conforme a Latitude do lugar 
1° = 2 x 3,141592(π) x 6378160 x cos(Lat) / 360 = ? 
no Equador o valor de 1° é o mesmo do grau de Latitude 111320 m
na Latitude de 45° = 78715 metros
na Latitude de 60° = 55660 metros
na Latitude de 90° = 0 metros
Distância entre dois pontos A e B no modelo da esfera terrestre 
A menor distância entre dois pontos quaisquer, na esfera (modelo simplificado), é sempre 
aquela percorrida sobre o círculo máximo que passa pelos dois pontos. Círculos máximos são 
todos aqueles que passam pelo centro da esfera. O arco de círculo máximo entre dois pontos é 
dado pela fórmula 
cosd = (sena.senb) + (cosa.cosb.cosp) 
 d - arco de círculo máximo entre A e Ba - latitude de A 
 b - latitude de B 
 p - diferença de longitude entre A e B 
EXEMPLO: encontrar a distância esférica e o azimute geográfico de Belo Horizonte para 
Fortaleza. As coordenadas são: Belo Horizonte: ϕ = -19°54’, λ =-43°54’; Fortaleza: ϕ = -
3°48’, λ = -38°30’. 
4.7 - ORIENTAÇÃO TERRESTRE POR AZIMUTES E RUMOS 
AZIMUTE 
É a forma mais usada para indicar uma direção geográfica. O azimute é o ângulo formado 
entre e a direção Norte (meridiano ou azimute zero) e uma direção terrestre considerada. É 
sempre contado no sentido horário e assume valores desde 0° até 360°. O azimute entre dois 
pontos no modelo da esfera terrestre (modelo simplificado) é dado por 
cosAz = (senb - sena.cosd )/(cosa.send) 
RUMO 
É uma forma alternativa, menos usada que o azimute, para indicar uma direção 
geográfica. Consiste no menor ângulo que uma direção terrestre faz com a linha Norte-Sul 
(meridiano). O rumo pode ser contado do Norte ou do Sul (sempre a partir do que estiver 
angularmente mais próximo). Nunca passa de 90° e vem obrigatoriamente acompanhado da 
identificação do quadrante (NE, NW, SE, SW) onde se encontra. Exemplos. 80°NE, 40°SE, 30°
SW, 10°NW. 
A conversão entre Azimutes(Az) e Rumos(R) ou vice versa pode ser feita pelas relações a seguir 
Primeiro quadrante (NE) R = Az 
Segundo Quadrante (SE) R = 180 - Az 
Terceiro quadrante (SO) R = Az - 180 
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Quarto quadrante (NO) R = 360 – Az 
NORTE GEOGRÁFICO, NORTE de QUADRÍCULA e NORTE MAGNÉTICO 
Em um lugar qualquer da Terra, o Norte Geográfico é definido pela direção do meridiano 
geográfico que aponta para o Polo Norte Verdadeiro da Terra. O Norte Magnético é definido 
pela direção da agulha da bússola que aponta para o Polo Norte Magnético da Terra. O Pólo 
Norte Magnético descreve um lento movimento, aproximadamente circular e de período secular, 
em torno do Polo Norte Geográfico considerado fixo. Existe, portanto, um desvio angular entre o 
Norte da Bússola e o Norte Geográfico. A magnitude deste ângulo depende da localização do 
observador na Terra. Todas as medidas de azimutes ou rumos feitas com a bússola são 
magnéticas, já os azimutes obtidos nas cartas, mapas ou por meio de cálculos geodésicos são 
azimutes de quadrícula ou azimutes geográficos. O Norte de Quadrícula é a direção do eixo Y 
cartesiano (eixo N) do mapa o qual tem também um pequeno ângulo de desvio da transformada 
do meridiano geográfico. Assim, quando se trabalha com mapas e bússolas (caso típico da 
navegação) é necessário fazer a conversão entre esses diferentes tipos de azimutes (Magnético, 
Geográfico e de Quadrícula). O ângulo de desvio entre o Norte Magnético e o Norte Geográfico 
é chamado Declinação Magnética e pode ser obtido por meio de cartas magnéticas ou usando-se 
modelos numéricos do campo magnético terrestre. O angulo entre o Norte geográfico e o Norte 
de quadrícula é chamado Convergência Meridiana. É importante esclarecer que o Norte 
Magnético sofre perturbações de várias naturezas, assim, sua direção não é precisa. As melhores 
bússolas fornecem medidas com erro de, pelo menos, meio grau. Portanto, as bússolas só se 
prestam para orientações aproximadas. Orientações precisas devem ser tomadas em relação ao 
Norte Geográfico usando métodos adequados. A Figura 15 apresenta na forma de gráficos os 
conceitos discutidos. Os mapas e cartas trazem um diagrama com os valores numéricos dos 
desvios entre os três Nortes (NM, NQ, NV). Para consolidar os conceitos veja demonstração 
usando os programas. 
 
