Números Complexos: Resolução de Exercícios

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UNIVERSIDADE DE LISBOA
I
Faculdade de Ciências
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
12 ANOo
Números Complexos
Resolução dos Exercícios
Armando Machado
2004
REANIMAT
Projecto Gulbenkian de Reanimação Científica da Matemática no Ensino Secundário
 
– 1 –
1) Pela fórmula do cubo duma soma, podemos escrever
ÐC  Ñ œ C  $ ‚ C ‚ Ð Ñ  $ ‚ C ‚ Ð Ñ  Ð Ñ œ
, , , ,
$ $ $ $
œ C  , C  C 
, ,
$ #(
$ $ # # $
$ #
# $
e, analogamente, tem-se
ÐC  Ñ œ C  C 
, #, ,
$ $ *
# #
#
.
Utilizando estas duas igualdades, obtemos assim
ÐC  Ñ  ,ÐC  Ñ  -ÐC  Ñ  . œ
, , ,
$ $ $
œ C  , C  C   , C  # C   -C   . œ
, , , , , -
$ #( $ * $
œ C  Ð  -Ñ C  Ð   .Ñ
, # , , -
$ #( $
$ #
$ # #
# $ # $
$
# $
,
expressão que pode ser escrita na forma , desde que se defina eC  : C  ; : œ   -$ ,$
#
; œ   .#, , -#( $
$ .
2) a) Podemos escrever
E œ   
; ; :
# % #(
F œ   
; ; :
# % #(
$
# $
$
# $
Ê
Ê
,
,
pelo que, somando as duas expressões, vemos que se tem efectivamente .E F œ   œ ;$ $ ; ;# #
b) O que é preciso aqui é reparar que, tendo em conta a fórmula bem conhecida para a diferença de
dois quadrados, tem-se
Ð   Ñ Ð   Ñ œ
; ; : ; ; :
# % #( # % #(
œ Ð Ñ  Ð  Ñ œ
; ; :
# % #(
œ  Ð  Ñ œ 
; ; : :
% % #( #(
Ê Ê
Ê
# $ # $
# #
# $
# # $ $
‚
.
Podemos agora notar que se tem
– 2 –
EF œ      
; ; : ; ; :
# % #( # % #(
œ Ð   Ñ Ð   Ñ œ
; ; : ; ; :
# % #( # % #(
œ  œ 
: :
#( $
Ë ËÊ Ê
Ë Ê Ê
Ê
$ $
$
$
# $ # $
# $ # $
$
‚
‚
 .
c) Pela fórmula que nos dá o cubo duma soma, vem
ÐE  FÑ œ E  $E F  $EF F œ E F  $EFÐE  FÑ œ
œ ;  :ÐE  FÑ
$ $ # # $ $ $
e portanto
ÐE  FÑ  :ÐE  FÑ  ; œ !$ ,
o que mostra que é realmente uma soluEF ção da equação do terceiro grau .C  :C  ; œ !$
3) a) Temos neste caso e , pelo que a fórmula de Cardano dá-nos a solução: œ $ ; œ #
É ÉÈ È$ $"  "  "  "  "  " œ "  " œ #.
Concluímos que é certamente uma solu# ção da equação, o que pode, evidentemente, ser também
verificado por substituição directa.
b) Como sabemos, uma vez que o polinómio admite a raíz , ele deve ser divisível porB  $B  # #$
B  #. Se efectuarmos a divisão pelo nosso método preferido (algoritmo da divisão ou regra de
Rufini), vemos que
B  $B  #
B  #
œ B  #B  "
$
# .
A equação pode assim ser escrita na forma e portantoB  $B  # œ ! ÐB  #ÑÐB  #B  "Ñ œ !$ #
as suas soluções são e as soluções da equação . Estas últimas podem ser obtidas# B  #B  " œ !#
pela fórmula resolvente da equação do segundo grau, sendo assim iguais a
# „ %  % # „ !
# #
œ œ "
È
(estamos portanto no caso em que a equação do segundo grau tem uma única raíz).
c) Utilizando a calculadora gráfica para esboçar o gráfico do polinómio , obtemos umaB  $B  #$
figura como a seguinte onde aparece a solução , um ponto em que a função é crescente, e a solução#
– 3 –
", um ponto em que a função atinge um máximo relativo.
1
1
4) a) Utilizando a calculadora, obtemos o resultado aproximado
Ë ËÈ È$ $#  "!  #  "! ¸ !Þ%##'&  "Þ&(($& ¸ #$ $
* *
.
b) O valor obtido na calculadora não nos dá a certeza absoluta de que a solução tem o valor exacto
#, embora seja psicologicamente difícil não ficarmos convencidos disso. Podia perfeitamente
acontecer que, ao utilizarmos mais casas decimais, aquela soma desse, por exemplo,
#Þ!!!!!!!!!!!!!!!!!(&'%$"ÞÞÞ
c) Utilizando a fórmula para o cubo de uma soma, vemos que
Ð"  Ñ œ Ð"Ñ  $ ‚ Ð"Ñ ‚  $ ‚ Ð"Ñ ‚ Ð Ñ  Ð Ñ œ
$ $ $ $
$ $ $ $
œ "  $  $ ‚  œ #  $  œ # 
$ #( $ $ "! $
* #( #( *
È È È È
È ÈÈ È È
$ $ # # $
e, analogamente,
Ð"  Ñ œ Ð"Ñ  $ ‚ Ð"Ñ ‚ Ð Ñ  $ ‚ Ð"Ñ ‚ Ð Ñ  Ð Ñ œ
$ $ $ $
$ $ $ $
œ "  $  $ ‚  œ #  $  œ # 
$ #( $ $ "! $
* #( #( *
È È È È
È ÈÈ È È
$ $ # # $
,
o que nos permite concluir os valores exactos
Ë È È
Ë È È
$
$
#  "! œ " 
$ $
* $
#  "! œ " 
$ $
* $
.
– 4 –
Somando os resultados ficamos assim com a garantia do valor exacto
Ë ËÈ È È È$ $#  "!  #  "! œ Ð"  Ñ  Ð"  Ñ œ #$ $ $ $
* * $ $
.
5) Na primeira demonstração utilizámos:
 1) A propriedade associativa da adição (que está implícita quando escrevemos sem parênteses
uma soma de três termos e olhamos para ela com a ordem das adições considerada das duas
diferentes maneiras).
 2) A definição de e o facto de ser elemento neutro da multiplicação.D "
 3) A propriedade distributiva da multiplicação relativamente à adição.
