MATEMÁTICA - Pensamento Algébrico

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Pensamento Algébrico
Por: Antônia Oliveira Sousa.
LINGUAGEM ALGÉBRICA
François Viète, um matemático francês, é Pai da Álgebra.
Para resolver problemas utilizando equações tem que saber que as expressões
que contêm letras.
Símbolos Matemáticos
Se a letra x indica um número:
● Dobro desse número: x + x ou
2 . x ou 2x;
● O triplo desse número: 3x;
● O quádruplo desse número:
4x;
● Metade de um número: x/2;
● A terça parte desse número:
x/3;
● Os 3/5 desse número: 3/5 . x;
● 70% desse número: 7/10 . x
ou 0,7x;
● 7 a mais do que esse
número: x + 7;
● 3 a menos do que esse
número: x – 3;
● 3 menos esse número: 3 – x;
● Soma desse número com 8: x
+ 8;
● A diferença entre esse
número e 5: x – 5;
● A diferença entre 7 e esse
número: 7 – x;
● Produto desse número é 9: x .
9 ou 9x;
● Produto entre a soma e a
diferença de dois números:
(a + b) (a - b);
● Quociente desse número por
5: x/5 ou x:5;
● O dobro da soma desse
número com 9: 2(x+9);
● A soma do dobro desse
número com 9: 2x + 9;
● Metade desse número mais o
seu dobro: x/2 + 2x;
● Metade da soma desse
número com 5: (x+5) / 2;
● Esse número menos 4: x – 4;
● 40% desse número: 2/5 . x ou
2x / 5 ou 0,4x;
● Os três quartos de x: 3/4x;
● Três mais o quíntuplo de x: 3
+ 5x;
● Seis menos o cubo de x: 6 –
x³;
● O quadrado de um número:
x²;
● Um número adicionado ao
seu dobro dá 28: x + 2x = 28
Expressões Algébricas
Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam números,
letras e operações, são usadas em fórmulas e equações.
As letras são as variáveis e representam um valor desconhecido.
Os números escritos na frente das letras são os coeficientes e serão
multiplicados pelos valores atribuídos as letras.
● x + 5
● b2 – 4ac
●
Cálculo de uma Expressão Algébrica
Para calcular o valor de uma expressão algébrica devemos substituir os valores
das letras e efetuar as operações indicadas. Lembrando que entre o
coeficiente e a letras, a operação é de multiplicação.
O perímetro de um retângulo é calculado por essa fórmula:
P = 2b + 2h
Substituindo as letras com os valores indicados:
●
●
●
Simplificação de Expressões Algébricas
Para simplificar iremos somar ou subtrair os coeficientes dos termos
semelhantes e repetir a parte literal.
● 3xy + 7xy4 - 6x3y + 2xy - 10xy4 = (3xy + 2xy) + (7xy4 - 10xy4) - 6x3y =
5xy - 3xy4 - 6x3y
● ab - 3cd + 2ab - ab + 3cd + 5ab = (ab + 2ab - ab + 5ab) + (- 3cd + 3cd) =
7ab
Fatoração de Expressões Algébricas
Transformar uma expressão algébrica em uma multiplicação de termos, que
nos permite simplificar a expressão.
Para fatorar uma expressão algébrica:
● Fator comum em evidência: ax + bx = x . (a + b)
● Agrupamento: ax + bx + ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (x + y) . (a + b)
● Trinômio Quadrado Perfeito (Adição): a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
● Trinômio Quadrado Perfeito (Diferença): a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
● Diferença de dois quadrados: (a + b) . (a – b) = a2 – b2
● Cubo Perfeito (Soma): a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
● Cubo Perfeito (Diferença): a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3
Monômios
Quando uma expressão algébrica apresenta apenas multiplicações entre o
coeficiente e as letras (parte literal), ela é um monômio.
● 3ab
● 10xy2z3
● bh (quando não aparece nenhum número no coeficiente, seu valor é
igual a 1)
Os monômios semelhantes são os que apresentam a mesma parte literal
(mesmas letras com mesmos expoentes).
