Aula_multivariavel_6

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• Controladores H∞ 
o Embora o projeto H2 apresente boas propriedades de robustez, essa 
condição pode ser melhorada com o projeto H∞. 
 
o Admitindo a presença de incertezas aditivas ∆ não estruturadas no 
sistema cuja única informação disponível é o limite superior de 
ganho r(s), dado por: ( )[ ] )(max ωωσ jrj <∆ para cada ω, 
ƒ O teorema dos pequenos ganhos assegura que a estabilidade 
do sistema é mantida na presença de todos distúrbios 
possíveis da planta se: 
( ) 11 <+= ∞−∞ GKI∆GK∆T 
ƒ Neste contexto, um objetivo plausível para o projeto de 
controle é encontrar um compensador K(s) que estabilize 
internamente o sistema e minimize ||GK(I-GK)-1||∞. 
 
o Problema proposto pela teoria de controle ótimo H∞: encontrar um 
compensador K(s) que estabilize internamente a planta G(s) e 
minimize ||Tzw||∞ do modelo expandido, onde Tzw representa a 
função de transferência entre z e w. 
 
o Caracterização do controlador H∞ 
ƒ Uma vez que a caracterização do controlador ótimo H∞ é 
mais difícil do que para o problema sub-ótimo, normalmente 
procura-se encontrar todos Ksub(s) admissíveis tais que 
||Tzw||∞<ε. 
ƒ Considerando o sistema expandido dado por: 



++=
++=
++=
⇔



=


u2Dw1DxCy
u12Dw11Dx1Cz
u2Bw1BAxx
u
w
22G21G
12G11G
y
z
ee
ee
222
&
 
 
• Observação: para simplificação das fórmulas, é admitido 
que D11=0 e D22=0. 
 
o controlador sub-ótimo H∞ é dado por: ( )


=
−−==
∞
∞∞∞
xFy
yxCLZxAx
K
ˆ
ˆˆˆ
)(
&
ssub 
onde: 
( ) 12
2
2
−
∞∞
−
∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞
−
∞
−=
−=−=
+++=
XYIZ
CYLXBF
CLZFBXBBAA
2
2211
γ
γ
TT
T
 
e as matrizes X∞ e Y∞ são as soluções das seguintes equações 
de Riccati: 
0BBYCCYAYYA
0CCXBBXAXXA
T
11
TT
1
T
1
TT
=+++
=+++
∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞ 
onde: 
TTT
TTT
CCCCCC
BBBBBB
2211
2
2211
2
−=
−=
−
∞∞
−
∞∞
γ
γ
 
 
 
 
o Condições para existência da solução para o problema sub-ótimo 
H∞: 
ƒ X∞≥0, 
ƒ Y∞≥0, 
ƒ ρmax( X∞Y∞)<γ2. 
o Solução do problema do controlador ótimo H∞: 
ƒ Procedimento iterativo para encontrar o menor valor de γ que 
permita satisfazer de forma consistente as condições de 
existência da solução. 
o A aproximação para o problema H∞ tem paralelo com a teoria H2, 
sendo interessante notar que a solução H∞ se aproxima da H2 
quando γ→∞. 
o Embora o controlador H∞ apresente certas similaridades com o 
controlador H2, existem algumas diferenças que refletem o fato do 
critério H∞ corresponder ao projeto para os piores sinais exógenos: 
ƒ O controlador H∞ é mais conservativo que o controlador H2. 
ƒ Uma diferença fundamental é que o controlador H∞ depende 
do distúrbio através de B1 enquanto que no análogo H2 o 
problema de estimação do sinal ótimo de controle é 
equivalente à estimativa dos estados. 
• O controlador H∞ pode ser escrito como: ( )
xFu
yxCLZuBwBxAx 221
ˆ
ˆˆˆˆ
∞
∞∞
=
−+++= pior& 
onde: 
xXBw ˆˆ 1
2
∞
−= Tpior γ 
é a estimativa do pior caso de distúrbio no sentido de 
maximizar 22
22
2 wz γ− e Z∞L∞ corresponde à matriz de 
ganho ótimo para a estimação do sinal ótimo de controle 
na presença do distúrbio wpior. 
• Para o análogo H2, o distúrbio wpior=0. 
 