Figura 15 – Ilustração dos conceitos de Nortes de referência (NM, NQ, NV), azimutes e rumos. 
4.8 - SISTEMA DE COORDENADAS PLANAS CARTESIANAS 
O sistema de coordenadas elipsóidicas ou esféricas (latitude e longitude), apesar de ser 
muito útil para localizar pontos inequivocamente na superfície elipsóidica da Terra, não é muito 
prático para o trabalho com a manipulação dos elementos e medidas de feições cartográficas 
projetadas no plano dos mapas. Assim, foram estabelecidos os sistemas de coordenadas planas-
cartesianas associados às projeções cartográficas (assunto a ser visto com detalhes no próximo 
tópico). São sistemas puramente cartesianos que têm a origem dos seus eixos coordenados 
fixadas em certos paralelos e meridianos terrestres. As coordenadas do sistema são medidas em 
 23
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metros, e não em graus, como no caso das coordenadas esféricas. A coordenada X é denominada 
Este (E) e a coordenada Y denominada Norte (N). Este sistema simplifica bastante os cálculos 
de comprimentos, direções, declividades, áreas, volumes, etc. usando-se operações de 
trigonometria e geometria planas. Cabe, porém, observar que as coordenadas planas estão 
estritamente associadas ao sistema de projeção específico do mapa que modifica, em graus 
variáveis, as feições reais da Terra. Cada coordenada plana corresponde a uma coordenada 
geográfica que foi transformada pelas equações e leis matemáticas do sistema de projeção. Não 
tem nenhum sentido falar em coordenada plana cartesiana sem especificar o sistema de projeção 
que lhe deu origem. 
4.9 - SISTEMA DE PROJEÇÃO CARTOGRÁFICA 
Os mapas (impressos ou digitais) são essencialmente representações planas da Terra, 
tendo em vista as dificuldades de construir, manipular e arquivar globos terrestres com a mesma 
forma da Terra. As projeções cartográficas são, então, uma necessidade absolutamente imperiosa 
para viabilizar o mapeamento da Terra devido à impossibilidade de transformar diretamente uma 
superfície esferoidal (caso da Terra) em um plano (caso do mapa) sem provocar rupturas, 
estiramentos, dobras e outras deformações imprevisíveis, incontroláveis e indesejáveis. 
A projeção cartográfica consiste na transformação matemática executada sobre os pontos 
de interesse da superfície elipsóidica (curva) da Terra, de forma a representá-los sobre a 
superfície plana de um mapa provocando um mínimo de deformações e tendo essas deformações 
sob completo controle de acordo com as leis matemáticas utilizadas (Figura 16). Qualquer 
deformação ocorrida na feição real é completamente conhecida e pode ser recuperada a qualquer 
tempo. Conforme já visto, o modelo matemático teórico da Terra é um elipsóide de revolução 
onde os elementos a serem mapeados possuem coordenadas geodésicas esféricas (latitude e 
longitude) na superfície do modelo. As superfícies utilizadas para projeção do modelo 
elipsóidico podem ser planos, cilindros ou cones. Essas superfícies planificáveis podem ser 
secantes ou tangentes à superfície elipsóidica do modelo, dependendo das propriedades que se 
deseja conservar ou realçar na transformação dos elementos da Terra para o sistema cartográfico 
do mapa. 
A forma projetada (plana) da Terra apresenta uma série de vantagens práticas sobre a 
forma elipsóidica original. Entretanto, qualquer que seja o tipo de projeção do modelo curvo 
sobre um plano provocará alterações nos comprimentos, nas formas, direções ou nas áreas dos 
elementos originais. Um sistema que conserve algum destes atributos (por exemplo, distâncias), 
forçosamente deformará os demais (áreas, formas e direções) e vice-versa. Deste modo, não 
existe um sistema de projeção ideal que não introduza qualquer tipo de deformações. Qualquer 
que seja o sistema escolhido será apenas a melhor forma de representação da superfície terrestre 
para um determinado objetivo. Entretanto, é muito importante lembrar, que as deformações são 
produzidas por transformações e leis matemáticas, portanto são previsíveis, controláveis, 
calculáveis e corrigíveis em qualquer situação. Com as facilidades computacionais atuais é muito 
simples recuperar os valores corretos dos elementos cartográficos que foram deformados pela 
projeção cartográfica.Existem inúmeras formas de classificação das projeções cartográficas sob diversos 
critérios. Um critério muito comum bastante utilizado é a divisão segundo os tópicos abaixo. 
1) Quanto às propriedades que conserva: 
Eqüidistantes – são aquelas que não apresentam deformações lineares. 
Equivalentes – são aquelas que não apresentam deformações de áreas. 
 24
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Conformes – são aquelas que não apresentam deformações angulares – muito utilizadas 
em navegação e mapeamento de detalhes. 
Afiláticas – são aquelas que apresentam todas as deformações anteriores, mas apresentam 
alguma outra propriedade de interesse específico. 
2) Quanto a natureza da superfície de projeção: 
 Planas ou Azimutais – quando a superfície de projeção é um plano. 
Cilíndricas – quando a superfície de projeção é um cilindro desenvolvível em um plano. 
Cônicas – quando a superfície de projeção é um cone desenvolvível em um plano. 
 
