AOL 2 Cálculo Integral

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1. Pergunta 1 
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Os conhecimentos acerca do significado geométrico das operações de 
derivada e integral são muito úteis para resolvermos uma série de 
problemas difíceis de aplicações práticas em Engenharia. Mensurar áreas e 
encontrar a inclinação da reta tangente são funções de derivadas e 
integrais. Saber distingui-las é essencial. 
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica dos 
conceitos estudados em Cálculo Diferencial e integral, associe os itens a 
seguir com seus respectivos significados: 
1. Integral definida. 
2. Limites fundamentais. 
3. Derivada da função no ponto. 
4. Diferencial. 
( ) São expressões algébricas para as quais temos um resultado 
notavelmente conhecido. 
( ) Área abaixo da curva em uma região delimitada. 
( ) É uma parte infinitesimal de uma variável. 
( ) Coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
1, 4, 2, 3. 
2. 
1, 2, 3, 4. 
3. 
1, 2, 4, 3. 
4. 
3, 4, 2, 1. 
5. 
2, 1, 3, 4. 
2. Pergunta 2 
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O estudo do Cálculo fornece ferramentas matemáticas importantes para 
inúmeras áreas do conhecimento, principalmente a Física. Ele auxilia no 
estudo das leis horárias que descrevem movimentos de partículas e corpos, 
possibilitado a integração e derivação de algumas funções, de modo a 
propiciar o descobrimento de uma nova informação. 
Considere que a derivada da equação horária do movimento S’(t) é igual à 
equação horária da velocidade v(t), e a derivada segunda da equação 
horária do movimento S’’(t) é a equação horária da aceleração a(t). De 
acordo com essas informações e com seus conhecimentos sobre derivação, 
analise as afirmativas a seguir: 
I. A derivada de f(x)*g(x) é igual a 2sen(2x) − cos(x). 
II. A derivada de h(x) é h’(x) = sen(2x). 
III. f’(x) = −cos(x), pois a derivada de cos(x) é −sen(x). 
IV. A derivada de i(x) é i’(x) = 3x² + 2sen(2x) + 9sen(3x). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
II e IV. 
2. 
I, II, III. 
3. 
III e IV. 
4. 
I, III e IV. 
5. 
I, II, III. 
3. Pergunta 3 
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Intuitivamente, ao imaginar uma divisão por um número muito pequeno, 
podemos constatar que, quanto menor o denominador, maior o resultado 
dessa divisão, pois menor seria o número de parcelas dessa divisão. No 
Ensino Superior, nas disciplinas de Cálculo, estudamos isso através dos 
limites, onde aproximamos nossas funções para um ponto em que x tende a 
algum valor (nesse caso, a zero). No entanto, algumas funções apresentam 
indeterminações ao realizar o cálculo do limite, e para fugir dessas 
indeterminações adotamos a regra de L’Hospital, que utiliza a derivada das 
funções para o cálculo do limite desconhecido. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre derivadas e a 
regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir: 
I. O limite de x/e^x, com x tendendo a zero, é igual a 1. 
II. O limite de (x+sen(x))/(x²-sen(x)), com x tendendo a zero, é igual a −2. 
III. O limite e^(x)/x², quando x tende a mais infinito, é igual a mais infinito. 
IV. A regra de L’Hospital é aplicável somente nos casos em que existe uma 
indeterminação, não podendo ser aplicada a qualquer caso, pois poderia 
gerar respostas incorretas. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II, III e IV. 
2. 
I, II, III. 
3. 
III e IV. 
4. 
II, III e IV. 
5. 
II, e IV. 
4. Pergunta 4 
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O estudo do cálculo diferencial e integral é repleto de interpretações 
geométricas acerca das curvas de funções. A inclinação da reta tangente à 
curva é definida pela derivada da função, e a integral da função mensura a 
área abaixo da curva que a descreve. 
Considerando as funções f(x) = 2x + 2, g(x) = x²−2x+1, h(x) = sen(x), e com 
base nos seus conhecimentos acerca de funções e interpretação geométrica 
dos conceitos estudados em cálculo diferencial e integral, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) 
falsa(s). 
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em qualquer 
ponto é igual a 2. 
II. ( ) A integral de g(x) no intervalo de 0 a 2 equivale à área definida pelo 
eixo Ox, pelas retas y = 0, y = 2 e pelo gráfico de g(x). 
III. ( ) h(x) é uma função. 
IV. ( ) Adotando z(x) = g(x) + h(x), z(x), ainda seria integrável. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
V, V, F, F. 
2. 
V, F, V, F. 
3. 
V, V, V, F. 
4. 
F, F, V, V. 
5. 
V, F, V, V. 
5. Pergunta 5 
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Ter pleno conhecimento do limite fundamental trigonométrico e de como 
aplicá-lo através de manipulações das expressões matemáticas pode salvar 
muito tempo durante a resolução de exercícios, já que nem sempre é prático 
deduzir todos os resultados decorrentes da manipulação de funções 
trigonométricas, de forma que este limite e a regra de L’Hospital servem 
como importantes ferramentas para resolver limites que recorrem em 
indeterminações do tipo 0/0 ou infinito/infinito em poucos passos. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o limite 
fundamental trigonométrico e a regra de L’Hospital, analise as afirmativas a 
seguir. 