Os monômios 4xy e 30xy são semelhantes.
Já os monômios 4xy e 30x2y3 não são semelhantes, pois as letras
correspondentes não possuem o mesmo expoente.
Polinômios
Quando uma expressão algébrica possui somas e subtrações de monômios
não semelhantes é chamada de polinômio.
● 2xy + 3 x2y - xy3
● a + b
● c) 3abc + ab + ac + 5 bc
Operações Algébricas
Soma e subtração
A soma ou a subtração algébrica é feita somando-se ou subtraindo-se os
coeficientes dos termos semelhantes e repetindo a parte literal.
● (2x2 + 3xy + y2) + (7x2 - 5xy - y2) = (2 + 7) x2 + (3 - 5) xy + (1 - 1) y2 =
9x2 - 2xy
O sinal de menos na frente dos parênteses inverte todos os sinais dentro deles.
● (5ab - 3bc + a2) - (ab + 9bc - a3) = 5ab - 3bc + a2 - ab - 9bc + a3 =
(5 - 1) ab + (- 3 - 9)bc + a2 + a3 = 4ab -12bc + a2 + a3
Multiplicação
Para multiplicar a parte literal, usamos a propriedade do "repete-se a base e
soma-se os expoentes" para multiplicação de mesma base:
● (3x2 + 4xy) . (2x + 3) = 3x2 . 2x + 3x2 . 3 + 4xy . 2x + 4xy . 3 = 6x3 + 9x2 +
8x2y + 12xy
Divisão de um polinômio por um monômio
A divisão é feita dividindo os coeficientes do polinômio pelo coeficiente do
monômio. Na parte literal “repete-se a base e subtrai os expoentes”.
●
Equação do 1º Grau
Toda equação na variável x do tipo (ou redutível a) ax + b = 0 com a 0 e a,
b R é denominada equação polinomial do 1º grau em x.
● 3x - 6 = 0
● 3x = 6
●
● x = 2
Note que x = 2 o único valor de x que torna verdadeira a igualdade.
Inequação do 1º Grau
Conceito de desigualdade
Os símbolos de desigualdades: , >, < e toda sentença aberta (que possui
pelo menos uma variável) onde apareça uma desigualdade é uma
inequação.
a > b - a < - b
Ou seja, multiplicando-se ou dividindo-se uma desigualdade por um número
negativo "inverte-se o sentido" da desigualdade.
● 3x - 5 < x + 7
● 3x - x < 7 + 5
● 2x < 12
● x < 6
Equação do 2º Grau
É uma equação polinomial cujo termo de maior grau está elevado ao
quadrado, ou equação quadrática:
ax2 + bx + c = 0
O x é a incógnita e representa um valor desconhecido. Já as letras a, b e c
são chamadas de coeficientes da equação.
Os coeficientes são números reais e o coeficiente a tem que ser diferente de
zero, pois do contrário passa a ser uma equação do 1º grau.
Resolver uma equação de segundo Grau significa buscar valores reais de x,
que tornam a equação verdadeira. Esses valores são denominados raízes da
equação.
Equações do 2º Grau Completas e Incompletas
As equações do 2º grau completas são aquelas que apresentam todos os
coeficientes, ou seja a, b e c são diferentes de zero (a, b, c ≠ 0).
● 5x2 + 2x + 2 = 0 é completa, pois todos os coeficientes são diferentes de
zero (a = 5, b = 2 e c = 2).
Uma equação quadrática é incompleta quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0.
● 2x2 = 0 é incompleta, pois a = 2, b = 0 e c = 0.
Encontre o valor do x para que a área do retângulo abaixo seja igual a 2.
●
A área do retângulo é encontrada multiplicando-se a base pela altura.
● (x - 2) . (x - 1) = 2
Multiplicar todos os termos:
● x . x - 1 . x - 2 . x - 2 . (- 1) = 2
● x2 - 1x - 2x + 2 = 2
● x2 - 3x + 2 - 2 = 0
● x2 - 3x = 0
Encontramos uma equação incompleta do segundo grau, com c = 0.