3) Quanto ao tipo de contato entre o elipsóide e a superfície de projeção: 
Tangentes – quando o cone, cilindro ou plano de projeção apenas toca a superfície 
elipsoidal em um ponto ou linha. 
Secantes – quando o cone, cilindro ou plano de projeção corta a superfície elipsoidal em 
duas linhas. 
Polisuperficiais – quando o cone, cilindro ou plano toca a superfície elipsoidal em várias 
linhas ou pontos. 
4) Quanto à posição da superfície de projeção em relação ao elipsóide terrestre: 
Normal – quando o eixo do cone ou cilindro é paralelo ao eixo de rotação da Terra. 
Transversa – quando o eixo do cone ou cilindro é perpendicular ao eixo de rotação da 
Terra. 
Oblíqua – quando o eixo do cone ou cilindro é inclinado em relação ao eixo de rotação da 
Terra. 
 
Apesar de obedecerem às classificações acima, as projeções cartográficas são mais 
conhecidas pelos nomes das pessoas que as desenvolveram, tais como projeção de Mercator, 
projeção Conforme de Gauss, projeção de Robinson, etc. 
 
Figura 16 – Ilustração dos conceitos da projeção cartográfica das posições geográficas dos 
objetos e feições da Terra esférica ou elipsoidica no mapa (plano de projeção). 
A transformação dos pontos terrestres para o plano de projeção requer o estabelecimento 
de sistemas de coordenadas para garantir uma correspondência em ambas as superfícies. As 
coordenadas dos elementos da superfície no modelo elipsóidico são expressas em termos de 
latitude e longitude geodésicas. As coordenadas na superfície plana de projeção são expressas 
em um sistema cartesiano retangular com o eixo X positivo apontando para Este e eixo Y 
 25
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positivo apontando para Norte. A relação entre as coordenadas elipsóidicas e as coordenadas no 
plano são dadas pela lei matemática da projeção que é característica de cada sistema particular 
de projeção (Figura 17). 
 
