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Geometria Analítica Cleide Martins POLI - 2017.1 Turmas AM/CT/GM Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 1 / 22 Objetivos 1 Entender a de�nição de VETOR 2 Aprender a somar dois vetores Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 2 / 22 O que é um VETOR? Antes de apresentar a de�nição de vetor, precisamos entender o que vem a ser uma relação de equivalência Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 3 / 22 Relação de equivalência Considere um conjuntoM e uma relação binária ∼ de�nida emM. Dizemos que a relação ∼ é uma relação de equivalência se ela satisfaz às três condições seguintes: ∼ é re�exiva: para todo x ∈M, x ∼ x ∼ é simétrica: se x ∼ y então y ∼ x ∼ é transitiva: se x ∼ y e y ∼ z então x ∼ z Uma relação de equivalência de�nida em um conjunto, particiona este conjunto em subconjuntos chamados classes de equivalência. Isto signi�ca que M = M1 ∪M2 ∪ ... onde os conjuntos Mi são dois a dois disjuntos e dois elementos de M x e y pertencem a um mesmo conjunto Mi se e somente se x ∼ y. Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 4 / 22 Antes de continuar 1 Dê exemplos de relações que são e que não são de equivalência 2 Especi�que o conjunto e como ele �ca particionado pelas classes de equivalência de cada relação de equivalência. Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 5 / 22 Segmentos orientados Considere o conjunto S formado pelos segmentos de reta no espaço que são orientados. Um segmento orientado pode ser representado por um par ordenado (A,B) onde A e B são pontos no espaço. b A b B O segmento orientado (A,A) é chamado segmento nulo. Seu comprimento é zero, ele não tem direção nem sentido. Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 6 / 22 O comprimento do segmento orientado (A,B) é a distância do ponto A ao ponto B. A direção do segmento orientado (A,B) é a direção da reta que passa por A e B. O sentido do segmento orientado (A,B) é do ponto A para o ponto B. Os sentidos de dois segmentos orientados somente são comparáveis se estes segmentos são paralelos. Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 7 / 22 Equipolência De�nição Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes se eles têm mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 8 / 22 Equipolência De�nição Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes se eles têm mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 8 / 22 Equipolência De�nição Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes se eles têm mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 8 / 22 Equipolência De�nição Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes se eles têm mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido Representaremos a relação de equipolência pelo símbolo ∼. Todos os segmentos orientados nulos são equipolentes. Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 8 / 22 Proposição Equipolência é uma relação de equivalência Para provar esta proposição é preciso mostrar que a relação de equipolência é re�exiva, simétrica e transitiva. Faça isso como exercício e depois veja a demonstração Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 9 / 22 Conforme foi dito anteriormente, a relação de equipolência particiona o conjunto dos segmentos orientados S em conjuntos, as CLASSES DE EQUIVALÊNCIA Como você imagina um desses conjuntos? Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 10 / 22 De�nição de Vetor De�nição Um vetor é uma classe de equivalência da relação de equipolência de segmentos orientados no espaço. Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 11 / 22 Notação Vetores são representados por uma letra minúscula com uma seta, → v , ou um par de letras maiúsculas com uma seta → AB. Nesta última representação procuramos enfatizar que o segmento orientado (A,B) representa todos os segmentos orientados equipolentes a ele. O comprimento ou módulo ou ainda norma de um vetor → v é denotado por ‖→v ‖ O vetor nulo tem norma zero, não tem direção (ou tem todas as direções, depende do contexto) não tem sentido e é representado por → O Se (A,B) ∼ (C,D) então → AB= → CD Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 12 / 22 Notação Vetores são representados por uma letra minúscula com uma seta, → v , ou um par de letras maiúsculas com uma seta → AB. Nesta última representação procuramos enfatizar que o segmento orientado (A,B) representa todos os segmentos orientados equipolentes a ele. O comprimento ou módulo ou ainda norma de um vetor → v é denotado por ‖→v ‖ O vetor nulo tem norma zero, não tem direção (ou tem todas as direções, depende do contexto) não tem sentido e é representado por → O Se (A,B) ∼ (C,D) então → AB= → CD Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 12 / 22 Notação Vetores são representados por uma letra minúscula com uma seta, → v , ou um par de letras maiúsculas com uma seta → AB. Nesta última representação procuramos enfatizar que o segmento orientado (A,B) representa todos os segmentos orientados equipolentes a ele. O comprimento ou módulo ou ainda norma de um vetor → v é denotado por ‖→v ‖ O vetor nulo tem norma zero, não tem direção (ou tem todas as direções, depende do contexto) não tem sentido e é representado por → O Se (A,B) ∼ (C,D) então → AB= → CD Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 12 / 22 Notação Vetores são representados por uma letra minúscula com uma seta, → v , ou um par de letras maiúsculas com uma seta → AB. Nesta última representação procuramos enfatizar que o segmento orientado (A,B) representa todos os segmentos orientados equipolentes a ele. O comprimento ou módulo ou ainda norma de um vetor → v é denotado por ‖→v ‖ O vetor nulo tem norma zero, não tem direção (ou tem todas as direções, depende do contexto) não tem sentido e é representado por → O Se (A,B) ∼ (C,D) então → AB= → CD Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 12 / 22 Vetores especiais Se ‖→v ‖= 1 dizemos que →v é um vetor unitário. O vetor com mesmo comprimento que → v , com mesma direção que → v e com sentido contrário ao de → v é o vetor simétrico de → v , denotado por − →v . Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 13 / 22 Vetores especiais Se ‖→v ‖= 1 dizemos que →v é um vetor unitário. O vetor com mesmo comprimento que → v , com mesma direção que → v e com sentido contrário ao de → v é o vetor simétrico de → v , denotado por − →v . Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 13 / 22 Operações com vetores As operações que usualmente fazemos com vetores são soma de dois vetores produto de um vetor por um número (escalar) produto de dois vetores I Produto Interno I Produto Vetorial Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 14 / 22 Operações com vetores As operações que usualmente fazemos com vetores são soma de dois vetores produto de um vetor por um número (escalar) produto de dois vetores I Produto Interno I Produto Vetorial Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 14 / 22 Operações com vetores As operações que usualmente fazemos com vetores são soma de dois vetores produto de um vetor por um número (escalar) produto de dois vetores I Produto Interno I Produto Vetorial Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 14 / 22 Operações com vetores As operações que usualmente fazemos com vetores são soma de dois vetores produto de um vetor por um número (escalar) produto de dois vetores I Produto Interno I Produto Vetorial Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 14 / 22 Operações com vetores As operações que usualmente fazemos com vetores são soma de dois vetores produto de um vetor por um número (escalar) produto de dois vetoresI Produto Interno I Produto Vetorial Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 14 / 22 Operações com vetores As operações que usualmente fazemos com vetores são soma de dois vetores produto de um vetor por um número (escalar) produto de dois vetores I Produto Interno I Produto Vetorial A seguir vamos entender o que signi�ca somar dois vetores. Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 14 / 22 Soma de vetores O resultado da soma dos vetores → u e → v é um vetor → w= → u + → v que será descrito por um segmento orientado que o representa. Escolhemos um segmento orientado (A,B) que representa → u → u= → AB e para representante de → v escolhemos o segmento orientado (B,C) → v= → BC Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 15 / 22 Soma de vetores De�nição → u + → v= → AB + → BC= → AC Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 16 / 22 Soma de vetores De�nição → u + → v= → AB + → BC= → AC b A b B → u Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 16 / 22 Soma de vetores De�nição → u + → v= → AB + → BC= → AC b A b B → u b B b C → v Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 16 / 22 Soma de vetores De�nição → u + → v= → AB + → BC= → AC → u → v→u + →v b A b B C Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 16 / 22 Comentários sobre a soma de vetores A escolha do representante do vetor → u (primeiro vetor) é arbitrária, esta escolha interfere na escolha do representante do vetor → v (segundo vetor). As características do vetor soma (comprimento, direção e sentido) não dependem da escolha dos representantes dos vetores que estão sendo somados. Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 17 / 22 Comentários sobre a soma de vetores A escolha do representante do vetor → u (primeiro vetor) é arbitrária, esta escolha interfere na escolha do representante do vetor → v (segundo vetor). As características do vetor soma (comprimento, direção e sentido) não dependem da escolha dos representantes dos vetores que estão sendo somados. Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 17 / 22 Pense um pouco 1 O resultado da soma depende da ordem das parcelas? 2 Como somar 3 ou mais vetores? Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 18 / 22 Propriedades da soma de vetores Proposição A soma de vetores é Comutativa: → u + → v= → v + → u ssociativa: ( → u + → v )+ → w= → u +( → v + → w) xiste elemento neutro: → v + → O= → v xiste elemento inverso: → v +( → −v) = → O Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 19 / 22 Propriedades da soma de vetores Proposição A soma de vetores é Comutativa: → u + → v= → v + → u Associativa: ( → u + → v )+ → w= → u +( → v + → w) xiste elemento neutro: → v + → O= → v xiste elemento inverso: → v +( → −v) = → O Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 19 / 22 Propriedades da soma de vetores Proposição A soma de vetores é Comutativa: → u + → v= → v + → u Associativa: ( → u + → v )+ → w= → u +( → v + → w) Existe elemento neutro: → v + → O= → v xiste elemento inverso: → v +( → −v) = → O Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 19 / 22 Propriedades da soma de vetores Proposição A soma de vetores é Comutativa: → u + → v= → v + → u Associativa: ( → u + → v )+ → w= → u +( → v + → w) Existe elemento neutro: → v + → O= → v Existe elemento inverso: → v +( → −v) = → O Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 19 / 22 Faça a demonstração dessa proposição como exercício. Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 20 / 22 Esta aula e todas as aulas dessa disciplina estarão disponíveis para download em https://sites.google.com/a/poli.br/aulas_cleide/geometria-analitica-2017-1-1 Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 21 / 22 Equipolência é uma Relação de Equivalência Demonstração A relação de equipolência É re�exiva: (A,B) ∼ (A,B) pois todo segmento orientado tem mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido que ele mesmo. É simétrica: Se (A,B) ∼ (C,D) então (C,D) ∼ (A,B) pois comparar comprimento, direção e sentido de segmentos orientados não requer uma ordem especí�ca. É transitiva: Se (A,B) ∼ (C,D) e (C,D) ∼ (X,Y ) então (A,B) ∼ (X,Y ), isto deve ser claro. Portanto equipolência é uma relação de equivalência. Voltar Cleide Martins (POLI - 2017.1) VETORES Turmas AM/CT/GM 22 / 22 Definindo VETOR Relação de equivalência Pense um pouco Equipolência Equipolência Equipolência Equipolência Vetor Operações com vetores Operações com vetores Operações com vetores Operações com vetores Operações com vetores Operações com vetores Propriedades da soma Propriedades da soma Propriedades da soma Propriedades da soma Apêndice