n2

Prévia do material em texto

Pergunta 1 
0 em 1 pontos
	 
	
	
	Podemos calcular integrais duplas para regiões de formas mais gerais. Essas regiões podem ser classificadas em regiões do tipo I e do tipo II. Uma região do tipo I fornece como parâmetros para a variável  funções de , isto é, . Já regiões do tipo II fornecem como parâmetros para a variável  funções de , isto é, . Assinale a alternativa que corresponde ao valor da integral , onde  é a região limitada pelas curvas  e : 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
35. 
	Resposta Correta: 
	
36. 
	Feedback da resposta: 
	Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois a região  pode ser vista tanto como uma região do tipo I como do tipo II. Como uma região do tipo I, temos que o limite inferior é constituído de duas partes, portanto, considerá-la como tal nos fornecerá uma resolução mais trabalhosa. No entanto, ao considerá-la como uma região do tipo II, temos , o que torna a resolução mais prática. Assim, calculando a integral, obtemos: . 
	
	
	
Pergunta 2 
1 em 1 pontos
	 
	
	
	De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”.
 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
 
De acordo com essa definição e considerando a função  e o ponto P(0,1), assinale a alternativa correta. 
 
  
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
 na direção de . 
	Resposta Correta: 
	
 na direção de . 
	Feedback da resposta: 
	Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  e seu vetor gradiente são: ,  e . Assim, . Temos ainda que vetor unitário na direção de  é o vetor . Portanto, a derivada direcional é . 
	
	
	
Pergunta 3 
1 em 1 pontos
	 
	
	
	As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução. O método de resolução de uma equação diferencial depende de algumas características apresentadas pela mesma. Por exemplo, equações diferenciais escritas na forma  são ditas equações diferenciais separáveis e resolvidas usando a integração em ambos os membros da igualdade.
 
Com base no método de resolução de equações diferenciais separáveis, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. A solução da equação  é .
II. A solução da equação  é  .
III. A solução da equação  é .
IV. A solução da equação  é .
 
É correto o que se afirma em:
  
  
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
I e III, apenas. 
	Resposta Correta: 
	
I e III, apenas. 
	Feedback da resposta: 
	Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando adequadamente o método de solução nas equações diferenciais separáveis, temos que: 
Afirmativa I: correta. Separando as variáveis: . Integrando a equação: , onde . 
Afirmativa III: correta. Separando as variáveis: . Integrando a equação: , onde . 
	
	
	
Pergunta 4 
1 em 1 pontos
	 
	
	
	A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a partir de um ponto. Considere, então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma placa retangular é determinada por meio da função . 
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no ponto  na direção do vetor .
 
  
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades. 
	Resposta Correta: 
	
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades. 
	Feedback da resposta: 
	Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu vetor gradiente são: ,  e . Assim, dado o ponto (3,4), temos . O vetor  é unitário, então a derivada direcional irá nos fornecer a taxa de variação desejada: . 
	
	
	
Pergunta 5 
0 em 1 pontos
	 
	
	
	A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima para o vetor unitário do vetor gradiente. 
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função  no ponto P(-1,1). 
 
  
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
	Resposta Correta: 
	
	Feedback da resposta: 
	Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. A direção de máximo crescimento se dá no vetor unitário com a mesma direção e sentido do vetor gradiente calculado no ponto P(-1,1), isto é, . Dado que  e , concluímos que a direção máxima é . 
	
	
	
Pergunta 6 
1 em 1 pontos
	 
	
	
	A lei de resfriamento de Newton nos permite calcular a taxa de variação da temperatura de um corpo em resfriamento. Considere a seguinte situação: Um cozinheiro fez um bolo de chocolate. Ao retirar do forno, o bolo apresentava uma temperatura de 150°C. Passados quatro minutos, essa temperatura caiu para 90 °C. Sabendo que a temperatura do ambiente é de 25°C, calcule quanto tempo levará para que o bolo esfrie até a temperatura de 30 °C. 
 
Assinale a alternativa correta. 
  
  
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
20 minutos. 
	Resposta Correta: 
	
20 minutos. 
	Feedback da resposta: 
	Resposta correta. A alternativa está correta. A equação de resfriamento do bolo pode ser descrita pela equação diferencial  onde  e são fornecidas as seguintes informações:  e . Nosso problema consiste em determinar o tempo , em minutos, tal que . Resolvendo a equação diferencial, temos 
, onde . Das condições  e  vamos determinar as constantes  e . De  temos . De , temos . Portanto, a função temperatura do bolo é . Vamos determinar agora o tempo para o qual a temperatura é 30ºC. De , temos . 
	
	
	
Pergunta 7 
0 em 1 pontos
	 
	
	
	A área de uma região no plano  também pode ser obtida por meio da integral dupla, na qual consideramos que . Na região retangular , temos que  e , onde  e  são funções da variável , com para todo . Assim, podemos escrever . De acordo com a teoria de integrais duplas, assinale a alternativa que corresponde à área da região do plano  limitada pelas curvas  e . 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
	Resposta Correta: 
	
	Feedback da resposta: 
	Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois o comando sendo , concluímos que a área da região desejada é limitada para os valores de  no intervalo , de onde segue que  nesse intervalo. Usando a teoria de integrais duplas, a área da região descrita será dada pela seguinte expressão:  . 
	
	
	
Pergunta 8 
0 em 1 pontos
	 
	
	
	Em uma função racional , o polinômio  pode ser decomposto por fatores lineares e quadráticos. Todo fator quadrático irredutível  terá uma fração parcial da forma  Nesse sentido, assinale a alternativa que apresenta a solução da integral . 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
	Resposta Correta: 
	
	Feedback da resposta: 
	Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Podemos escrever a função racional dada como           . Logo, ,  e . Desse modo, aplicando o método de frações parciais, temos: , em que  é a constante de integração. 
	
	
	
Pergunta 9 
1 em 1 pontos
	 
	
	
	As equações diferenciais podem ser classificadas de acordo com alguns critérios. Por exemplo, podemos classificar uma equação diferencial de acordo com sua ordem e grau. No caso da classificação pela ordem, temos que esta é definida pela ordem da mais alta derivada que aparece na equação, e a classificação pelo grau é dada pelo expoente da derivada de maior ordem que aparece na equação.
 
De acordo com a classificação de ordem e grau, assinale a alternativa correta:
  
  
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
A equação diferencial  é de ordem 1 e grau 1. 
	Resposta Correta: 
	
A equação diferencial  é de ordem 1 e grau 1. 
	Feedback da resposta: 
	Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as definições de classificação por ordem e grau, temos que a ordem da equação é definida pela “maior derivada” da equação, no caso, amaior derivada é a de ordem 1, . Já a classificação pelo grau é dada pelo expoente da maior derivada, nesse caso, grau 1, pois . 
	
	
	
Pergunta 10 
0 em 1 pontos
	 
	
	
	Leia o trecho a seguir:
“[...] a tentativa de resolvermos o problema de determinar áreas nos levou à definição de integral definida”. 
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. v. 2, p. 884.
 
Assim, aplicando um procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido, chegaremos à definição de integral dupla. 
 
Utilizando a ideia da integral dupla, assinale a alternativa que representa o volume do sólido que está acima da região  e abaixo do paraboloide : 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
44 u.v. 
	Resposta Correta: 
	
48 u.v. 
	Feedback da resposta: 
	Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois, aplicando a definição de integral dupla, temos que , onde ,  e . Logo,