Figura 17 – Ilustração da Terra com suas feições mapeadas em diferentes projeções 
cartográficas. Observe que os mesmos objetos ta Terra se mostram bastantes 
diferentes conforme a projeção utilizada na representação. 
A PROJEÇÃO UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR - UTM 
A projeção cartográfica adotada no Mapeamento Sistemático Brasileiro desde 1955 é o 
Sistema Universal Transverso de Mercator (UTM). É uma projeção bastante conhecida, 
difundida e utilizada em diversas aplicações no mundo inteiro. A projeção UTM é um caso 
particular da Projeção Transversa de Mercator (TM) onde várias características foram 
padronizadas por recomendação da União de Geodésia e Geofísica Internacional (UGGI) para 
uso no mundo inteiro em mapeamento sistemático (Figura 18). As principais características do 
sistema de projeção UTM são: 
1) A superfície de projeção é um cilindro com eixo perpendicular ao eixo polar terrestre. 
2) É uma projeção conforme, ou seja, mantém sem deformações os ângulos e a forma das 
pequenas áreas, porém deforma distâncias lineares e valor das áreas. 
3) O cilindro de projeção é secante ao modelo do elipsóide de revolução, em dois meridianos, 
ao longo dos quais não ocorrem deformações lineares de escala da projeção (K=1). 
4) Os mapas na projeção UTM não possuem uma escala única e constante em relação à 
realidade terrestre. As regiões entre os meridianos de secância sofrem reduções de escala 
(K<1), enquanto as regiões fora dos meridianos de secância apresentam escalas ampliadas 
(K>1). Isso permite que as distorções de escala sejam distribuídas ao longo do fuso de 6° de 
amplitude. 
 26
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5) O elipsóide terrestre é dividido em 60 fusos parciais, cada um abrangendo 6° de amplitude e 
numerados de 1 até 60. A contagem numérica dos fusos (1) começa no antimeridiano de 
Greenwich (Longitude =180°) crescendo para Leste até 60, vizinho do 1. O número de um 
fuso qualquer pode ser encontrado pela relação F= (183°-Longitude)/6. Assim, o fuso 1 vai 
de 180°W a 174°W, o Fuso 60 de 174°E a 180°E, o fuso de Belo Horizonte 
(Longitude = 44°W) é o de número 23, os fusos vizinhos a Greenwich (Longitude=0°) são o 
30 do lado W e o 31 do lado E. 
6) Todos os fusos parciais possuem as mesmas características matemáticas e projetivas. O 
coeficiente de redução máxima de escala UTM ocorre ao longo do meridiano central de cada 
fuso (MC) e tem o valor constante K0 = 0.9996, ou seja, 1 m de redução para cada 2500 m. 
As longitudes dos Meridianos Centrais dos fusos (MC) são múltiplas de 6° mais 3°. Podem 
ser encontrados pela relação MC = 6° x N + 3°, (N é um número inteiro entre 0 e ± 29). Se 
for dado o número do Fuso, então MC = 183°- 6 x Fuso 
7) O Equador (eixo X origem) é representado por uma linha reta horizontal, o Meridiano 
Central (eixo Y origem) representado por uma linha reta vertical, os paralelos são 
transformados para curvas de concavidades voltadas para os pólos e os meridianos para 
curvas de concavidades voltadas para o MC. 
8) As coordenadas planas UTM são designadas inequivocamente pelas letras E e N, acrescidas 
do Fuso e do Hemisfério (S ou N). A origem do sistema cartesiano de coordenadas é formada 
pelo meridiano central do fuso (eixo Y) cujo valor é E=500.000,00 metros (Falso Este), e 
pelo Equador (eixo X) que tem valor N=0,00 metros, para coordenadas no hemisfério Norte 
e N=10.000.000,00 metros (Falso Norte), para coordenadas no hemisfério sul. As constantes 
E=500.000 m para o MC e N=10.000.000 m para o Equador, chamadas, respectivamente, de 
Falso Este e Falso Norte e têm objetivo de evitar o uso de coordenadas negativas (Figura 19) 
9) O Coeficiente de Deformação Linear de Escala (K) em um ponto qualquer do fuso UTM de 
6° varia com o afastamento do meridiano central e é dado de forma aproximada por 
K=K0(1+(E-500.000)2 / (2R2)), onde E é a coordenada Este UTM do ponto e R o raio médio 
da curvatura da Terra no ponto considerado. As maiores ampliações ocorrem nos extremos 
do fuso onde K é da ordem de 1,0010, ou seja, 1 m de ampliação para cada 1000 m. 
10) A Convergência Meridiana (δ) em um ponto qualquer do fuso UTM de 6° é dada 
aproximadamente por δ = (λ-λMC).Sen.ϕ. Onde λ e λMC são as longitudes do ponto e do MC, 
respectivamente e ϕ é a latitude do ponto. A convergência meridiana é usada para 
transformar azimute plano em azimute verdadeiro ou geográfico. 
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Figura 18 – Visão geral de alguns aspectos principais do Sistema UTM. 
11) O sistema costuma ser, também, dividido em faixas de 8° de latitudes designadas pelas letras 
do alfabeto (exceto as letras I e O). A contagem das faixas começa em 80° Sul com a letra C 
(80°S a 72°S) e crescepara Norte até a letra X. Assim coordenadas na faixa de 16°Sul a 
24°Sul dentro da zona de MC=45° são precedidas por 23K (por exemplo. UTM 23K 608600; 
7802650 – SAD69 são as coordenadas do PCA-UFMG). A primeira faixa acima do Equador, 
0°N a 8°N, corresponde à letra N. Este sistema é muito usado pelos equipamentos GPS de 
navegação. 
12) A projeção UTM quando comparada a outras projeções apresenta deformações pequenas em 
todos os aspectos. 
 
