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π 8 S¯2=S S={(x,y)∈R2:x=y} S={(x,y)∈R2:x>y} S={(x,y)∈R2:x≤y} 7 OO OO OO OO OO OO 6 5 S´1=[2,4] S¯1=[2,4]U{5} (S1)=]-∞,2] U ]4,5[ U ]5,+∞[ S1=[2,4[ U {5}⊆R 4 3 Rp Rp Rp Rp ||x-y||G Ay∈Rp r>0,r∈R Ax∈G Rp Rp 2 S¯2=S S={(x,y)∈R2:x=y} S={(x,y)∈R2:x>y} S={(x,y)∈R2:x≤y} 1 ∈ 8 7 π2 π2 π π2 π ∑n=1∞(cos(nx)n2) π2 π π 6 5 1n3 ∑ (-1)n+1n ∑ 1n ∑ 1n2 ∑ 1n ∑ 4 3 ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ 2 1 A={x∈Q:x=(-1)nn-1,n∈N} 8 7 {x∈R;3x2-10x+3<0} 6 A={x∈R:x=nn+1,n∈N} 5 ≈ x3 ≈ x3 ≈ x3 x3 4 ∑n=1∞n(n+1)xn-1 ∑n=1∞n(n+1)xn-1 ∑n=1∞nxn-1 ∑n=1∞xn-1 ∑n=1∞(n+1)xn-1 3 2 1 7 6 5 4 3 2 ∑n=1∞|cosn|(3nn!) 1 8 7 6 5 ∑n=2∞1lnn ∑n=1∞|(-1)nlnn| ∑n=2∞1lnn ∑n=1∞|(-1)nlnn| ∑n=2∞1lnn ∑n=1∞|(-1)nlnn| ∑n=2∞1lnn ∑n=1∞|(-1)nlnn| ∑n=2∞1lnn ∑n=1∞|(-1)nlnn| ∑n=2∞(-1)nlnn 4 n2n+1 3 2 1 8 ∑n=1∞(2n+33n+2)n 7 6 5 4 3 2 ∑n=1∞(2nn!) 1 8 7 6 5 4 3 2 n2 n3 x 1 ∑n=1∞(1en) 8 7 6 5 4 3 2 ∑n=1∞(3nn!) 1 8 ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ 7 an=1-nn2 6 ∑n=1∞(k-1k2k) 5 4 ∑ 3 ∑n=1∞(1n3) 2 ∑n=1∞(1n2) 1 8 7 6 5 4 an ∑ an -1 limn→∞anbn limn→∞bn=∞ limn→∞an=-∞ an+bn bn an anbn→0 bn→∞ an→0 ∞ limn→∞anbn bn=n2+3 limn→∞an=∞ 3 2 m+n=m+p⇒n=p n=m+p ∃p∈N m=n+p ∃p∈N m=n m,n∈N n+m=m+n m+(n+p)=(m+n)+p 1 8 7 6 5 an ∑ an -1 limn→∞anbn limn→∞bn=∞ limn→∞an=-∞ an+bn bn an anbn→0 bn→∞ an→0 ∞ limn→∞anbn bn=n2+3 limn→∞an=∞ 4 3 2 1 FUNDAMENTOS DE ANÁLISE Questão Considerando o conjunto dos números naturais como N = {1, 2, 3, 4, 5,...}., podemos deduzir a teoria dos números naturais dos quatro axiomas de Peano. Um dos axiomas de Peano P1 é enunciado da seguinte forma. P1. Existe uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n. Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que Todo número natural é sucessor de algum numero natural. Todo número natural possui um sucessor, que pode não ser único, porém é um número natural. Certo Todo número natural possui um único sucessor, que também é um número natural. Todo número natural possui um sucessor que não é natural. Todo número natural possui um único sucessor, que pode não ser um número natural. Respondido em 02/12/2021 23:16:05 Questão Considere o conjunto dos números naturais: N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 4 axiomas de Peano. O segundo dos axiomas de Peano é P2. P2: s:N→N, é injetiva. Dados m,n∈N, temos que s(m)=s(n)⟹m=n Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que (I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais. (II) Números naturais diferentes possuem sucessores diferentes. (II) Existe um número natural que não possui um sucessor. Certo (I) e (II) (II) e (III) (II) (I) e (III) (III) Respondido em 02/12/2021 23:16:08 Questão Identificando cada propriedade formal da relação de ordem com seu nome, obtemos respectivamente, (I) se m(II) Dados m,n pertencentes a N, somente uma das três alternativas pode ocorrer: ou m=n ou mn (III) se m (I) Monotonicidade da Adição, (II) Comutativa e (III) Tricotomia. (I) Monotonicidade da Adição, (II) Tricotomia e (III) Transitividade. (I) Associativa, (II) Lei do Corte e (III) Tricotomia. (I) Tricotomia, (II) Transitividade e (III) Associativa. Certo (I) Transitividade, (II) Tricotomia e (III) Monotonicidade da Adição. Respondido em 02/12/2021 23:16:12 Questão Decida se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas: (1) Se limn→∞an=∞ e bn=n2+3 então limn→∞anbn= ∞ (2) Se an→0 e bn→∞ então anbn→0 (3) Se an e bn são ambas seqüências não convergentes, então a seqüência an+bn não converge. (4) Se limn→∞an=−∞ e limn→∞bn=∞ então limn→∞anbn= −1. (5) Se an converge então ∑an também converge. Todas são verdadeiras. As proposições (1), (4) e (5) são verdadeiras e as prosições (2) e (3) são falsas. As proposições (1), (2) e (3) são verdadeiras e as prosições (4) e (5) são falsas. Certo Todas são falsas As proposições (2) e (3) são verdadeiras e as prosições (1), (4) e (5) são falsas. Respondido em 02/12/2021 23:16:17 Questão Considerando o conjunto dos números naturais como N = {1, 2, 3, 4, 5,...}., podemos deduzir a teoria dos números naturais dos quatro axiomas de Peano. Um dos axiomas de Peano P1 é enunciado da seguinte forma. P1. Existe uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n. Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que Certo Todo número natural possui um único sucessor, que também é um número natural. Todo número natural possui um único sucessor, que pode não ser um número natural. Todo número natural possui um sucessor que não é natural. Todo número natural é sucessor de algum numero natural. Todo número natural possui um sucessor, que pode não ser único, porém é um número natural. Respondido em 02/12/2021 23:16:20 Questão Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos axiomas de Peano. Esta teoria estabelece a existência de uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n. (I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais, ou ainda, números naturais diferentes possuem sucessores diferentes. (II) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro. (III) Se um subconjunto de números naturais contém o número 1 e, além disso, contém o sucessor de cada um de seus elementos, então esse conjunto coincide com o conjunto dos Naturais N. Sobre estes axiomas, sobre esta função e sobre estas afirmativas é correto II e III somente. I e II somente. I somente. Certo I, II e III. I e III somente. Respondido em 02/12/2021 23:16:25 Questão Considere o conjunto dos números naturais: N = {1, 2, 3, 4, 5,...}. Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 4 axiomas de Peano. Considere o terceiro axioma de Peano abaixo. P3: N-s(N) consta de um só elemento. É somente correto afirmar que (I) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro. (II) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1≠s(n) para todo n∈N. (III) Todo elemento pertencente a N possui um único sucessor em N. (II) e (III) (II) (III) (I) e (III) Certo (I) e (II) Respondido em 02/12/2021 23:16:30 Questão Considere o resultado: Se m < n e n < p então m < p. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta dele. Se m < n então, temos que: n = m + k e p = n + r . Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto m < p. Se m > n e n < p então, temos que: n = m + k e p = n + r. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto m > p. Se m < n e n < p então, temos que: n = k e p = n + r. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto m < p. Certo Se m < n e n < p então, temos que: n = m + k e p = n + r. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto m < p. Se n < p então, temos que: n = m + k e p = n. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto m < p. Questão Identificando cada propriedade formal da adição de números naturais com seu nome, obtemos respectivamente, (I) m+(n+p)=(m+n)+p (II) n+m=m+n (III) Dados m,n∈N, somente uma das três alternativas pode ocorrer: m=n ou∃p∈N tal que m=n+p ou ∃p∈N tal que n=m+p . (IV) m+n=m+p⇒n=p (I) Comutativa, (II) Associativa, (III) Tricotomia e (IV) Lei do Corte. Certo (I) Associativa, (II) Comutativa, (III) Tricotomia e (IV) Lei do Corte. (I) Tricotomia, (II) Comutativa, (III) Associativa e (IV) Lei do Corte (I) Associativa, (II) Lei do Corte, (III) Tricotomia e (IV) Comutativa. (I) Lei do Corte, (II) Tricotomia, (III) Comutativa e (IV) Associativa. Respondido em 02/12/2021 23:17:23 Questão Identificando cada propriedade formal da relação de ordem com seu nome, obtemos respectivamente, (I) se m(II) Dados m,n pertencentes a N, somente uma das três alternativas pode ocorrer: ou m=n ou mn (III) se m Certo (I) Transitividade, (II) Tricotomia e (III) Monotonicidade da Adição. (I) Tricotomia, (II) Transitividade e (III) Associativa. (I) Associativa, (II) Lei do Corte e (III) Tricotomia. (I) Monotonicidade da Adição, (II) Comutativa e (III) Tricotomia. (I) Monotonicidade da Adição, (II) Tricotomia e (III) Transitividade. Respondido em 02/12/2021 23:17:27 Questão Decida se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas: (1) Se limn→∞an=∞ e bn=n2+3 então limn→∞anbn= ∞ (2) Se an→0 e bn→∞ então anbn→0 (3) Se an e bn são ambas seqüências não convergentes, então a seqüência an+bn não converge. (4) Se limn→∞an=−∞ e limn→∞bn=∞ então limn→∞anbn= −1. (5) Se an converge então ∑an também converge. As proposições (1), (4) e (5) são verdadeiras e as prosições (2) e (3) são falsas. As proposições (2) e (3) são verdadeiras e as prosições (1), (4) e (5) são falsas. Certo Todas são falsas As proposições (1), (2) e (3) são verdadeiras e as prosições (4) e (5) são falsas. Todas são verdadeiras. Respondido em 02/12/2021 23:17:36 Questão Considerando o conjunto dos números naturais como N = {1, 2, 3, 4, 5,...}., podemos deduzir a teoria dos números naturais dos quatro axiomas de Peano. Um dos axiomas de Peano P1 é enunciado da seguinte forma. P1. Existe uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n. Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que Todo número natural é sucessor de algum numero natural. Todo número natural possui um único sucessor, que pode não ser um número natural. Todo número natural possui um sucessor que não é natural. Todo número natural possui um sucessor, que pode não ser único, porém é um número natural. Certo Todo número natural possui um único sucessor, que também é um número natural. Respondido em 03/12/2021 09:25:40 Questão Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos axiomas de Peano. Esta teoria estabelece a existência de uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n. (I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais, ou ainda, números naturais diferentes possuem sucessores diferentes. (II) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro. (III) Se um subconjunto de números naturais contém o número 1 e, além disso, contém o sucessor de cada um de seus elementos, então esse conjunto coincide com o conjunto dos Naturais N. Sobre estes axiomas, sobre esta função e sobre estas afirmativas é correto I e II somente. Certo I, II e III. II e III somente. I somente. I e III somente. Respondido em 03/12/2021 09:25:44 Questão Considere o conjunto dos números naturais: N = {1, 2, 3, 4, 5,...}. Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 4 axiomas de Peano. Considere o terceiro axioma de Peano abaixo. P3: N-s(N) consta de um só elemento. É somente correto afirmar que (I) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro. (II) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1≠s(n) para todo n∈N. (III) Todo elemento pertencente a N possui um único sucessor em N. Certo (I) e (II) (II) e (III) (III) (II) (I) e (III) Respondido em 03/12/2021 09:25:46 Questão Considere o resultado: Se m < n e n < p então m < p. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta dele. Certo Se m < n e n < p então, temos que: n = m + k e p = n + r. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto m < p. Se m < n e n < p então, temos que: n = k e p = n + r. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto m < p. Se n < p então, temos que: n = m + k e p = n. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto m < p. Se m < n então, temos que: n = m + k e p = n + r . Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto m < p. Se m > n e n < p então, temos que: n = m + k e p = n + r. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto m > p. Respondido em 03/12/2021 09:25:48 Questão Considere o conjunto dos números naturais: N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 4 axiomas de Peano. O segundo dos axiomas de Peano é P2. P2: s:N→N, é injetiva. Dados m,n∈N, temos que s(m)=s(n)⟹m=n Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que (I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais. (II) Números naturais diferentes possuem sucessores diferentes. (II) Existe um número natural que não possui um sucessor. (II) e (III) (III) Certo (I) e (II) (I) e (III) (II) Questão Dada a série ∞∑n=1(1n2) , marque a alternativa que indica o limite superior da série e indica se ela é convergente ou divergente. A série é limitada superiormente por 1/2 e a série converge. A série é limitada superiormente por 3 e a série converge. Certo A série é limitada superiormente por 2 e a série converge. A série é limitada superiormente por 1 e a série converge A série não é limitada superiormente. Respondido em 03/12/2021 09:26:25 Questão Analise a convergência da ∞∑n=1(1n3) e informe se ela é convergente ou divergente, e o método utilizado para demonstrar. É uma p-série como p = -2 < 1 então afirmamos que a série é divergente. É uma p-série como p = 2 > 1 então afirmamos que a série converge. Certo É uma p-série como p = 3 > 1 então afirmamos que a série converge. É uma p-série como p = 1/2 < 1 então afirmamos que a série converge. É uma p-série como p = -3 < 1 então afirmamos que a série é divergente. Respondido em 03/12/2021 09:26:29 Questão Considere as seguintes afirmações sobre as séries infinitas: (I) Cada Sn é a soma parcial de ordem n. (II) Se não existe Limn→∞(Sn) = s, o número real s é chamado de soma da série. (III) Uma série ∑(an ) é convergente se a sua sequência de somas parciais {Sn } converge. Podemos afirmar que: Certo Somente as afirmativas I e III estão corretas. Somente as afirmativas I e II estão corretas. Somente a afirmativa II está correta. Somente a afirmativa I está correta. Somente as afirmativas II e III estão corretas. Respondido em 03/12/2021 09:26:36 Questão Marque a alternativa que prova corretamente que todo número é diferente do seu sucessor. Dado o número natural n, seja P(n): n ¹ s(n). P(1) é verdadeira. De fato: 1 ¹ s(1), já que 1 não é sucessor de número algum; em particular, 1 não é sucessor de si próprio. Hipótese de Indução. Supor P(n) verdadeira, ou seja, n ¹ s(n). Assim, a verdade de P(n) acarreta a verdade de P(s(n)). Dado o número natural n, seja P(n): n ¹ s(n). Etapa Indutiva. s(n) = s(s(n)), pois a função s : N ® N é injetiva. Mas a afirmação s(n) ¹ s(s(n) significa que P(s(n)) é verdadeira. Assim, a verdade de P(n) acarreta a verdade de P(s(n)). Pelo Princípio da Indução, todos os númerosnaturais gozam da propriedade P, ou seja, são diferentes de seus sucessores. Certo Respondido em 03/12/2021 09:26:42 Questão Seja a série ∞∑n=1(k−1k2k). Mostre se a serie é convergente ou divergente e determine o método utilizado para essa demonstração A série não converge e podemos demonstrar utilizando a série geométrica. A série converge e podemos demonstrar utilizando a série alternada. Certo A série converge e podemos demonstrar utilizando a série geométrica. A série diverge e podemos demonstrar utilizando a série alternada. A série converge e podemos demonstrar utilizando a série-p. Respondido em 03/12/2021 09:26:47 Questão Seja a sequência an=1−nn2. Dentre as opções abaixo, assinale aquela que representa os quatro primeiros termos da sequência. -3/16, 0, -2/9, -1/4 Certo 0, -1/4, -2/9, -3/16 1, 2/3, 5/6, 3/16 0, 1/4, 2/9, 3/16 0, -3/16, -2/9, -1/4 Respondido em 03/12/2021 09:26:51 Questão Marque a alternativa que apresenta corretamente a demonstração do Teorema: Se p é elemento mínimo de X, então esse elemento é único. Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X e q ∈X . Como p ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈X temos que p = q. Da mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos então esse elemento é único. Como p ∈X por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X. q ∈X é elemento máximo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q. Dado X contido em N, suponhamos por absurdo que existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X e q ∈X. Como p ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é maior do que qualquer elemento de X, e já que q ∈X, temos que p ≤ q. Da mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q. Certo Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X e q ∈X. Como p ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈X , temos que p ≤ q. Da mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X , temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q. Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X e q ∈X. Como p ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈X, temos que p > q. Da mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos que q ≤ p. Portanto, p = q. Respondido em 03/12/2021 09:26:55 Questão Considere a sequência infinita f:N*→ Q onde f (n) = 1/n . Podemos afirmar que: O conjunto imagem da função é não enumerável. O menor valor que a função assume é igual a 0,001. Certo O conjunto imagem da função é enumerável. f( n+1) ¿ f(n) pode ser positivo. maior valor que a função assume é igual a 2. Questão Analise a convergência da série ∞∑n=1(3nn!) Como o resultado do limite é 3 podemos concluir que a série é convergente. Como o resultado do limite é 2 podemos concluir que a série é divergente. Como o resultado do limite é 0 podemos concluir que a série é divergente. Certo Como o resultado do limite é 0 podemos concluir que a série é convergente. Como o resultado do limite é 2 podemos concluir que a série é convergente. Respondido em 03/12/2021 09:27:28 Questão Dentre os conjuntos abaixo relacionados , assinale o único que é finito : { x ∈ R : 3 < x < 5} Certo { x ∈ Z : 2 < x < 7} { x ∈ N : x > 7} { x ∈ Z : x > -3 } { x∈ R : x > 3} Respondido em 03/12/2021 09:27:32 Questão Se 0 < x < 1 , qual dos números abaixo é maior que x ? x . x . x -x x . x Certo √x 0,9 x Respondido em 03/12/2021 09:27:36 Questão Considere as afirmativas a seguir. (I) Se X é um conjunto finito então todo subconjunto Y de X é finito. (II) Não pode existir uma bijeção f: X-> Y de um conjunto finito X em uma parte própria Y C X. (III) Seja A C In. Se existir uma bijeção f: In-> A, então A=In . Com relação a elas, é correto afirmar Certo I, II e III. I e III somente. II somente. I e II somente. II e III somente. Respondido em 03/12/2021 09:27:38 Questão Se a e b são números naturais diferentes de zero , quantos são maiores que ab e menores que a(b+1)? Nenhum Um a + b -1 Certo a-1 b-1 Respondido em 03/12/2021 09:27:42 Questão Se a e b são números reais positivos e a.a > b.b , então: a é ímpar a < b a é par a = b Certo a > b Respondido em 03/12/2021 09:27:46 Questão Considere as afirmativas a seguir. (I) Se X é um conjunto finito então todo subconjunto Y de X é finito. (II) Não pode existir uma bijeção f: X-> Y de um conjunto finito X em uma parte própria Y C X. (III) Seja A C In. Se existir uma bijeção f: In-> A, então A=In . Com relação a elas, é correto afirmar II somente. Certo I, II e III. I e III somente. II e III somente. I e II somente. Respondido em 03/12/2021 09:27:50 Questão Analise a convergência da série ∞∑n=1(1en). Pelo teorema do confronto podemos afirmar que é convergente para 10. Pelo teorema do confronto podemos afirmar que a série é divergente. Certo Pelo teste da integral podemos afirmar que a série é convergente. Pela Regra de L´Hospital podemos afirmar que diverge. Pelo teste da integral podemos afirmar que a série é divergente. Questão Sabendo que a série 1/(n2) é convergente, então , por comparação podemos afirmar que a série convergente , dentre as opções será: 2n série 1/n 1/√x-2 1/n3 Certo série |sen n|/n2 Respondido em 03/12/2021 09:28:22 Questão Considere o resultado: Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então a ∙ 0 = 0. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do resultado. Suponhamos 1. 0 + 0 = 0 1, fech. 2. a . (0 + 0) = a . 0 2, distrib. 3. (a . 0) + 0 = a 3, fech 4. [(a . 0) + (a . 0)] +(a . 0) = (a . 