45-LIVRO CONCEITOS BÁSICOS ED MATEMÁTICA-Interativo

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Maringá
2011
EDITORA DA UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
 Reitor Prof. Dr. Júlio Santiago Prates Filho
 Vice - Reitor Profa. Dra. Neusa Altoé
 Diretor da Eduem Prof. Dr. Ivanor Nunes do Prado
 Editor - Chefe da Eduem Prof. Dr. Alessandro de Lucca e Braccini
CONSELHO EDITORIAL
 Presidente Prof. Dr. Ivanor Nunes do Prado
	 Editores	Científicos	 Prof. Adson Cristiano Bozzi Ramatis Lima
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EQUIPE TÉCNICA
	 Projeto	Gráfico	e	Design	 Marcos Kazuyoshi Sassaka
 Fluxo Editorial Edilson Damasio
 Edneire Franciscon Jacob
 Mônica Tanamati Hundzinski
 Vania Cristina Scomparin
 Artes	Gráficas Luciano Wilian da Silva
 Marcos Roberto Andreussi
 Marketing Marcos Cipriano da Silva
 Comercialização Norberto Pereira da Silva
 Paulo Bento da Silva 
 Solange Marly Oshima
Maringá
2011
FORMAÇÃO DE PROFESSORES - EAD
Conceitos Básicos em
Educação Matemática
nos Anos Iniciais do 
Ensino Fundamental
Clélia Maria Ignatius Nogueira
Doherty Andrade
45
Coleção Formação de Professores - EAD
 Apoio técnico: Rosane Gomes Carpanese
 Normalização e catalogação: Ivani Baptista CRB - 9/331
 Revisão Gramatical: Annie Rose dos Santos
 Edição e Produção Editorial: Jeferson Gonçalves de Lima
 Tatiana F. Cerqueira de Lima
 Capas: Jeferson Gonçalves de Lima
 Fotografia Capa: Alcides Leite Júnior
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Copyright © 2011 para o autor
Todos os direitos reservados. Proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo 
mecânico, eletrônico, reprográfico etc., sem a autorização, por escrito, do autor. Todos os direitos 
reservados desta edição 2011 para Eduem.
Nogueira, Clélia Maria Ignatius
 Conceitos básicos em educação matemática nos anos iniciais do ensino 
fundamental / Clélia Maria Ignatius Nogueira, Doherty Andrade -- Maringá: Eduem, 2011.
 168p. :il. color. (Coleção formação de professores EAD; v. 45)
 
 ISBN: 978-85-7628-339-3
 
 1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Educação matemática. 3. Matemática - Ensino 
fundamental. I. Andrade, Doherty
 
CDD 21. ed. 372.7
N778c
Endereço para correspondência:
Eduem - Editora da Universidade Estadual de Maringá
Av. Colombo, 5790 - Bloco 40 - Campus Universitário
87020-900 - Maringá - Paraná
Fone: (0xx44) 3011-4103 / Fax: (0xx44) 3011-4253
http://www.eduem.uem.br / eduem@uem.br
3
Sobre os autores
Apresentação da coleção
Apresentação do livro
CAPÍTULO 1
O CONHECIMENTO MATEMÁTICO E AS TEORIAS DE 
APRENDIZAGEM 
CAPÍTULO 2
DIFERENTES ABORDAGENS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 
ESCOLAR
CAPÍTULO 3
O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL
CAPÍTULO 4
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS: SIGNIFICADOS, ALGORÍTMOS E 
PROBLEMAS
CAPÍTULO 5
O SISTEMA MONETÁRIO BRASILEIRO
CAPÍTULO 6
NÚMEROS COM VÍRGULA, DECIMAIS, RACIONAIS E POTÊNCIAS 
> 5
> 7
> 9
> 11
> 35
> 53
> 83
> 125
> 131
umárioS
5
CLÉLIA MARIA IGNATIUS NOGUEIRA 
Professora da Universidade Estadual de Maringá (UEM). Graduada em 
Matemática (Fafit). Mestre em Análise Funcional (USP-São Carlos). Doutora 
em Educação Brasileira (Unesp-Marília).
DOHERTY ANDRADE 
Professor da Universidade Estadual de Maringá (UEM). Graduado em 
Matemática (Ufes). Mestre em Análise Matemática (PUC-RJ). Doutor em 
Análise Funcional (IME-USP). 
EDUARDO BRANDANI DA SILVA 
Professor do Departamento de Matemática da Universidade Estadual 
de Maringá (UEM). Graduado em Matemática (Unicamp). Mestre em 
Matemática (Unicamp). Doutor em Engenharia Elétrica (Unicamp).
obre os autoresS
7
A coleção Formação de Professores - EAD teve sua primeira edição publicada em 
2005,	com	33	 títulos	financiados	pela	Secretaria	de	Educação	a	Distância	(SEED)	do	
Ministério	da	Educação	(MEC)	para	que	os	livros	pudessem	ser	utilizados	como	material	
didático	nos	cursos	de	licenciatura	ofertados	no	âmbito	do	Programa	de	Formação	de	
Professores	(Pró-Licenciatura	1).	A	tiragem	da	primeira	edição	foi	de	2500	exemplares.
A	partir	de	2008,	demos	início	ao	processo	de	organização	e	publicação	da	segunda	
edição	da	 coleção,	 com	o	acréscimo	de	12	novos	 títulos.	A	 conclusão	dos	 trabalhos	
deverá	 ocorrer	 somente	no	 ano	de	 2012,	 tendo	 em	 vista	 que	o	 financiamento	para	
esta	edição	será	 liberado	gradativamente,	de	acordo	com	o	cronograma	estabelecido	
pela	Diretoria	de	Educação	a	Distância	(DED)	da	Coordenação	de	Aperfeiçoamento	de	
Pessoal	do	Ensino	Superior	(CAPES),	que	é	responsável	pelo	programa	denominado	
Universidade	Aberta	do	Brasil	(UAB).
A	princípio,	serão	impressos	695	exemplares	de	cada	título,	uma	vez	que	os	livros	
da nova coleção serão utilizados como material didático para os alunos matriculados no 
Curso	de	Pedagogia,	Modalidade	de	Educação	a	Distância,	ofertado	pela	Universidade	
Estadual	de	Maringá,	no	âmbito	do	Sistema	UAB.
Cada	 livro	da	 coleção	 traz,	 em	seu	bojo,	um	objeto	de	 reflexão	que	 foi	pensado	
para	uma	disciplina	específica	do	curso,	mas	em	nenhum	deles	seus	organizadores	e	
autores	tiveram	a	pretensão	de	dar	conta	da	totalidade	das	discussões	teóricas	e	práticas	
construídas	historicamente	no	que	se	referem	aos	conteúdos	apresentados.	O	que	bus-
camos,	com	cada	um	dos	livros	publicados,	é	abrir	a	possibilidade	da	leitura,	da	reflexão	
e	do	aprofundamento	das	questões	pensadas	como	fundamentais	para	a	formação	do	
Pedagogo	na	atualidade.
Por isso mesmo, esta coleção somente poderia ser construída a partir do esforço 
coletivo de professores das mais diversas áreas e departamentos da Universidade Esta-
dual	de	Maringá	(UEM)	e	das	instituições	que	têm	se	colocado	como	parceiras	nesse	
processo.
Neste	sentido,	agradecemos	sinceramente	aos	colegas	da	UEM	e	das	demais	insti-
tuições	que	organizaram	livros	e	ou	escreveram	capítulos	para	os	diversos	livros	desta	
coleção.
Agradecemos,	ainda,	à	administração	central	da	UEM,	que	por	meio	da	atuação	di-
reta	da	Reitoria	e	de	diversas	Pró-Reitorias	não	mediu	esforços	para	que	os	trabalhos	
presentação da ColeçãoA
CONCEITOS BÁSICOS EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NOS 
ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
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pudessem	ser	desenvolvidos	da	melhor	maneira	possível.	De	modo	bastante	específico,	
destacamos	o	esforço	da	Reitoria	para	que	os	recursos	para	o	financiamento	desta	co-
leção	pudessem	ser	liberados	em	conformidade	com	os	trâmites	burocráticos	e	com	os	
prazos	exíguos	estabelecidos	pelo	Fundo	Nacional	de	Desenvolvimento	da	Educação	
(FNDE).
Internamente enfatizamos, ainda, o envolvimento direto dos professores do Depar-
tamento	de	Fundamentos	da	Educação	(DFE),	vinculado	ao	Centro	de	Ciências	Huma-
nas,	Letras	e	Artes	(CCH),	que	no	decorrer	dos	últimos	anos	empreenderam	esforços	
para	que	o	curso	de	Pedagogia,	na	modalidade	de	educação	a	distância,	pudesse	ser	
criado	oficialmente,	o	que	exigiu	um	repensar	do	trabalho	acadêmico	e	uma	modifica-
ção	significativa	da	sistemática	das	atividades	docentes.
No tocante ao Ministério da Educação, ressaltamos o esforço empreendido pela Di-
retoria	da	Educação	a	Distância	(DED)	da	Coordenação	de	Aperfeiçoamento	de	Pessoal	
do	Ensino	Superior	 (CAPES)	e	pela	Secretaria	de	Educaçãode	Educação	a	Distância	
(SEED/MEC),	que	em	parceria	com	as	Instituições	de	Ensino	Superior	(IES)	consegui-
ram	romper	barreiras	temporais	e	espaciais	para	que	os	convênios	para	a	liberação	dos	
recursos	 fossem	assinados	e	encaminhados	aos	órgãos	competentes	para	aprovação,	
tendo	em	vista	a	ação	direta	e	eficiente	de	um	número	muito	pequeno	de	pessoas	que	
integram	a	Coordenação	Geral	de	Supervisão	e	Fomento	e	a	Coordenação	Geral	de	
Articulação.	
Esperamos	que	a	segunda	edição	da	Coleção	Formação	de	Professores	-	EAD	possa	
contribuir	para	a	formação	dos	alunos	matriculados	no	curso	de	Pedagogia,	bem	como	
de	outros	cursos	superiores	a	distância	de	todas	as	instituições	públicas	de	ensino	supe-
rior	que	integram	e	ou	possam	integrar	em	um	futuro	próximo	o	Sistema	UAB.
 
Maria	Luisa	Furlan	Costa
Organizadora da Coleção
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presentação do livroA
Este livro foi especialmente elaborado para ser mais um texto-base para o curso 
de	Licenciatura	em	Pedagogia,	na	Modalidade	de	Educação	a	Distância	para	os	Anos	
Iniciais	do	Ensino	Fundamental.	Procuramos	usar	uma	 linguagem	simples	e	objetiva	
para	facilitar	o	entendimento	e	o	aprofundamento	dos	assuntos	aqui	tratados.	Na	apre-
sentação	do	conhecimento	matemático,	nossa	preocupação	foi	abordar,	ainda	que	su-
perficialmente,	suas	diferentes	dimensões:	histórica,	filosófica,	psicológica,	sociológica,	
política	e	metodológica,	pois	compreender	a	natureza	do	conhecimento	matemático	
e os mecanismos de produção desse conhecimento pode ser um facilitador da prática 
pedagógica	do	futuro	professor.
