GA_aula1 (vetores e adição de vetores)

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Geometria Analítica
Cleide Martins
POLI - 2017.1
Turmas AM/CT/GM
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Objetivos
1 Entender a de�nição de VETOR
2 Aprender a somar dois vetores
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O que é um VETOR?
Antes de apresentar a de�nição de vetor, precisamos entender o que vem a ser uma relação de
equivalência
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Relação de equivalência
Considere um conjuntoM e uma relação binária ∼ de�nida emM. Dizemos que a relação ∼
é uma relação de equivalência se ela satisfaz às três condições seguintes:
∼ é re�exiva: para todo x ∈M, x ∼ x
∼ é simétrica: se x ∼ y então y ∼ x
∼ é transitiva: se x ∼ y e y ∼ z então x ∼ z
Uma relação de equivalência de�nida em um conjunto, particiona este conjunto em
subconjuntos chamados classes de equivalência.
Isto signi�ca que
M = M1 ∪M2 ∪ ...
onde os conjuntos Mi são dois a dois disjuntos e dois elementos de M x e y pertencem a um
mesmo conjunto Mi se e somente se x ∼ y.
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Antes de continuar
1 Dê exemplos de relações que são e que não são de equivalência
2 Especi�que o conjunto e como ele �ca particionado pelas classes de equivalência de cada
relação de equivalência.
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Segmentos orientados
Considere o conjunto S formado pelos segmentos de reta no espaço que são orientados.
Um segmento orientado pode ser representado por um par ordenado (A,B) onde A e B são
pontos no espaço.
b
A
b
B
O segmento orientado (A,A) é chamado segmento nulo. Seu comprimento é zero, ele não tem
direção nem sentido.
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O comprimento do segmento orientado (A,B) é a distância do ponto A ao ponto B.
A direção do segmento orientado (A,B) é a direção da reta que passa por A e B.
O sentido do segmento orientado (A,B) é do ponto A para o ponto B.
Os sentidos de dois segmentos orientados somente são comparáveis se estes segmentos são
paralelos.
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Equipolência
De�nição
Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes se eles têm
mesmo comprimento,
mesma direção e
mesmo sentido
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Equipolência
De�nição
Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes se eles têm
mesmo comprimento,
mesma direção e
mesmo sentido
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Equipolência
De�nição
Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes se eles têm
mesmo comprimento,
mesma direção e
mesmo sentido
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Equipolência
De�nição
Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes se eles têm
mesmo comprimento,
mesma direção e
mesmo sentido
Representaremos a relação de equipolência pelo símbolo ∼.
Todos os segmentos orientados nulos são equipolentes.
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Proposição
Equipolência é uma relação de equivalência
Para provar esta proposição é preciso mostrar que a relação de equipolência é re�exiva,
simétrica e transitiva. Faça isso como exercício e depois veja a demonstração
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Conforme foi dito anteriormente, a relação de equipolência particiona o conjunto dos
segmentos orientados S em conjuntos, as
CLASSES DE EQUIVALÊNCIA
Como você imagina um desses conjuntos?
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De�nição de Vetor
De�nição
Um vetor é uma classe de equivalência da relação de equipolência de segmentos orientados no
espaço.
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Notação
Vetores são representados por uma letra minúscula com uma seta,
→
v , ou um par de letras
maiúsculas com uma seta
→
AB. Nesta última representação procuramos enfatizar que o
segmento orientado (A,B) representa todos os segmentos orientados equipolentes a ele.
O comprimento ou módulo ou ainda norma de um vetor
→
v é denotado por ‖→v ‖
O vetor nulo tem norma zero, não tem direção (ou tem todas as direções, depende do
contexto) não tem sentido e é representado por
→
O
Se (A,B) ∼ (C,D) então
→
AB=
→
CD
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Notação
Vetores são representados por uma letra minúscula com uma seta,
→
v , ou um par de letras
maiúsculas com uma seta
→
AB. Nesta última representação procuramos enfatizar que o
segmento orientado (A,B) representa todos os segmentos orientados equipolentes a ele.