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Figura 19 – No alto, o sistema de coordenadas planas de um Fuso UTM qualquer, o qual é igual 
para todos os demais 60 fusos. Em baixo, os oito Fusos UTM que cobrem o Brasil. 
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PROJEÇÕES TRANSVERSAS DE MERCATOR – TM 
As projeções Transversas de Mercator utilizam as mesmas fórmulas matemáticas da 
projeção UTM, mudando apenas os parâmetros de Largura de Fuso em longitude, Meridiano 
Central, Coeficiente K0 da escala no MC, Falso Norte e Falso Este. Estas projeções são 
adequadas para mapeamentos locais e específicos que requerem deformações pequenas, onde a 
deformação do sistema UTM não é aceitável. Assim, podem-se reduzir as amplitudes dos fusos e 
as deformações de escala (K) de forma a aproximar a projeção cartográfica de uma projeção 
local no plano topográfico que não tem deformações. São empregadas para obras de engenharia, 
cadastros e mapeamentos urbanos de escalas grandes. Os sistemas TM mais conhecidos são: 
 
Sistema LTM – fusos de 1° de amplitude em longitude com Meridianos Centrais coincidentes 
com as longitudes de 30’, coeficiente de deformação no MC, K0 = 0.999995, a origem dos eixos 
de coordenadas do sistema no cruzamento do Equador com o Meridiano Central, acrescidos do 
Falso Norte de 5.000.000,00 para o Hemisfério Sul e Falso Este de 200.000,00. 
 
Sistema Gauss-Kruger – fusos de 3° de amplitude em longitude com Meridianos Centrais 
múltiplos de 3°, coeficiente de deformação no MC, K0 = 1.0000, a origem dos eixos de 
coordenadas do sistema no cruzamento do Equador com o Meridiano Central, acrescidos do 
Falso Norte de 5.000.000,00 para o Hemisfério Sul e Falso Este de 200.000,00 
 
Sistema RTM (SPCS) – fusos de 2° de amplitude em longitude com Meridianos Centrais em 
longitudes ímpares, coeficiente de deformação no MC, K0 = 0.999995, a origem dos eixos de 
coordenadas do sistema no cruzamento do Equador com o Meridiano Central, acrescidos do 
Falso Norte de 5.000.000,00 para o Hemisfério Sul e Falso Este de 400.000,00 
 