 4) O facto de ser um elemento absorvente da multiplicação.!
 5) O facto de ser elemento neutro da adição.!
 Na segunda demonstração utilizámos as mesmas propriedades, embora não pela mesma
ordem.
6) Se , podemos somar a ambos os membros para obter sucessivamenteA D œ A  D Dw
A  D  ÐDÑ œ A  D  ÐDÑ
A  ! œ A  !
A œ A
w
w
w.
7) Uma vez que é o único complexo que somado com dá , paraD ‚ A  D ‚ A D ‚ A D ‚ Aw w
vermos que este complexo é igual a tudo o que temos de fazer é experimentar quantoD ‚ ÐA  A Ñw
é a soma de com . Ora, tem-seD ‚ ÐA  A Ñ D ‚ Aw w
D ‚ ÐA  A Ñ  D ‚ A œ D ‚ ÐA  A  A Ñ œ D ‚ ÐA  !Ñ œ D ‚ Aw w w w ,
como queríamos.
8) a) Sabemos que, por hipótese, . Tem-se assim também3 œ 3 ‚ 3 œ "#
Ð3Ñ œ Ð" ‚ 3Ñ ‚ Ð" ‚ 3Ñ œ Ð"Ñ ‚ Ð"Ñ ‚ 3 ‚ 3 œ " ‚ 3 ‚ 3 œ "# .
b) Se multiplicarmos um número cujo quadrado seja por um número cujo quadrado seja ,* "
obtemos um número cujo quadrado é . Concluímos assim que (tal como ) éÐ"Ñ ‚ * œ * $3 $3
uma raíz quadrada de . Mais geralmente, se é um número real arbitrário, ou , e já* + +   !
sabemos que tem raíz quadrada, ou e então pode-se escrever , com e tem-se+  ! + œ , ,  !
Ð , 3Ñ œ Ð ,Ñ ‚ 3 œ , ‚ Ð"Ñ œ , œ +È È# # # ,
o que mostra que tem efectivamente raíz quadrada.+
– 5 –
9) a) e + œ , œ !1
 e b) + œ ! , œ #
 Tem-se , portanto e .c) Ð"  #3Ñ  Ð#  3Ñ œ "  3 + œ " , œ "
 Tem-sed)
Ð"  #3Ñ ‚ Ð"  $3Ñ œ Ð"  $3Ñ  #3Ð"  $3Ñ œ "  $3  #3  '3 œ
œ "  3  ' œ (  3
#
,
pelo que e .+ œ ( , œ "
 Tem-see)
Ð"  3Ñ œ "  # ‚ " ‚ 3  3 œ "  #3  " œ #3# # # ,
pelo que e (“de caminho”, descobrimos que um número imaginário puro também+ œ ! , œ #
pode ter raíz quadrada).
 Reparando que , vemf) 3 œ 3 ‚ 3 œ 3$ #
Ð"  $3Ñ œ Ð"Ñ  $ ‚ Ð"Ñ ‚ Ð $3Ñ  $ ‚ Ð"Ñ ‚ Ð $ 3Ñ  Ð $ 3Ñ œ
œ "  $ $ 3  *  $ $ 3 œ )
È È È È
È È
$ $ # # $
$ ,
pelo que e (“de caminho” descobrimos que tem outra raíz cúbica, além de ).+ œ ) , œ ! ) #
10) a) .3 œ 3 ‚ 3 œ " ‚ 3 œ 3$ #
 .b) 3 œ 3 ‚ 3 œ 3 ‚ 3 œ "% $
 .c) 3 œ 3 œ Ð3 Ñ œ " œ ") #‚% % # #
 .d) 3 œ 3 œ Ð3 Ñ ‚ 3 œ " ‚ 3 œ 3#& '‚%" % ' '
 .e) 3 œ 3 œ Ð3 Ñ ‚ 3 œ " ‚ Ð"Ñ œ ""!# #&‚%# % #& # #&
 .f) 3 œ 3 œ Ð3 Ñ ‚ 3 œ " ‚ Ð3Ñ œ 3#!!$ #&!‚%$ % #&! $ #&!
 Reparando nos exemplos anteriores, descobrimos facilmente qual a regra que pode ser
seguida em geral: Se é múltiplo de , então . Para um número natural qualquer, podemos8 % 3 œ " 88
efectuar a divisão inteira de por quatro e considerar o resto desta divisão, que pode ser , , ou8 < ! " #
$ 8 < % 3 œ 3; tem-se então que é a soma do resto com um múltiplo de , pelo que . Todas as8 <
potência de são assim iguais a uma das potências , , e .3 3 œ " 3 œ 3 3 œ " 3 œ 3! " # $
11) Queremos descobrir números reais tais que seja uma raíz quadrada de ,Bß C B  C 3  3"# #
$È
ou seja, tais que . Uma vez queÐB  C 3Ñ œ  3# "# #
$È
ÐB  C 3Ñ œ B  ÐC 3Ñ  #B C 3 œ ÐB  C Ñ  #B C 3# # # # # ,
somos assim reduzidos a procurar as soluções reais do sistema de equações
B  C œ
#B C œ
# # "
#
$
#
È .
A segunda equação é equivalente a pelo que, substituindo este valor de na primeiraC œ CÈ$%B
equação, ficamos reduzidos a procurar que verifique a equaçãoB
– 6 –
B  œ
$ "
"' B #
#
#
Multiplicando ambos os membros da equação por , ficamos reduzidos a procurar as sioluções"'B#
não nulas da equação
"' B  $ œ )B% #,
ou ainda
"' B  )B  $ œ !% # .
Apesar de se tratar de uma equação do quarto grau, ela é facilmente redutível a uma equação do
segundo grau, fazendo a substituição . Procuramosentão as soluções positivas da equaçãoA œ B#
"'A  )A  $ œ !#
e, utilizando a fórmula resolvente das equações do segundo grau, constatamos que existe uma única
solução positiva,
A œ œ œ
)  '%  "*# )  "' $
$# $# %
È
,
à qual vão corresponder dois valores possíveis para ,B
B œ „ œ „
$ $
% #
Ê È .
Ao valor fica a corresponder o valor e ao valor fica a corresponderB œ C œ œ B œ È È È$ $ $# %B # #"
o valor . Concluímos finalmente que admite as duas raízes quadradasC œ œ   3È È$ $%B # # #" "
È È$ " $ "
# # # #
 3   3, .
