Resumo: Linguagem de Conjuntos - Cálculo Aplicado a Negócios

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Sabrina de Souza Ferreira – 2°Semestre Página 1 de 4 
 
Cálculo Aplicado a Negócios 
Linguagem de Conjuntos 
Conjuntos e Definições 
Conjunto: é caracterizado por uma lista, uma coleção 
ou uma relação de objetos de qualquer natureza. 
Todos os objetos que pertencem ao conjunto são 
chamados de elementos. Na matemática o conjunto 
mais comum é o conjunto de números. 
• Exemplos: capitais dos estados do Brasil, os 
números reais, alunos dos cursos de negócios de 
uma determinada universidade etc. 
Representação: normalmente os conjuntos são 
representados por letras maiúsculas do nosso alfabeto. 
 A, B, C, X, Y .... 
Elementos: são representados por letras minúsculas do 
nosso alfabeto. 
 a, b, c, x, y .... 
Quando um determinado elemento, chamado 
genericamente de x, pertence a um conjunto 
representado por X, temos: 
𝒙 ∈ 𝑿 
O entendimento que podemos ter dessa declaração é: 
“o elemento x pertence ao conjunto X”. 
Quando 𝒙 ∉ 𝑿 , isso significa que x não é um 
elemento do conjunto X. 
Seja 𝐴 = {𝒙|𝒙 é 𝒑𝒂𝒓} (lê-se: x, tal que x é par), isso 
significa que o conjunto A é formado por todos os 
números pares. Portanto, 2 ∈ 𝐴 e 𝟓 ∉ 𝑨. 
Um segundo conceito importante é o conceito de 
igualdade entre dois ou mais conjuntos. Dizemos que 
um conjunto é igual a um outro conjunto se ambos 
possuem os mesmos elementos. 
Se temos 𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓} e 𝑩 = {𝟓, 𝟒, 𝟑, 𝟐, 𝟏} . Os 
elementos de A e B, são os mesmos, portanto, é 
possível indicar que 𝑨 = 𝑩. 
O conjunto 𝐂 = {𝟏, 𝟐, 𝟐, 𝟑, 𝟑, 𝟒, 𝟒, 𝟓} , por sua vez, 
também possui os mesmos elementos que os 
conjuntos anteriores e, dessa forma, 𝑨 = 𝑩 = 𝑪. 
Perceba que a ordem em que os elementos aparecem 
dentro do conjunto não importa. 
Agora suponha um outro conjunto: 𝑫 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒} . 
Nesse caso, como 𝟓 ∉ 𝑫, isso implica que 𝑫 ≠ 𝑨. 
Na matemática é incomum definir todos os elementos 
de um conjunto, como foi feito nos conjuntos A, B e C. 
É mais comum representarmos o conjunto X por meio 
de uma determinada propriedade P. 
Um conjunto particularmente importante é o chamado 
conjunto vazio, ou nulo, representado por ∅ . O 
conjunto vazio não contém elementos. 
Todos os conjuntos são diferentes entre si. Vamos 
considerar os três conjuntos a seguir: 
• ∅ - Representa o conjunto vazio, pois não contém 
nenhum elemento. 
• {𝟎} – Representa o conjunto que não é vazio, pois 
existe um elemento dentro dele, o elemento zero. 
• {∅} - Representa o conjunto que não é vazio, pois 
dentro dele há o conjunto nulo. 
Vale ressaltar que o conjunto vazio está presente em 
todos os conjuntos, ou seja, ele é um subconjunto de 
qualquer conjunto. 
Quando cada elemento de um conjunto é também 
elemento de um outro conjunto, dizemos que esse 
primeiro conjunto é um subconjunto do segundo. 
• Exemplo: 𝑫 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒} 𝒆 𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓} 
Todos os elementos de D fazem parte do conjunto 
A, ou seja, D é um subconjunto de A. 
Essa relação pode ser escrita como 𝑫 ⊂ 𝑨, que 
também pode ser entendida como: “D está 
inserido/contido em A”. 
 