0) + (a . 0) 4. assoc 5. (a . 0) + [(a . 0) +(a . 0)] = (a . 0) + (a . 0) 5, sim 6. (a . 0) = 0 Suponhamos 1. 0 + 0 = 0 1, fech. 2. a . (0 + 0) = a . 0 2, distrib. 3. (a . 0) + (a . 0) = a . 0 3, fech 4. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0) 4, sim 5. (a . 0) = 0 Suponhamos 1. 0 + 0 = 0 1, fech. 2. a . (0 + 0) = a . 0 2, fech 3. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0) 3. assoc 4. (a . 0) + [(a . 0) - (a . 0)] = (a . 0) - (a . 0) 4, sim 5. (a . 0) = 0 fech. 1. a . (0 + 0) = a . 0 1, distrib. 2. (a . 0) + (a . 0) = a . 0 fech 3. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0) 4. assoc 4. (a . 0) + [(a . 0) - (a . 0)] = (a . 0) 5, sim 5. (a . 0) = 0 Certo Suponhamos 1. 0 +0 = 0 1, fech. 2. a . (0 + 0) = a . 0 2, distrib. 3. (a . 0) + (a . 0) = a . 0 3, fech 4. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0) 4. assoc 5. (a . 0) + [(a . 0) - (a . 0)] = (a . 0) - (a . 0) 5, sim 6. (a . 0) = 0 Respondido em 03/12/2021 09:28:27 Questão Teste da Comparação Dadas as séries an e bn , an > 0; bn > 0 e an < bn , n, temos que Se a série bn converge então a série an converge. Se série an diverge então Série bn diverge. Analise o critério exposto acima e avalie entre as opções abaixo, a que não se enquadra nesse critério de convergência: O teste também se aplica se temos an < bn para todo n > no Certo Nunca utilizar séries geométricas e p-séries para servirem de comparação. Se an < bn e a série bn diverge nada podemos afirmar sobre a série an. Este teste é chamado teste do confronto ou comparação simples Se an < bn e a série an converge nada podemos afirmar sobre a série bn. Respondido em 03/12/2021 09:28:32 Questão O ínfimo do conjunto A = { (3+2n)/(3-2n) : n ∈ N} , é igual a : -8 -4 -5 Certo -7 -6 Respondido em 03/12/2021 09:28:35 Questão Se |x-2| < 3 , podemos afirmar que o valor do número real x pertence : { -1 , 5 } ] -1 , 5 ] Certo ] -1 , 5 [ [ -1 , 5 ] [ - 1 , 5 [ Respondido em 03/12/2021 09:28:38 Questão A equação |x-1| = |x| +1 não tem solução tem exatamente 4 soluções Certo tem uma infinidade de soluções tem somente duas soluções tem uma única solução Respondido em 03/12/2021 09:28:42 Questão Resolvendo a inequação |2x-5|<3 no conjunto dos números reais, encontramos para conjunto solução: ] 1 , 4 ] { 1 , 4 } [1 , 4 [ [ 1 , 4 ] Certo ] 1 , 4 [ b) ] 1 , 4 ] c)[1,4] d) {1,4} e) [1,4[ Respondido em 03/12/2021 09:28:46 Questão Para quaisquer x,y,z ∈ R, vale: |x-z|≤|y-z| |x-z|≤|z-y| |x-z|≤|x-y| |x-z|≥|x-y|+|y-z| Certo |x-z|≤|x-y|+|y-z| Questão Analise a convergência da série ∞∑n=1(2nn!). Como o valor do limite encontrado é 2, podemos concluir que a série converge. Como o valor do limite encontrado é 0, podemos afirmar nada. Como o valor do limite encontrado é 0, podemos concluir a série diverge. Como o valor do limite encontrado é 2, podemos concluir a série diverge. Certo Como o valor do limite encontrado é 0, podemos concluir a série converge. Respondido em 03/12/2021 09:29:18 Questão Analisando a série de termos positivos cujo o termo geral é n!/(2n+1)! conclui-se que a mesma : converge pois o lim an+1/an vale 1/3 Certo converge pois o lim an+1/an vale 0 converge pois o lim an+1/an vale 9/10 diverge pois o lim an+1/an vale 3/2 converge pois o lim an+1/an vale 0,2 Respondido em 03/12/2021 09:29:21 Questão Analisando a série de termos positivos cujo o termo geral é n!/(2n+1)! conclui-se que a mesma : diverge pois o lim an+1/an vale 3/2 converge pois o lim an+1/an vale 1/3 converge pois o lim an+1/an vale 9/10 Certo converge pois o lim an+1/an vale 0 converge pois o lim an+1/an vale 0,2 Respondido em 03/12/2021 09:29:24 Questão Dentre as opções abaixo a única que representa um número racional é: log 3 Certo √64 √7 log 256 ∛9 Respondido em 03/12/2021 09:29:28 Questão Verificando a série de termos positivos cujo o termo geral é n/ln(n)n/2 concluimos que a série: Certo converge pois o limite vale 0 converge pois o limite vale 1/10 nada se pode declarar poiis o limite vale 1 diverge pois o limite vale 7/2 converge pois o limite vale 0,9 Respondido em 03/12/2021 09:29:30 Questão Seja x um número real tal que -3 < 2x + 5 < 7 , podemos afirmar que x pertence ao intervalo. [ - 5 , 0 ] ] - 4 , 0 [ [ - 4 , 1 ] [ - 4 , 1 [ Certo ] - 4 , 1 [ Respondido em 03/12/2021 09:29:34 Questão Analise a convergência da série ∞∑n=1(2n+33n+2)n . Determine o limite de an quando n tende ao infinito e se a série converge ou diverge. O limite de an quando n tende a infinito será -2, portanto a série diverge. O limite de an quando n tende a infinito será 2, portanto a série converge. Certo O limite de an quando n tende a infinito será 2/3, portanto a série converge. O limite de an quando n tende a infinito será 3/2, portanto a série diverge. O limite de an quando n tende a infinito será òo, portanto a série diverge. Respondido em 03/12/2021 09:29:38 Questão Sejam a e b dois números ímpares .