Na	apresentação	dos	temas	específicos	que	são	trabalhados	pelo	professor	dos	Anos	
Iniciais do Ensino Fundamental, nossa preocupação foi contemplar os conceitos de 
modo	claro	e	acompanhados	sempre	de	sugestões	de	encaminhamento	metodológi-
co.	Esses	encaminhamentos	metodológicos	são	fundamentados	nas	diversas	teorias	de	
aprendizagem	e	nas	tendências	atuais	da	Educação	Matemática.	
Este	livro	é	composto	de	seis	capítulos.	A	teoria	é	sempre	permeada	por	atividades,	
que	você	deve	realizar	antes	de	passar	para	o	tópico	seguinte,	porque	o	objetivo	das	
atividades	é	permitir	sua	autoavaliação	de	aprendizagem.
As	diferentes	dimensões	do	 conhecimento	matemático	 e	um	 resumo	 teórico	das	
principais	 teorias	de	 aprendizagem	acompanhado	de	discussões	 acerca	das	 respecti-
vas	 implicações	 no	 ensino	da	matemática	 são	 tratados	 no	 capítulo	 um.	No	 capítulo	
dois,	apresentamos	diferentes	abordagens	para	a	educação	matemática	escolar.	O	foco	
central	do	capítulo	três	são	os	números	naturais,	sua	história,	evolução	e	a	construção	
do	Sistema	de	Numeração	Decimal	pela	criança.	O	capítulo	quatro	é	voltado	para	as	
operações	aritméticas	elementares,	seus	significados,	algoritmos	e	os	diferentes	tipos	de	
problemas.	O	capítulo	cinco	é	dedicado	ao	estudo	do	Sistema	Monetário	Brasileiro.	Os	
números	decimais,	frações	e	porcentagens	são	focalizados	no	capítulo	seis.	Esperamos	
contribuir para a sua formação de professor, preparando-o para a fundamental e com-
plexa, porém prazerosa, tarefa de conduzir a construção do conhecimento matemático 
de	crianças,	apresentando-lhes,	de	maneira	formal,	o	fantástico	universo	dos	números.	
 
Clélia	Maria	Ignatius	Nogueira
Doherty Andrade
CONCEITOS BÁSICOS EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NOS 
ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
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INTRODUÇÃO
	 Trabalhar	com	crianças	pequenas,	apresentá-las	à	Matemática		não	é	uma	tarefa	
fácil	e	exige	do	professor	mais	do	que	conhecer	diferentes	metodologias.		Cada	criança	
é	um	universo	e,	muitas	vezes,	atividades	que	são	pensadas	para	uma	maioria	podem	
não	favorecer	a	aprendizagem	de	um	aluno	específico.	É	necessário	que	o	professor	
enriqueça	seu	repertório	para	subsidiar,	de	maneira	consistente	seu	fazer	pedagógico	
e	poder,	primeiramente,	 reconhecer	as	dificuldades	da	criança	e,	na	 sequência,	 ser	
capaz	de	adaptar	e	propor	atividades	direcionadas	àquela	criança	em	particular.
Embora diversas variáveis possam estar associadas – e mesmo produzirem 
dificuldades	escolares	de	muitos	alunos	em	relação	à	Matemática,	nenhuma	é	mais	
a	 abrangente	 do	 que	 a	 formação	 do	 professor,	 pois	 grande	 parte	 dos	 problemas	
referentes aos processos de ensinar e de aprender Matemática pode ser superada 
pela	mediação	docente.	E	isto	é	mais	evidente	ainda	nos	anos	iniciais	de	escolarização.
O	professor	de	Matemática	deve	desempenhar	o	papel	de	mediador	entre	o	
conhecimento	matemático	e	o	aluno	na	construção	do	conhecimento		por	este	último.		
Para	realizar	esta	tarefa	com	segurança,	o	professor	precisa	ter	uma	sólida	formação	em	
Matemática	juntamente	com	outros	conhecimentos	específicos		do	ofício		de	ensinar.
A	 concepção	 atual	 da	Matemática	 	 é	 a	 de	uma	 ciência	 dinâmica	 e	 aberta	 à	
incorporação	 de	 novos	 conhecimentos.	 Assim,	 cabe	 ao	 professor	 trazer	 o	 saber	
matemático para a escola e o transformar em conhecimento acessível ao seu aluno, 
pois	 este	 conhecimento,	 pela	 sua	 própria	 natureza,	 é	 difícil	 de	 ser	 comunicado	
diretamente,	 exigindo,	 em	 geral,	 estratégias	 bem	 elaboradas,	 preparação	 prévia	 e	
respeito	às	fases	de	desenvolvimento,	cognitivo	dos	alunos.	
Assim, este primeiro capítulo discute a natureza do conhecimento matemático, 
analisando	suas	dimensões	histórica,	filosófica,	psicológica	e	sociológica.	
O Conhecimento
Matemático e as Teorias
de Aprendizagem
1
CONCEITOS BÁSICOS EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NOS 
ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
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Para	entender	com	a	criança	aprende,	apresentamos	as	teorias	de	aprendizagem	
mais	difundidas,	contextualizando-as	no	ensino	de	Matemática.	
O CONHECIMENTO MATEMÁTICO: DIMENSÃO HISTÓRICA
A	 matemática	 pode	 ser	 concebida	 de	 duas	 maneiras	 bem	 distintas:	 uma,	
apresentada nos livros técnicos e especializados e, particularmente, nos didáticos, 
nos	quais	o	seu	aspecto	é	de	um	todo	harmonioso,	com	os	assuntos	se	sucedendo	
mediante	uma	cadeia	bem	definida	de	pré-requisitos	e,	principalmente,	sem	nenhuma	
contradição	(NOGUEIRA,	2002,	p.	18).	A	outra	maneira	de	se	conceber	a	matemática	
é como um conjunto de conhecimentos construído pelas relações do homem com o 
meio	em	que	vive,	com	o	mundo,	profundamente	influenciado	pelas	relações	sociais,	
ideias	 filosóficas	 dominantes	 em	 determinado	 momento	 histórico,	 pelo	 comércio,	
guerras,	 outras	 ciências,	 exigências	 tecnológicas	 etc.	 Esta	 última	 concepção	 fica	
evidente	quando	se	envereda	pela	via	da	história	da	matemática.
Ao	 buscarmos	 as	 origens	 e	 evolução	 do	 conhecimento	 matemático,	 ao	
procurarmos	 entender	 como	 ele	 foi	 construído,	 aparecem	 dúvidas,	 hesitações,	
contradições,	mudanças	de	 rumo,	novas	diretrizes.	A	matemática	emerge	como	um	
bem	cultural,	que	 recebeu	e	 recebe	 influências	do	meio	externo,	desmistificando	a	
imagem	de	um	 saber	 à	parte	da	humanidade,	 que	 é	 auto-suficiente,	 cuja	 formação	
de	 teorias	 e	 conceitos	 obedece	 apenas	 a	 necessidades	 internas	 e	 ao	 qual	 apenas	
teriam	 acesso	 os	 mais	 bem	 dotados	 intelectualmente.	 Conhecendo	 o	 processo	 de	
construção	da	matemática,	compreendemos	as	dificuldades	das	crianças	e	a	ideia	de	
que	o	conhecimento	matemático	é	impossível	para	as	pessoas	comuns	desaparece,	daí	
a	importância	do	conhecimento	da	história	da	matemática.
Por	 falta	 de	 registros,	 não	 é	 possível	 precisar	 o	momento	 exato	 em	 que	 o	
homem	começou	a	fazer	matemática.	As	mais	recentes	descobertas	científicas	acerca	
da	presença	do	homem	na	Terra	demonstram	que	esta	é	muito	mais	antiga	do	que	
se	 acreditou	 durante	 muito	 tempo.	 Foram	 descobertos	 registros	 da	 presença	 dos	
primeiros	hominídeos	a	andar	sobre	duas	pernas,	que	é	um	dos	critérios	utilizados	para	
diferenciar	o	homem	dos	demais	primatas,	surgiram	na	África,	há	aproximadamente	
quatro	milhões	de	anos.	Os	registros	sobre	a	construção	das	primeiras	ferramentas	de	
pedra	criadas	pelo	chamado	Homo	habilis,	natural	da	África,	datam	de	dois	milhões	
deanos	atrás.	
De	acordo	com	Karlson	(1961),	pode	parecer	estranho	afirmar	que	o	mundo	
sempre esteve e está repleto de matemática, pois estamos acostumados com uma 
matemática	cheia	de	fórmulas	que	parecem	ter	sido	inventadas	por	um	indivíduo	de	
óculos	grossos,	aparentemente	distraído	e	que	parece	não	habitar	o	mundo	real.	
Porém, desde o seu aparecimento na Terra, para poder sobreviver, o homem 
contava,	media,	calculava,	mesmo	sem	ter	a	menor	consciência	disso	ou	de	si	mesmo.	
Ademais,	as	pinturas	de	animais	encontradas	em	cavernas	da	Espanha	e	da	França	e	que	
foram	feitas	há	mais	de	20	mil	anos,demonstram	que	o	homem	já	estava	familiarizado	
13
com	as	formas	e	distribuições	espaciais,	porque	descrevem	algum	tipo	de	ritual,	com	
descrição	bidimensional	dos	objetos	no	espaço.
É	fácil	percebermos	que	as	atividades	anteriormente	descritas	não	constituem	
uma operação matemática consciente, mas o homem estava tal como a criança nos 
estágios	 iniciais	 de	 seu	 desenvolvimento,	 agindo	 sobre	 os	 objetos	 e,	 desta	 forma,	
construindo seus conhecimentos sobre formas matemáticas e estabelecendo relações 
entre	os	objetos.
A	criança,	para	construir	seu	conhecimento	matemático,	repete	grande	parte	
dos procedimentos iniciais da humanidade na construção da matemática, por isso é 
fundamental	que	os	professores	conheçam,	ainda	que	superficialmente,	a	história	da	
matemática.
Mas,	 como	 foi	 possível	 reconstruir	 a	 história	 da	 matemática?	 Pelo	 estudo	
dos	elementos	matemáticos	no	trabalho	humano.	Assim,	da	análise	de	 ferramentas,	
armas,	ornamentos	encontrados	em	escavações	arqueológicas;	de	indícios	referentes	
ao	conhecimento	da	roda,	com	ou	sem	raios;	das	edificações	(moradias	e	templos);	
do	comércio	(relação	de	trocas)	e	da	orientação	no	tempo	e	no	espaço	(calendários);	
podemos	situar	o	aparecimento	da	matemática	como	tal,	em	algum	ponto	da	história,	
entre	10	mil	e	50	mil	anos	atrás.	Uma	das	fontes	mais	importantes	para	a	reconstrução	
da	história	da	matemática	é	a	agricultura.