Sistema Gauss-Tardi – fusos de 6° de amplitude em longitude com Meridianos Centrais 
múltiplos de 6°, coeficiente de deformação no MC, K0 = 0.999333, a origem dos eixos de 
coordenadas do sistema no cruzamento do Equador com o Meridiano Central, acrescidos do 
Falso Norte de 5.000.000,00 para o Hemisfério Sul e Falso Este de 500.000,00 
TRANSFORMAÇÃO DE PROJEÇÕES CARTOGRÁFICAS 
Existe um número muito grande de sistemas de projeções com diferentes propriedades e 
características diversas para atender a diferentes propósitos. A maioria dos softwares de 
Geoprocessamento incorpora funções e facilidades para conversão entre as projeções mais 
conhecidas e utilizadas no mundo. Para consolidar os conceitos veja demonstração usando os 
programas. 
4.10 - SISTEMA TOPOGRÁFICO LOCAL 
O plano topográfico local de projeção é largamente utilizado em trabalhos de engenharia, 
arquitetura, agrimensura, cadastros e obras civis. Sempre que não for conveniente ou não for 
permitido introduzir quaisquer deformações adicionais (inerentes às projeções cartográficas) nas 
feições do terreno, o uso do sistema local será necessário ou recomendável. A maior 
desvantagem de usar o plano de projeção local é a falta de um georeferenciamento padronizado 
que, inevitavelmente, irá gerar incompatibilidades entre os diversos trabalhos independentes. 
Quando se usam instrumentos de medidas de campo como os teodolitos, as estações 
topográficas eletrônicas, as trenas, os medidores a laser, etc. essas medições estão sendo tomadas 
na superfície topográfica. Se as informações se destinam a compor um sistema local, serão 
simplesmente projetadas ortogonalmente no plano topográfico local usando as fórmulas simples 
 30
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da geometria e da trigonometria planas. Entretanto, se vão compor um sistema cartográfico ou 
um SIG precisam ser, necessariamente, projetadas na superfície do elipsóide segundo as normais 
e convertidas para a superfície da projeção cartográfica usando as fórmulas geodésicas 
apropriadas e as leis da projeção. A convivência entre sistemas locais e sistemas cartográficos é 
muitas vezes necessária, portanto é conveniente dispor de conhecimentos e instrumentos para 
conversão entre eles. Os tópicos a seguir apresentam alguns dos principais conceitos de 
medições locais. 
 
O PLANO TOPOGRÁFICO é o plano horizontal tangente à superfície de nível no local do 
trabalho de levantamento (Figura 20). Por definição é perpendicular à linha que representa a 
vertical do lugar (fio de prumo). Sobre o plano topográfico são projetadas ortogonalmente todas 
as medidas e feições do terreno de interesse do levantamento topográfico para fins de construção 
da planta. Isso faz com que os mapeamentos em diferentes locais sejam independentes e 
limitados a pequenas extensões. As diferenças em altimetria são mais sensíveis do que em 
planimetria, pois em uma extensão de 20 quilômetros o abaixamento da Terra devido à curvatura 
chega a atingir 30 metros, enquanto a diferença do arco elipsóidico para a corda (linha reta 
horizontal) é de apenas 7 cm. Por isso a altimetria deve ser sempre corrigida da curvatura para 
distâncias maiores que 1000 metros, onde o abaixamento já atinge cerca de 7 cm. As variações 
não são lineares, estão relacionadas aos quadrados das distâncias. O abaixamento total devido à 
curvatura da Terra e à refração atmosférica (ambos tem efeitos contrários) é dado, 
aproximadamente em metros, por 675 x 10-10 D2. Onde D é a distância entre os pontos em metros. 
 
Figura 20 – Ilustração do Plano topográfico local onde são projetadas ortogonalmente todas as 
feições geográficas para fins de representação em planta. Fonte: Erba et al. (2003) 
CÁLCULO DE COORDENADAS PLANAS LOCAIS 
É recomendável que os trabalhos topográficos em coordenadas locais tenham sua origem local 
em um ponto de coordenadas geodésicas ou cartográficas conhecidas (sistemas UTM, LTM, 
RTM, etc.) e que a referência de azimutes seja o Norte Geográfico ou Verdadeiro. Com isso o 
sistema local fica muito próximo do sistema cartográfico. Quando essa prática não for viável, 
será conveniente que a definição da origem dos eixos coordenados fique situada sempre abaixo 
(Sul) e a esquerda (Oeste) dos limites da área de interesse do levantamento para evitar valores 
negativos de coordenadas. O transporte de coordenadas a partir da origem (Ponto1) para os 
novos pontos a determinar (Ponto2) é dado pelas fórmulas da geometria e trigonometria planas 
 
 X2 = X1 + dh12 sen Az12 
 Y2 = Y1 + dh12 cos Az12 
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Onde, X1,Y1,X2,Y2, dh12, Az12 são, respectivamente, coordenadas do Ponto1 (origem), 
coordenadas do Ponto2 (a determinar), distância plana horizontal do ponto 1 para o ponto 2, 
azimute verdadeiro do ponto 1 para o ponto 2. 
Considerando a correção aproximada da curvatura da Terra e da refração atmosférica, o 
transporte de altitude a partir da origem (Ponto1) para os novos pontos (2) é dado pela fórmula 
H2 = H1 + Di Cos Z + Ai - Ao + 675 x 10-10Di2m
Onde, H1, Di, Z, Ai e Ao são, respectivamente, altitude do Ponto1, distância inclinada do ponto 1 
para o ponto 2, ângulo vertical zenital do ponto 1 para o ponto 2, altura da luneta do teodolito a 
partir do chão no ponto 1, altura do sinal visado a partir do chão no ponto 2. 
 
