AULA_01

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Cálculo 
Diferencial e 
Integral II
Introdução às integrais
André Silveira
• Unidade de Ensino: 1
• Competência da Unidade: Conhecer conceitos e técnicas relativas 
às integrais de funções de uma variável e suas aplicações.
• Resumo: Nesta aula realizaremos uma retomada do conceito de 
derivadas e iremos introduzir o conceito de integrais. 
• Palavras-chave: Integrais; derivadas, soma de Riemann
• Título da Aula: Introdução às integrais
• Aula nº: 1
Conceitos
Conhecimentos 
prévios 
necessários
Conceitos de matemática básica
 Soma de frações:
1
2
+ 1 =
1 + 2
2
=
3
2
 Divisão de frações
1
2
4
3
=
1
2
⋅
3
4
=
3
8
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Conceitos de matemática básica
 Propriedades de potência:
𝑥
𝑚
𝑛 =
𝑛
𝑥𝑚
Por exemplo:
𝑥
2
3 =
3
𝑥2
𝑥 = 𝑥
1
2
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Conceitos de matemática básica
 Propriedades de potência:
𝑥−𝑚 =
1
𝑥𝑚
Por exemplo:
𝑥−3 =
1
𝑥3
2𝑥−2 =
2
𝑥2
1
𝑥4
= 𝑥−4
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Derivada de uma função
A derivada de uma função 𝒇 em relação a 𝒙, denotada por 
𝑓′(𝑥) é
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
Se o limite existir.
Exemplo
A derivada da função 𝑓 𝑥 = 2𝑥 é dada por:
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
2(𝑥 + ℎ) − 2𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
2𝑥 + 2ℎ − 2𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
2ℎ
ℎ
= lim
ℎ→0
2 = 2
Logo a derivada de 
𝑓 𝑥 = 2𝑥 é dada 
por 𝑓′ 𝑥 = 2
Notação
Se usarmos a notação tradicional 𝑦 = 𝑓 𝑥 para indicar que a variável
independente é 𝑥 e a variável dependente é 𝑦 , então algumas
notações alternativas para a derivada são as seguintes:
𝑓′ 𝑥 = 𝑦′ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥)
Para indicar o valor da derivada em um número
específico 𝑎 denotamos 𝑓′ 𝑎 = ቚ
𝑑𝑦
𝑑𝑥 𝑥=𝑎
Regras de derivação
𝑑
𝑑𝑥
𝑐 = 0
Derivada de uma função constante
𝑑
𝑑𝑥
𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1
Derivada de uma função potência
𝑑
𝑑𝑥
4 = 0
𝑑
𝑑𝑥
𝑥5 = 5𝑥5−1 = 5𝑥4
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑓 𝑥 = 𝑐
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥
A Regra da Multiplicação por Constante
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) ±
𝑑
𝑑𝑥
𝑔(𝑥)
Derivada da soma ou diferença de duas funções deriváveis.
𝑑
𝑑𝑥
4𝑥2 = 4
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2 = 4 ⋅ 2𝑥 = 8𝑥
𝑑
𝑑𝑥
3𝑥−2 + 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
3𝑥−2 +
𝑑
𝑑𝑥
𝑥
= 3 ⋅ −2𝑥−2−1 + 1 = −6𝑥−1 + 1 = −
6
𝑥
+ 1
Regra do produto
A derivada de um produto de duas funções é a
derivada da primeira função vezes a segunda
função mais a primeira função vezes a derivada da
segunda função.
Seja duas funções 𝑓 e 𝑔 deriváveis, então
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
[𝑔 𝑥 ]
Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 ⋅ 𝑥. Determine 𝑓′(𝑥).
𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2 + 1 𝑥 + 𝑥2 + 1
𝑑
𝑑𝑥
𝑥
𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 ⋅ 𝑥 + 𝑥2 + 1 ⋅ 1
𝑓′ 𝑥 = 2𝑥2 + 𝑥2 + 1
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 + 1
Regra do quociente
A derivada de um quociente é o denominador
vezes a derivada do numerador menos o
numerador vezes a derivada do denominador,
todos divididos pelo quadrado do denominador.
