AD1-GAII-2021-2

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AD1 - Geometria Anaĺıtica II - 2021.2
Considere um número real α 6= 0 e a transformação Hα que multiplica todos os vetores com ińıcio na
origem por α, isto é:
Hα : R3 −→ R3
P 7−→ Hα(P ) = P ′,
de forma que
−−→
OP ′ = α ·
−−→
OP .
Note que aqui estamos lidando, inicialmente, com dois contextos distintos. A transformação Hα é um
função do conjunto R3 nele mesmo que atribui imagens a pontos, isto é, leva o ponto P no ponto P ′.
Acontece que a propriedade que define a imagem P ′ está ligada aos vetores
−−→
OP e
−−→
OP ′ .
Vamos começar mostrando que Hα também pode ser pensada como uma função que atua nos vetores do
R3, ou seja que pega qualquer vetor (com ińıcio não necessariamente na origem) e o multiplica por α.
(a) [1 pt] Dados dois pontos A,B ∈ R3, considere A′ = Hα(A) e B′ = Hα(B). Mostre que
−−−→
A′B′ = α ·
−−→
AB
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Com o que acabamos de mostrar, podemos dizer que a função Hα leva qualquer vetor ~u em α ·~u, uma vez
que, independente do lugar no plano onde posicionamos este vetor ~u, a imagem das extremidades compre-
enderão o vetor α · ~u. Sendo assim, podemos agora trabalhar “em coordenadas” sem nos preocuparmos
se elas representam um ponto ou um vetor.
Hα(x, y, z) = (αx, αy, αz)
Vamos agora ver que Hα é uma transformação linear no R3, ou seja, que preserva a soma e o produto de
vetores por escalares. Lembre-se que agora podemos trabalhar com as coordenadas de Hα...
(b) [1 pt] Mostre que dados dois vetores ~u,~v ∈ R3 e um número real λ tem-se que
Hα(~u+ ~v) = Hα(~u) +Hα(~v)
Hα(λ · ~u) = λ ·Hα(~u)
Vamos avaliar as imagens de alguns objetos geométricos pela função Hα, começando pelas retas.
(c) [1 pt] Considere a reta r que passa pelo ponto A = (2, 3,−4) na direção do vetor ~u =
(1,−1,−7). Encontre uma parametrização para r, para Hα(r) e mostre que os vetores direção
das duas retas são linearmente dependentes.
Em geral, dada uma reta parametrizada ` : P + t~u, com t ∈ R, sua imagem pela função Hα pode ser
dada por
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Hα(`) = Hα(P + t~u)
= Hα(P ) +Hα(t~u) (linearidade)
= Hα(P ) + t ·Hα(~u) (linearidade)
= P ′ + t · α~u
Assim, a reta Hα(`) passa pelo ponto P
′ e tem a direção do vetor α~u, que é paralelo a ~u. Observe que
para α < 0, a reta será percorrida no sentido oposto.
(d) [1 pt] Considere, agora, o plano Π parametrizado por
Π :

x = 1 + 2t
y = −t
z = 1 + 5t+ 3s
, t, s ∈ R.
A imagem de Π pela função Hα é dada por
Hα(Π) :

x = α + 2αt
y = −αt
z = α + 5αt+ 3αs
, t, s ∈ R.
Mostre que Hα(Π) é um plano paralelo ou coincidente com Π.
(e) [2 pt] Generalize o item anterior para um plano qualquer Γ : P + t~u+ s~v, com t, s ∈ R.
Vamos analisar o caso das esferas: se começamos com uma esfera de centro C e raio r, como Hα multiplica
todas as dimensões por α, é natural esperar que sua imagem pela transformação Hα seja também uma
esfera de centro Hα(C) e raio |α|r.
(f) [1 pt] Sejam a, b, c ∈ R e considere a esfera S : (x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2. Mostre
que o conjunto H2(S) = {(2x, 2y, 2z) ; (x, y, z) ∈ S} é uma esfera.
(g) [2 pt] Seja E : x2 + (y − 1)2 + z2 = 1. Determine a posição relativa entre E e Hα(E). Há
diferenças nos casos α > 1, 0 < α < 1 e α < 0?
(h) [1 pt] Faça um esboço das esferas E e H−1/2(E). (Se quiser pode usar algum recurso
tecnológico para fazer a figura)
A função Hα definida aqui é chamada uma homotetia de centro na origem e razão α. No caso
de α > 1 dizemos que é uma dilatação, para 0 < α < 1 uma contração. Os casos em que α < 0 são
análogos, com o acréscimo de uma reflexão em relação à origem. Como vimos, ela é uma transformação
linear do espaço vetorial R3 e, uma consequência direta das coisas que vimos aqui é que ela pode ser
chamada também de uma semelhança de razão |α|, uma vez que ela multiplica todas as distâncias por
este fator. As semelhanças de razão |α| = 1 recebem ainda um nome especial, são chamadas isometrias,
já que nestes casos as distâncias são preservadas.
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