A Figura 21 ilustra os conceitos geométricos fundamentais de transporte de coordenadas planas 
retangulares locais, distância inclinada, distância plana projetada no plano topográfico e 
distância vertical (diferença de nível entre pontos topográficos). 
 
Figura 21 – Transporte de coordenadas planas retangulares no plano topográfico local, cálculo 
da distância plana horizontal (Dh) e da distância vertical (Dv) (diferença de nível 
entre pontos) em função a distância inclinada (Di). 
4.11 – OPERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES COM PONTOS E COORDENADAS 
Neste tópico são relacionadas algumas das principais operações matemáticas e geodésicas com 
coordenadas e sistemas cartográficos. A formulação matemática geodésica rigorosa é bastante 
extensa e foge ao escopo deste material introdutório, portanto descrevem-se apenas os passos 
gerais das operações principais. Porém, para o leitor interessado a formulação matemática e 
geodésica completa está detalhada em várias referências do final do texto (IBGE, 1995; Rocha, 
2000). Para as demonstrações práticas no curso utilizaremos programas que já possuem todas as 
ferramentas implementadas. 
TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS PLANAS UTM EM PLANAS LOCAIS 
O método rigoroso para esta operação envolve o cálculo da distância topográfica e do azimute 
geodésico partindo do ponto de origem das coordenadas locais para cada ponto a transformar. A 
linha geodésica que liga dois pontos é uma curva reversa no elipsóide. No plano de projeção 
UTM essa linha é uma curva de concavidade sempre voltada para o MC. Isso implica em um 
pequeno ângulo entre a transformada da geodésica e a corda representada pela distância UTM, 
chamado de Redução Angular. 
 32
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Se a área a transformar é pequena, a Redução Angular é praticamente desprezível, então a 
conversão de sistemas de coordenadas planas pode ser feita aplicando-se duas translações (eixo 
X e eixo Y), uma rotação comum para os dois eixos e um coeficiente médio de escala. Escolhe-
se um ponto para origem no qual se mantém o valor numérico das coordenadas UTM igual ao 
das coordenadas topográficas locais (não há translações). A rotação aplicada em torno deste 
ponto origem é de um ângulo igual à convergência meridiana com o sinal invertido e o 
coeficiente de escala multiplicativo é o inverso do coeficiente UTM neste ponto origem, ou seja, 
1/K. Para consolidar os conceitos veja demonstração usando os programas. 
TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS PLANAS LOCAIS EM PLANAS UTM 
No caso de conversão de coordenadas planas do sistema topográfico local para o sistema UTM, é 
necessário ter as coordenadas UTM do ponto topográfico escolhido para origem. O método 
rigoroso para esta operação envolve o cálculo da distância plana UTM e do azimute de 
quadrícula partindo do ponto de origem das coordenadas locais para cada ponto a transformar. 
Se a área a transformar é pequena, a Redução Angular torna-se desprezível, então a conversão é 
feita aplicando-se duas translações (nos eixos X e Y correspondentes às diferenças XUTM - 
XTOPOGRAFICO e YUTM - YTOPOGRAFICO). A rotação em torno da origem é igual ao próprio ângulo 
da convergência meridiana e o coeficiente de escala multiplicativo é o próprio K do sistema 
UTM neste ponto origem (ver demonstração usando software). 
TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS PLANAS UTM EM GEODÉSICAS -ver software 
TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS GEODÉSICAS EM PLANAS UTM -ver software 
TRANSFORMAÇÃO DE DISTÂNCIAS GEODÉSICAS EM DISTÂNCIAS PLANAS UTM 
TRANSFORMAÇÃO DE DISTÂNCIAS PLANAS UTM EM DISTÂNCIAS GEODÉSICAS 
TRANSFORMAÇÃO DE AZIMUTES PLANOS UTM EM GEODÉSICOS - ver no software 
TRANSPORTE DE COORDENADAS PLANAS UTM - ver demonstração no software 
TRANSPORTE DE COORDENADAS GEODÉSICAS - ver demonstração no software 
TRANSFORMAÇÃO DE DATUM GEODÉSICO - ver demonstração no software 
CÁLCULO DA DISTÂNCIA E DO AZIMUTE GEODÉSICO ENTRE DOIS PONTOS 
CÁLCULO DA DISTÂNCIA E DO AZIMUTE PLANO UTM ENTRE DOIS PONTOS 
A PROJEÇÃO CÔNICA CONFORME DE LAMBERT 
Outro sistema muito usado em cartografia é a projeção Cônica Conforme de Lambert. Tal 
como a projeção UTM, também apresenta deformações muito pequenas, porém não é 
padronizada para o globo inteiro. Cada país estabelece características especificas para seu 
território. Suas principais propriedades são: 
1. Projeção cônica com dois paralelos secantes ao elipsóide, geralmente escolhidos a 1/6 dos 
extremos da área a ser mapeada, com objetivo de distribuir melhor as distorções de escala em 
ampliações e reduções. 
 33
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2. O eixo do cone de projeção é coincidente com o eixo de rotação do elipsóide terrestre, os 
meridianos são representados por linhas retas que convergem para o vértice do cone e os 
paralelos são círculos concêntricos, tendo como o centro o vértice do cone. 
3. Não existem distorções ao longo dos paralelos de secância (K=1). As regiões entre os 
paralelos de secância sofrem reduções de escala (K<1), enquanto as áreas fora dos paralelos 
de secância apresentam escalas ampliadas (K>1). Desta forma permite-se que as distorções 
de escala sejam distribuídas ao longo da área a ser mapeada. 
4. Como as deformações dependem somente da latitude, a projeção de Lambert é especialmente 
apropriada para áreas que se estendem na direção Este-Oeste (Richardus e Adler, 1972). 
5. A origem do sistema cartesiano de coordenadas Lambert não e padronizado para o mundo 
todo como no caso do UTM. Escolhe se um meridiano (geralmente no centro da área) e um 
paralelo de origem para as coordenadas e atribuem-se os valores de Falso Este e Falso Norte 
suficientemente grandes para evitar coordenadas negativas. 
Um sistema da projeção de Lambert adequado para o estado de Minas Gerais que é mais 
amplo em longitude do que em latitude pode ter as seguintes características: origem no Equador 
e Meridiano de 45° W com FE=5.000.000 m, FN=10.000.000 m, Paralelos padrões -15°30’ e -
21°30’ (Figura 22) 
 