É correto afirmar que : a2 + b2 pode ser um número ímpar. a2 + b2 é sempre um número ímpar. a2 - b2 pode ser um número ímpar. Depende dos valores de a e b Certo a2 + b2 é sempre um número par. Não é um número real Questão A expressão (2n+3)/2n não é maior que 6. Sabendo que n é um número natural diferente de zero, podemos afirmar que a soma dos valores de n que atende as condições do problema é igual a : 3 4 Certo 6 7 5 Respondido em 03/12/2021 09:30:17 Questão Seja a sequência {5n/e2n}. Marque a alternativa que indica o limite da sequência quando n tende ao infinito. 5/2 5/e Certo 0 5 e Respondido em 03/12/2021 09:30:30 Explicação: Basta calcular o limite da função quando x tende a infinito. Questão Seja a sequência {n2n+1}. Marque a alternativa que indica o limite da sequência quando n tende ao infinito. Certo 1/2 3/2 1/3 2/3 1 Respondido em 03/12/2021 09:30:32 Explicação: Basta calcular o limite da função quando x tende a infinito. Questão Analise a convergência da série ∞∑n=2(−1)nlnn é. Pelo teste de Leibniz a série diverge, então ∞∑n=1∣∣∣(−1)nlnn∣∣∣ diverge e ∞∑n=21lnn diverge. Portanto, a série dada é condicionalmente convergente. Pelo teste de Leibniz a série converge, então ∞∑n=1∣∣∣(−1)nlnn∣∣∣ converge e ∞∑n=21lnn diverge. Portanto, a série dada é condicionalmente convergente. Pelo teste de Leibniz a série converge, entretanto ∞∑n=1∣∣∣(−1)nlnn∣∣∣ diverge e ∞∑n=21lnn converge. Portanto, a série dada é condicionalmente divergente. Certo Pelo teste de Leibniz a série converge, entretanto ∞∑n=1∣∣∣(−1)nlnn∣∣∣ diverge e ∞∑n=21lnn diverge. Portanto, a série dada é condicionalmente convergente. Pelo teste de Leibniz a série converge, entretanto ∞∑n=1∣∣∣(−1)nlnn∣∣∣ diverge e ∞∑n=21lnn diverge. Portanto, a série dada é condicionalmente convergente. Respondido em 03/12/2021 09:30:40 Questão As séries 1-1/2+1/2-1/3+1/3 - 1/4 +1/4 - 1/5+1/5 -..... e 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + 1/4.5 +.... convergem ? Sim , convergirão, tendo como o mesmo limite 1,5 Certo Sim , convergirão, tendo como o mesmo limite 1 Não convergirá Sim , convergirão, tendo como o mesmo limite 0,4 Sim , convergirão, tendo as séries como o limite 1 e limite 0 respectivamente. Respondido em 03/12/2021 09:30:43 Questão Se a e b são números naturais diferentes de zero , quantos são maiores que ab e menores que a(b+1)? Certo a-1 Um b-1 Nenhum a + b -1 Respondido em 03/12/2021 09:30:46 Questão Sendo a e b reais quaisquer e m um número real diferente de zero, então: a≥ b e a m ≥ b m → m≥ 1 Certo a < b , m >0 → a m < b m a > b e a m> b m → m = 1 a < b e a m < b m → m < 0 a ≥ b e a m ≤ b m → m < 0 Respondido em 03/12/2021 09:30:52 Questão Seja a sequência {`2n2/(5n2-3)`}. Marque a alternativa que indica o limite da sequência quando n tende ao infinito. 5/2 Certo 2/5 5 2 0 Respondido em 03/12/2021 09:30:57 Explicação: Basta calcular o limite da função quando x tende a infinito. Questão Analise a convergência da série ∞∑n=1|cosn|(3nn!). é divergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é absolutamente divergente. é divergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é absolutamente convergente. Certo é convergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é absolutamente convergente. é divergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é absolutamente convergente. não podemos afirmar nada. Respondido em 03/12/2021 09:31:28 Questão Se |x-3| = 5 então podemos afirmar que o número real x é igual a : Certo x = 8 e x = - 2 x = 3 x = 8 x = 2 x = -2 Respondido em 03/12/2021 09:31:30 Questão A equação |x-1| = |x| +1 tem somente duas soluções Certo tem uma infinidade de soluções tem exatamente 4 soluções não tem solução tem uma única solução Respondido em 03/12/2021 09:31:34 Questão A soma dos valores reais de x que são raízes da equação |2x+2| = 6x-18 é: Certo 7 8 6 9 5 Respondido em 03/12/2021 09:31:36 Questão Se |x| = |y| então é correto afirmar que x = y x = -y y < 0 x > 0 Certo x = y e x = -y Respondido em 03/12/2021 09:31:40 Questão Resolvendo a inequação |2x-5|<3 no conjunto dos números reais, encontramos para conjunto solução: { 1 , 4 } [ 1 , 4 ] ] 1 , 4 ] [1 , 4 [ Certo ] 1 , 4 [ b) ] 1 , 4 ] c)[1,4] d) {1,4} e) [1,4[ Respondido em 03/12/2021 09:31:44 Questão Analisando a convergência da série (-1)n+1[n+2/n(n+1)] a forma mais correta possível de concluir a classificação dessa série,quanto a convergência, é : convergente Certo condicionalmente convergente Análise inconcludente. divergente Absolutamente convergente Questão O ínfimo do conjunto A = ]-1,0] U [2,3[ é igual a : 0 Certo -1 -8 -6 2 Respondido em 03/12/2021 09:32:20 Questão Seja F um corpo ordenado e A um subconjunto de F limitado inferiormente. Com relação a noção de ínfimo de um conjunto é somente correto afirmar que (I) O ínfimo de A é a maior das cotas inferiores de A. (II) x ∈ F é ínfimo de A, se x for uma cota inferior de A, e se