12) a) Uma vez que e , sabemos que . Uma vez que é o únicoD Á ! A Á ! D A Á ! ÐDAÑ"
número complexo que multiplicado por dá , para vermos que , tudo o queD A " ÐDAÑ œ D A" " "
temos que fazer é calcular o produto de por e verificar se dá efectivamente . Ora,D A DA "" "
tem-se
ÐD A ÑDA œ D DA A œ " ‚ " œ "" " " " ,
como queríamos.
 Para a fórmula é verdadeira, uma vez que . Supondo que elab) 8 œ " ÐD Ñ œ D œ ÐD Ñ" " " " "
é verdadeira para um certo , vemos que, com no lugar de tem-se ainda8 8  " 8
ÐD Ñ œ ÐD ‚ DÑ œ ÐD Ñ ‚ D œ ÐD Ñ ‚ D œ ÐD Ñ8" " 8 " 8 " " " 8 " " 8".
– 7 –
13) A ideia é semelhante à do exercício anterior: Para verificarmos que
A A‚ D
D D ‚ D
œ
w
w
 ,
basta verificar que, multiplicando por , obtemos . Ora, tem-seAD
w wD ‚ D A ‚ D
A A
D D
‚ ÐD ‚ D Ñ œ Ð ‚ DÑ ‚ D œ A ‚ Dw w w.
Nota: Por vezes é preciso fazer várias tentativas para se conseguir obter de modo simples um
resultado. Também podíamos ter pensado em verificar que, multiplicando por , se obtém eA‚DD‚D
w
w D A
aí a solução não era tão simples. Uma boa ideia para quando um caminho que se está a seguir
conduz a dificuldades é tentar um caminho alternativo.
14) a)
"  3 Ð"  3ÑÐ#  3Ñ #  3  #3  3 "  $3 " $
#  3 Ð#  3ÑÐ#  3Ñ #  3 %  " & &
œ œ œ œ  3
#
# #
.
 b)
"  #3 Ð"  #3Ñ ‚ Ð3Ñ 3  # 3
3 3 ‚ Ð3Ñ "
œ œ œ #  3
#
.
15) a) Uma vez que o produto de dois números diferentes de nunca é , vemos, em particular,! !
que, se , então . O número não pode ter assim nenhuma raíz quadradaD Á ! D œ D ‚ D Á ! !#
diferente de e, de facto, é uma raíz quadrada, uma vez que .! ! ! œ ! ‚ ! œ !#
 Consideremos então e suponhamos que é uma raíz quadrada de , ou seja, queb) D Á ! A D
A œ D A D# . Então é também uma raíz quadrada de , uma vez que
ÐAÑ œ Ð"Ñ ‚ A œ A œ D# # # #
e trata-se de uma raíz quadrada diferente de , uma vez que não é ( ). Poderia haver maisA A ! ! œ !#
alguma raíz quadrada, além de e ? Vamos verificar que não! Seguindo a sugestão, se fosseA A ?
uma raíz quadrada qualquer de , tinha-se , ou seja, . Mas entãoD ? œ D ?  D œ !# #
! œ ?  D œ ?  A œ Ð?  AÑÐ?  AÑ# # # ,
pelo que, pela regra de anulamento dum produto, ou (isto é, ), ou (isto?  A œ ! ? œ A ?  A œ !
é, ). Não pode assim existir mais nenhuma raíz quadrada, além de e de .? œ A A A
 O que nos é proposto é que tentemos fazer com um número complexo arbitrárioc)
D œ +  ,3  3, o que fizémos no exercício 11 com o número complexo . Vamos assim tentar"# #
$È
mostrar que, dados e , existe sempre um número complexo tal que .+ , B  C3 ÐB  C3Ñ œ +  ,3#
Uma vez que, como naquele exercício, , ficamos reduzidos aÐB  C 3Ñ œ ÐB  C Ñ  #B C 3# # #
mostrar que existem que verificam o sistema de equaçõesBß C
œB  C œ +#B C œ ,
# #
 .
– 8 –
Para prosseguirmos como no exercício já resolvido convirá supor que para podermos afirmar, Á !
que a segunda equação é equivalente a . O facto de termos de supor que não levantaC œ , Á !,#B
problemas, uma vez que, quando , o número complexo é real e já verificámos que todos os, œ ! D
números reais, positivos ou não, têm raíz quadrada no quadro dos números complexos. Fazendo a
substituição na primeira equação, ficamos reduzidos a mostrar a existência de tal queC œ B,#B
B  œ +
,
%B
#
#
#
,
ou seja, multiplicando ambos os membros por , a existência de tal que%B B Á !#
%B  , œ %+B% # #,
equação que pode ser posta na forma
%B  %+B  , œ !% # # .
Como antes, pondo , basta-nos encontrar uma solução positiva da equação do segundo grauA œ B#
%A  %+A  , œ !# # ,
solução que existe efectivamente e é igual a
%+  "'+  "', +  +  ,
) #
œ
È È# # # #
.
Podemos então garantir que admite como raíz quadrada o número complexo ,D œ +  ,3 B  C3
com
B œ
+  +  ,
#
C œ œ
, ,
#B
#
Ë È
É
# #
+ + ,
#
È # #
(não é uma expressão muito bonita, mas só queríamos ter a certeza de que havia solução…). É claro
que também admite a raíz quadrada .D B  C3
16) a) É verdade: Se representa um dos números complexos cujo quadrado é , então oÈD D
quadrado de é certamente .ÈD D
 Não sabemos se é verdadeiro ou falso: Apesar de ser um dos números cujo quadrado éb) D
D D D D D# #, tem também a mesma propriedade e não sabemos se é ou é .È
 É verdade: Sabemos que é um dos dois números cujo quadrado é e que esses doisc) È" "
números são e ; podemos assim garantir que ou , apesar de não sabermos3 3 " œ 3 " œ 3È È
qual das duas coisas acontece.
 É falso: O quadrado de é , e não .d) 3 " "  3
– 9 –
17)
e
e
x
y
O
1-2i
-2+i
1
i
18) O vector corresponde ao número complexo , o vecto corresponde ao número?  3 @Ä Ä$ "# #
complexo (real) e o vector corresponde ao número complexo . Os pontos do plano que A  3Ä" "# #
são afixos destes números complexos são as extremidades dos vectores quando estes não colocados
na posição representada na figura.
19)
O
e
e
z
x
y
z+2
z-i
-(3/2)z
20Ñ
O
e
ex
y
P
Q
z-w
z-w
– 10 –
21) a) São os números reais.