O comprimento ou módulo ou ainda norma de um vetor
→
v é denotado por ‖→v ‖
O vetor nulo tem norma zero, não tem direção (ou tem todas as direções, depende do
contexto) não tem sentido e é representado por
→
O
Se (A,B) ∼ (C,D) então
→
AB=
→
CD
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Notação
Vetores são representados por uma letra minúscula com uma seta,
→
v , ou um par de letras
maiúsculas com uma seta
→
AB. Nesta última representação procuramos enfatizar que o
segmento orientado (A,B) representa todos os segmentos orientados equipolentes a ele.
O comprimento ou módulo ou ainda norma de um vetor
→
v é denotado por ‖→v ‖
O vetor nulo tem norma zero, não tem direção (ou tem todas as direções, depende do
contexto) não tem sentido e é representado por
→
O
Se (A,B) ∼ (C,D) então
→
AB=
→
CD
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Notação
Vetores são representados por uma letra minúscula com uma seta,
→
v , ou um par de letras
maiúsculas com uma seta
→
AB. Nesta última representação procuramos enfatizar que o
segmento orientado (A,B) representa todos os segmentos orientados equipolentes a ele.
O comprimento ou módulo ou ainda norma de um vetor
→
v é denotado por ‖→v ‖
O vetor nulo tem norma zero, não tem direção (ou tem todas as direções, depende do
contexto) não tem sentido e é representado por
→
O
Se (A,B) ∼ (C,D) então
→
AB=
→
CD
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Vetores especiais
Se ‖→v ‖= 1 dizemos que →v é um vetor unitário.
O vetor com mesmo comprimento que
→
v , com mesma direção que
→
v e com sentido
contrário ao de
→
v é o vetor simétrico de
→
v , denotado por − →v .
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Vetores especiais
Se ‖→v ‖= 1 dizemos que →v é um vetor unitário.
O vetor com mesmo comprimento que
→
v , com mesma direção que
→
v e com sentido
contrário ao de
→
v é o vetor simétrico de
→
v , denotado por − →v .
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Operações com vetores
As operações que usualmente fazemos com vetores são
soma de dois vetores
produto de um vetor por um número (escalar)
produto de dois vetores
I Produto Interno
I Produto Vetorial
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Operações com vetores
As operações que usualmente fazemos com vetores são
soma de dois vetores
produto de um vetor por um número (escalar)
produto de dois vetores
I Produto Interno
I Produto Vetorial
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Operações com vetores
As operações que usualmente fazemos com vetores são
soma de dois vetores
produto de um vetor por um número (escalar)
produto de dois vetores
I Produto Interno
I Produto Vetorial
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Operações com vetores
As operações que usualmente fazemos com vetores são
soma de dois vetores
produto de um vetor por um número (escalar)
produto de dois vetores
I Produto Interno
I Produto Vetorial
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Operações com vetores
As operações que usualmente fazemos com vetores são
soma de dois vetores
produto de um vetor por um número (escalar)
produto de dois vetoresI Produto Interno
I Produto Vetorial
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Operações com vetores
As operações que usualmente fazemos com vetores são
soma de dois vetores
produto de um vetor por um número (escalar)
produto de dois vetores
I Produto Interno
I Produto Vetorial
A seguir vamos entender o que signi�ca somar dois vetores.
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Soma de vetores
O resultado da soma dos vetores
→
u e
→
v é um vetor
→
w=
→
u +
→
v que será descrito por um
segmento orientado que o representa.