A	 agricultura,	 talvez	 a	 mais	 importante	 criação	 da	 humanidade	 (superada	
apenas,	segundo	alguns	autores,	pela	revolução	industrial),	aparece	no	Oriente	Médio,	
entre	os	rios	Tigre	e	Eufrates,	na	região	onde	hoje	é	o	Iraque	há	cerca	de	10	mil	anos	
atrás.	
Antes	da	 agricultura,	o	homem	sobrevivia	da	 coleta	 imediata	de	 alimentos,	
da	caça	e	da	pesca.	Passando	a	plantar	e	a	colher	seus	alimentos,	o	homem	precisou	
desenvolver métodos para armazenar os produtos colhidos, estabelecer técnicas para 
a	divisão	da	terra	e	para	o	plantio.
Se	na	época	da	coleta	a	humanidade	era	nômade,	isto	é,	precisava	se	deslocar	
sempre	 que	 o	 alimento	 ficava	 difícil	 em	 uma	 determinada	 região,	 a	 agricultura	
fixou	 o	 homem	 à	 terra,	 criou	 necessidades	 como	 divisão	 de	 terras,	 ferramentas	 e	
técnicas	 de	 irrigação	 e	 estocagem.	 Com	 os	 primeiros	 aglomerados	 populacionais	
surgiram	gradualmente	os	ofícios	mais	elementares,	como	a	carpintaria,	a	tecelagem	
e	a	cerâmica.	Foram	estabelecidas	 formas	de	governo	com	a	consequente	coleta	de	
impostos	exigindo	conhecimentos	mais	aperfeiçoados	da	matemática.
Um	 ponto	 que	 é	 preciso	 ter	 clareza,	 porque	 permite	 a	 compreensão	 da	
natureza	do	conhecimento	matemático,	é	que	desde	o	seu	início	até	o	momento	atual,	
a	matemática	nunca	teve	sua	construção	interrompida.	Em	se	tratando	da	construção	
desse	conhecimento	pelos	matemáticos,	uma	geração	de	estudiosos	formaliza	o	que	a	
geração	anterior	construiu.	É	assim	que	se	produz	matemática.
Neste	 sentido,	 os	 resultados	 (teoremas	 e	 fórmulas)	 não	 são	 registrados	
e	 comunicados	 da	mesma	 forma	 e	 na	mesma	 sequência	 como	 foram	obtidos.	 Para	
O CONHECIMENTO
MATEMÁTICO E AS TEORIAS
DE APRENDIZAGEM
CONCEITOS BÁSICOS EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NOS 
ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
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terem	 valor	 enquanto	 conhecimento	 científico,	 os	 resultados	 dos	matemáticos	 são	
comunicados	 de	 maneira	 despersonalizada,	 generalizada	 e	 descontextualizada	 no	
tempo	e	no	espaço	e	escritos	de	modo	que	a	validade	desse	resultado	possa	ser	testada	
por	qualquer	interessado,	isto	é,	demonstrada.
É	essa	 forma	de	apresentação,	harmoniosa,	sem	contradição	dos	resultados	
matemáticos	que	dá	ao	conhecimento	matemático	a	impressão	de	ser	acessível	só	aos	
gênios.
A	história	derruba	por	terra	essa	ideia,	por	isso	é	fundamental	que	o	professor	
a	conheça.
Atividade 1
1.	 Qual	a	ideia	de	matemática	que	surge	de	um	estudo	que	não	considere	a	sua	
história?	E	quando	essa	história	é	considerada?
1.	 	Como	você	acredita	que	a	matemática	foi	construída?
2.	 	Como	é	possível	reconstruir	a	história	da	matemática?
3.	 	Para	você,	o	desenvolvimento	da	matemática,	em	seu	início,	estava	relacionado	
aos	problemas	do	cotidiano?	E	atualmente?
O CONHECIMENTO MATEMÁTICO: A DIMENSÃO FILOSÓFICA
Existem	 dificuldades	 no	 ensino	 de	 matemática	 que	 se	 referem	 à	 própria	
natureza	do	conhecimento	matemático,	mas	existem	também,	dificuldades	decorrentes	
de uma visão um tanto irreal ou distorcida da disciplina, uma espécie de preconceito 
que	surge	logo	a	partir	dos	primeiros	contatos	da	criança	com	a	matemática,	atitude	
esta	que	o	professor	deve	evitar.
A	maioria	absoluta	dos	alunos	que	pretendem	ser	professores	dos	anos	iniciais	
do	Ensino	Fundamental	manifesta	um	profundo	desgosto	em	relação	à	matemática.	Esse	
desgosto	é	transmitido	às	crianças,	muitas	vezes	inconscientemente,	pelo	professor.
Por	 outro	 lado,	 a	 importância	 da	 disciplina	 matemática	 na	 educação	 de	
crianças	e	jovens	é	inquestionável.	Integrando	o	conjunto	de	disciplinas	que	compõem	
o	núcleo	comum,	a	matemática	faz	parte	dos	currículos	escolares	da	Educação	Infantil,	
do	Ensino	Fundamental	e	Médio	de	todos	os	países	do	mundo,	com	uma	carga	horária	
igual	ou	superior	à	das	demais	disciplinas,	com	exceção	da	língua	pátria.
Como	ciência,	a	importância	da	matemática	é	indiscutível,	pois	ela	se	constitui	
em	ferramenta	indispensável	para	o	desenvolvimento	da	maioria	das	ciências.
Como ramo do conhecimento ou forma de pensamento, em praticamente 
todos	os	sistemas	filosóficos,	a	matemática	recebe	um	tratamento	diferenciado	por	si	só	
e	sobretudo	pela	influência	do	papel	que	lhe	é	atribuído	para	todos	os	relacionamentos	
15
interdisciplinares.	Disto	resultam	diferentes	concepções	de	matemática.
De	 maneira	 geral,	 concepção	 é	 a	 ideia	 que	 fazemos	 de	 alguma	 coisa,	 é	 a	
maneira	como	enxergamos	ou	entendemos	algo.
A	 concepção	 que	 o	 pesquisador,	 o	 autor	 de	 um	 texto	 ou	 o	 professor	 tem	
da	 matemática	 produz	 reflexos	 em	 seus	 estudos	 teóricos,	 em	 seus	 textos	 ou	 na	
metodologia	 a	 ser	 utilizada	 em	 sala	 de	 aula.	 Daí	 a	 importância	 de	 estudarmos	 as	
diversas	concepções	de	matemática.
As diferenças entre tais concepções se evidenciam, particularmente, ao 
analisarmos	as	relações	entre	a	matemática	e	a	realidade.	O	estudo	dessas	diferentes	
concepções	 é	 que	 caracterizamos	 como	 as	 dimensões	 filosóficas	 do	 conhecimento	
matemático.
AS CONCEPÇÕES PLATÔNICA E ARISTOTÉLICA DA MATEMÁTICA
Para	o	filósofo	grego	Platão	(427-347	a.C.),	tudo	o	que	acreditamos	ser	parte	
do	mundo	real	constitui	aparências.	Isto	é,	existiria	um	mundo	das	Formas	ou	Ideias	
que	serviriam	de	modelos	ideais	dos	objetos	do	mundo	físico	ou	das	situações	ideais	
que	o	homem	deve	se	esforçar	para	alcançar.	Assim,	por	exemplo,	nesse	mundo	ideal	
existiria	a	ideia	de	“cadeira”	e	as	cadeiras	que	existem	em	nosso	mundo	são	cópias	ou	
representações	imperfeitas	desta	“cadeira	ideal”.	
Esse	ideal	se	refere	às	ideias	que	formamos	em	nossa	mente	acerca	de	alguma	
coisa	e	que	nos	serve	de	modelo.	Por	exemplo,	se	pretendemos	costurar	um	vestido,	
primeiro	 o	 “idealizamos”	 em	 nosso	 pensamento;	 depois	 fazemos	 um	 “molde”,	 um	
“modelo”,	 para	 só	 então	 costurarmos	 o	 vestido.	O	 vestido,	 depois	 de	 pronto,	 será	
sempre	uma	cópia	imperfeita	do	modelo	idealizado.
Nesse	mundo	 ideal,	 existiriam	 também	as	 formasaritméticas	 (as	 ideias	dos	
números)	e	as	formas	geométricas	(ideias	de	ponto,	reta,	plano,	círculo).	Do	ponto	de	
vista	platônico,	a	matemática	trata	apenas	de	objetos	que	existem	no	mundo	das	ideias	
e	o	trabalho	do	matemático	é	“descobrir”		relações	que	já	existem	e	não	são	criadas	
por	ele.
O	ponto	de	vista	do	filósofo	Aristóteles	(384-322	a.C.)	é	oposto	ao	de	Platão.	
Para ele, a matemática seria constituída de construções elaboradas pelos matemáticos 
a	partir	da	percepção	dos	objetos	do	mundo	real.
A	 contradição	 das	 ideias	 dos	 dois	 grandes	 pensadores	 gregos	 pode	 ser	
descrita,	de	maneira	resumida,	como	a	oposição	entre	o	que	é	de	responsabilidade	do	
sujeito	(raciocínio,	razão,	ideias)	e	o	que	é	de	responsabilidade	do	objeto	(percepções,	
sensações)	na	construção	do	conhecimento.	
Platão	acreditava	que	a	matemática	fazia	parte	do	mundo	das	ideias	e	assim	
o matemático, utilizando apenas a razão, o raciocínio dedutivo, “descobriria” as 
“verdades	matemáticas”	que	jamais	poderiam	ser	verificadas	mediante	uma	experiência	
com	objetos	do	mundo	real.	Aristóteles,	por	sua	vez,	acreditava	que	a	matemática	era	
constituída	a	partir	das	percepções	sensoriais	que	os	matemáticos	tinham	dos	objetos	
O CONHECIMENTO
MATEMÁTICO E AS TEORIAS
DE APRENDIZAGEM
CONCEITOS BÁSICOS EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NOS 
ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
16
do mundo real e, portanto, as verdades matemáticas poderiam ser comprovadas com 
experiências	do	mundo	real.
AS CONCEPÇÕES KANTIANA E CARTESIANA DA MATEMÁTICA
O	 filósofo	 alemão	 Kant	 (1724-1804)	 defendia	 que	 a	 responsabilidade	 pelo	
conhecimento	não	era	nem	só	do	sujeito	e	nem	só	do	objeto,	mas	da	interação	entre	
ambos.	A	matemática	seria,	para	Kant,	a	comprovação	de	sua	tese,	pois	as	verdades	
matemáticas	seriam	obtidas	mediante	a	dedução	(raciocínio	do	matemático,	 razão),	
mas	poderiam	ser	comprovadas	empiricamente,	isto	é,	mediante	a	experiência.	Dito	
de outra forma, os resultados da matemática são obtidos no mundo das ideias, mas 
podem	ser	aplicados	e	comprovados	no	mundo	real.	
O	francês	René	Descartes	(1596-1650)	comparava	o	conhecimento	em	geral	a	
uma	grande	árvore,	em	que	as	raízes	seriam	a	metafísica	(filosofia),	o	tronco,	a	física	e	
as	outras	ciências	como	a	astronomia,	a	medicina,	a	química,	constituiriam	os	ramos.	