 Os pontos do eixo das abcissas são exactamente aqueles que coincidem com os seusb)
simétricos relativamente a este eixo.
 São os imaginários puros.c)
22) a) .l"  3l œ "  Ð"Ñ œ #È È# #
 .b) l$  %3l œ $  Ð%Ñ œ #& œ &È È# #
 .c) l3l œ !  " œ "È # #
 (para os números reais o módulo é o já conhecido).d) l#l œ #
23) a) Sendo , com e números reais, tem-se , e portantoD œ +  ,3 + , D œ +  ,3
D œ +  ,3 œ D.
 Tem-seb)
lDl œ D ‚ D œ D ‚ D œ lDlÈ È .
Outra maneira de chegar à mesma conclusão é reparando que, se , então ,D œ +  ,3 D œ +  ,3
portanto
lDl œ +  Ð,Ñ œ +  , œ lDlÈ È# # # # .
 Para verificarmos que o conjugado de é igual a , basta verificar que o conjugado de c) " " "D D D
multiplicado por dá . Ora,D "
Ð Ñ ‚ D œ ‚ D œ " œ "
" "
D D
.
Um processo alternativo, que acabaria por dar um pouco mais de trabalho, consiste em partir de
D œ +  ,3 +ß , −, com , e calcular na forma algébrica e .‘ " "D D
 Tem-sed)
l l ‚ lDl œ l ‚ Dl œ l"l œ "
" "
D D
.
24) Uma tentativa directa de provar este resultado consiste em partir da forma algébrica dos
números complexos, e e, reparando que , tentarD œ +  ,3 A œ -  .3 D  A œ Ð+  -Ñ  Ð,  .Ñ3
provar que
È È ÈÐ+  -Ñ  Ð,  .Ñ Ÿ +  ,  -  .# # # # # #.
Apesar de não ser impossível chegar ao resultado seguindo esta via, trata-se de uma solução que
não é fácil de descobrir. De acordo com a sugestão, o que se pretende aqui é dar um argumento
geométrico para justificar a nossa desigualdade. Uma vez que o afixo vectorial da soma de dois
números complexos é a soma dos respectivos afixos vectoriais e que o módulo de um número
complexo é igual ao comprimento (norma) do seu afixo vectorial, podemos “esquecer” os números
complexos e mostrar simplesmente que o comprimento da soma de dois vectores é sempre menor
ou igual à soma dos respectivos comprimentos. Recordemos o método gráfico de obter a soma de
dois vectores:
– 11 –
z+w
z w
A
B
C
Dizer que o comprimento de é menor ou igual à soma dos comprimentos de e de D  A D A
corresponde a dizer que a distância de a é menor ou igual à soma das distâncias de a e deE G E F
F G a e isso resulta da conhecida propriedade dos triângulos: Qualquer lado é menor que a soma
dos outros dois.
Há uma coisa que pode parecer estranho: Se qualquer lado é menor que a soma dos outros dois
porque é que não dissémos simplesmente que “o módulo da soma é menor que a soma dos
módulos” e tivémos o cuidado de utilizarmais prudentemente a expressão “menor ou igual”, em
vez de “menor”? O que se passa é que pode acontecer que os vectores e tenham a mesmaD A
direcção e, nesse caso, os pontos não determinam um triângulo por estarem os três sobreEßFßG
uma mesma recta. Nesse caso, se está entre e ,F E G
A
B
C
a distância de a é mesmo igual à soma das distâncias de a e de a e, quando nãoE G E F F G F
está entre e ,E G
A
C
B
a distância entre e é igual à diferença entre a maior e a menor das outras duas distâncias, eE G
portanto é novamente menor que a soma destas. Em todas as hipóteses, a distância de a éE G
menor ou igual à soma das distâncias de a e de a .E F F G
– 12 –
25) Uma vez que o módulo de um número complexo é igual à distância do seu afixo à origem, o
conjunto em questão vai ser a circunferência de centro na origem e raio 2.
1
26) a) Uma vez que é a distância entre os afixos de e de , o conjunto pedido élD  3l D 3
1
i
 A condição é que a distância do afixo de ao afixo de deve ser menor ou igual a .b) D 3 "
Obtemos assim o conjunto
1
-i
 Procuramos os pontos do plano que estão à mesma distância dos afixos de e de ,c)  3"#
portanto os ponmtos da perpendicular ao meio do segmento determinado por estes pontos:
– 13 –
1-1/2
i
 Temos aqui a intersecção da circunferência de centro no afixo do ponto e raio com umd) " "
dos semi-planos abertos determinados pela recta dos pontos equidistantes dos afixos dos complexos
! "  3 e :
1
1+i
0
 Temos aqui a união do círculo de centro na origem e raio com a circunferência de centroe) "
no afixo de e raio :3 "
1
 Temos aqui a intersecção de dois semi-planos fechados, um limitado pela recta dos pontosf)
equidistantes dos afixos de e de e outro limitado pela recta dos pontos equidistantes dos afixos3 "
– 14 –
de e de :3 "
1
i
-i
27) Para a figura 11, podemos considerar a condição
lD  "l Ÿ " • lDl   ".
 Para a figura 12 podemos considerar a condição
lD  "l Ÿ " ” lDl Ÿ ".
 Na figura 13, temos a intersecção de dois semiplanos fechados e já sabemos que um tal
semi-plano pode ser caracterizado como o conjunto dos pontos cuja distância a um ponto
conveniente é menor ou a igual à distância a outro ponto conveniente (há várias escolhas possíveis
para os dois pontos: O que é preciso é que a recta que delimita o semi-plano seja a perpendicular ao
meio do segmento definido pelos dois pontos. Para uma das rectas podemos considerar os pontos
#3 ! 3 3 e e para a outra os pontos e . Obtemos assim a condição
lDl Ÿ lD  #3l • lD  3l Ÿ lD  3l.
Se quiséssemos uma condição eventualmente mais bonita, escolhíamos para a segunda recta e#3
#3 lDl Ÿ lD  #3l • lD  #3l Ÿ lD  #3l e obtínhamos a condição , que pode ser escrita, de forma
mais compacta,
lDl Ÿ lD  #3l Ÿ lD  #3l.
