CÁLCULO APLICADO - VÁRIAS VARIÁVEIS PROVA N2 (A5)

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Teste 20202 - PROVA N2 (A5)
Iniciado 07/12/20 17:19
Enviado 10/12/20 22:48
Status Completada
Resultado da tentativa 7 em 10 pontos 
Tempo decorrido 77 horas, 28 minutos
Instruções
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Pergunta 1
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resposta:
Uma função é considerada solução de uma equação diferencial se, ao trocarmos a função e suas
derivadas na equação, o resultado obtido for uma igualdade verdadeira. Uma equação diferencial possui
uma infinidade de funções como solução, caso nenhuma condição seja especificada. Por outro lado, dada
uma condição, obtém-se uma solução particular para a equação diferencial.
 
Considere a equação diferencial . Analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s)
Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
 I. ( ) Para temos que é solução da equação diferencial dada.
 
II. ( ) Para temos que é solução da equação diferencial dada.
 
III. ( ) Para , temos que é solução da equação diferencial dada.
 
IV. ( ) Para , temos que é solução da equação diferencial dada.
 
 
 Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
 
 
V, V, V, F.
V, V, V, F.
Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação diferencial, temos que
sua solução geral é:
.
Assim: 
Afirmativa I: Verdadeira. Para , temos que .
Portanto, é solução da equação diferencial dada. 
 
Afirmativa II: Verdadeira. Para , temos que .
Portanto, é solução da equação diferencial dada. 
 
Afirmativa III: Verdadeira. Para temos que 
. Portanto, é solução da
equação diferencial dada.
Pergunta 2
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Ao derivarmos uma função, podemos sempre obter outra função. Na Física, por exemplo, a derivada da
função velocidade resulta na função aceleração . Considere uma partícula, em trajetória retilínea, que
obedece a função de velocidade , em que a unidade de medida da velocidade 
 equivale a metros por segundo e a unidade de medida do tempo corresponde a segundos. Com base
no exposto, assinale a alternativa correta.
Resposta correta. A alternativa está correta. A função aceleração é obtida a partir da
derivação da função velocidade , ou seja, . Ao aplicar as regras de
derivação adequadas à função velocidade , temos que a função aceleração é 
.
Pergunta 3
As integrais duplas podem ser interpretadas geometricamente como o volume de um sólido limitado entre
uma região plana e uma superfície. Esse resultado continua válido independente do sistema de
coordenadas adotado, sejam coordenadas cartesianas ou coordenadas polares. Assinale a alternativa que
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
0 em 1 pontos
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corresponde ao volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cone e pelo cilindro 
 
 
 
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois observe que a região de
integração é dada por . Assim, o sólido está
limitado abaixo do gráfico do cone e acima da região . O volume do sólido
expresso como uma integral dupla é 
.
Pergunta 4
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A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor oposto
ao vetor gradiente, visto que esse representa a direção e o sentido de maior crescimento. Sabendo disso,
suponha que a função represente uma distribuição de temperatura no plano 
 (suponha medida em graus Celsius, e medidos em ). 
 
 
 Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da
temperatura e sua taxa de variação mínima. 
 
 
Direção e taxa mínima de .
Direção e taxa mínima de .
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior decrescimento é oposta ao
vetor gradiente no ponto considerado, isto é . Já a variação de
temperatura é mínima em . (O sinal negativo apenas
indica que a temperatura é mínima).
Pergunta 5
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resposta:
Leia o excerto a seguir:
 
“A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem por causa do resistor é . A queda de voltagem por causa
do indutor é . Uma das Leis de Kirchhoff diz que a soma das quedas de voltagem é igual à voltagem
fornecida . Então. temos , que é uma equação diferencial de primeira ordem que
modela a corrente no instante ” (STEWART, 2016, p. 537).
 
 
 STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
 Considerando uma resistência de , uma indutância de e uma voltagem constante de ,
assinale a alternativa que corresponde à expressão da corrente do circuito quando o interruptor é ligado
em .
 