A	matemática	seria	a	seiva	que	alimentava	a	árvore	cartesiana.	Para	o	filósofo	francês,	
a	matemática	significava	a	condição	de	possibilidade	de	conhecimento	em	qualquer	
ramo.
POR QUE ENSINAR MATEMÁTICA?
Se	você	se	dispuser	a	fazer	uma	pequena	pesquisa	acerca	das	opiniões	de	seus	
colegas	sobre	quais	seriam	as	razões	para	que	a	matemática	 faça	parte	do	currículo	
escolar,	 você	 encontrará	 três	 argumentos	 que	 representam	 todos	 os	 demais.	 Para	
alguns,	a	função	da	matemática	no	currículo	é	desenvolver	o	raciocínio;	para	outros,	a	
matemática	precisa	ser	ensinada	e	aprendida		porque	está	presente	na	vida	cotidiana	
e	a	última	possibilidade,	porque	ela	é	a	 ferramenta	para	as	demais	ciências.	É	claro	
que	o	professor	atua	em	sala	de	aula	procurando	atingir	os	objetivos	que	ele	acredita	
ser	o	motivo	pelo	qual	a	matemática	deve	ser	ensinada,	revelando	a	sua	concepção	
de	matemática,	que,	guardadas	as	devidas	proporções,	podem	ser	classificadas	como	
platônica,	aristotélica	ou	cartesiana.
A	 crença	 de	 que	 a	 matemática	 desenvolve	 o	 raciocínio	 lógico	 se	 sustenta	
filosoficamente	nas	ideias	de	Platão.	Já	a	justificativa	de	que	a	matemática	está	presente	
no	cotidiano	e	tem	aplicações	na	vida	prática	se	fundamenta	nas	ideias	de	Aristóteles.	A	
concepção	de	que	a	matemática	serve	de	ferramenta	para	as	outras	ciências	reproduz	
as	ideias	de	Descartes.
Para	os	platônicos,	a	matemática	é	uma	área	do	conhecimento	pronta,	acabada		
e	perfeita,	cuja	estrutura	formal	serve	de	modelo	para	as	demais	ciências.	A	matemática	
seria	uma	axiomática,	 isto	é,	a	partir	de	um	conjunto	de	afirmações	 imediatamente	
evidentes, admitidas universalmente como verdadeiras, mesmo sem demonstração – 
os	axiomas	–,	o	sistema	matemático	é	logicamente	deduzido.	
Ao	compreender	as	deduções	lógicas	presentes	na	construção	da	matemática,	
a	 criança	 estaria	 desenvolvendo	 o	 raciocínio,	 objetivo	 final	 da	 matemática	 escolar.	
17
Assim,	com	esse	objetivo,	ou	de	acordo	com	a	concepção	platônica	de	matemática,	seu	
ensino	não	necessitaria	de	atividades	práticas.	Bastaria	a	apresentação	pelo	professor	
das	 definições,	 exemplos,	 teoremas	 e	 exercícios	 padrões	 que	 a	 criança	 aprenderia	
repetindo-os,	até	compreender	os	raciocínios	envolvidos	e	ser	capaz	de	reproduzi-los.
Para	os	aristotélicos,	que	acreditam	que	a	matemática	está	presente	no	mundo,	
o	seu	ensino	deve	ser	centrado	basicamente	em	atividades	práticas,	em	experiências	
que	 levem	ao	desenvolvimento	da	observação	e	da	 imaginação.	Assim,	o	ensino	da	
matemática deveria partir sempre de situações contextualizadas no cotidiano da 
criança.	 A	matemática	 só	 teria	 sentido	 em	 função	de	 suas	 aplicações.	Combinando	
com	a	visão	cartesiana,	quanto	mais	interdisciplinares	forem	as	aplicações,	melhor.
Entendemos	que	o	mais	adequado	é	uma	postura	intermediária,	sustentada	
na	concepção	kantiana.	A	matemática	não	está	apenas	na	mente	do	homem	e	nem	
apenas	 no	 mundo.	 Ela	 foi	 construída	 pelo	 sujeito	 a	 partir	 de	 dados	 observáveis	
no	mundo.	Dessa	 forma,	o	 ensino	deve	partir	 daquilo	que	 é	observável,	 isto	 é,	 de	
situações-problema do dia a dia das crianças e conduzir o pensamento das crianças 
devagar,	pouco	a	pouco,	às	abstrações	características	da	matemática.
É	 preciso	 que	 o	 professor	 compreenda	 que,	 apesar	 de	 ter	 sua	 origem	nas	
coisas do mundo concreto, a matemática é constituída essencialmente de abstrações 
e	generalizações.
Atividade 2
1.	 Analisando	as	concepções	de	matemática,	qual	delas	você	acredita	que	esteja	
mais	presente	no	ensino	atual?
2.	 A	tese	ainda	hoje	defendida	de	que	a	matemática	é	uma	axiomática	se	fundamenta	
em	qual	corrente	filosófica?
3.	 E	a	de	que	a	matemática	está	presente	no	mundo?
4.	 Qual	é	a	sua	concepção	de	matemática?
5.	 É	 possível	 uma	 prática	 pedagógica	 que	 unifique	 as	 concepções	 de	 Platão,	
Aristóteles	e	Descartes?
O CONHECIMENTO MATEMÁTICO: A DIMENSÃO PSICOLÓGICA
Para	 tratarmos	da	dimensão	psicológica	do	 conhecimento	matemático,	nos	
fundamentamos	na	teoria	do	estudioso	suíço	Jean	Piaget	(1896-1980).
Com	base	na	origem	e	nos	modos	de	estruturação	dos	conhecimentos,	Piaget	
os	 classificou	em	 três	 tipos:	o	 conhecimento	 físico,	o	 lógico-matemático	e	o	 social.	
Desse modo, conhecer a natureza do conhecimento é fundamental para escolher as 
estratégias	metodológicas	adequadas	a	cada	um	deles.
O CONHECIMENTO
MATEMÁTICO E AS TEORIAS
DE APRENDIZAGEM
CONCEITOS BÁSICOS EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NOS 
ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
18
Conhecimento físico: é o conhecimento dos objetos e elementos presentes no mundo 
físico, isto é, na realidade externa, como, por exemplo, tamanho, cor, forma textura, 
espessura,	os	sons	produzidos	pelos	objetos,	o	peso,	flexibilidade,	temperatura	etc.	
Essas propriedades “estão” nos objetos e podem ser percebidas pela observação e 
experiência.	Saber	que	um	objeto	vai	cair	se	o	largamos	no	ar	é	também	um	exemplo	
de	conhecimento	físico.
Conhecimento lógico-matemático:	 está	 intimamente	 ligado	 ao	 conhecimento	
físico, todavia é elaborado a partir de ações ou relações estabelecidas sobre ou entre 
os	objetos.	Exemplificando,	quando	falamos	que	um	objeto	é	maior	do	que	o	outro,	
a propriedade maior não está em nenhum dos objetos, mas na relação estabelecida 
pelo	sujeito.
Para	 entender	melhor,	 imagine	que	 temos	 cinco	maçãs	 sobre	uma	mesa.	A	
cor,	o	cheiro	e	a	forma	das	maçãs	são	conhecimentos	físicos	que	podemos	depreender	
das	maçãs	em	si.	Agora,	ao	afirmarmos	que	uma	maçã	é	maior	do	que	a	outra,	essa	
propriedade	de	“ser	maior”	não	é	das	maçãs	em	si,	mas	surge	de	uma	comparação	
(ação	mental)	 entre	 elas	 que	 é	 estabelecidapelo	 sujeito.	 E	mais,	 essa	maçã,	 que	 é	
maior	do	que	outra,	pode	ser	menor	do	que	uma	terceira,	por	isso	esse	conhecimento	
não	 é	 da	maçã,	 é	 extraído	 da	 relação	 estabelecida	 entre	 elas.	 É	 um	 conhecimento	
matemático.
Da	mesma	forma,	quando	olhamos	para	as	cinco	maçãs,	vemos	as	maçãs,	não	
o	número	cinco.	Essa	quantidade	 foi	abstraída	a	partir	de	uma	relação	estabelecida	
entre	todas	as	maçãs	sobre	a	mesa.	A	quantidade	ou	o	número,	portanto,	não	é	um	
conhecimento	que	 se	depreende	dos	objetos	em	si,	mas	da	abstração	 feita	 a	partir	
de	uma	 ação	ou	 relação,	 ou,	 dito	 de	 outra	 forma,	 o	 número	 é	 uma	 relação	 criada	
mentalmente	por	cada	indivíduo.
Desse	modo,	embora	resulte	da	ação,	o	conhecimento	lógico-matemático	não	
é	empírico,	porque	as	ações,	nesse	caso,	são	mentais,	têm	origem	na	mente	de	cada	
indivíduo.	Ideias	como	igual,	diferente,	similar,	maior,	fino,	comprido,	cinco,	mesmo	
peso,	velocidade,	tempo	etc.	não	existem	no	mundo	externo,	observável,	mas	sim	na	
mente	do	sujeito	a	partir	das	relações	estabelecidas	entre	os	objetos.
Conhecimento social: é obtido por meio das ações do indivíduo e de suas interações 
com	outras	pessoas.	Por	exemplo,	na	situação	acima,	a	cor,	o	cheiro	e	a	forma	das	maçãs	
são	exemplos	de	conhecimento	físico;	a	quantidade	ou	a	afirmação	de	que	uma	maçã	
é	maior	do	que	a	outra	são	exemplos	de	conhecimento	matemático.	Agora,	saber	que	
o	nome	daquela	“coisa”	sobre	a	mesa	é	maçã,	que	ela	é	uma	fruta,	que	o	nome	da	sua	
cor	é	vermelho	são	exemplos	de	conhecimento	social,	porque	é	necessária	a	interação	
social	para	apreendê-lo.	Além	disso,	os	conhecimentos	físico	e	matemático	possuem	
validade	 universal,	 enquanto	 que	 o	 social	 pode	 variar,	 dependendo	 da	 cultura.	Na	
Inglaterra,	por	exemplo,	os	nomes	seriam	apple	e	red.
A	origem	do	 conhecimento	 social	 está	nas	 convenções	desenvolvidas	pelas	
19
pessoas,	como,	por	exemplo,	as	regras	morais,	os	valores,	a	cultura,	os	sistemas	de	
símbolos	e	a	própria	linguagem.	Sua	principal	característica	é	a	arbitrariedade	da	sua	
natureza.
Apesar	 de	 terem	 origens	 diferentes,	 pois	 o	 conhecimento	 físico	 tem	 sua	
origem	 no	 objeto,	 o	 conhecimento	 lógico-matemático	 tem	 origem	 no	 sujeito	 e	 o	
conhecimento	social	tem	origem	nas	convenções	sociais,	e	os	três	necessitam	de	uma	
estrutura	lógico-matemática	para	a	sua	assimilação	e	organização.