Seja duas funções 𝑓 e 𝑔 deriváveis, então
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑔 𝑥
𝑔2 𝑥
Seja 𝑓 𝑥 =
𝑥2+1
𝑥
. Determine 𝑓′(𝑥).
𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2 + 1 𝑥 − 𝑥2 + 1
𝑑
𝑑𝑥
𝑥
𝑥2
𝑓′ 𝑥 =
2𝑥 ⋅ 𝑥 − 𝑥2 + 1 ⋅ 1
𝑥2
𝑓′ 𝑥 =
2𝑥2 − 𝑥2 + 1
𝑥2
𝑓′ 𝑥 =
𝑥2 − 1
𝑥2
= 1 −
1
𝑥2
Regra da cadeia
Na notação de Leibniz, se 𝑦 = 𝑓(𝑢) e 𝑢 = 𝑔 𝑥
temos
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Se 𝑔 for derivável em 𝑥 e 𝑓 for derivável em𝑔(𝑥), então a função 
composta 𝐹 = 𝑓 ∘ 𝑔 definida por 𝐹 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) é derivável em 𝑥 e 𝐹′
é dada pelo produto 𝐹′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑔 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓′ 𝑔 𝑥 ∙ 𝑔′(𝑥)
Sem mudar a 
função de 
dentro
Derivada da 
função de 
fora
Derivada da 
função de 
dentro
função 
de fora
função 
de dentro
Exemplo
Seja 𝐹 𝑥 = 𝑥2 + 1. Determine 𝐹′(𝑥).
A função 𝐹(𝑥) pode ser expressa como 𝐹 𝑥 = 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥
= 𝑓(𝑔 𝑥 )
Em que 𝑦 = 𝑢 = 𝑢
1
2 e 𝑢 = 𝑥2 + 1
𝐹′ 𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
2 𝑥2 + 1
⋅ 2𝑥 =
𝑥
𝑥2 + 1
Podemos reescrever 𝐹(𝑥) como 𝐹 𝑥 = 𝑥2 + 1
1
2. Assim temos:
𝐹′ 𝑥 =
1
2
∙ 𝑥2 + 1
𝟏
𝟐−𝟏 ∙ 2𝑥
𝐹′ 𝑥 =
1
2
∙ 𝑥2 + 1 −
𝟏
𝟐 ∙ 2𝑥 =
𝑥
𝑥2 + 1
Avaliada na 
função de 
dentro
Derivada da 
função de 
fora
Derivada da 
função de 
dentro
Derivadas de algumas funções
Função Derivada
𝑓 𝑥 = ln(𝑥) 𝑓′ 𝑥 =
1
𝑥
𝑓 𝑥 = cos(𝑥) 𝑓′ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑓′ 𝑥 = cos(𝑥)
Resolução da SP
Custo marginal de 
um produto
Suponha que você trabalhe em uma empresa
na área de desenvolvimento de novos
produtos. Como uma de suas tarefas você
deve analisar o custo marginal para a
produção de um novo componente
eletrônico. Sabe-se que a função que
descreve o custo em relação a quantidade de
componentes produzidos é dada por:
𝐶 𝑥 =
𝑥2 + 2𝑥 2
𝑥
Qual o custo 
marginal se forem 
produzidos 20 
componentes 
eletrônicos?