 Por fim, na figura 14 temos mais uma vez uma intersecção de semi-planos e obtemos, entre
outras possibilidades, a condição
lD  3l Ÿ lD  3l • lD  "l Ÿ lD  3l,
que pode também ser escrita na forma mais compacta .lD  "l Ÿ lD  3l Ÿ lD  3l
28) a) O afixo de é a própria origem dos eixos, pelo que não define uma semi-recta a partir!
desta última.
 Por exemplo, , ou, mais geralmente, qualquer complexo da forma , comb) D œ %  '3 #>  $>3w
>  ! > Á " e .
– 15 –
 São os argumentos da forma , com .c) #5 5 −1 ™
 Por exemplo, e (igual a ).d) ! 1 ! 1 ! 1 1    #
 Por exemplo, .e) !
29) a) O número complexo em questão é sen . Recordando os valoresD œ # Ð Ð Ñ  3 Ð ÑÑcos # #$ $
1 1
conhecidos das funções trigonométricas, vemos que e sencos cosÐ Ñ œ  Ð Ñ œ  Ð Ñ œ# " #$ $ # $
1 1 1
sen , pelo que obtemos, na forma algébrica,Ð Ñ œ1$ #
$È
D œ "  $ 3È .
 Temos o número complexob)
D œ # Ð Ð Ñ  3 Ð ÑÑ œ # Ð Ñ  # Ð Ñ 3
* * * *
È È Ècos cos1 1 1 1sen sen ,
pelo que, calculando, com o auxílio da calculadora e com aproximação à milésimas, a parte real e o
coeficiente da parte imaginária, temos
D ¸ "Þ$#*  !Þ%)% 3.
30) a) Tem-se . Uma vez que a parte real e o coeficientel"  $ 3l œ "  Ð $Ñ œ % œ #È ÈÉ È# #
da parte imaginária são ambos positivos, os argumentos estão no primeiro quadrante. O co-seno dos
argumentos de é igual a , pelo que um dos argumentos possíveis é .! "# $
1
 Tem-se . O argumentos estão no segundo quadrante e ob) l"  3l œ Ð"Ñ  " œ #È È# #
seno dos argumentos são iguais a , pelo que um dos argumentos possíveis é ." $
#
#
# % %È Èœ  œ1 1 1
 Pensando no afixo de no plano de Argand, concluímos logo que e que é um dosc) 3 l3l œ " 1#
argumentos.
 Pensando no afixo de no plano de Argand, vemos que e que é um dos argu-d) # l#l œ # 1
mentos.
 Tem-se . Quanto a um valor aproximado para um argumento31) l$  %3l œ *  "' œ &È
! !, reparamos que este está no terceiro quadrante e que tan . Ao determinarmos, com oÐ Ñ œ %$
auxílio da calculadora, um ângulo cuja tangente é , esta dá-nos um ângulo do primeiro quadrante.%$
Podemos então obter um valor aproximado
! 1œ  Ð Ñ ¸ %Þ!'*
%
$
tan ."
32) a) Tem-se
D ‚ A œ Ð  Ñ  3 Ð  Ñ œ Ð  Ñ  3 Ð  Ñ œ
' $ ' $ ' ' ' '
# #
œ Ð Ñ  3 Ð Ñ œ 3
# #
cos cos
cos
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
sen sen
sen .
– 16 –
 Queremos determinar um complexo que multiplicado por dê . Uma vez que e têmb) D A D A
ambos módulo , basta-nos achar um complexo de módulo que tenha um argumento que somado" "
com o argumento de dê o argumento de . O argumento do complexo procurado pode assim1 1' $D A
ser , pelo que1 1 1$ ' ' œ
A
D ' '
œ Ð Ñ  3 Ð Ñcos
1 1
sen
(em particular, vemos que, neste caso, ).AD œ D
 Tem-se sen e sen , pelo quec) 3 œ Ð Ñ  3 Ð Ñ " œ Ð Ñ  3 Ð Ñcos cos1 1# # 1 1
3D œ Ð  Ñ  3 Ð  Ñ œ Ð Ñ  3 Ð Ñ
# ' # ' $ $
# #
D œ Ð"Ñ ‚ D œ Ð  Ñ  3 Ð  Ñ œ Ð Ñ  3 Ð Ñ
' ' ' '
( (
cos cos
cos cos
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
sen sen ,
sen sen .
33)
1
 a)
1
 b)
1
– 17 –
34) a) Uma vez que sen , vem" œ " ‚ Ð Ð!Ñ  3 Ð!ÑÑcos
" " " "
D < < <
œ Ð Ð! Ñ  3 Ð!  ÑÑ œ Ð Ð Ñ  3 ÐÐ ÑÑ œ Ð Ð Ñ  3 Ð ÑÑcos cos cos! ! ! ! ! !sen sen sen .
 Vemb)
D œ D ‚ D œ < ‚ < ‚ Ð Ð  Ñ  3 Ð  ÑÑ œ < Ð Ð# Ñ  3 Ð# ÑÑ# #cos cos! ! ! ! ! !sen sen .
 Vemc)
D œ D ‚ D œ < ‚ < ‚ Ð Ð#  Ñ  3 Ð#  ÑÑ œ < Ð Ð$ Ñ  3 Ð$ ÑÑ$ # # #cos cos! ! ! ! ! !sen sen .
 Vemd)
D œ D ‚ D œ < ‚ < ‚ Ð Ð$  Ñ  3 Ð$  ÑÑ œ < Ð Ð% Ñ  3 Ð% ÑÑ% $ $ #cos cos! ! ! ! ! !sen sen .
35) A Fórmula de Moivre é evidentemente verdadeira para . Suponhamos que ela é8 œ "
verdadeira para uma certa potência e verifiquemo-la no caso da potência : Vem8 8  "
D œ D ‚ D œ < ‚ < ‚ Ð Ð8  Ñ  3 Ð8  ÑÑ œ
œ < Ð ÐÐ8  "Ñ Ñ  3 ÐÐ8  "Ñ ÑÑ
8" 8 8
8"
cos
cos
! ! ! !
! !
sen
sen .