 
Figura 22 – Visão geral do Sistema da projeção cônica conforme de Lambert. Abaixo, um 
esquema adequado para uso no estado de Minas Gerais (mais amplo em longitude). 
 
TRANSFORMAÇÃO DE PROJEÇÕES 
Existe um número muito grande de sistemas de projeções com diferentes propriedades e 
características para atender a diferentes propósitos. A maioria dos Softwares de 
 34
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Geoprocessamento traz funções e facilidades para conversão entre as projeções mais conhecidas 
e utilizadas no mundo. Para consolidar os conceitos veja demonstração usando os programas. 
 
 
 
 
 
 
5 - SISTEMA GEODÉSICO BRASILEIRO 
O Decreto Lei 242 de 28/02/1967 estabelece um sistema plano-altimétrico único 
representado por uma malha de pontos geodésicos materializados no terreno o qual constitui o 
referencial padrão oficial para georeferenciamento de trabalhos cartográficos, adensamento de 
novas redes de pontos de coordenadas geodésicas (latitude e longitude e altitude) e 
georeferenciamento de dados em todo o território nacional. Este referencial, chamado de Sistema 
Geodésico Brasileiro (SGB), constitui a infra-estrutura fundamental a partir da qual todos os 
novos posicionamentos serão efetuados e serve para dar suporte aos trabalhos de natureza 
cartográfica, geodésica ou de navegação. O SGB é constituído por duas redes geodésicas 
fisicamente independentes (a rede Planimétrica e rede