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A partir da equação diferencial fornecida no
enunciado, , e dos valores fornecidos, e ,
temos que . Arrumando a expressão da equação diferencial, temos
. 
 
Tomando temos . Para , temos
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
que , portanto a expressão da
corrente é .
Pergunta 6
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Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software pode ser trabalhoso às
vezes. Para contornar esse problema, outro recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente
o comportamento da função é o conceito de curva de nível. 
 
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta.
 
 
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
Resposta correta. A alternativa está correta. O gráfico de uma função de duas variáveis é um
conjunto de pontos do espaço , para poder visualizar uma representação geométrica da
função no plano recorremos ao uso das curvas de nível, que são curvas planas do plano 
. Portanto, uma curva de nível é um subconjunto do plano .
Pergunta 7
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resposta:
Analise a figura a seguir:
 
 
 
Figura: Região plana sobre a qual o sólido se encontra
Fonte: Elaborada pela autora.
 
 Um tetraedro é uma figura geométrica formada por quatro faces triangulares. Ao localizarmos essa figura
em um sistema de coordenadas tridimensionais, temos que cada face pode ser descrita por um plano
diferente. Com isso, podemos usar o estudo de integrais duplas para determinar seu volume. Considere
um tetraedro limitado pelos planos , e pelos planos coordenados 
 e . Assinale a alternativa que corresponde ao seu volume:
 
 
 
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois o sólido se encontra abaixo do
gráfico da função e acima da região . A região é um triângulo limitado
pelas retas , e , então, podemos expressar a região como o seguinte
conjunto . Portanto, o volume do tetraedro pode ser
calculado como a seguinte integral dupla: 
 .
Pergunta 8
De acordo com Sodré (2003, p. 5), “se são conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções
particulares para a equação diferencial e, se não são conhecidas condições adicionais, poderemos obter a
solução geral”. Uma condição adicional que pode ser conhecida é o valor da função em um dado ponto.
Assim, uma equação diferencial mais essa condição adicional é chamada de Problema de Valor Inicial
(PVI) .
 
SODRÉ, U. Notas de aula. Equações diferenciais ordinárias , 2003. Disponível em: http://www.uel.br/pr
ojetos/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf. Acesso em: 20 dez. 2019.
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Domingo, 13 de Dezembro de 2020 13h53min02s BRT
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resposta:
 
Assinale a alternativa que apresenta a solução do PVI: , . 
 
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação dada é separável, assim, podemos
resolvê-la separando as variáveise , integrando ambos os lados da igualdade em
seguida:
. 
 Da condição inicial dada, temos que se então . Trocando esses valores na
solução, obtemos: . Portanto, a solução do PVI é 
.
Pergunta 9
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resposta:
Podemos calcular integrais duplas para regiões de formas mais gerais. Essas regiões podem ser
classificadas em regiões do tipo I e do tipo II. Uma região do tipo I fornece como parâmetros para a
variável funções de , isto é, . Já regiões do tipo II
fornecem como parâmetros para a variável funções de , isto é, 
 . Assinale a alternativa que corresponde ao valor da
integral , onde é a região limitada pelas curvas e :
37.
36.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois a região pode ser vista tanto
como uma região do tipo I como do tipo II. Como uma região do tipo I, temos que o limite
inferior é constituído de duas partes, portanto, considerá-la como tal nos fornecerá uma
resolução mais trabalhosa. No entanto, ao considerá-la como uma região do tipo II, temos
, o que torna a resolução mais prática. Assim,
calculando a integral, obtemos: .
Pergunta 10
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resposta:
Um circuito elétrico simples composto por um resistor , um indutor e uma força eletromotriz 
 (proporcionada por uma pilha ou gerador) pode ser modelado matematicamente por meio da seguinte
equação diferencial: . Sabendo que essa equação é do tipo linear de primeira ordem,
considere um resistor de , uma indutância de e uma voltagem constante de . 
 
 
 Assinale a alternativa que corresponde ao fator integrante da EDO dada.
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. O fator integrante de uma EDO linear de
primeira ordem é expresso por . Dada a EDO
, temos que e, portanto, o fator integrante é
.
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