ESTRUTURAS LÓGICO-MATEMÁTICAS
Como	exemplo	de	estrutura	lógico-matemática,	podemos	citar	a	classificação. 
Classificar é	uma	forma	de	pensamento	lógico	que	vai	aos	poucos	sendo	construída	
pela	criança.	Consiste	na	ação	de	agrupar	objetos	por	semelhança,	e	a	classificação	não	
está	nos	objetos,	mas	no	classificador.	É	ele	quem	escolhe	a	propriedade,	característica	
ou	atributo	para	selecionar	determinados	objetos.
Por	 exemplo,	 uma	 criança,	 ao	 ser	 convidada	 a	 guardar	 seus	 brinquedos	
em	diversas	 caixas,	pode	 fazê-lo	mediante	diversos	 critérios.	Pode	guardar	em	uma	
caixa	os	que	têm	roda,	em	outra	os	que	servem	para	brincar	com	água,	em	outra	os	
bichinhos.	Outra	 criança	 poderia	 separar	 os	mesmos	 brinquedos	 guardando	 numa	
caixa	os	que	são	de	madeira,	noutra	os	de	plástico	e	em	outra	os	que	são	de	tecido.	Ao	
guardar	seus	brinquedos	segundo	determinados	critérios,	a	criança	está	classificando,	
selecionando.	Em	outras	palavras,	está	colocando	em	determinada	caixa	apenas	os	que	
possuem	uma	ou	mais	características	em	comum,	como	ter	rodas,	por	exemplo.
Identificar,	 selecionar	 e	 classificar	 são	 atividades	 básicas	 para	 todo	 tipo	 de	
conhecimento	e	desde	muito	cedo	começam	a	 fazer	parte	do	cotidiano	da	criança.	
É	mexendo	com	objetos	que	a	criança	distingue	seus	atributos	e	estabelece	relações	
sobre	eles.
Então,	vejamos	em	nosso	exemplo	das	maçãs:	precisamos	da	classificação	para	
saber	que	a	maçã	é	vermelha	(quer	dizer,	comparamos,	mentalmente,	a	cor	da	maçã	
com	outros	objetos	vermelhos	que	já	conhecemos	–	conhecimento	físico).	
Da	mesma	forma,	precisamos	dessa	estrutura	de	classificação	para	sabermos	
nos	comportar	socialmente,	como	para	reconhecer	um	“palavrão”.	Para	isso,	é	preciso	
separar	 mentalmente	 o	 palavrão	 das	 palavras	 que	 são	 aceitas	 socialmente,	 o	 que	
constitui	um	conhecimento	social.	
É	 possível	 entender	 melhor	 agora	 o	 que	 foi	 dito	 quando	 estudamos	 as	
dimensões	filosóficas	do	conhecimento	matemático:	ele	tem	origem	nas	percepções	
sensoriais, mas constituem essencialmente abstrações!
O	conhecimento	ou,	segundo	alguns	autores,	o	pensamento	matemático	tem	
origem	nas	percepções	e	ações	da	criança,	desde	o	seu	nascimento,	e	continua	a	se	
desenvolver	durante	toda	a	vida	do	indivíduo.
No decorrer de seu desenvolvimento o conhecimento matemático assume 
muitas	 faces,	 como:	 percepção	 (discriminação	 de	 quantidades),	 linguagem	 (a	
O CONHECIMENTO
MATEMÁTICO E AS TEORIAS
DE APRENDIZAGEM
CONCEITOS BÁSICOS EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NOS 
ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
20
gramática	 das	 palavras	 usadas	 para	 contar),	 resolução	 de	 problemas	 (problemas	
verbais),	 procedimentos	 mentais	 (cálculo	 mental),	 compreensão	 (esquema	 parte-
todo),	dedução,	indução,	generalização,	localização	espacial	e	temporal	etc.
Portanto,	 as	 atividades	matemáticas	não	estão	 restritas	 apenas	às	 atividades	
que	utilizam	números!	O	conhecimento	matemático	está	presente	tanto	em	conteúdos	
no	contexto	da	educação	formal,	quanto	em	atividades	extraclasses,	compreendendo	
tanto	 conhecimento	 intuitivo	 e	 informal	 quanto	 codificações	 abstratas	 escritas.	 Ele	
envolve	tanto	atividades	de	repetição	quanto	as	mais	elevadas	formas	da	criatividade	
humana.	
Atividade 3
1.	 Quais	as	características	do	pensamento	matemático	que	o	diferencia	das	demais	
maneiras	de	pensar?
2.	 Cite	diferentes	formas	de	expressão	do	pensamento	matemático.
3.	 O	 raciocínio	 lógico-matemático	 está	 presente	 apenas	 quando	 se	 trata	 de	
conhecimento	matemático?
O CONHECIMENTO MATEMÁTICO: DIMENSÃO SOCIOLÓGICA
Quando se trata de analisar o conhecimento matemático mediante sua 
dimensão	sociológica,	existem	três	aspectos	que	devem	ser	abordados:
a)	 A	 influência	 do	 contexto	 social	 na	 construção	 do	 conhecimento	matemático	
pela	humanidade;
b)	 A	 influência	da	 interação	social	no	processo	de	construção	do	conhecimento	
matemático	pelas	crianças;
c)	 A	importância	do	conhecimento	matemático	na	vida	social	das	pessoas.
O CONTEXTO SOCIAL NA CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO 
MATEMÁTICO 
Já	vimos	anteriormente	que	a	matemática	foi	construída	pelo	homem	porque	
este,	 em	 sua	 luta	 pela	 própria	 sobrevivência,	 teve	 necessidade	 de	 compreender	 os	
fenômenos	 da	 natureza	 para	 transformá-la	 e	 continuar	 se	 desenvolvendo.	 Como	
a	 natureza	 é	 rica	 em	 fenômenos,	 o	 homem	 foi	 observando	 e	 tentando	 entender	 e	
explicar	tudo	o	que	ocorria	à	sua	volta,	durante	muitos	séculos.	
Um	 ótimo	 exemplo	 da	 influência	 do	 contexto	 social	 na	 construção	 dos	
conhecimentos	matemáticos	é	 a	 construção	do	número.	Durante	muitos	 séculos,	 a	
humanidade	 não	 teve	 necessidade	 de	 construir	 um	 sistema	 de	 palavras-número,	
ou	mesmo	de	contar.	A	contagem	só	se	 tornou	necessária	quando	surgiram	muitos	
21
indivíduos semelhantes,	que	um	rápido	olhar	não	pudesse	diferenciá-los.
Atualmente, ainda há tribos cujo sistema de numeração se resume a “um, dois 
e	muitos”	e	isso	não	por	incapacidade	lógica,	pois	essas	mesmas	tribos	são	capazes	de	
identificar,	por	meio	de	oito	palavras	distintas,	as	sutis	diferenças	entre	os	piados	de	
um mesmo pássaro! 
Existem	 povos	 que	 habitam	 as	 geleiras	 da	 Sibéria	 que	 também	 contam	 da	
maneira anteriormente descrita, mas possuem vinte palavras diferentes para a palavra 
gelo	e	quarenta	para	a	palavra	neve!	
Para	 Santos	 (2002),	 a	 matemática	 foi	 construída	 ao	 mesmo	 tempo	 como	
uma forma de pensamento e como uma ferramenta que	o	homem	utilizava	para	
organizar	 suas	 ideias	e	para	 ajudar	 a	entender	as	 leis	que	governamos	 fenômenos	
naturais.
Pela	via	da	história,	podemos	perceber	que	foram	os	problemas	enfrentados	
pelo	homem,	em	cada	cultura	e	época,	que	serviram	de	base	para	o	desenvolvimento	da	
matemática.	Como	exemplo,	as	enchentes	do	Nilo	impulsionaram	o	desenvolvimento	
da	 geometria	 egípcia;	 o	 forte	 comércio	 da	 região	 da	Mesopotâmia	 fez	 com	que	 os	
babilônios	tivessem	uma	aritmética	bastante	desenvolvida.	
INTERAÇÃO SOCIAL NO PROCESSO DE CONSTRUÇÃO DO 
CONHECIMENTO MATEMÁTICO PELAS CRIANÇAS
Conforme	 vimos	 quando	 estudamos	 a	 dimensão	 histórica,	 a	 origem	 dos	
conhecimentos	matemáticos	é	social.	Ela	foi	construída	a	partir	das	necessidades	da	
humanidade	e	ganha	grande	impulso	com	o	surgimento	da	agricultura	que	permite	a	
fixação	do	homem	primitivo	e	a	consequente	vida	em	sociedade.
Discorrendo ainda sobre conhecimentos matemáticos, como uma criança 
aprenderia	 as	 palavras-número	 (nome	 dos	 números)	 se	 não	 tivesse	 alguém	 para	
ensiná-la?	E	não	apenas	as	palavras-número,	mas	toda	a	simbologia,	a	linguagem	da	
matemática,	os	algoritmos,	os	teoremas,	as	fórmulas?	O	conhecimento	acumulado	pela	
ciência	matemática	necessita	da	transmissão	social	para	ser	assimilado	pelo	indivíduo.
Além	 disso,	 não	 é	 possível	 	 negar	 a	 importância	 do	 estabelecimento	 de	
ligações	 entre	 a	matemática	 escolar	 e	 as	 situações	do	 cotidiano	para	 que	 a	 criança	
possa	 atribuir	 significado	 às	 operações	 e	procedimentos	matemáticos.	 Esse	 tipo	de	
contextualização,	que	objetiva	aproximar	o	saber	escolar	com	a	matemática	usada	
na	 vida	 da	 criança,	 estabelece	 uma	 importância	 fundamental	 à	 dimensão	 social	
dos	 conhecimentos	 matemáticos.	 Os	 problemas	 matemáticos	 que	 surgem	 nessas	
contextualizações	 e	que	possuem	maior	 significado	para	 as	 crianças	 são	problemas	
sociais.	
A	 importância	 do	 fator	 social	 não	 se	 esgota	 nessas	 situações;	 na	 verdade,	
a interação da criança com seu professor e com seus pares constitui-se mesmo 
em condição indispensável tanto para a construção individual do conhecimento 
O CONHECIMENTO
MATEMÁTICO E AS TEORIAS
DE APRENDIZAGEM
CONCEITOS BÁSICOS EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NOS 
ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
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matemático	 quanto	 para	 a	 aprendizagem	 da	 matemática	 escolar	 pela	 criança.	 São	
diversos	os	autores,	entre	eles	Piaget,	Vygotsky	e	Gardner,	que	ressaltam	a	importância	
das	relações	interpessoais	nos	processos	de	ensino	e	de	aprendizagem.
O falar sobre o	que	se	está	estudando	é	um	ótimo	facilitador	da	aprendizagem.	