Esse tipo de equação pode ser resolvida através da fatoração, pois o x se
repete em ambos os termos. Assim, iremos colocá-lo em evidência.
● x . (x - 3) = 0
Para o produto ser igual a zero, ou x = 0 ou (x - 3) = 0. Contudo, substituindo x
por zero, as medidas dos lados ficam negativas, portanto, esse valor não será
resposta da questão.
Então, temos que o único resultado possível é (x - 3) = 0:
● x - 3 = 0
● x = 3
O valor do x para que a área do retângulo seja igual a 2 é x = 3.
Fórmula de Bhaskara
Quando uma equação do segundo grau é completa, usamos a Fórmula de
Bhaskara para encontrar as raízes da equação.
Fórmula do Delta
Na fórmula de Bhaskara aparece a letra grega Δ (delta), que é a
discriminante da equação, pois de acordo com o seu valor é possível saber
qual o número de raízes que a equação terá.
Passo a Passo
1º Passo: Identificar os coeficientes a, b e c.
É importante saber identificar os coeficientes, independente da sequência em
que estão.
O coeficiente a é o número que está junto com o x2, o b é o número que
acompanha o x e o c é o termo independente, o número que aparece sem o
x.
2º Passo: Calcular o delta.
Para conhecer o valor do delta, substituímos as letras na fórmula pelos valores
dos coeficientes.
Se o valor de Δ for maior que zero (Δ > 0), a equação terá duas raízes reais e
distintas.
Se ao contrário, delta for menor que zero (Δ < 0), a equação não apresentaráraízes reais e se for igual a zero (Δ = 0), a equação apresentará somente uma
raiz.
3º Passo: Calcular as raízes.
Se o valor encontrado para delta for negativo, não precisa fazer mais nenhum
cálculo e a resposta será que a equação não possui raízes reais.
Caso o valor do delta seja igual ou maior que zero, devemos substituir todas as
letras pelos seus valores na fórmula de Bhaskara e calcular as raízes.
Determine as raízes da equação 2x2 - 3x - 5 = 0
● a = 2
● b = - 3
● c = - 5
Agora, podemos encontrar o valor do delta.
● Δ = (- 3)2 - 4 . (- 5) . 2 = 9 +40 = 49
Como o valor encontrado é positivo, encontraremos dois valores distintos para
as raízes. Assim, devemos resolver a fórmula de Bhaskara duas vezes:
●
●
Assim, as raízes da equação 2x2 - 3x - 5 = 0 são x = 5/2 e x = - 1.
Sistema de Equações do 2º Grau
Quando queremos encontrar valores de duas incógnitas diferentes que
satisfaçam simultaneamente duas equações, temos um sistema de equações.
Para resolver esse tipo de sistema podemos usar o método da substituição e o
método da adição.
●
Para resolver o sistema, podemos utilizar o método da adição.
●
Podemos ainda simplificar todos os termos da equação por 3 e o resultado
será a equação x2 - 2x - 3 = 0. Resolvendo a equação:
● Δ = 4 - 4 . 1 . (- 3) = 4 + 12 = 16
●
●
Depois de encontrar os valores do x, não podemos esquecer que temos ainda
de encontrar os valores de y que tornam o sistema verdadeiro, basta substituir
os valores encontrados para o x, em uma das equações.
● y1 - 6. 3 = 4
● y1 = 4 + 18
● y1 = 22
● y2 - 6 . (-1) = 4
● y2 + 6 = 4
● y2 = - 2
Os valores que satisfazem ao sistema proposto são (3, 22) e (- 1, - 2).
Equações Biquadradas
Equações biquadradas é uma equação escrita da seguinte forma geral: ax4 +
bx2 + c = 0. Para resolver (encontrarmos as sua raízes) é preciso transformá-las
em uma equação do segundo grau.
● y4 – 10y2 + 9 = 0 → equação biquadrada
● (y2)2 – 10y2 + 9 = 0 → também pode ser escrita assim.