 
Uma noção importante é a de que qualquer conjunto é 
um subconjunto de si mesmo, ou seja, 𝑨 ⊂ 𝑨. 
Um subconjunto próprio ocorre quando 𝑫 ⊂ 𝑨 e 
𝑫 ≠ 𝑨 . Isso significa que todos os elementos do 
conjunto D são elementos do conjunto A, mas também 
significa que há pelo menos um elemento A em que 
não está em D. 
Relação de Pertinência: o elemento PERTENCE ao 
conjunto. Essa relação é entre um elemento e um 
conjunto. 
∈ = 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒 
∉ = 𝑛ã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒 
• 15 ∈ 𝐶 → 15 pertence a C. 
• 100 ∉ 𝐵 → 100 não pertence a B. 
 
 
A 
D 
Quando um conjunto não está 
contido em um outro conjunto, 
dizemos que 𝑨 ⊄ 𝑫. 
 
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Relação de inclusão: é estabelecido o um 
relacionamento entre dois conjuntos e não entre um 
elemento e outro conjunto (sempre virar o símbolo 
para o maior conjunto). 
⊂ = 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜/ 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 
⊄ = 𝑛ã𝑜 é 𝑢𝑚 𝑠𝑢𝑏𝑗𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜/𝑛ã𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 
⊃ = 𝑐𝑜𝑛𝑡é𝑚 
⊅ = 𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡é𝑚 
Considere 𝑨 = {𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆} 𝑒 𝑩 = {𝟎, 𝟐, 𝟒, 𝟔, 𝟖} 
• {𝑎, 𝑒} ⊂ 𝐴 → {𝑎, 𝑒} está contido em A. 
• {0,2,8} ⊂ 𝐵 → {0,2,8} está contido em B. 
• {1, 3, 5} ⊄ B → {1, 3, 5} não está contido em B. 
• {𝑎,𝑒, 𝑓} ⊄ A → {𝑎,𝑒, 𝑓} não está contido em A. 
• 𝐴 ⊃ {𝑎, 𝑒} → 𝐴 contém {𝑎,𝑒}. 
• 𝐵 ⊃ {0, 2, 8} → 𝐵 contém {0, 2, 8}. 
• 𝐴 ⊅ {𝑎, 𝑒, 𝑓} → 𝐴 não contém {𝑎,𝑒, 𝑓}. 
• 𝐵 ⊅ {1, 3, 5} → 𝐵 não contém {1, 3, 5}. 
Perceba que basta um elemento do conjunto não 
pertencer ao conjunto maior que não poderemos 
estabelecer uma relação de inclusão entre os dois 
conjuntos e, portanto, dizemos que um não está 
contido no outro. 
Um outro conceito importante é o de família de 
conjuntos. Define-se uma família de conjuntos quando 
todos os seus elementos são conjuntos. 
Exemplo: 𝑿 = {{𝟏, 𝟐}, {𝟑}, {𝟒, 𝟓}}. 
Para que uma família de conjuntos seja bem definida, 
não pode haver um elemento isolado dentro da família. 
Conjunto das partes (família de conjuntos): você pode 
juntar todos os subconjuntos de um conjunto para 
formar um novo conjunto. Esse novo conjunto 
formado é denominado conjunto das partes e é 
representado pelo símbolo ℘. 
Exemplo: os conjuntos das partes de 𝐴 = {𝑎, 𝑏} e de 
𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} são: 
℘(𝐴) = {{ },{𝑎},{𝑏},{𝑎, 𝑏}} 
℘(𝐵) = {{ },{𝑎},{𝑏},{𝑐},{𝑎, 𝑏},{𝑎, 𝑐},{𝑏, 𝑐},{𝑎, 𝑏, 𝑐}} 
Observe que ℘(𝐴) e ℘(𝐵) são conjuntos formados por 
outros conjuntos. 
Note ainda que a sua quantidade de elementos é 
exatamente a quantidade de subconjuntos calculada 
pela fórmula ℘(𝐀) = 𝟐𝒏. 
𝒏 → 𝒏° 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐. 
Um outro ponto que chamamos atenção é que, no 
conjunto das partes, listamos o conjunto vazio { } 
explicitamente com um dos seus elementos. 
 