Escolhemos um segmento orientado (A,B) que representa
→
u
→
u=
→
AB
e para representante de
→
v escolhemos o segmento orientado (B,C)
→
v=
→
BC
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Soma de vetores
De�nição
→
u +
→
v=
→
AB +
→
BC=
→
AC
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Soma de vetores
De�nição
→
u +
→
v=
→
AB +
→
BC=
→
AC
b
A
b
B
→
u
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Soma de vetores
De�nição
→
u +
→
v=
→
AB +
→
BC=
→
AC
b
A
b
B
→
u
b
B
b
C
→
v
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Soma de vetores
De�nição
→
u +
→
v=
→
AB +
→
BC=
→
AC
→
u
→
v→u
+
→v
b
A
b
B
C
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Comentários sobre a soma de vetores
A escolha do representante do vetor
→
u (primeiro vetor) é arbitrária, esta escolha interfere
na escolha do representante do vetor
→
v (segundo vetor).
As características do vetor soma (comprimento, direção e sentido) não dependem da
escolha dos representantes dos vetores que estão sendo somados.
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Comentários sobre a soma de vetores
A escolha do representante do vetor
→
u (primeiro vetor) é arbitrária, esta escolha interfere
na escolha do representante do vetor
→
v (segundo vetor).
As características do vetor soma (comprimento, direção e sentido) não dependem da
escolha dos representantes dos vetores que estão sendo somados.
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Pense um pouco
1 O resultado da soma depende da ordem das parcelas?
2 Como somar 3 ou mais vetores?
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Propriedades da soma de vetores
Proposição
A soma de vetores é
Comutativa:
→
u +
→
v=
→
v +
→
u
ssociativa: (
→
u +
→
v )+
→
w=
→
u +(
→
v +
→
w)
xiste elemento neutro:
→
v +
→
O=
→
v
xiste elemento inverso:
→
v +(
→
−v) =
→
O
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Propriedades da soma de vetores
Proposição
A soma de vetores é
Comutativa:
→
u +
→
v=
→
v +
→
u
Associativa: (
→
u +
→
v )+
→
w=
→
u +(
→
v +
→
w)
xiste elemento neutro:
→
v +
→
O=
→
v
xiste elemento inverso:
→
v +(
→
−v) =
→
O
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Propriedades da soma de vetores
Proposição
A soma de vetores é
Comutativa:
→
u +
→
v=
→
v +
→
u
Associativa: (
→
u +
→
v )+
→
w=
→
u +(
→
v +
→
w)
Existe elemento neutro:
→
v +
→
O=
→
v
xiste elemento inverso:
→
v +(
→
−v) =
→
O
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Propriedades da soma de vetores
Proposição
A soma de vetores é
Comutativa:
→
u +
→
v=
→
v +
→
u
Associativa: (
→
u +
→
v )+
→
w=
→
u +(
→
v +
→
w)
Existe elemento neutro:
→
v +
→
O=
→
v
Existe elemento inverso:
→
v +(
→
−v) =
→
O
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Faça a demonstração dessa proposição como exercício.
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Esta aula e todas as aulas dessa disciplina estarão disponíveis para download em
https://sites.google.com/a/poli.br/aulas_cleide/geometria-analitica-2017-1-1
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Equipolência é uma Relação de Equivalência
Demonstração
A relação de equipolência
É re�exiva: (A,B) ∼ (A,B) pois todo segmento orientado tem mesmo comprimento,
mesma direção e mesmo sentido que ele mesmo.
É simétrica: Se (A,B) ∼ (C,D) então (C,D) ∼ (A,B) pois comparar comprimento,
direção e sentido de segmentos orientados não requer uma ordem especí�ca.
É transitiva: Se (A,B) ∼ (C,D) e (C,D) ∼ (X,Y ) então (A,B) ∼ (X,Y ), isto deve ser
claro.
Portanto equipolência é uma relação de equivalência.
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	Definindo VETOR
	Relação de equivalência
	Pense um pouco
	Equipolência
	Equipolência
	Equipolência
	Equipolência
	Vetor
	Operações com vetores
	Operações com vetores
	Operações com vetores
	Operações com vetores
	Operações com vetores
	Operações com vetores
	Propriedades da soma
	Propriedades da soma
	Propriedades da soma
	Propriedades da soma
	Apêndice