Por	exemplo,	tente	explicar	para	seus	familiares	ou	colegas	de	trabalho	o	que	você	está	
estudando	nesta	disciplina.	Você	verá	que,	à	medida	que	você	tenta	tornar	o	assunto	
compreensível	 para	 as	 demais	 pessoas,	 você	 também	o	 entenderá	melhor.	 Se	 seus	
ouvintes	fizerem	perguntas	ou	discordarem	do	que	está	sendo	dito	e	você	tiver	que	
argumentar	 para	 convencê-los,	 melhor	 ainda.	 Você	 perceberá	 o	 conhecimento	 se	
solidificando	e	que	você	terá	menos	dificuldades	para	lembrar-se	do	tema	em	outras	
ocasiões.
Essa	crença	na	 importância	da	 interação	social	 fez	com	que	a	Resolução	de	
Problemas	e	o	Uso	de	jogos	em	sala	de	aula	fossem	as	abordagens	educacionais	mais	
recomendadas	 para	 a	 prática	 pedagógica	 na	 Educação	 Matemática	 escolar	 porque	
possibilitam	 às	 crianças	 conversarem	 sobre	 o	 que	 estão	 aprendendo;	 permite	 que	
discutam,	elaborem	conjecturas,	argumentem,	enfim,	pensem	matematicamente.
A IMPORTÂNCIA DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO NA VIDA SOCIAL 
DAS PESSOAS
A	matemática	dos	anos	iniciais	do	Ensino	Fundamental,	muitas	vezes,	é	a	única	
a	que	uma	grande	parcela	da	população	brasileira	tem	acesso.	Assim,	o	trabalho	inicial	
com	a	matemática	é	essencial	para	a	vida	 futura	do	cidadão,	não	apenas	no	que	se	
refere	à	 formação	de	conceitos,	 como,	 também,	na	competência	no	cálculo	mental	
para	saber	utilizá-lo	em	situações	de	vida	real	e	no	trabalho	com	segurança.
Os	anos	iniciais	do	Ensino	Fundamental	constituem	o	início	de	um	caminho	
que	o	 aluno	deverá	 trilhar	 para	 se	 transformar	 em	 cidadão,	 aprendendo	 a	 decifrar	
os	 códigos	 da	 cultura	 matemática;	 compreendendo	 informações	 quantificadas	
apresentadas	 sob	 a	 forma	 de	 “tabelas	 e	 gráficos”;	 e,	 ainda,	 se	 tornando	 capaz	 de	
identificar	embalagens	enganosas,	preços	de	falsas	liquidações	ou	mesmo	os	chamados	
crediários	a	perder	de	vista.	
A matemática é um poderoso instrumento de compreensão do mundo e a 
interpretação	adequada	de	seus	conceitos,	aliada	à	habilidade	de	efetuar	mentalmente	
cálculos	simples	e	estimar	quantidades	(pelo	menos	a	ordem	de	grandeza),	habilita	a	
pessoa	a	exercer	sua	cidadania	de	forma	mais	imediata.	É	essa	habilidade	(e	a	confiança	
nela)	que	nos	encoraja	a	duvidar,	questionar	e	a	apresentar	argumentos	matemáticos	
baseados	em	estimativas.
Esse deve ser o principal objetivo do ensino de matemática nos anos iniciais 
do	Ensino	Fundamental:	preparar	o	indivíduo	para	o	exercício	pleno	da	sua	cidadania	
e	a	sua	interação	com	o	mundo.
23
Atividade 4
1.	 Quais	 os	 três	 aspectos	 que	 devem	 ser	 abordados	 quando	 nos	 referimos	 à	
dimensão	sociológica	do	conhecimento	matemático?	Explique	cada	um	deles.
2.	 Você	concorda	com	essa	divisão?	Justifique.
3.	 Você	seria	capaz	de	estabelecer	uma	ordem	de	importância	para	esses	aspectos?	
Justifique.
4.	 O	ensino	de	matemática	como	é	realizado	atualmente	contempla	igualmente	os	
três	aspectos	da	dimensão	sociológica?	Justifique.
TEORIAS DE APRENDIZAGEM E O ENSINO DE MATEMÁTICA
Diversas	 pesquisas	 foram	 realizadas,	 principalmente	 a	 partir	 das	 primeiras	
décadas	 do	 século	 XX,	 tentando	 decifrar	 como	 é	 que	 aprendemos	 levando	 em	
consideração	um	problema	que	 intriga	 os	 pensadores	 desde	 a	 Antiguidade:	 “como	
é	que	o	sujeito	se	relaciona	com	o	meio	em	que	está	inserido”,	dito	de	outra	forma,	
“como	é	que	o	sujeito	se	relaciona	com	o	objeto”.	Traduzindo	para	o	contexto	escolar,	
como	é	que	a	criança	(sujeito)	aprende	(se	relaciona	com)	um	conhecimento	(objeto).	
O	que	é	considerado	objeto	nas	diversas	 teorias	é	 tudo	o	que	existe	no	“meio”;	as	
pessoas,	as	coisas,	a	arte,	a	cultura,	os	conhecimentos,	etc.
Desses	 estudos	 resultaram	 o	 que	 estamos	 chamando	 de	 Teorias	 de	
Aprendizagem.	 Vamos	 tratar	 aqui	 apenas	 das	 mais	 difundidas	 entre	 nós:	 o	
comportamentalismo	 (Behaviorismo)	de	Skinner;	o	construtivismo genético de 
Jean	Piaget;	o	sócio-interacionismo	de	Vygotsky,	as iInteligências múltiplas de 
Gardner e as contribuições das neurociências, sempre destacando suas implicações 
no	ensino	da	matemática.
BEHAVIORISMO OU COMPORTAMENTALISMO
O	principal	estudioso	dessa	teoria	foi	o	norte-americano	Frederic	B.	Skinner	
(1904-1990).
Fundamentado	 na	 teoria	 filosófica	 empirista,	 o	 modelo	 behaviorista	 de	
aprendizagem	é	 centrado	em	condições	externas	e	no	comportamento	dos	 alunos.	
Como	se	pauta	em	“mudanças	de	comportamento”	para	verificar	se	aconteceu	alguma	
aprendizagem,	 é	 essencial	 a	 existência	 de	parâmetros	para	medir,	 comparar,	 testar,	
experimentar,	 prever	 e	 controlar	 eventos	para	 explicar	 o	 objeto	da	 investigação.	O	
behaviorismo	de	 Skinner	não	 aceita	 que	 a	mente	humana	possa	 ter	uma	 realidade	
diferente	da	corpórea.
De	 maneira	 bastante	 simplificada,	 podemos	 dizer	 que	 para	 o	 empirismo	
o	 conhecimento	 é	 adquirido	 “de	 fora	 para	 dentro”,	 através	 dos	 sentidos	 ou	 da	
experiência,	isto	é,	a	criança	aprende	pela	observação	e	repetição	de	experiências.	É	
como	quando	o	professor	de	física	ou	de	biologia	diz	que	vai	dar	uma	aula	“prática”	e	
O CONHECIMENTO
MATEMÁTICO E AS TEORIAS
DE APRENDIZAGEM
CONCEITOS BÁSICOS EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NOS 
ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
24
leva	as	crianças	ao	laboratório.	Só	que	é	ele,	professor,	que	“realiza”	as	experiências,	
enquanto	as	crianças	olham.	Ou	mesmo	quando	a	criança	até	realiza	a	experiência,	
mas	a	realiza	seguindo	uma	série	de	instruções	programadas	pelo	professor.Essas	 teorias	constituem	a	base	da	escola	 tradicional,	aquela	voltada	para	o	
que	 é	 ensinado.	 A	 concepção	predominante	nesse	 caso	 é	 a	 de	 que	o	professor	 dá	
educação	para	a	criança.	A	criança	recebe	(passivamente)	educação.	Ou,	o	professor	
transmite	o	conhecimento	e	a	criança	se	apropria	do	que	foi	transmitido.
Algumas	metáforas	podem	ser	utilizadas	para	descrever	os	fundamentos	dessa	
teoria,	como:	a	criança	é	um	“vaso”	onde	se	pode	colocar	o	conhecimento,	a	criança	é	
uma	“folha	em	branco”	na	qual	o	professor	pode	escrever	à	vontade	ou	a	criança	é	um	
bocado	de	barro	que	pode	ser	moldado	na	forma	desejada	pela	sociedade.
A	 prática	 escolar	 behaviorista	 apresenta	 planejamento	 rígido,	 organização,	
execução	das	atividades	sob	a	responsabilidade	do	professor	que	ainda	julga	e	utiliza	
diversos	 artifícios	 para	 reforçar	 positivamente	 os	 comportamentos	 ensinados.	 Essa	
concepção	 destaca,	 ainda,	 a	 necessidade	 de	 reforço,	 a	 importância	 de	 assegurar	
oportunidades	 em	 sala	 de	 aula,	 para	 que	 o	 aluno	 tenha	 condições	 de	 emitir	 os	
comportamentos	esperados	para	os	objetivos	estabelecidos.
Assim,	ensinar	consiste	em	explicar	(até	a	exaustão)	e	aprender	consiste	em	
repetir	(ou	exercitar)	o	ensinado	até	ser	capaz	de	reproduzi-lo	fielmente.
De acordo com essa teoria, embora não seja dito abertamente, o ser humano 
é passivo ao meio e pode ser manipulado e controlado pela simples alteração das 
situações	em	que	se	encontra.
O	 ensino	 da	 matemática	 quando	 se	 tem	 o	 comportamentalismo	 como	
concepção	 de	 aprendizagem	 é	 muito	 próximo	 do	 estado	 atual,	 apresentado	 a	
sequência:	 definições,	 exemplos	 e	 muitos	 exercícios,	 dominando	 as	 salas	 de	 aula.	
Assim,	 o	 professor	 “ensina”,	 apresenta	 as	 definições,	 dá	 exemplos	 e	 depois	 uma	
série de exercícios do mesmo modelo dos exemplos apresentados para as crianças 
resolverem.	A	 crença	é	de	que	a	 aprendizagem	é	decorrente	de	uma	hierarquia	de	
experiências	 (grau	 de	 dificuldade	 dos	 exercícios).	 A	 observação	 e	 a	 imitação	 como	
princípios	 de	 ensino	 deixam	 clara	 a	 importância	 dos	 aspectos	 perceptivos	 nessa	
concepção	de	aprendizagem.
Atividade 5
1.	 Qual	a	importância	do	professor	conhecer	as	teorias	de	aprendizagem?
2.	 Em	que	se	fundamenta	o	behaviorismo?
3.	 Estabeleça	os	principais	aspectos	do	behaviorismo.
4.	 Como	age	em	sala	de	aula	um	professor	que	se	apoia	teoricamente	em	Skinner?	
E	no	empirismo?
5.	 Qual	é	o	 tipo	de	 indivíduo	que	estamos	 formando	quando	sustentados	pelo	
behaviorismo?
25
SÓCIO-INTERACIONISMO DE VYGOTSKY
A	 teoria	 histórico-cultural	 parte	do	pressuposto	de	que	 a	 criança	 é	um	 ser	
social	desde	o	seu	nascimento.	Desse	modo,	se	forem	proporcionadas	as	condições	
adequadas	de	vida	e	de	educação	desde	o	 seu	nascimento,	a	 criança	 será	capaz	de	
desenvolver	 seu	 pensamento,	 sentimentos,	 hábitos	 morais	 e	 sua	 personalidade.	