Operações de Conjuntos 
As operações com conjuntos têm relação com as 
operações que realizamos com os números. As mais 
importantes são: união e intersecção de conjuntos. 
União (ou reunião): soma dos conjuntos apresentados, 
ou seja, funde/junta os conjuntos em um só. 
∪ = 𝑢𝑛𝑖ã𝑜 
Considere 𝐴 = {1,3,4,5,7} 𝑒 𝐵 = {2,6,8,9} 
• 𝑨 ∪ 𝑩 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗} 
Vale ressaltar que 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑩 ∪ 𝑨. 
Haverá casos em que os conjuntos possuirão um 
mesmo elemento e, quando for necessário fazer a 
união dos dois, você não precisará escrever duas vezes 
o elemento repetido. 
Intersecção: seleciona os elementos comuns entre os 
conjuntos. 
∩ = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐çã𝑜 
Temos que 𝑋 = {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷} e 𝑍 = {𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸}. Os 
elementos em comum são 𝐵, 𝐶 𝑒 𝐷b e formam o 
conjunto intersecção: 
• 𝑿 ∩ 𝒁 = {𝑩, 𝑪, 𝑫}. 
Informação importante: observe os conjuntos 𝑨 =
{𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕} 𝑒 𝑩 = {𝟐, 𝟒, 𝟔, 𝟖}. 
A é o conjunto dos números ímpares e B o conjunto dos 
números pares. Os conjuntos que não possuem 
elementos em comum, são chamados de são 
disjuntos. Isso implica que 𝑨 ∪ 𝑩 = ∅. 
Conjunto Complementar: quando falamos de um 
determinado conjunto, normalmente estamos 
destacando determinado grupo dentro de um 
universo maior. Quando estamos falando de conjunto 
universo, um novo conceito surge: o conjunto 
complementar. 
Para determinar o complementar de qualquer 
conjunto, é de fundamental importância conseguir 
identificar qual é o conjunto universo. 
A notação utilizada para representar o complementar 
de um conjunto 𝑋 é 𝑿𝒄 ou 𝑿 . Representamos o 
conjunto complementar com esse "expoente" 𝐶 ou 
uma barra em cima. 
Temos que o conjunto complementar 𝑿𝒄 é formado 
por tudo que está no conjunto universo, mas não está 
em X. 
 
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Exemplo: 
𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒} 
𝑩 = {𝟒, 𝟓, 𝟔} 
𝑼 = {𝟏, … , 𝟏𝟎} 
 
 
• 𝑨𝑪 = {𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎} 
• 𝑩𝑪 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎} 
• (𝑨𝑼𝑩)𝑪 = {𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎} 
• (𝑨 ∩ 𝑩)𝑪= {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎} 
Uma lei bastante importante que nós temos dentro da 
Linguagem de Conjuntos é a chamada Lei de Morgan, 
que tem duas versões. 
• A primeira dela diz o seguinte: 
 (𝑨 ∪ 𝑩)𝑪 = 𝑨𝑪 ∩ 𝑩𝑪 
 