Custo marginal é dado pela derivada da função custo:
𝐶 𝑥 =
𝑥2 + 2𝑥 2
𝑥
𝐶′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝐶 𝑥 =
𝑥2 + 2𝑥 2
𝑥
𝐶′ 𝑥 =
2 𝑥2 + 2𝑥 2𝑥 + 2 ⋅ 𝑥 − [ 𝑥2 + 2𝑥 2 ⋅ 1]
𝑥2
Regra da cadeia:
𝑦 = 𝑢2
𝑢 = 𝑥2 + 2𝑥
Regra do quociente:
𝐶′ 𝑥 =
2 𝑥2 + 2𝑥 2𝑥 + 2 ⋅ 𝑥 − [ 𝑥2 + 2𝑥 2 ⋅ 1]
𝑥2
𝐶′ 𝑥 =
2𝑥 2𝑥3 + 2𝑥2 + 4𝑥2 + 4𝑥 − [𝑥4 + 4𝑥3 + 4𝑥2]
𝑥2
𝐶′ 𝑥 =
4𝑥4 + 4𝑥3 + 8𝑥3 + 8𝑥2 − 𝑥4 − 4𝑥3 − 4𝑥2
𝑥2
𝐶′ 𝑥 =
3𝑥4 + 8𝑥3 + 4𝑥2
𝑥2
=
𝑥2(3𝑥2 + 8𝑥 + 4)
𝑥2
𝐶′ 𝑥 = 3𝑥2 + 8𝑥 + 4
O problema solicita que seja calculado o custo marginal para a 
produção de 20 componentes, assim teremos:
𝐶′ 𝑥 = 3𝑥2 + 8𝑥 + 4
𝐶′ 20 = 3 ⋅ 20 2 + 8 ⋅ (20) + 4
𝐶′ 5 = 1200 + 160 + 4 = 1364
Logo, o custo marginal para a produção de 20 componentes
é de 𝑅$1364,00. 
Conceitos
Método de 
Riemann
Como calcular a área 
aproximada da função 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 no 
intervalo [0,2]? 
Soma de Riemann Inferior
Dividindo o intervalo em 4 intervalos iguais 
calculamos a área de cada um dos retângulos 
formados:
𝑆𝐼 =
2
4
∙ 𝑓 0 +
2
4
∙ 𝑓
2
4
+
2
4
∙ 𝑓 1 +
2
4
∙ 𝑓
3
2
= 0 +
1
2
∙
1
4
+
1
2
∙ 1 +
1
2
∙
9
4
=
1
8
+
1
2
+
9
8
=
7
4
= 1,75
Soma de Riemann Superior
Dividindo o intervalo em 4 intervalos iguais 
calculamos a área de cada um dos retângulos 
formados:
𝑆𝑆 =
2
4
∙ 𝑓
2
4
+
2
4
∙ 𝑓 1 +
2
4
∙ 𝑓
3
2
+
2
4
∙ 𝑓 2
=
1
2
∙
1
4
+
1
2
∙ 1 +
1
2
∙
9
4
+
1
2
∙ 4
=
1
8
+
1
2
+
9
8
+ 2 =
15
4
= 3,75
A área aproximada da função 𝑓(𝑥)
= 𝑥2 no intervalo [0,2] está 
compreendida entre:
1,75 ≤ 𝐴 ≤ 3,75
E se dividíssemos o 
intervalo em 100 
retângulos?
2,63 ≤ 𝐴 ≤ 2,71
https://bit.ly/3gVUnPj
(acesso 13 jul. 2020)
Quanto menor o tamanho da 
base, e, portanto, maior o 
número de retângulos, 
melhor a estimativa da área 
obtida.
https://bit.ly/3gVUnPj
Se 𝑓 é uma função contínua definida em 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 então a 
Integral Definida de 𝒇de 𝒂 a 𝒃 é
න
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
෍
𝑖−1
𝑛
𝑓 𝑥𝑖
∗ ∆𝑥
1. 𝑆𝑒 𝑔 𝑥 = න
𝑎
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑔′ 𝑥 = 𝑓 𝑥
2.න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎
𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝐹 é 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑓
Teorema Fundamental do Cálculo
Vamos encontrar a integral definida da função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 no intervalo [0,2].
Pela primeira parte do TFC temos que encontrar uma função 𝐹(𝑥) tal que 𝐹′ 𝑥
= 𝑓(𝑥):
Pela segunda parte do TFC temos que calcular a primitiva em 0,2 :
න
0
2
𝑥2 𝑑𝑥 = 𝐹 2 − 𝐹 0
=
2 3
3
−
0 3
3
=
8
3
≅ 2,67
𝐹 𝑥 =
𝑥3
3
𝐹′ 𝑥 =
3𝑥2
3
= 𝑥2
Resolução da SP
Cálculo de área
Uma empresa está fabricando um lote de chapas que precisam ser 
pintadas e você precisará apresentar um cálculo aproximado com a 
finalidade de se obter um primeiro resultado sobre a quantidade de 
tinta utilizada.
