APENDICE_U1

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APÊNDICE
UNIDADE 1
Resistência 
dos Materiais 
Avançado
U1 - Características geométricas, esforços externos e internos 2
UNIDADE 1: Características geométricas, esforços externos e 
internos 
Gabarito 1. Faça valer a pena - Seção 1.1
1. Alternativa correta: B.
Resposta comentada: nos estudos das tensões devidas à flexão (que é 
provocada pelo momento fletor) utilizamos os momentos de inércia, 
nos cálculos das tensões provocadas pelo momento torçor utilizamos 
os momentos polares de inércia e nas avaliações das tensões 
provocadas pelo esforço cortante utilizamos os momentos estáticos. 
2. Alternativa correta: D.
Resposta comentada: com um transpasse (um furo) ou deitando a 
viga, estaremos diminuindo o momento de inércia quando desejamos 
aumentá-lo para fazer o reforço. As outras opções acrescentam 
área na ST para aumentar o momento de inércia soldando perfis à 
ST existente. Se soldarmos abaixo (formando um T invertido), o 
centroide descerá. Se soldarmos acima (formando um T normal), o 
centroide subirá. Para não alterar a posição do centroide, precisamos 
manter os dois eixos de simetria na posição original, soldando perfis 
iguais, também com dois eixos de simetria, nas laterais, coincidindo 
os eixos horizontais dos novos perfis com o eixo horizontal do 
perfil existente (para não modificar a posição dos eixos de simetria 
originais); ou acima e abaixo formando um perfil I, coincidindo os 
eixos verticais dos novos perfis com o eixo vertical do perfil existente 
(também para não modificar a posição dos eixos de simetria originais). 
A única opção existente nas respostas é soldar perfis retangulares nas 
laterais da viga de modo que a ST permaneça com seus dois eixos de 
simetria inalterados.
Apêndice
Gabaritos comentados com resposta-padrão
U1 - Características geométricas, esforços externos e internos 3
3. Alternativa correta: C.
Resposta comentada: pelas características da ST representada na 
Figura 1.10, vamos calcular um retângulo de 30 cm de base por 
60 cm de altura (figura 1 no quadro a seguir e Figura 1.10) do qual 
retiraremos um quarto de círculo de cada canto (figuras 2, 3, 4 e 5 no 
quadro a seguir e Figura 1.10). Outro detalhe: o exercício pede que 
calculemos rx , que depende somente de Ix e da área da ST, portanto, 
não precisamos calcular as colunas 3, 5, 8 e 10 do Quadro 1.2. Como 
temos dois eixos de simetria, o centroide da ST já é conhecido. Assim, 
vamos preencher parte do quadro a seguir.
Para cada um dos quartos de círculo, temos 
I R cmx '
. . ,=− =− =−p p
4 4
4
16
6
16
254 47 .
Para o retângulo, temos I cmx '
.
= =
30 60
12
540000
3
4 .
Logo, com I cmx ' ,= 453776 04
4e a área total A cm= 1686 92 2, , calculamos 
o raio de giração rx :
r
I
Ax
x= = =
453776 04
1686 92
16 4,
,
, cm .
Assim, o valor do raio de giração em relação ao eixo x ( rx ) é de 16,4 
cm. 
Fonte: elaborado pelo autor.
Quadro 1.7 | Dados para o cálculo dos momentos de inércia de figuras compostas
Figura Área yi A yi i.
2 Ix ' I A yx i i' .+
2
1 1800 0 0 540000 540000
2 -28 27,
27 45, -2130152, -254 47, -21555 99,
3 -28 27, 27 45, -2130152, -254 47, -21555 99,
4 -28 27, 27 45, -2130152, -254 47, -21555 99,
5 -28 27, 27 45, -2130152, -254 47, -21555 99,
=∑ 453776 04,
U1 - Características geométricas, esforços externos e internos 4
Gabarito 2. Faça valer a pena - Seção 1.2
1. Alternativa correta: E.
Resposta comentada: a carga de peso próprio distribuída não depende 
do formato da ST, mas da área desta, pois é obtida multiplicando-se 
essa área pelo peso específico do material que compõe a viga. Como 
para reforçar estamos utilizando duas barras com a mesma seção, ou 
seja, com a mesma área, a área final será a de três barras, ou seja, o 
triplo da área original. Portanto, a carga de peso próprio distribuída da 
viga reforçada será o triplo da área original. 