36) a) Tem-se
lD l œ $  " œ #
lD l œ $  " œ #
lD l œ !  % œ #
"
#
$
È
È
È ,,
,
pelo que os três afixos vão estar sobre a circunferência de raio e centro na origem. Quanto aos#
argumentos, podemos escrever
D œ # Ð  3Ñ œ # Ð Ð Ñ  3 Ð ÑÑ
$ "
# # ' '
D œ # Ð  3Ñ œ # Ð Ð Ñ  3 Ð ÑÑ
$ " & &
# # ' '
D œ # ‚ 3 œ # Ð Ð Ñ  3 Ð ÑÑ
$ $
# #
"
#
$
È
È
cos
cos
cos
1 1
1 1
1 1
sen ,
sen ,
sen ,
pelo que os três complexos admitem respectivamente os argumentos , e . Podemos, a partir1 1 1' ' #
& $
daqui, desenhar as representações no plano de Argand:
– 18 –
1
zz
z
1
2
3
30
150
270
o
o
o
 Utilizando a fórmula de Moivre, obtemosb)
D œ ) Ð Ð Ñ  3 Ð ÑÑ œ )3
# #
D œ ) Ð Ð Ñ  3 Ð ÑÑ œ )3
& &
# #
D œ ) Ð Ð Ñ  3 Ð ÑÑ œ )3
* *
# #
"
$
#
$
$
$
cos
cos
cos
1 1
1 1
1 1
sen
sen
sen
 Suponhamos que é uma raíz cúbica de e seja o módulo de e o argumento de c) D )3 < D D!
que pertence ao intervalo . Tem-se assim que sen e portanto, pelaÒ!ß # Ò D œ < Ð Ð Ñ  3 Ð ÑÑ1 ! !cos
fórmula de Moivre,
)3 œ D œ < Ð Ð$ Ñ  3 Ð$ ÑÑ$ $ cos ! !sen ,
o que mostra que (o módulo de ), donde , e que é um dos argumentos de . Mas< œ ) )3 < œ # $ )3$ !
$ Ò!ß ' Ò )3  # œ! 1 1 pertence ao intervalo e os argumentos de neste último intervalo são , e1 1 1# # #
&
1 1 1 1 1
# # # # #
* & * % œ $1 ! !. Concluímos assim que tem que ser um dos três números , e , e portanto 
temque ser um dos três números , e , donde se pode concluir que é uma das três raízes ,1 1 1' ' '
& *
"D D
D D# $ e consideradas anteriormente.
37) a) Ponhamos a raíz quadrada procurada na forma sen , com noD œ < Ð Ð Ñ  3 Ð ÑÑcos ! ! !
intervalo . Tem-se assim sen e pretendemos que se tenhaÒ!ß # Ò D œ < Ð Ð# Ñ  3 Ð# ÑÑ1 ! !# # cos
D œ  3 œ Ð Ñ  3 Ð Ñ
" $
# # $ $
#
È
cos
1 1
sen .
Tem-se assim , portanto , e deve ser um dos argumentos de sen no< œ " < œ " # Ð Ñ  3 Ð Ñ# $ $! cos
1 1
intervalo . Estes últimos são e , pelo que obtemos dois valores possíveis paraÒ!ß % Ò  # œ1 11 1 1$ $ $
(
!, a saber, e . Concluímos assim que tem duas raízes quadradas:1 1' ' # #
( " $ 3
È
cos
cos
Ð Ñ  3 Ð Ñ œ  3
' ' # #
$ "
Ð Ñ  3 Ð Ñ œ   3
( ( $ "
' ' # #
1 1
1 1
sen ,
sen .
È
È
– 19 –
 Ponhamos a raíz quarta procurada na forma sen , com no intervalob) D œ < Ð Ð Ñ  3 Ð ÑÑcos ! ! !
Ò!ß # Ò D œ < Ð Ð% Ñ  3 Ð% ÑÑ1 ! !. Tem-se assim sen e pretendemos que se tenha% % cos
D œ % œ % Ð Ð Ñ  3 Ð Ñ% cos 1 1sen .
Tem-se assim , portanto , e deve ser um dos argumentos de sen no< œ % < œ # % Ð Ñ  3 Ð Ñ% È ! 1 1cos
intervalo . Estes últimos são , , e , pelo que obtemos quatro valores possíveis paraÒ!ß ) Ò $ & (1 1 1 1 1
!, a saber, , , e . Concluímos assim que tem quatro raízes quartas:1 1 1 1% % % %
$ & ( %
È
È
È
È
# Ð Ð Ñ  3 Ð ÑÑ œ  3
% % # #
" "
# Ð Ð Ñ  3 Ð ÑÑ œ   3
$ $ " "
% % # #
# Ð Ð Ñ  3 Ð ÑÑ œ   3
& & " "
% % # #
# Ð Ð Ñ  3 Ð ÑÑ œ  3
( ( " "
% % # #
cos
cos
cos
cos
1 1
1 1
1 1
1 1
sen ,
sen ,
sen ,
sen .
 Como nas alíneas anteriores, uma vez que sen , as raízes sétimasc) 3 œ Ð Ñ  3 Ð Ñcos 1 1# #
procuradas são os sete números da forma sen com a tomar um dos sete valores ,cosÐ Ñ  3 Ð Ñ! ! ! 1"%
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
"% ( "% ( "% ( "% ( "% ( "% (
# % ' ) "! "#     , , , , e . Utilizando a calculadora, obtemos assim,
com as aproximações pedidas,
D ¸ !Þ*(&  !Þ##$ 3
D ¸ !Þ%$%  !Þ*!" 3
D ¸ !Þ%$%  !Þ*!" 3
D ¸ !Þ*(&  !Þ##$ 3
D ¸ !Þ()#  !Þ'#$ 3
D ¸ 3
D ¸ !Þ()#  !Þ'#$ 3
"
#
$
%
&
'
(
,
,
,
,
,
,
,
que podem ser representados no plano de Argand:
1
Z
ZZ
Z
Z
Z
Z
2
1
3
4
5
6
7
38) a) Uma vez que as raízes sextas se situam na mesma circunferência de centro na origem que
passa pelo ponto dado e constituem um hexágono regular, construímos sucessivamente essasD"
raízes sextas, intersectando essa circunferência com uma circunferência com o mesmo raio e centro
– 20 –
em cada um dos pontos entretanto determinados
1O
z
z
z
z
z
z
1
2
3
4
5
6
 A semi-recta procurada é determinada pelos pontos que admitem um argumento igual ab)
seis vezes um argumento do ponto . Para determinar essa semi-recta basta procurar o ponto destaD"
que está na circunferência de centro na origem que passa por e isso pode ser feito determinandoD"
sucessivamente pontos desta circunferência a uma distância dos imediatamente anteriores igual à
distância de ao ponto da circunferência que está no semi-eixo positivo das abcissas.D"
1O
z =w
w
w
w
w
w
1 1
2
3
4
5
6
39) a) Não podemos: Por exemplo, e, apesar de ser um dos argumentos deargÐ3Ñ œ 1 1# #
3 œ 3 Ð3Ñ œ, tem-se, de acordo com a nossa convenção, .arg $#
1
 Não há maneira de conseguirmos que a igualdade seja verdadeira parab) arg argÐDÑ œ  ÐDÑ
todo o número complexo não nulo, qualquer que seja o intervalo que escolhamos, em vez de ,Ò!ß # Ò1
– 21 –
na definição da função “argumento”. Se tivéssemos escolhido um dos intervalos ou ,Ò ß Ò Ó ß Ó1 1 1 1
a igualdade ficava verdadeira para muitos valores de , mas nunca conseguimos que fiqueD
verdadeira para todo o , uma vez que, quando é um número real negativo, tem-se e,D D D œ D
portanto, (reparar que o único número real que coincide com os seuarg arg argÐDÑ œ ÐDÑ Á  ÐDÑ
simétrico é , mas não é argumento dos números reais negativos).! !