Substituindo variáveis: y2 = x, isso significa que onde for y2 iremos colocar x.
● x2 – 10x + 9 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau
encontrando x` e x``
● a = 1
● b = -10
● c = 9
● ∆ = b2 – 4ac
● ∆ = (-10)2 – 4 . 1 . 9
● ∆ = 100 – 36
● ∆ = 64
● x = - b ± √∆
            2ª
x = -(-10) ± √64
             2 . 1
x = 10 ± 8
           2
x’ = 9
x” = 1
Essas são as raízes da equação x2 – 10x + 9 = 0, para encontrarmos as raízes da
equação biquadrada y4 – 10y2 + 9 = 0, devemos substituir os valores de x’ e x”
em y2 = x.
Para x = 9
● y2 = x
● y2 = 9
● y = ± √9
● y = ± 3
Para x = 1
● y2 = x
● y2 = 1
● y = ± √1
● y = ±1
Portanto, a solução da equação biquadrada é S = {-3, -1, 1, 3}.
Resolução de Problemas com Sistemas de Equações
1. A população de uma cidade A é três vezes maior que a população da
cidade B. Somando a população das duas cidades temos o total de
200.000 habitantes. Qual a população da cidade A?
Indicaremos a população das cidades por uma incógnita.
● Cidade A = x
● Cidade B = y
● x = 3y
● x + y = 200 000
Substituindo x = 3y:
● x + y = 200 000
● 3y + y = 200 000
● 4y = 200 000
● y = 200 000/4
● y = 50 000
x = 3y, substituindo y = 50 000:
● x = 3 * 50 000
● x = 150 000
População da cidade A = 150 000 habitantes
População da cidade B = 50 000 habitantes
2. Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um
pagamento de R$ 140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo
que no total foram 10 notas?
● x notas de 20 reais
● y notas de 5 reais
Equação do número de notas: x + y = 10
Equação da quantidade e valor das notas: 20x + 5y = 140
● x + y = 10
● 20x + 5y = 140
Aplicando o método da substituição e isolando x na 1ª equação:
● x + y = 10
● x = 10 - y
Substituindo o valor de x na 2ª equação:
● 20x + 5y = 140
● 20(10 – y) + 5y = 140
● 200 – 20y + 5y = 140
● - 15y = 140 – 200
● - 15y = - 60 (multiplicar por -1)
● 15y = 60
● y = 60/15
● y = 4
Substituindo y = 4:
● x = 10 – 4
● x = 6
3. Num aquário há 8 peixes, entre pequenos e grandes. Se os pequenos
fossem mais um, seria o dobro dos grandes. Quantos são os pequenos? E
os grandes?
● Pequenos: x
● Grandes: y
● x + y = 8
● x + 1 = 2y
Isolando x na 1ª equação:
● x + y = 8
● x = 8 - y
Substituindo o valor de x na 2ª equação:
● x + 1 = 2y
● (8 – y) + 1 = 2y
● 8 – y + 1 = 2y
● 9 = 2y + y
● 9 = 3y
● 3y = 9
● y = 9/3
● y = 3
Substituindo y = 3:
● x = 8 – 3
● x = 5
● Peixes pequenos: 5
● Peixes grandes: 3
● Descubra quais são os dois números em que o dobro do maior somado
com o triplo do menor dá 16, e o maior deles somado com quíntuplo do
menor dá 1.
● Maior: x
● Menor: y
● 2x + 3y = 16
● x + 5y = 1
Isolando x na 2ª equação:
● x + 5y = 1
● x = 1 – 5y
Substituindo o valor de x na 1ª equação:
● 2(1 – 5y) + 3y = 16
● 2 – 10y + 3y = 16
● - 7y = 16 – 2
● - 7y = 14 (multiplica por -1)
● 7y = - 14
● y = -14/7
● y = - 2
Substituindo y = - 2:
● x = 1 – 5 (-2)
● x = 1 + 10
● x = 11
Os números são 11 e -2.