AOL 3 - Calculo integral

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Avaliação On-Line 3 (AOL 3) - Questionário 
Conteúdo do teste 
 
Pergunta 1 
1 ponto 
De acordo com Teorema Fundamental do Cálculo, sabemos que a integral e a derivada são 
operações contrárias. As integrais indefinidas são extremamente importantes para a 
determinação da função primitiva F(x), que é obtida realizando a integração da função de 
interesse f(x), sendo que, da mesma forma, derivando-se a primitiva F(x), obtemos novamente 
a f(x). 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de integrais definidas, analise 
as afirmativas a seguir. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
a) II e III. 
b) I, II e III. 
c) II, III e IV. 
d) I e IV. 
e) I, III e IV. 
 
 
Pergunta 2 
1 ponto 
O conhecimento acerca dos métodos de derivação é muito útil para encontrar retas tangentes 
e taxas de variações. Derivar funções trigonométricas é fundamental para o prosseguimento 
dos estudos no Cálculo, já que existem diversas aplicações reais dos conceitos aprendidos 
nesta disciplina, como na modelagem de sistemas harmônicos simples e de correntes 
alternadas, por exemplo. 
 
Considerando essas informações e com base nos seus conhecimentos acerca das derivadas 
trigonométricas, associe as funções a seguir com suas respectivas características: 
 
1) f(x) = sen(x). 
2) f(x) = cos(x). 
3) f(x) = tg(x). 
4) f(x) = sec(x). 
 
( ) Sua derivada segunda é f(x)*(-1). 
( ) Sua derivada é 
( ) Sua derivada terceira é sen(x). 
( ) Sua derivada é sec²(x). 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
a) 1, 3, 2, 4. 
b) 4, 1, 2, 3. 
c) 4, 2, 1, 3. 
d) 2, 1, 3, 4. 
e) 1, 4, 2, 3. 
 
 
Pergunta 3 
1 ponto 
O estudo do cálculo diferencial e integral é repleto de interpretações geométricas acerca das 
curvas de funções. A inclinação da reta tangente à curva é definida pela derivada da função, e 
a integral da função mensura a área abaixo da curva que a descreve. 
Considerando as funções f(x) = 2x + 2, g(x) = x²−2x+1, h(x) = sen(x), e com base nos seus 
conhecimentos acerca de funções e interpretação geométrica dos conceitos estudados em 
cálculo diferencial e integral, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) 
e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( F) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em qualquer ponto é igual a 2. 
II. ( ) A integral de g(x) no intervalo de 0 a 2 equivale à área definida pelo eixo Ox, pelas retas y 
= 0, y = 2 e pelo gráfico de g(x). 
III. (V ) h(x) é uma função. 
IV. ( ) Adotando z(x) = g(x) + h(x), z(x), ainda seria integrável. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
a) V, F, V, V. 
b) V, F, V, F. 
c) F, F, V, V. 
d) V, V, F, F. 
e) V, V, V, F. 
 
Pergunta 4 
1 ponto 
Os conhecimentos acerca do significado geométrico das operações de derivada e integral são 
muito úteis para resolvermos uma série de problemas difíceis de aplicações práticas em 
Engenharia. Mensurar áreas e encontrar a inclinação da reta tangente são funções de 
derivadas e integrais. Saber distingui-las é essencial. 
 
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica dos conceitos 
estudados em Cálculo Diferencial e integral, associe os itens a seguir com seus respectivos 
significados: 
 
1. Integral definida. 
2. Limites fundamentais. 
3. Derivada da função no ponto. 
4. Diferencial. 
( 2) São expressões algébricas para as quais temos um resultado notavelmente conhecido. 
(1 ) Área abaixo da curva em uma região delimitada. 
( 3) É uma parte infinitesimal de uma variável. 
( 4) Coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
a) 2, 1, 3, 4. 
b) 1, 2, 4, 3. 
c) 1, 4, 2, 3. 
d) 3, 4, 2, 1. 
e) 1, 2, 3, 4. 
 
 
Pergunta 5 
1 ponto 
O círculo trigonométrico é objeto de estudo da humanidade desde os povos antigos. Existem 
inúmeras relações presentes nesse objeto, tal como a relação fundamental trigonométrica, 
que relaciona os quadrados do seno e cosseno com o raio unitário do círculo trigonométrico, 
entre outras. 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o limite fundamental 
trigonométrico e acerca dessas relações, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeiras e F para a(s) falsa(s): 
 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
a) F, F, V, V. 
b) V, F, F, F. 
c) V, V, V, F. 
d) V, F, V, F. 
e) V, F, V, V. 
 