40) Mais uma vez, não podemos garantir que esta igualdade seja sempre verdadeira. O que se
passa é que tanto como estão no intervalo mas a sua soma já pode ser maiorarg argÐDÑ ÐDÑ Ò!ß # Ò1
que e, nesse caso, essa soma não é certamente . Por exemplo e# ÐD ‚ AÑ Ð"Ñ œ1 1arg arg
arg arg arg arg argÐ3Ñ œ ÐÐ"Ñ ‚ Ð3ÑÑ œ Ð3Ñ œ Ð"Ñ  Ð3Ñ œ$ &# # #
1 1 1 mas é diferente de . O que
se pode dizer é que, se , então .arg arg arg arg argÐDÑ  ÐAÑ  # ÐDÑ  ÐAÑ œ ÐD  AÑ1
41) a) Tem-se , uma vez que a parte real de é constantemente igual a , e portantoD Ä " D "8 8
converge para , e que o coeficiente da parte imaginária de é igual a , e portanto converge" D 8 "8
para . Uma vez que o afixo de está no terceiro quadrante, o seu argumento está entre e ! D #8 8 $#! 1
1
e tem-se tg , pelo que, uma vez que a função tg aplicada a um número negativoÐ Ñ œ œ !8

" 8
" "
"
8
está ente e , vem tg , que é diferente de . ! ÐD Ñ œ œ #  Ð Ñ Ä # Ð"Ñ œ !1# 88 8
" "arg arg! 1 1
 Qualquer que seja o intervalo de comprimento , fechado numa das extremidade e abertob) #1
na outra, que utilizemos na definição da função argumento, vamos sempre ter complexos não nulos
onde a função “argumento” não fica contínua (aqueles cujo argumento é a extremidade fechada do
intervalo). Por exemplo, se escolhêssemos o intervalo na definição da função, a quebra deÓ ß Ó1 1
continuidade era detectada por qualquer sucessão a convergir, por exemplo, para 1 por complexos
com afixos no terceiro quadrante, uma vez que os argumentos iam convergir para e o argu-1
mento de é ." 1
42) a)
1
 b)
1
– 22 –
43) As raízes de índice de um número complexo são exactamente os números complexos 8 A D
raízes do polinómio , de grau .D  A 88
44) A equação , com é equivalente à equação+B  ,B  - œ ! + Á !#
B  B  œ !
, -
+ +
# .
Para resolvermos esta equação o truque é tentar comparar o primeiro membro da equação com o
quadrado duma soma ? , que sabemos ser igual a ? ? , pelo que, para obtermos oÐB  Ñ B  #B # # #
mesmo monómio do primeiro grau em dava jeito que fosse ? . Tomamos então como termoB # œ ,+
? a expressão , ou seja, comparamos o primeiro membro da equação com o desenvolvimento de,#+
ÐB  Ñ B  B , , ,#+ + %+
# #, que é . A equação pode então ser escrita de forma equivalente##
ÐB  Ñ   œ !
, , -
#+ %+ +
#
#
#
,
ou ainda
ÐB  Ñ œ
, ,  %+-
#+ %+
#
#
#
,
condição que é equivalente a
B  œ
, „ ,  %+-
#+ #+
È #
,
ou seja, a
B œ
, „ ,  %+-
#+
È #
.
45) 1) A alínea a) pode ser resolvida do mesmo modo que no quadro dos números reais. A alínea
b) é que levanta problemas. Com efeito, o que podemos deduzir é que, uma vez que
E œ   
; ; :
# % #(
F œ   
; ; :
# % #(
$
# $
$
# $
Ê
Ê
,
,
tem-se
ÐEFÑ œ E F œ Ð Ñ  Ð  Ñ œ   œ Ð Ñ
; ; : ; ; : :
# % #( % % #( $
$ $ $ # # $
# $ # # $Ê ,
e portanto é uma das raízes cúbicas de . Isso não quer dizer, no entanto, que tenhaEF Ð Ñ EF:$
$
que ser , porque existem três raízes cúbica complexas de e é apenas uma delas. Ð Ñ : : :$ $ $
$
Quando trabalhávamos no contexto dos números reais este problema não aparecia, uma vez que um
número real tem apenas uma raíz cúbica.
 Tal como fizémos em 1), reparemos que se tem2)
– 23 –
Ð   Ñ ‚ Ð   Ñ œ 
; ; : ; ; : :
# % #( # % #( #(
Ê Ê# $ # $ $ .
Seja então uma das raízes cúbicas de e, em vez de definirmos, como anterior-E   ; ; :# % #(É # $
mente, como sendo uma das raízes cubicas de , definamos, em vez dissoF   ; ; :# % #(É # $
F œ 
:
$E
,
o que só faz, evidentemente, sentido no caso em que . Apesar de não termos definido comoE Á ! F
sendo uma das raízes cubicas de , de facto vai ser uma dessas raízes cúbicas,   F; ; :# % #(É # $
uma vez que
F œ  œ œ   
: ; ; :
#(E # % #(

  
$
$
$
:
#(
; ; :
# % #(
# $
$
# $É Ê .
O que se passa é que, em vez de termos deixado ser uma raíz cúbica qualquer deF
   F; ; :# % #(É # $ , tomámos para uma raíz cúbica especial, que depende naturalmente da raíz
cúbica de que foi escolhida como . A vantagem é que continuamos a ter, como   E; ; :# % #(É# $
na alínea precedente, , mas, ao contrário do que sucedia na alínea anterior, jáE F œ ;$ $
podemos garantir que . Podemos agora verificar que é efectivamente uma raíz daEF œ  EF:$
equação , da mesma maneira que procedemos no quadro dos números reais:C  :C  ; œ !$
Tem-se
ÐE  FÑ œ E F  $E F  $EF œ E F  $EFÐE  FÑ œ
œ ;  :ÐE  FÑ
$ $ $ # # $ $
,
e portanto
ÐE  FÑ  : ÐE  FÑ  ; œ !$ .