o Outras propriedades dos controladores H∞: 
ƒ Representando o sistema G na forma fatorada: 
INNMM
NMG
=−+−
= −
)()()()(
)()()( 1
ssss
sss
TT
 
um controlador H∞ estabilizará todos os sistemas descritos 
como: 
( ) ( )NM ∆N∆MG ++= −1 
desde que: 
[ ] γ
1<∞MN ∆∆ 
o que significa que 1/γ pode ser utilizado como uma medida 
da robustez do projeto (quanto menor γ, maior a robustez do 
sistema realimentado). 
ƒ A função de custo do controle ótimo H∞ permite passar todas 
as freqüências (filtro passa-tudo), isto é σmax(Tzw)=1 para todo 
ω∈ℜ; 
ƒ A ordem de um controlador sub-ótimo H∞ é igual à ordem da 
planta (n estados). Um controlador H∞ ótimo pode ser 
calculado tendo pelo menos (n-1) estados; 
ƒ Em qualquer problema formulado como sensibilidade mista, 
o controlador H∞ cancela pólos estáveis da planta com seus 
zeros de transmissão e desloca qualquer pólo instável para a 
posição de sua imagem no eixo jω. 
o O projeto de controle H∞ pode facilmente combinar várias 
especificações, tais como: 
ƒ Atenuação de distúrbios; 
ƒ Rastreamento; 
ƒ Limitação da banda passante; 
ƒ Estabilidade robusta; 
ƒ Compromisso entre desempenho e esforços de controle, 
ƒ Capacidade de estabilização frente a distúrbios não 
estruturados. 
 
• Seleção das Funções de Peso 
o O projeto de um controlador consiste basicamente na escolha do 
modelo nominal da planta e na seleção funções de peso 
(consideradas os parâmetros livres do projeto). 
o Considerando que, em diversas circunstâncias, as restrições podem 
ser formuladas naturalmente como problemas de minimização da 
norma H2 ou H∞, a manipulação de forma inteligente dos objetivos 
através das funções de peso é de suma importância para a obtenção 
de um projeto satisfatório para o controlador. A seleção das 
funções de peso do controlador deve refletir o que é razoável, 
evitando requisitos impossíveis e/ou contraditórios. 
o No caso do projeto de um controlador ótimo, a seleção dos pesos 
tem como objetivos estabelecer uma adequada limitação das faixas 
de freqüências do sistema, bem como proporcionar o escalamento 
das entradas e saídas do sistema. 
o Devido à natureza específica do problema, a seleção das matrizes 
de peso é uma tarefa relativamente complexa, uma vez que não 
existem regras gerais para construí-las ou modificá-las. Embora 
não existam regras gerais para a seleção das funções de peso, 
algumas recomendações podem ser adotadas: 
ƒ Restringir a escolha dos pesos às funções racionais estáveis e 
de fase mínima; 
ƒ Uma vez que a ordem do controlador resultante é igual à 
ordem da planta nominal aumentada com os pesos, é 
desejável adotar funções de ordem pequena; 
ƒ Visando assegurar bom ajuste e boa rejeição de distúrbios, 
uma função passa-baixa deve ser utilizada para ponderar a 
função sensibilidade S(s); 
ƒ Uma função passa-alta deve ser usada para ponderar a função 
sensibilidade complementar T(s) visando limitar a largura de 
faixa da malha fechada; 
ƒ Utilizar peso nas entradas de todos atuadores do sistema a fim 
de evitar a saturação dos mesmos. 
 
 
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Ponderar uma funçao de passa altanullnullexemplo: s/s+1
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acima da frequencia limite começa a diminuirnullnull- exemplo 1/(s+1) ; 1/(s^2 +1)
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saida do controlar nao ABRIR A VALVULA MAIS QUE 100%
• “Loop Shaping” 
o Abordagem de projeto “Loop Shaping”: Uma vez que o 
comportamento de malha fechada pode ser determinado 
manipulando os ganhos de malha aberta, os objetivos de malha 
fechada do sistema compensado podem ser especificados de acordo 
com os requerimentos dos valores singulares de malha aberta. 
o A princípio, a execução de um projeto “Loop Shaping” pode ser 
complicada devido à necessidade de assegurar também a estabilidade 
do sistema de malha fechada resultante. Entretanto, as metodologias 
H2/LQG ou H∞ oferecem uma possibilidade de simplificar este 
processo, uma vez que asseguram automaticamente os requerimentos 
de estabilidade e robustez do sistema em malha fechada. Assim, os 
esforços podem ser concentrados apenas na manipulação das funções 
de peso para se obter a adequada configuração dos valores 
singulares. 
ƒ A teoria H∞ fornece um procedimento confiável e direto para 
sintetizar um controlador que satisfaz de maneira ótima as 
especificações de “Loop Shaping” dos valores singulares. 
ƒ A síntese H2/LQG lida de forma menos direta, utilizando um 
procedimento iterativo. 
o Uma das dificuldades com o projeto “Loop Shaping” é que a seleção 
apropriada dos objetivos de malha fechada e pesos não é direta, e 
tende a ser específica para cada caso particular. Por outro lado, é 
possível especificar as funções de malha fechada sem considerar as 
propriedades da planta nominal, o que pode ser freqüentementeindesejável por resultar em controladores cujos zeros cancelam pólos 
estáveis da planta, o que é inaceitável quando existem modos 
levemente amortecidos. 
 