As chapas produzidas possuem o formato ilustrado na imagem a seguir.
Fonte: FROES, FÁBREGA, GERALDINE, 2016, p. 10
Você realizou a medição da chapa metálica com o auxílio de uma trena e 
construiu um gráfico. Você levou a chapa metálica para o projetista da 
empresa e, após um estudo, eleforneceu a função matemática que 
descreve o formato da chapa.
𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 3𝑥
Sabendo que o rendimento da tinta é de 7,16m² / L você deverá calcular o 
volume de tinta aproximado para pintar essa chapa e o volume de tinta 
exato.
Cálculo do volume de tinta aproximado
A chapa metálica foi dividida em três retângulos de bases iguais.
𝑆𝐼 = 1 ∙ 𝑓 0 + 1 ∙ 𝑓 1 + 1 ∙ 𝑓 2 = 1 ⋅ 0 + 1 − 1
2 + 3 1 + 1൫− 2 2
Fonte: FROES, FÁBREGA, GERALDINE, 2016, p.19
A chapa metálica foi dividida em três 
retângulos de bases iguais.
𝑆𝑆 = 1 ∙ 𝑓 1 + 1 ∙ 𝑓 2 + 1 ∙ 𝑓 3 =
1 − 1 2 + 3 1 + 1 − 2 2 + 3 2
+ 1 − 3 2 + 3 3
= 2 + 2 + 0 = 4 Fonte: FROES, FÁBREGA, GERALDINE, 2016, p.19
4,43 ≤ 𝐴 ≤ 4,57
Para calcular a quantidade de tinta aproximada, vamos considerar 
que o rendimento da tinta é de 7,16m² / L e a área aproximada como 
sendo a média aritmética entre a soma de Riemann superior e 
inferior. Assim teremos:
1 𝑙 −−−−−−−−−−7,16 𝑚2
𝑥 −−−−−−−−−−−−4,5 𝑚2
𝑥 ≅ 0,65𝑙
Cálculo do volume de tinta exato
Primeiro temos que calcular a área exata e para isso utilizamos o 
conceito de integral definida.
න
0
3
−𝑥2 + 3𝑥 𝑑𝑥
Pela primeira parte do TFC temos que encontrar uma função 𝐹(𝑥) tal 
que 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥):
𝐹 𝑥 = −
𝑥3
3
+
3𝑥2
2
𝐹′ 𝑥 = −𝑥2 + 3𝑥
Pela segunda parte do TFC temos que calcular a primitiva em 0,3 :
න
0
3
−𝑥2 + 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 3 − 𝐹 0
= −
3 3
3
+
3 3 2
2
− 0 = −9 +
27
2
=
9
2
= 4,5
Interação
Calculando 
integrais
Utilizando o TFC determine o valor das Integrais:
න
0
1
𝑒𝑥 𝑑𝑥
න
0
𝜋
𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥
Pela primeira parte do TFC temos que encontrar uma função 𝐹(𝑥) tal 
que 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥):
𝐹 𝑥 = 𝑒𝑥
𝐹′ 𝑥 = 𝑒𝑥
Pela segunda parte do TFC temos que calcular a primitiva em 0,1 :
න
0
1
𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 1 − 𝐹 0
= 𝑒1 − 𝑒0 = 𝑒 − 1
Pela primeira parte do TFC temos que encontrar uma função 𝐹(𝑥) tal 
que 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥):
𝐹 𝑥 = −cos(𝑥)
𝐹′ 𝑥 = − −𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Pela segunda parte do TFC temos que calcular a primitiva em 0, 𝜋 :
න
0
𝜋
𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹 𝜋 − 𝐹 0
= −cos 𝜋 − −cos 0 = − −1 + 1 = 2
Integral definida
න
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
෍
𝑖−1
𝑛
𝑓 𝑥𝑖
∗ ∆𝑥
Soma de Riemann
Área aproximada
Pode ser interpretada 
como uma área