Pergunta 6 
1 ponto 
A regra de L’Hospital é uma ferramenta matemática muito importante para a resolução de 
inúmeros limites. Ela permite a eliminação de certos tipos de indeterminações, apenas 
derivando o numerador e o denominador de uma função que é escrita em forma de razão. 
Considerando as funções f(x) = sen(5x), g(x) = tg(x), h(x) = x, i(x) = 2x², e com base nos seus 
conhecimentos acerca da regra do limite fundamental trigonométrico e da regra de L’Hospital, 
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) O limite de f(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 5. 
II. ( ) O limite de i(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 2. 
III. ( ) O limite de g(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 1. 
IV. ( ) O limite de h(x)/i(x), quando x tende a mais infinito, é igual a 0. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
a) V, F, V, F. 
b) F, F, V, V. 
c) F, V, F, F. 
d) V, F, F, V. 
e) V, F, V, V. 
 
 
Pergunta 7 
1 ponto 
O cálculo está muito associado com a ideia de zero e do infinito e, para lidar com esses 
conceitos, muitas vezes faz-se uso de instrumentos e temas sofisticados. O próprio limite é um 
desses conceitos referenciados, pois consegue explorar com perfeição a ideia de proximidade 
e, com isso, proporciona inúmeros ganhos ao conhecimento humano, assim como o conceito e 
instrumento matemático chamado de diferencial. 
Considerando essas informações e os estudos sobre o conceito de diferencial, pode-se afirmar 
que ele é relevante porque: 
 
a) torna dispensável o uso do limite. 
b) está relacionado com a ideia de infinitésimo. 
c) é pouco útil para a fundamentação do cálculo. 
d) relaciona uma função trigonométrica com sua função inversa. 
e) é útil na aplicação da regra de L’Hospital. 
 
 
Pergunta 8 
1 ponto 
Saber calcular o valor de uma derivada é fundamental para o estudo de cálculo integral, já que 
este valor possui um significado prático para análise da curva do gráfico de uma determinada 
função que indica uma taxa de variação instantânea. Isso pode significar encontrar uma taxa 
de variação referente a outra função ou algo similar, o que implica na possibilidade de se 
aplicar a operação reversa à derivada. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integral indefinida, pode-se 
afirmar que aplicar a operação inversa à derivada é relevante porque: 
 
 
a) elimina indeterminações em que a regra de L’Hospital falha. 
b) tem uma interpretação geométrica diferente da derivada. 
c) permite determinar a função primitiva de uma derivada, ou seja, a função que a gerou. 
d) passa a ser possível derivar outros tipos de funções. 
e) vale para qualquer tipo de função e intervalo. 
 
 
Pergunta 9 
1 ponto 
O estudo do Cálculo fornece ferramentas matemáticas importantes para inúmeras áreas do 
conhecimento, principalmente a Física. Ele auxilia no estudo das leis horárias que descrevem 
movimentos de partículas e corpos, possibilitado a integração e derivação de algumas funções, 
de modo a propiciar o descobrimento de uma nova informação. 
 
Considere que a derivada da equação horária do movimento S’(t) é igual à equação horária da 
velocidade v(t), e a derivada segunda da equação horária do movimento S’’(t) é a equação 
horária da aceleração a(t). De acordo com essas informações e com seus conhecimentos sobre 
derivação, analise as afirmativasa seguir: 
Em movimentos nos quais v(t) é uma função onstante 
I. A derivada de f(x)*g(x) é igual a 2sen(2x) − cos(x). 
II. A derivada de h(x) é h’(x) = sen(2x). 
III. f’(x) = −cos(x), pois a derivada de cos(x) é −sen(x). 
IV. A derivada de i(x) é i’(x) = 3x² + 2sen(2x) + 9sen(3x). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 O exercício está errado o enunciado não condiz com as afirmativas sendo impossível 
responder 
a) II e IV. 
b) III e IV. 
c) I, II, III. 
d) I, II, III. 
e) I, III e IV. 
 
 
Pergunta 10 
1 ponto 
Intuitivamente, ao imaginar uma divisão por um número muito pequeno, podemos constatar 
que, quanto menor o denominador, maior o resultado dessa divisão, pois menor seria o 
número de parcelas dessa divisão. No Ensino Superior, nas disciplinas de Cálculo, estudamos 
isso através dos limites, onde aproximamos nossas funções para um ponto em que x tende a 
algum valor (nesse caso, a zero). No entanto, algumas funções apresentam indeterminações 
ao realizar o cálculo do limite, e para fugir dessas indeterminações adotamos a regra de 
L’Hospital, que utiliza a derivada das funções para o cálculo do limite desconhecido. 
 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre derivadas e a regra de 
L’Hospital, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. O limite de x/e^x, com x tendendo a zero, é igual a 1. 
II. O limite de (x+sen(x))/(x²-sen(x)), com x tendendo a zero, é igual a −2. 
III. O limite e^(x)/x², quando x tende a mais infinito, é igual a mais infinito. 
IV. A regra de L’Hospital é aplicável somente nos casos em que existe uma indeterminação, 
não podendo ser aplicada a qualquer caso, pois poderia gerar respostas incorretas. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
a) III e IV. 
b) I, II, III. 
c) I, II, III e IV. 
d) II, e IV. 
e) II, III e IV.