2. Alternativa correta: D.
Resposta comentada: inicia-se a solução do problema substituindo a 
carga linearmente distribuída por uma carga concentrada equivalente, 
como mostra a figura a seguir:
Da equação 1.15, temos:
F Hx B= ⇒ =∑ 0 0 
Adotando-se o sentido para cima como positivo, a equação 
1.16 fornece:
F R R kNy B B= ⇒ + = ⇒ =∑ 0 9 0 9 -
Utilizando a equação 1.17 com o sentido horário adotado como 
positivo, temos:
M M M kN mponto B B= ⇒ − + = ⇒ =∑ 0 9 2 0 18 . .
Portanto, a resposta é HB = 0 , R kNB = 9 e M kN mB = 18 . . 
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura | Esquema estrutural de viga em balanço e substituição da carga distribuída 
variável linearmente pela carga concentrada equivalente
U1 - Características geométricas, esforços externos e internos 5
3. Alternativa correta: C.
Resposta comentada: para a solução do problema, o primeiro 
procedimento é substituir a carga linearmente distribuída por uma 
concentrada equivalente, como mostra a figura a seguir:
Aplicando a equação 1.20, temos:
R
P b
l
P b
l
kNA = + = +
−( )
=1 1 2 2
12 3
6
5 2
6
4 33. . .
.
,
A resposta correta é, R kNA = 4 33, . 
OBSERVAÇÃO: Cuidado! A carga de 5kN está com o sentido oposto 
ao que foi utilizado para desenvolver as equações 1.19 e 1.20. Por isso, 
entra com sinal negativo. 
Gabarito 3. Faça valer a pena - Seção 1.3
1. Alternativa correta: B.
Resposta comentada: cortamos a viga no trecho AC e, olhando para 
a esquerda, temos as cargas de momento e a reação vertical em todo 
esse trecho. Passado o ponto C, há uma alteração na carga quando 
cortamos o trecho CD e olhamos para a esquerda: passam a ser 
consideradas também a carga concentrada de 10 kN e parte da carga 
distribuída. Note que, nesse trecho, a parcela da carga distribuída (e 
a carga equivalente à essa parcela) depende da distância de corte. 
Finalmente, cortamos no trecho DE no qual as cargas são quase as 
mesmas que para o trecho CD. A diferença é que consideramos toda 
a carga distribuída e não apenas uma parcela. Assim, a carga não 
depende mais da distância de corte (e nem a sua equivalente) e, por 
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura | Esquema estrutural de viga com mais de um tipo de carga e substituição da 
distribuída pela concentrada equivalente
U1 - Características geométricas, esforços externos e internos 6
isso, há uma outra curva de esforço cortante e de momento fletor 
nesse trecho. Portanto, para determinar o DEC e o DMF precisamos 
fazer três cortes.
2. Alternativa correta: E.
Resposta comentada: segundo o texto, a expressão que 
fornece o esforço cortante é a derivada da expressão que 
descreve o momento fletor. Assim, derivando a expressão 
M x x xx( ) = − + − +15 4 15 63
3 2, , encontramos a expressão 
V x xx( ) = − + −4 5 8 15
2, . Derivando essa última expressão e trocando o 
sinal para determinar aquela que fornece o carregamento no trecho, 
chegamos a q xx( ) = −9 8 . Assim, a resposta correta é a alternativa que 
contém as expressões V x x q xx x( ) ( )= − + − = −4 5 8 15 9 8
2, e . Note 
que a expressão do carregamento é a equação de uma reta inclinada (
y ax b= + ). Logo, a carga nesse trecho ou é triangular ou trapezoidal.
3. Alternativa correta: B.
Resposta comentada: a equação M M V dxE D
a
a b
− =
+
∫ . mostra que a 
diferença entre os momentos fletores de dois pontos é numericamente 
igual à área abaixo do diagrama de esforço cortante entre 
esses pontos.
Para esse exercício, temos que:
M M área do trapézio área de um triângulo área de outroC A− = + − ttriângulo . Foi 
dado que a viga é bi-apoiada, logo, MA = 0 (o momento é nulo em 
apoios). Portanto,
M M kN mC C=
+
+ − ⇒ =
6 46 4 36
2
1 0 64 136
2
1 2 12
2
4 79, , . , . , . , , .
Logo, a resposta correta é M kN mC = 4 79, . .