 
 
 
 
 
 
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• Procedimento de projeto Loop Shaping: 
o Normalizar as entradas e saídas da planta com o propósito de 
melhorar o condicionamento numérico do projeto e simplificar a 
seleção de pesos. Procurar tornar G o mais diagonal possível; 
 
o Selecionar um pré-compensador W1 e/ou um pós-compensador 
W2 com o propósito de determinar os valores singulares da planta 
nominal para se obter as desejadas propriedades de malha aberta 
especificadas no projeto: 
ƒ Confinamento dos valores singulares em áreas específicas, 
ƒ Queda de –20dB/dec na freqüência crítica, 
ƒ Quedas maiores que –20db/dec para altas freqüências, 
ƒ Ajuste da faixa de passagem, 
ƒ Desacoplamento (diagonal dominância), 
ƒ etc. 
o A planta nominal G e as funções de peso W1 e W2 são combinadas 
conforme a figura, formando a planta P= W2GW1. Assume-se que 
W1 e W2 são selecionados de maneira que P não contenha modos 
escondidos; 
 
o Calcula-se o valor de εmax para o projeto. Se este valor for muito 
pequeno (εmax << 1), o projeto é considerado incompatível com as 
especificações de estabilidade robusta, sendo necessário escolher 
outras funções de peso W1 e W2. Caso contrário, selecione ε ≤εmax 
e sintetize o controlador estabilizante Kc; 
 
o O controlador final é construído combinando o controlador Kc 
com as funções de peso W1 e W2, tal que K= W1KcW2. 
Mariana
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W2null
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W1null
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estados q nao podem ser controlaveis a partir das entradas
Mariana
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W1 E W2 são usadas pra formatar a planta em malha abertanullpara projetar o controlador
• Considerações Finais 
o Tanto a metodologia H2/LQG como a H∞ tem comprovado a sua 
utilidade em diversas aplicações devido ao fato que uma soma 
ponderada de termos é minimizada. As filosofias de projeto 
H2/LQG e H∞ constituem excelentes alternativas para o projeto de 
controladores para sistemas onde são importantes requisitos 
referentes à rejeição de distúrbios e à supressão de ruídos. Através 
de uma apropriada estratégia de projeto, estas metodologias de 
projeto também oferecem um bom grau de robustez para variações 
paramétricas e dinâmicas não modeladas inerentes ao sistema. 
o Dependendo da complexidade da planta ou da lei de controle, os 
projetos H2/LQG e H∞ podem resultar em controladores de ordem 
consideravelmente maior do que a necessária. Isto se deve a 
geração de variáveis de estados fictícias não observáveis ou não 
controláveis pelos algoritmos empregados para encontrar o 
controlador H2/LQG ou H∞. Entretanto, à luz das especificações 
nominais de projeto, é possível a simplificação do sistema de 
controle final com pouca alteração no desempenho do sistema 
através da aplicação de algoritmos confiáveis para a redução de 
modelos visando eliminar estados supérfluos, reduzindo 
significantemente a complexidade do controlador. 
o Em muitos casos práticos, utilizando a norma H∞ como referência, 
o controlador H2 pode apresentar um desempenho semelhante (ou 
melhor) ao de um controlador H∞, considerando funções peso 
fixas. Neste contexto, surgiu o projeto H2/H∞ misto, algumas vezes 
referido como projeto H∞/LQG combinado, baseado no fato que a 
solução da equação de Riccati pode ser usada para garantir um 
limite da norma H∞ e um limite da norma H2 simultaneamente. O 
primeiro limite pode ser usado para assegurar a estabilidade 
robusta a distúrbios não estruturados, e o segundo limite pode ser 
usado para minimizar o custo garantido para um problema LQG 
nominal.