z for uma cota inferior de A então x<=z. (III) O ínfimo de A sempre pertence ao conjunto A. (III) (II) Certo (I) e (II) (I) e (III) (I) Respondido em 03/12/2021 09:32:23 Questão Encontre Dx (1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ...). ∞∑n=1(n+1)xn−1 , |x|< 1 ∞∑n=1xn−1 , |x|< 1 ∞∑n=1nxn−1 , |x|< 1 ∞∑n=1n(n+1)xn−1 , |x|> 1 Certo ∞∑n=1n(n+1)xn−1 , |x|< 1 Respondido em 03/12/2021 09:32:27 Questão Seja a função f(x) = 3√x. determine a aproximação por um polinômio de Taylor de grau 3 em a = 8. a aproximação será 3√x ≈ T2x Certo a aproximação será 3√x ≈ T3x a aproximação será T2x a aproximação será T3x a aproximação será 3√x ≈ T1x Respondido em 03/12/2021 09:32:31 Questão Seja A={x∈R:x=nn+1,n∈N}. Determinando o ínfimo e o supremo do conjunto A obtemos, respectivamente: -1 e 1/2 -1 e 1 Certo 1/2 e 1 0 e 1/2 0 e 1 Respondido em 03/12/2021 09:32:35 Explicação: A = [x pertence R / x = n / (n + 1), n pertence N} = [1/2, 1/3, 1/4, ...} Se 0 < n < n + 1, então 0 < n/(n + 1) < 1, para qualquer n pertence N. Zero é um minorante e 1 é um majorante de A. Com a extensão de A já podemos concluir que 1/2 é o ínfimo, pois não existe elemento menor em A que satisfaça a sentença da questão. Seja x = p/q, sendo p e q naturais, com x > 0 e 0 < p < q. Assim temos: p/q Daí 1 é o menor majorante de A, portanto 1 é o supremo de A. Questão Determine o supremo do conjunto E = {x∈R;3x2−10x+3<0}. Sup E = 2 Certo Sup E = 3 Sup E = 0 Sup E = 1/2 Sup E = 1/3 Respondido em 03/12/2021 09:32:41 Questão Considere os dois conjuntos A={y ∈ Q tal que 0Com relação a estes dois conjuntos e a teoria de cotas superiores, inferiores, supremos e infimos é somente correto afirmar que (I) SupA=1 e 1∈A (II) Sup A= Sup B (III) Inf B=-1 e 1/2 ∈B Certo (II) (III) (II) e (III) (I) e (III) (I) Respondido em 03/12/2021 09:32:43 Questão Seja A={x∈Q:x=(−1)nn−1,n∈N} O supremo e o ínfimo do conjunto dado A são respectivamente: Certo 1/2 e -1 1 e -1 1 e 0 1/2 e 0 0 e -1 Questão Analisando a série de termos positivos cujo termo geral é 1/raiz(n) , verifica-se que a série: converge para 1 Certo diverge converge para 1/3 converge para 0 converge para n Respondido em 03/12/2021 09:33:28 Questão Defina o Conjunto de Cantor. O Conjunto de Cantor F é a união dos conjuntos Fn, n ∈N, que são obtidos através da remoção sucessiva dos terços médios abertos. O Conjunto de Cantor F é a interseção dos conjuntos Fn, n ∈N que são obtidos através da adição sucessiva dos terços médios abertos. O Conjunto de Cantor F é a união dos conjuntos Fn, n ∈N , que são obtidos através da adição sucessiva dos terços médios abertos. O Conjunto de Cantor F é a união dos conjuntos Fn, n ∈N , que são obtidos através da remoção sucessiva dos terços médios fechados. Certo O Conjunto de Cantor F é a interseção dos conjuntos Fn, n ∈N, que são obtidos através da remoção sucessiva dos terços médios abertos. Respondido em 03/12/2021 09:33:33 Questão Indique, entre as opções abaixo, a série de Fourier de f(t) = t no intervalo [- 3,3]. Esboce o gráfico da função gerada pela série no conjunto dos números reais Certo f(x)= 6/pi somatório de sen( n.pi.t/3) [(-1)¿n+1]/n f(x)= 3/pi somatório de sen( n.t/3) [(-1)¿n+1]/n f(x)= 4/pi somatório de sen( n.pi.t/3) [(-1)¿n+1]/n f(x)= 7/pi somatório de sen( n.pi.t) [(-1)¿n+1]/n f(x)= 8/pi somatório de sen( n.pi.t/3) [(-1)¿n]/n Respondido em 03/12/2021 09:33:35 Questão Considere as seguintes séries: (a) ∑1n (série harmônica de ordem 1) (b) ∑1n2 (série harmônica de ordem 2) (c) ∑1√n (série harmônica de ordem 1/2) (d) ∑(−1)n+1n (série harmônica alternada) (e) ∑1n3 (série harmônica de ordem 3) Identifique as séries convergentes. (a), (b) , (c) (b) , (c) ,(e) (c) ,(d) ,(e) Certo (b) ,(d), (e) (b) , (c) ,(d) Respondido em 03/12/2021 09:33:42 Explicação: Basta verificar para cada série a definição de convergência. Questão Suponha que f(x) possui período 2. Determine a série de Fourier da função f(x). f(x) é a função k - π < t <0 e será -k se 0 Certo f(x) = -4k/π ( sen t+1/3 sen (3t)+1/5 sen(5t)+...) f(x) = -k/π( sen t+sen(5t)+⋯) f(x)= - 4k/π( sen t+sen (3t)+sen(5t)+⋯) f(x) = (sen t+1/3 sen (3t)+1/5 sen(5t)+⋯) f(x)= 4k/π( sen t+1/3 sen (3t)+1/5 sen(5t)+...) Respondido em 03/12/2021 09:33:45 Questão Seja a função = x2 se 0 < x < 2π, com f(x+ 2π) = f(x) para todo x real e sua série de Fourier definida como g(x) = (4π2)/3+ 4∞∑n=1(cos(nx)n2) -(π sen nx)/n . Analise a convergência em x = 0. Em x = 0 a série de Fourier converge para π2. Em x = 0 a série de Fourier converge para 2π. Certo Em x = 0 a série de Fourier converge para 2π2. Em x = 0 a série de Fourier diverge. Em x = 0 a série de Fourier diverge para 2 + π2. Respondido em 03/12/2021 09:33:50 Questão Desenvolva f (x) = cos(kx) , onde k é um inteiro, em série de Fourier, no intervalo (-pi,+pi) . f (x) = cos(x) . f (x) = cos(2x) . Certo f (x) = cos(kx) f (x) = cos(kx/2) . f (x) = ncos(kx) . Respondido em 03/12/2021 09:33:55 Questão Verifique se a sequência de intervalos encaixante In = [0,1/n), com n ∈N possui um ponto em comum. Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 1, ou seja,In = {1} Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 4, ou seja In = {4} Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 3, ou seja In = {3} Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 2, ou seja In = {2} Certo Há uma interseção entre a sequencia de intervalos, que é o número zero, ou seja, In = {0}. Questão Observe o conjunto S={(x,y)∈R2:x≤y} e as afirmativas referentes a ele. (I) Conjunto dos pontos exteriores de S: extS={(x,y)∈R2:x>y} (II) Conjunto dos pontos fronteira de S: fr S={(x,y)∈R2:x=y} (III) Fecho de S: ¯¯¯S2=S Com relação ao conjunto dado e as afirmativas, é correto I somente. II e III somente. I e II somente. I e III somente. Certo I, II e III. Respondido em 03/12/2021 09:34:34 Questão Dizemos que um conjunto G em Rp é um aberto em Rp se, Ax∈G, existe r>0,r∈R, tal que Ay∈Rp, ||x−y||G, em outras palavras, um conjunto G é aberto se todo ponto de G é centro de alguma bola aberta inteiramente contida em G. Com relação às propriedades dos conjuntos abertos, considere as afirmativas. (I) O vazio e todo o espaço Rp são abertos em Rp. (II) A interseção de dois abertos quaisquer é um aberto em Rp.. (III) A união de qualquer coleção de abertos é um aberto em Rp.. Com relação às afirmativas e as propriedades dos conjuntos abertos, é CORRETO I e II somente. II e III somente. II somente. Certo I, II e III. I e III somente. Respondido em 03/12/2021 09:34:38 Questão Seja L{4t2 - 3 cos t + 5 e- t} . Determine a Transformação de Laplace. Certo [8/s3] - [3s/(s2 + 1)] + [5/(s+1)], s > 0 - [3s/(s2+ 1)] + [5/(s+1)], s > 0 [1/s3] - [3s/(s2 + 1)], s > 0 [8/s3] - [s/(s2 + 1)] + [1/(s+1)], s > 0 [8/s3] - [5/(s+1)], s > 0 Respondido em 03/12/2021 09:34:43 Questão Com relação ao conjunto em questão e as afirmativas, é correto Considere as afirmativas abaixo que são relacionadas ao conjunto S1=[2,4[ U {5}⊆R. (I) Conjunto dos pontos exteriores de S: ext(S1)=]−∞,2] U ]4,5[ U ]5,+∞[ (II) Conjunto de pontos aderentes a S (fecho) de S: ¯¯¯S1=[2,4]U{5} (III) Conjunto dos pontos de acumulação de S: S´1=[2,4] Com relação ao conjunto em questão e as afirmativas, é correto II somente. I e II somente. Certo I, II e III . I e III somente. II e III somente. Respondido em 03/12/2021 09:34:48 Questão Seja o Problema de Valor Inicial y(t)- 3y(t)+2y(t)=4 e2t com condições iniciais y(0)=-3 e y (0)=5. Encontre a solução do problema sujeito as condições iniciais. y(t) = 4 e2t + 4 t e2t y(t) = -7et + 4 e2t Certo y(t) = -7et + 4 e2t + 4 t e2t y(t) = 3et + 5 e2t + 7 t e2t y(t) = et + e2t + 5t e2t Respondido em 03/12/2021 09:34:50 Questão Seja a função f(t) = cos t, determine se a função é de ordem exponencial em [0,OO). Certo A função f(t) = cos t é de ordem exponencial em [0, OO) pois para c = 1 e k = 0 temos |f(t)| =| cos t| ≤ cekt = 1, para todot > 0. função f(t) = sen t é de ordem exponencial em [0, OO) pois para c = 1 e k = 0 temos |f(t)| =| sen t| ≤ cekt = 1, para todot > 0. função f(t) = cos t2 não é de ordem exponencial em [0, OO) , pois para c = 0 e k = 0 temos |f(t)| =| cos t2| ≤ c e3t = 1, para todot > 0. função f(t) = cos 2t é de ordem exponencial em [0, OO) , pois para c = 3 e k = 10 temos |f(t)| =| cos 2t| ≤ c = 10, para todot > 0. função f(t) = cos t não é de ordem exponencial em [0, OO) , pois para c = 5 e k = 2 temos |f(t)| =| cos t| ≤ c =4, para todot > 0. Respondido em 03/12/2021 09:34:55 Questão Observe o conjunto S={(x,y)∈R2:x≤y} e as afirmativas referentes a ele. (I) Conjunto dos pontos exteriores de S: extS={(x,y)∈R2:x>y} (II) Conjunto dos pontos fronteira de S: fr S={(x,y)∈R2:x=y} (III) Fecho de S: ¯¯¯S2=S Com relação ao conjunto dado e as afirmativas, é correto I somente. I e III somente. I e II somente. II e III somente. Certo I, II e III. Respondido em 03/12/2021 09:35:02 Questão Seja f(x) é uma função onde assume o valor zero se - 5 < x < 0 e assumirá valor 3 se 0 < x < 5. f(x+10) = f(x) é sua série de Fourier definida como g(x) = (3/2) + (6/π) `sum_(n=1) ^oo 1/(2n-1)(sen(2n-1)πx/5)`. Determine a convergência da série de Fourier. A série de Fourier não satisfaz as condições de Dirichlet portanto não converge . Certo A série de Fourier converge para f(x) nos pontos de continuidade e para 3/2 nos pontos de descontinuidade (média dos limites laterais). A série de Fourier diverge para f(x) nos pontos de continuidade e para 3/2 nos pontos de descontinuidade (média dos limites laterais). A série de Fourier converge para f(x) nos pontos de continuidade e para 3 nos pontos de descontinuidade (média dos limites laterais). A série de Fourier converge para f(x) nos pontos de descontinuidade e para 3/2 nos pontos de continuidade (média dos limites laterais).
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