Por	 condições	 adequadas	 entende-se	 aqui	 a	mediação	 social	 ou	 a	 ajuda	 de	 outros	
indivíduos.	Para	essa	corrente,	o	pensamento	da	criança	vai	do	social	para	o	individual.
Por	ter	como	seu	principal	representante	o	psicólogo	russo	Liev	S.	Vygotsky	
(1896-1934),	 essa	 teoria	 é	 também	conhecida	 como	 a	 escola	 de	Vygotsky	ou	 ainda	
como sócio-interacionismo.
O	ser	humano	é	ativo	e	o	seu	pensamento	é	construído	gradativamente	no	
ambiente	histórico	e	 social,	pois	as	 transformações	na	estrutura	de	 interação	social	
refletem	nas	 estruturas	 do	pensamento	humano,	 orientando	 seu	modo	de	 agir,	 de	
perceber	o	real	e	a	constituição	da	sua	consciência.	Para	Vygotsky,	todavia,	a	realidade	
não	 é	 um	 fenômeno	 ou	 um	 objeto	 que	 possamos	 receber	 “pronta”;	 ao	 contrário,	
apreender	a	realidade	exige	uma	construção	que	envolve	a	socialização	e,	portanto,	a	
comunicação	entre	os	indivíduos.
A	 linguagem,	 nesse	 contexto,	 desempenha	 papel	 preponderante	 no	
desenvolvimento	do	pensamento	e	no	processo	de	aprendizagem.	Essa	é	a	principal	
razão	para	o	cuidado	que	devemos	tomar	para	não	confundir	a	importância	atribuída	
por	essa	corrente	à	linguagem	com	uma	“defesa”	do	ensino	por	“transmissão	oral”.	A	
proposta	de	educação	que	se	 fundamenta	nessa	 teoria	de	aprendizagem	tem	como	
princípio	que	a	ação	do	indivíduo	é	essencial	no	desenrolar	de	seu	próprio	processo	
psicológico.
Assim,	 para	 Vygotsky,	 só	 nos	 apropriamos	 de	 algum	 conceito	 quando	
aprendemos	a	fazer	uso	social	dele.	Por	exemplo,	uma	criança	só	vai	“conhecer”	um	
copo,	por	exemplo,		quando	for	capaz	de	utilizá-lo	com	o	seu	uso	social.	Para	isso,	ela	
precisa	interagir	com	alguém	que	sabe	usá-lo.
Vygotsky	 não	 aceita	 a	 tese	 de	 que	 a	 criança	 passa	 por	 diversos	 estágios	
cognitivos,	 pois	 existiria,	 segundo	 ele,	 uma	 contínua	 interação	 entre	 as	 inúmeras	
diversidades	das	condições	sociais	e	a	base	biológica	do	comportamento	humano.
Em resumo, o aspecto mais difundido do	sócio-interacionismo	de	Vygotsky	
são	as	 fortes	 relações	entre	pensamento	e	 linguagem.	É	a	palavra	que	dá	 forma	ao	
pensamento,	modificando	 suas	 funções	psicológicas,	percepção,	 atenção,	memória,	
capacidade	de	solucionar	problemas	e	o	planejamento	da	ação.
O	conceito mais inovador e, portanto, mais importante dessa teoria é o 
de zona de desenvolvimento proximal.	 De	 maneira	 bem	 simples,	 essa	 “zona	
de desenvolvimento proximal” seria determinada pela consideração, de maneira 
simultânea,	 do	 desenvolvimento real da criança e do seu desenvolvimento 
potencial.
O CONHECIMENTO
MATEMÁTICO E AS TEORIAS
DE APRENDIZAGEM
CONCEITOS BÁSICOS EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NOS 
ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
26
O	 desenvolvimento	 real	 é	 determinado	 pela	 sua	 capacidade	 ou	 não	 de	
solucionar problemas e o desenvolvimento potencial é a capacidade de desempenhar 
tarefas	com	a	ajuda	de	adultos	ou	companheiros	mais	capazes.
Essa possibilidade de alterar o comportamento da criança mediante a 
interferência	de	um	adulto	é	que	impediria,	segundo	Vygotsky,	o	estabelecimento	de	
estágios	de	desenvolvimento	cognitivo	como	proposto	por	Piaget,	pois,	dependendo	
das	interferências	recebidas,	as	crianças	evoluiriam	de	maneira	diferente.
Os	fatores	biológicos,	de	acordo	com	essa	teoria,	prevalecem	sobre	os	sociais	
apenas	 nos	 primeiros	 anos	 de	 vida,	 porque	 gradativamente	 as	 interações	 sociais	
com adultos ou companheiros mais experientes são interiorizadas, provocando o 
redimensionamento	do	comportamento	e	do	pensamento.
O	professor	é	entendido,	nesse	contexto,	como	o	mediador do processo de 
ensino	e	aprendizagem.	É	o	professor	que	possibilita	ao	aluno	o	acesso	às	relações	
humanas	que	não	estão	normalmente	à	disposição	em	seu	cotidiano.	O	princípio	básico	
para	a	educação	é:	quem	sabe	faz	junto	com	quem	não	sabe,	mostrando,	explicando,	
perguntando,	propondo	problemas,	 estimulando	o	 aluno	a	 investigar	para	que,	de	
maneira	gradativa,	quem	está	aprendendo	vá	adquirindo	uma	autonomia	que	lhe	dê	
segurança	para	realizar	todo	o	processo	sozinho.	Desse	modo,	a	ação	do	indivíduo	é	
fundamental	no	desenrolar	de	seu	próprio	processo	psicológico.	
O	ensino de matemática nessa perspectiva deve, primordialmente, mostrar a 
relação	direta	do	que	se	está	estudando	e	a	realidade,	evitando	que	o	saber	matemático	
continue	aparentando	estar	na	contramão	do	saber	da	vida.	Como	a	interação	social	
é	essencial	ao	processo	de	ensino-aprendizagem,	a	metodologia	mais	adequada	é	o	
estudo	em	grupos.	Essa	sistemática	de	trabalho	nas	aulas	de	matemática	é	compatível	
com	as	estratégias	de	“Resolução	de	Problemas”	e	“Uso	de	Jogos”	que,	além	de	serem	
propícias	à	contextualização,	também	são	ricas	em	situações	que	permitem	discussões	
interessantes.
Atividade 6
1. Destaque	três	pontos	que	você	considerou	importantes	na	teoria	de	Vygotsky
2. Caracterize	o	ensino	de	matemática	fundamentado	no	sócio-interacionismo	de	
Vygotsky.
3. Explique,	 com	 suas	 próprias	 palavras,	 o	 que	 é	 zona	 de	 desenvolvimento	
proximal	e	qual	a	sua	importânciapara	a	sala	de	aula.
4. O	que	você	acha	do	trabalho	em	grupos	com	crianças?
27
O CONSTRUTIVISMO DE JEAN PIAGET
O	suíço	Jean	Piaget	(1896-1980)	é	o	mais	conhecido	dos	teóricos	que	defendem	
a	visão	construtivista.	Durante	muito	tempo,	sempre	que	se	falava	em	Piaget	ou	em	
Psicologia	Genética	imediatamente	se	pensava	nos	níveis	ou	estágios.	São	eles:	
1.	Sensório-motor	(0	a	2	anos):	governado	pelas	percepções	sensoriais	e	esquemas	
motores.	A	criança	explora	o	mundo	mediante	seus	sentidos	e	seu	corpo.
2.	 Intuitivo ou pré-operatório	 (2	 a	 7	 anos):	 marcado	 pelo	 aparecimento	 da	
linguagem	oral,	que	permite	à	criança	“agir	em	pensamento”	e	o	estabelecimento	da	
representação	 simbólica	 da	 realidade.	 O	 pensamento	 é	 ainda	 egocêntrico,	 por	 ser	
rígido	e	ter	a	própria	criança	como	ponto	de	referência.
Como	o	pensamento	ainda	depende	muito	da	percepção	(do	que	vê,	ouve	
etc.),	a	criança	deste	período	não	é	capaz	de	reversibilidade,	que	é	a	capacidade	de	fazer	
mental e simultaneamente duas ações opostas, ou seja, “retornar em pensamento ao 
ponto	de	partida”	e	“desfazer”	em	pensamento	alguma	ação	realizada	concretamente.	
Por	exemplo,	quando	dividimos	o	conteúdo	de	um	copo	de	água	em	dois	outros	copos,	
a	 criança	desse	período	 acha	que	 a	 quantidade	de	 água	mudou.	Ela	não	 consegue	
“retornar	mentalmente	a	água	ao	copo	 inicial”,	 isto	é,	desmanchar	em	pensamento	
a	ação	realizada	para	ter	a	certeza	de	que	nada	foi	retirado	nem	acrescentado.	Ela	se	
prende,	ao	que	vê.	Dependendo	do	tamanho	dos	copos,	ela	pode	dizer	que	aumentou	
ou	diminuiu	a	quantidade	de	água.	É	a	essa	situação	(da	quantidade	mudar	em	função	
da	forma)	que	chamamos	de	ausência	de	conservação	de	quantidade.
3.	Operatório	(7	a	11	anos)	apresenta	preponderância	do	pensamento	lógico.	Porém,	
apesar	de	basear	suas	conclusões	muito	mais	no	raciocínio	do	que	na	percepção,	a	
criança	só	pensa	“concretamente”,	isto	é,	precisa	de	apoio	concreto	para	realizar	suas	
ações	mentais.	Por	isso	que	a	criança	nessa	faixa	etária	precisa	do	apoio	dos	dedos,	
de	risquinhos	ou	desenhos	para	realizar	operações	ou	resolver	problemas.	A	criança	
aqui	 já	é	capaz	de	reversibilidade,	que,	conforme	Piaget,	 tem	origem	nas	ações	dos	
primeiros	meses	de	 vida,	quando	a	 criança	 afasta	 a	mamadeira	e	depois	 a	puxa	de	
volta,	por	exemplo,	desenvolvendo	a	capacidade	de	coordenar	ações	e	processos.
4.	Lógico – formal (a	partir	dos	12	anos)	o	sujeito	já	raciocina	sobre	o	possível,	isto	
é,	não	precisa	mais	do	apoio	concreto.	Em	outras	palavras,	o	pensamento	fica	livre	das	
limitações	da	realidade	e	o	sujeito	é	capaz	de	pensar	abstratamente.
É	importante	que	fique	bem	claro	que	as	idades	estabelecidas	como	limitantes	
para	os	períodos	são	apenas	prováveis.	
A	 teoria	 piagetiana	 vai	 além	 desses	 aspectos,	 particularmente	 as	 pesquisas	
referentes	ao	desenvolvimento	do	conhecimento	lógico-matemático,	do	conhecimento	
físico,	do	conhecimento	social	e	cultural;	as	origens	e	o	desenvolvimento	da	linguagem	
e o desenvolvimento moral são fundamentais para a compreensão do processo 
educacional.