• Já a segunda versão afirma que: 
 (𝑨 ∩ 𝑩)𝑪 = 𝑨𝑪 ∪ 𝑩𝑪 
 
Somatório 
∑ 𝒂𝒊 
𝟑
𝒊=𝟏
. 𝒃𝒊 = 𝟗𝟎 
 
(𝒂𝟏 . 𝒃𝟏) + (𝒂𝟐 . 𝒃𝟐) + (𝒂𝟑 . 𝒃𝟑) 
(𝟏𝟎 . 𝟐) + (𝟐𝟎 . 𝟐) + (𝟑𝟎 . 𝟏) 
𝟐𝟎 + 𝟒𝟎 + 𝟑𝟎 
𝟗𝟎 
Cálculo da Inflação 
Inflação: é um processo econômico que consiste em 
um aumento persistente e generalizado de preços de 
bens e serviços em um determinado período de tempo. 
Causas: 
• aplicação de impostos; 
• cartéis ou monopólios; 
• custos de produção; 
• produção baixa; 
• consumo exagerado; 
• clima desfavorável. 
Para medir aumento ou diminuição de preços 
praticados sobre produtos e serviços, temos o 
chamados indicadores de inflação responsáveis por 
demonstrar o comportamento dos preços. 
No Brasil os seis principais índices de inflação mais 
usados para pesquisas são: 
• IGP-DI (Índice Geral de Preços – Disponibilidade 
Interna): Calculado pela Fundação Getúlio Vargas 
(FGV), apura os preços mensais de todo o processo 
produtivo: matérias-primas agrícolas e industriais, 
produtos intermediários e bens e serviços finais e 
preços de construção. É parte da cesta que corrige 
os preços de telefonia. 
• IGP-M (Índice Geral de Preços - Mercado): 
Semelhante ao IGP-DI, verifica os preços do 
comércio no atacado, no varejo e na construção 
civil, pesquisados entre o dia 21 do mês anterior e 
20 do mês de referência. É usado na correção de 
contratos de aluguel e tarifas de serviços públicos. 
• IPCA (Índice Nacional de Preços ao Consumidor 
Amplo): Calculado pelo IBGE, aponta 
mensalmente a variação do custo de vida médio 
de famílias com renda mensal entre 1 e 40 
salários-mínimos das 11 principais regiões 
metropolitanas do país. Os preços coletados em 
mais de 28 mil comércios visitados pelos 
pesquisadores. 
• INPC (Índice Nacional de Preços ao Consumidor): 
Semelhante ao IPCA, ele verifica a variação do 
custo médio das famílias com rendimento familiar 
entre 1 e 5 salários-mínimos. Indica as variações 
de preços nos grupos mais sensíveis, que gastam 
todo rendimento em consumo corrente 
(alimentação, remédio etc.) 
• IPC-S (Índice de Preços ao Consumidor Semanal): 
Verifica preços de 388 itens a cada 10 dias. Donas 
de casa treinadas pesquisam preços de 
alimentação no domicílio, produtos de limpeza, 
higiene e serviços; e funcionários da FGV fazem 
consulta mensal de bens e serviços da cesta básica 
do IPC. 
• IPC-Fipe: Calcula semanalmente os preços de 468 
itens consumidos por famílias de que recebem 
entre 0 e 10 salários na cidade de São Paulo. 
Fonte: http://g1.globo.com/economia/inflacao-como-
emedida-platb 
O caminho para obter o cálculo da inflação 
1. Agentes de pesquisa do IBGE coletam informações 
para saber quais preços são mais relevantes para 
um consumidor típico. 
2. Com base nessa pesquisa temos a definição dos 
produtos da cesta. 
3. Pesquisadores vão a campo para coletar os preços 
dos produtos da cesta. 
Dados 
i a b 
1 10 2 
2 20 2 
3 30 2 
http://g1.globo.com/economia/inflacao-como-emedida-platb
http://g1.globo.com/economia/inflacao-como-emedida-platb
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4. A próxima etapa é calcular o custo da cesta. 
5. Por fim calcula-se a variação percentual do custo 
da cesta. Considerando o período atual com o 
custo da cesta do mês passado. 
Com a alta dos preços podemos citas os impactos na 
economia: 
• Perda de poder de compra da população; 
• Redução geral no consumo; 
• Redução na expectativa de vendas das 
empresas; 
• Economia pode ser vista como instável e 
consequentemente ocorrem menos 
investimentos no país; 
• Desvalorização da moeda; 
• Aumento de taxas de juros; 
• Concentração de renda. 
Referências 
OLIVEIRA, C. A. M. de. Matemática. Curitiba: Editora 
InterSaberes, 2016. 
YAMASHIRO, S.; SOUZA, S. A. O. Matemática com aplicações 
tecnológicas. São Paulo: Bluscher, 2014 
Prof. Francisco Rebouças. Estratégia Concursos – Aula 
00 Matemática 2021 
Estratégia Concursos. Aula 00 (Prof. Francisco Rebouças). 
14 de ago. 2021. Disponível em: 
https://d3eaq9o21rgr1g.cloudfront.net/aula-temp/1488657/0/curso-
173652-aula-00-prof-francisco-reboucas-6d02-
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