Resumindo, obtivémos a fórmula
C œ    
; ; : :
# % #(
$   
Ë Ê Ê É
$
$ # $
# $
; ; :
# % #(
 ,
que temos a certeza que dá uma raíz sempre que fizer sentido, isto é, sempre que o denominador da
segunda fracção não for .!
46) a) Supondo que e que , vemEF œ , EF œ -
ÐB  EÑÐB  FÑ œ B  EB  FB  EF œ B  ,B  -# # ,
pelo que, pela lei de anulamento dum produto, tem-se se, e só se, ouB  ,B  - œ ! B  E œ !#
B  F œ ! B œ E B œ F E F, isto é, ou . Concluímos assim que e são precisamente as raízes da
equação .B  ,B  - œ !#
– 24 –
 Se e são as duas soluções, sabemos que se temb) E F
E œ F œ
,  Ð,Ñ  %- ,  Ð,Ñ  %-
# #
È È# #
, ,
ou o contrário, em qualquer dos casos
EF œ œ ,
,  ,  %-  ,  ,  %-
#
EF œ Ð,  Ð ,  %-Ñ Ñ œ Ð,  ,  %-Ñ œ -
" "
% %
È È
È
# #
# # # ## .
47) a) Neste exercício estamos a supor que é uma solução da equação , noC C  :C  ; œ !$
contexto dos números complexos. Tendo em conta a conclusão do exercício precedente, existem
dois números complexos e tais que e . Tem-se entãoE F EF œ C EF œ :$
ÐE  FÑ  :ÐE  FÑ  ; œ !$
eportanto, uma vez que
ÐE  FÑ œ E F  $E F  $EF œ E F  $EFÐE  FÑ œ E F  :ÐE  FÑ$ $ $ # # $ $ $ $ ,
obtemos
E F  ; œ !$ $ .
 De ser , concluímos que . Uma vez que, como vimos nab) EF œ  E F œ ÐEFÑ œ : :$ #(
$ $ $ $
alínea precedente, , concluímos que e , sendo dois números cuja soma é eE F œ ; E F ;$ $ $ $
cujo produto é , têm que ser as duas soluções da equação do segundo grau:#(
$
B  ;B  œ !
:
#(
#
$
,
portanto tem que ser
E œ F œ
;  ;  % ;  ;  %
# #
$ $
# #: :
#( #(
É É$ $
, ,
(ou vice-versa, o que corresponde a alterar a escolha feita para a raíz quadrada).
 Deduzimos da alínea precedente quec)
E œ œ   
;  ;  %
# # % #(
; ; :
F œ œ   
;  ;  %
# # % #(
; ; :
ÍÍÍÌ É Ë ÊÍÍÍÌ É Ë Ê
$
$
$
$
$
$
# :
#(
# $
# :
#(
# $
,
,
desde que se tenham feito escolhas convenientes da raíz quadrada e das raízes cúbicas, e portanto,
lembrando que ,EF œ C
– 25 –
C œ       
; ; : ; ; :
# % #( # % #(
Ë ËÊ Ê$ $# $ # $
é um dos nove valores dados pela fórmula de Cardano.
48) a)
ÐBß CÑ  ÐB ß C Ñ œ ÐB  B ß C  C Ñ
ÐB ß C Ñ  ÐBß CÑ œ ÐB  Bß C  CÑ œ ÐB  B ß C  C Ñ
w w w w
w w w w w w
,
,
uma vez que a adição de números reais é comutativa.
 b)
ÐÐBß CÑ  ÐB ß C ÑÑ  ÐB ß C Ñ œ ÐB  B ß C  C Ñ  ÐB ß C Ñ œ ÐB  B  B ß C  C  C Ñ
ÐBß CÑ  ÐÐB ß C Ñ  ÐB ß C ÑÑ œ ÐBß CÑ  ÐB  B ß C  C ÑÑ œ ÐB  B  B ß C
w w ww ww w w ww ww w ww w ww
w w ww ww w ww w ww w ww
,
 C  C Ñw ww ,
onde, ao escrevermos sem parênteses a somas de três números reais (por exemplo ) estáB  B  Bw ww
implícita a utilização da propriedade associativa dessa soma.
 c)
ÐBß CÑ ‚ ÐB ß C Ñ œ ÐB ‚ B  C ‚ C ß B ‚ C  C ‚ B Ñ
ÐB ß C Ñ ‚ ÐBß CÑ œ ÐB ‚ B  C ‚ Cß B ‚ C  C ‚ BÑ œ ÐB ‚ B  C ‚ C ß B ‚ C  C ‚ B Ñ
w w w w w w
w w w w w w w w w w
,
.
Repare-se que, para a última igualdade, tivémos em conta as propriedades comutativas tanto da
multiplicação como da adição de números reais.
 d)
ÐBß CÑ ‚ ÐÐB ß C Ñ  ÐB ß C ÑÑ œ ÐBß CÑ ‚ ÐB  B ß C  C Ñ œ
œ ÐB ‚ ÐB  B Ñ  C ‚ ÐC  C Ñ ß B ‚ ÐC  C Ñ  C ‚ ÐB  B ÑÑ œ
œ ÐB ‚ B  B ‚ B  C ‚ C  C ‚ C ß B ‚ C  B ‚ C
w w ww ww w ww w ww
w ww w ww w ww w ww
w ww w ww w ww w ww
w w ww ww
w w w w ww ww ww ww
w ww w ww w ww
 C ‚ B  C ‚ B Ñ
ÐBß CÑ ‚ ÐB ß C Ñ  ÐBß CÑ ‚ ÐB ß C Ñ œ
œ ÐB ‚ B  C ‚ C ß B ‚ C  C ‚ B Ñ  ÐB ‚ B  C ‚ C ß B ‚ C  C ‚ B Ñ œ
œ ÐB ‚ B  B ‚ B  C ‚ C  C ‚ C ß B ‚ C  B ‚ C  C ‚ B  C ‚ B Ñw ww