I. O limite de tg(x²)/x, quando x tende a zero, é igual a zero. 
II. A derivada de sen(5x)cos(3x) é 5cos(3x)cos(5x) − 3sen(3x)sen(5x). 
III. O limite de sen(mx)/nx, quando x tende a zero, é igual a m/n. 
IV. A derivada de cos(5x)sen(3x) é 3cos(3x)cos(5x) − 5sen(3x)sen(5x). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II, III e IV. 
2. 
II e III. 
3. 
I e IV. 
4. 
I, II e III. 
5. 
I, II e IV. 
6. Pergunta 6 
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O cálculo está muito associado com a ideia de zero e do infinito e, para lidar 
com esses conceitos, muitas vezes faz-se uso de instrumentos e temas 
sofisticados. O próprio limite é um desses conceitos referenciados, pois 
consegue explorar com perfeição a ideia de proximidade e, com isso, 
proporciona inúmeros ganhos ao conhecimento humano, assim como o 
conceito e instrumento matemático chamado de diferencial. 
Considerando essas informações e os estudos sobre o conceito de 
diferencial, pode-se afirmar que ele é relevante porque: 
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1. 
relaciona uma função trigonométrica com sua função inversa. 
2. 
é útil na aplicação da regra de L’Hospital. 
3. 
é pouco útil para a fundamentação do cálculo. 
4. 
está relacionado com a ideia de infinitésimo. 
5. 
torna dispensável o uso do limite. 
7. Pergunta 7 
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A Regra de L’Hospital contribui para a solução de algumas categorias de 
indeterminações. Com essa regra tenta-se resolver o que não é solucionável 
apenas com a aplicação de um limite. Ela pode ser aplicada, também, 
inúmeras vezes, caso as indeterminações se mantenham, até o momento em 
que cessam. 
Considerando essas informações e com base em seus conhecimentos sobre 
a regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s): 
I. ( ) Indeterminações do tipo 1/0 podem ser resolvidas por essa regra. 
II. ( ) Em determinações do tipo 0/0, pode-se utilizar a regra de L’Hospital. 
III. ( ) Em determinações do tipo infinito/infinito, pode-se utilizar a regra de 
L’Hospital. 
IV. ( ) A sua aplicação envolve um processo de integralização. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
V, V, F, V. 
2. 
V, V, V, F. 
3. 
F, F, F, V. 
4. 
F, F, V, V. 
5. 
F, V, V, F. 
8. Pergunta 8 
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Saber calcular o valor de uma derivada é fundamental para o estudo de 
cálculo integral, já que este valor possui um significado prático para análise 
da curva do gráfico de uma determinada função que indica uma taxa de 
variação instantânea. Isso pode significar encontrar uma taxa de variação 
referente a outra função ou algo similar, o que implica na possibilidade de 
se aplicar a operaçãoreversa à derivada. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integral 
indefinida, pode-se afirmar que aplicar a operação inversa à derivada é 
relevante porque: 
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1. 
elimina indeterminações em que a regra de L’Hospital falha. 
2. 
passa a ser possível derivar outros tipos de funções. 
3. 
vale para qualquer tipo de função e intervalo. 
4. 
tem uma interpretação geométrica diferente da derivada. 
5. 
permite determinar a função primitiva de uma derivada, ou 
seja, a função que a gerou. 
9. Pergunta 9 
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O círculo trigonométrico é objeto de estudo da humanidade desde os povos 
antigos. Existem inúmeras relações presentes nesse objeto, tal como a 
relação fundamental trigonométrica, que relaciona os quadrados do seno e 
cosseno com o raio unitário do círculo trigonométrico, entre outras. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o limite 
fundamental trigonométrico e acerca dessas relações, analise as afirmativas 
a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s): 
I. ( ) é uma relação trigonométrica. 
II. ( ) é uma relação trigonométrica. 
III. ( ) A tg(x) pode ser escrita em função do sen(x) e cos(x). 
IV. ( ) cos(x) e sen(x) são equivalentes. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, F, V, F. 
2. 
F, F, V, V. 
3. 
V, F, F, F. 
4. 
V, V, V, F. 
5. 
V, F, V, V. 
10. Pergunta 10 
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O conhecimento acerca dos métodos de derivação é muito útil para 
encontrar retas tangentes e taxas de variações. Derivar funções 
trigonométricas é fundamental para o prosseguimento dos estudos no 
Cálculo, já que existem diversas aplicações reais dos conceitos aprendidos 
nesta disciplina, como na modelagem de sistemas harmônicos simples e de 
correntes alternadas, por exemplo. 
Considerando essas informações e com base nos seus conhecimentos acerca 
das derivadas trigonométricas, associe as funções a seguir com suas 
respectivas características: 
1) f(x) = sen(x). 
2) f(x) = cos(x). 
3) f(x) = tg(x). 
4) f(x) = sec(x). 
( ) Sua derivada segunda é f(x)*(-1). 
( ) Sua derivada é 
( ) Sua derivada terceira é sen(x). 
( ) Sua derivada é sec²(x). 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
2, 1, 3, 4. 
2. 
1, 4, 2, 3. 
3. 
4, 2, 1, 3. 
4. 
1, 3, 2, 4. 
5. 
4, 1, 2, 3.