O	conhecimento,	para	Piaget,	é	uma	construção	contínua	desde	o	nascimento	
do	 indivíduo,	 havendo	 continuidade	 entre	 os	 quatro	 estágios	 de	 desenvolvimento	
O CONHECIMENTO
MATEMÁTICO E AS TEORIAS
DE APRENDIZAGEM
CONCEITOS BÁSICOS EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NOS 
ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
28
cognitivo	pelos	quais	todos	nós	passamos,	sem	pular	nenhum.
As	 pesquisas	 piagetianas	 relativas	 ao	 desenvolvimento	 do	 conhecimento	
lógico-matemático,	 do	 conhecimento	 físico,	 do	 conhecimento	 social	 e	 cultural;	 as	
origens	e	o	desenvolvimento	da	linguagem	e	o	desenvolvimento	moral	são	essenciais	
para	a	compreensão	do	processo	educacional.	Na	verdade,	seria	importante	que	todo	
educador	conhecesse	não	apenas	os	conteúdos	específicos	a	ensinar,	mas,	também,	
quais	são	os	mecanismos	operatórios	da	inteligência	necessários	à	compreensão	dos	
diferentes	tipos	de	conhecimento,	o	físico,	o	lógico-matemático	e	o	social.
Dois	pontos	 são	primordiais	para	 toda	proposta	educativa	que	 considera	 a	
teoria	piagetiana:
•	 A	ação	está	na	base	de	todo	desenvolvimento	cognitivo	e	de	toda	aprendizagem;
•	 O	principal	objetivo	de	toda	educação	é	o	desenvolvimento	da	autonomia,	isto	
é,	tornar	a	criança	segura,	criativa,	independente,	capaz	de	resolver	problemas	
e	de	ser	agente	da	sua	própria	aprendizagem.
Assim,	 a	 sala	 de	 aula	 de	 matemática	 deve	 criar	 condições	 para	 que	 a	
aprendizagem	seja	um	processo	ativo	de	elaboração,	 com	o	aluno	construindo	seu	
conhecimento.	Aqui,	o	professor	não	é	a	figura	central	do	processo,	o	detentor	do	
saber,	o	“ator	principal”,	mas	o	orientador,	o	“perguntador”,	que	apresenta	as	questões,	
o	 “diretor	do	espetáculo”.	 As	 estratégias	da	 “Resolução	de	Problemas”,	do	 “Uso	de	
Jogos”,	a	que	recomenda	a	“Utilização	de	Novas	Tecnologias”	adaptam-se	muito	bem	
aos	pressupostos	piagetianos.
A	 principal	 preocupação	 é	 com	 a	 abordagem	 global	 de	 situações;	 as	
atividades	propostas	devem	privilegiar	os	processos de pensamento essenciais em 
matemática,	como,	por	exemplo,	comparar,	abstrair,	generalizar,	analisar,	sintetizar,	
estabelecer	relação	parte-todo	etc.
Em	uma	ação	pedagógica	voltada	para	a	construção	do	conhecimento,	não	
interessam	resultados	“fiéis”	e	“repetitivos”,	mas	o	que	interessa	é	que	os	alunos	não	
cometam	os	mesmos	erros.	O	objetivo	maior	não	é	a	objetividade,	mas	a	abertura,	
admitindo	 diferentes	 percursos	 de	 soluções	 e	 rejeitando,	 sempre	 que	 possível,	
classificações	 em	 termos	 de	 “certo”	 ou	 “errado”.	O	 “erro”	 do	 aluno	 é	 considerado	
como	importante	auxiliar	para	que	o	professor	reveja	estratégias	e	compreenda	qual	
é	 o	 problema	 que	 seu	 aluno	 está	 enfrentando.	 Portanto,	 solicitar	 a	 explicação	 do	
aluno	sobre	“como”	resolveu	um	problema,	ou	“por	que”	o	resolveu	de	determinada	
maneira	deve	ser	uma	constante	na	prática	pedagógica	diária,	independente	da	solução	
apresentada	estar	“certa”	ou	“errada”.
Atividade 7
1. Explique	o	que	significa	no	contexto	piagetiano	afirmar	que	“o	conhecimento	
não	se	transmite,	mas	se	constrói”.
29
2. Destaque	 as	 principais	 características	 do	 conhecimento	 físico,	 do	 lógico-
matemático	e	do	social.
3. Qual	o	significado	atribuído	à	palavra	ação	no	contexto	da	teoria	piagetiana?
 
OUTRAS TEORIAS 
Estudamos	até	aqui	as	três	principais	teorias	que	fundamentam	as	propostas	
pedagógicas.	Atualmente,	estão	sendo	realizadas	muitas	pesquisas	 interdisciplinares	
para	compreender	os	processos	mentais	envolvidos	na	construção	do	conhecimento.
Vamos	apresentar	poucas	linhas	a	respeito	de	algumas	delas,	com	a	intenção	de	
deixar	você	informado	sobre	o	assunto.	A	razão	para	que	este	estudo	não	se	aprofunde	
mais	é	porque	ainda	não	estão	bem	estabelecidas	as	implicações	pedagógicas	de	cada	
uma	delas,	com	exceção	da	Teoria	das	Inteligências	Múltiplas.
Ciência Cognitiva:	 essa	 ciência	 procura,	 mediante	 a	 realização	 de	
experiências,	responder	questões	relacionadas	com	a	natureza	do	conhecimento,	seus	
componentes,	suas	origens,	seu	desenvolvimento	e	como	se	manifesta.	Seu	objeto	de	
estudo	é	o	conhecimento,	qualquer	tipo	de	conhecimento.	Para	essa	ciência,	humanos,	
animais	e	máquinas	possuem	inteligência,	cada	uma	de	um	tipo	diferente.	
A	ciência	cognitiva	se	 fundamenta	em	diversas	disciplinas,	como	a	filosofia,	
a	 antropologia,	 a	 psicologia,	 a	 neurociência,	 a	 informática.	 O	 principal	 ponto	 a	
ser	 considerado	 nessa	 teoria	 é	 que	 os	 processos	 de	 representações	 mentais	 estão	
relacionados	 ao	 sistema	 biológico	 e	 ao	 sociocultural,	 mas	 constituem	 um	 sistema	
separado	e	distinto	desses	dois.	
TEORIA DAS INTELIGÊNCIAS MÚLTIPLAS
O	 formulador	 dessa	 teoria	 é	 o	 norte-americano	 Howard	 Gardner,	 um	 dos	
expoentes	 da	 ciência	 cognitiva.	 Gardner	 desenvolveu	 sua	 pesquisa	 com	 base	 em	
estudos	 realizados	 em	 Neurobiologia	 e	 relatou	 ter	 encontrado	 indícios	 acercade	
possíveis	“tipos	naturais”	de	inteligência	humana.	
Para	 esse	 pesquisador,	 a	 cultura	 desempenha	 papel	 importante	 no	
desenvolvimento	dessas	inteligências.	Em	outras	palavras,	cada	sociedade	ou	cultura	é	
caracterizada	por	uma	natureza	cognitiva	própria,	com	formas	de	expressão	específicas	
em	nível	de	pensamento.		
Gardner	identificou	inicialmente	sete	“inteligências”	em	cada	pessoa	ou,	dito	
de	 outra	 forma,	 a	 inteligência	 é	 composta	 por	 um	 espectro	 de	 sete	 competências,	
todas	com	a	mesma	dimensão	e	importância,	a	saber:	linguística,	lógico-matemática,	
interpessoal,	 intrapessoal,	musical,	espacial	e	corporal.	O	desenvolvimento	mais	ou	
menos	apurado	dessas	competências	depende	de	uma	organização	educacional	que	
ajude	a	criança	a	atingir	seu	potencial	máximo	em	cada	uma	delas.	Para	isso	é	necessária	
uma	variedade	de	disciplinas	e	atividades,	todas	de	igual	importância.	
É	 importante	 destacar	 que	 todos	 os	 componentes	 interagem	 entre	 si,	
O CONHECIMENTO
MATEMÁTICO E AS TEORIAS
DE APRENDIZAGEM
CONCEITOS BÁSICOS EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NOS 
ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
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equilibrando-se	em	razão	de	deficiência	em	um	ou	mais	deles.	Somos	todos	localmente	
deficientes,	 ninguém	 é	 fortemente	 competente	 nas	 sete	 áreas	 e,	 portanto,	 somos	
parcialmente	 competentes	 ou	 mesmo	 incompetentes	 em	 algum	 aspecto.	 Todavia,	
globalmente,	sempre	somos	competentes,	pois	em	alguma	área	nos	destacamos.
Nessa	 perspectiva,	 a	 escola	 deve	 estimular	 a	 emergência	 dessas	 áreas,	
alimentando	 os	 interesses	 despertados,	 oferecendo	 canais	 adequados	 para	 sua	
manifestação	 e	 desenvolvimento.	 Não	 deve	 esquecer	 as	 áreas	 em	 que	 a	 criança	 se	
apresenta menos promissora, pois é imprescindível estimular um desenvolvimento 
harmonioso	do	amplo	espectro	de	competências.	
Recentemente,	Gardner	acrescentou	uma	oitava	competência,	 a	naturalista,	
que	seria	a	capacidade	de	lidar	com	as	várias	espécies	do	meio	ambiente.
Um	 ensino	 de	 matemática	 que	 se	 fundamente	 nessa	 perspectiva	 deve	
privilegiar	a	realização	de	um	trabalho	de	natureza	interdisciplinar.	
Atividade 8
1.	 Estabeleça	uma	proposta	para	o	trabalho	pedagógico		com	números		em	sala	
de	 aula	 e	 descreva	 duas	 atividades	 sobre	 este	 tema	 que	 proporcionem	 	 o	
desenvolvimento	de	pelo	menos	 cinco	 “inteligências”	 	 entre	 as	descritas	por	
Gardner.
CONTRIBUIÇÕES DAS NEUROCIÊNCIAS
Quando	os	neurologistas	passaram	a	estudar	mais	profundamente	as	lesões	
cerebrais	 causadas	 por	 acidentes,	 eles	 descobriram	 que	 os	 dois	 hemisférios	 do	
cérebro	humano,	o	esquerdo	e	o	direito,	cada	um	deles	possui	funções	bem	distintas.	
Eles	 verificaram	 que	 pessoas	 que	 antes	 de	 um	 acidente	 não	 tinham	 nenhum	 tipo	
de problema, dependendo da localização da lesão cerebral perdiam capacidades 
diferentes.	 Por	 exemplo,	 se	 o	 hemisfério	 lesado	 fosse	 o	 esquerdo,	 as	 capacidades	
afetadas	seriam	as	relacionadas	à	palavra	escrita	ou	falada.	
É	 comum	 nos	 depararmos	 com	 afirmações	 do	 tipo:	 “só	 consigo	 aprender	
quando	escrevo”,	ou	“preciso	ler	em	voz	alta	para	memorizar	alguma	coisa”	ou,	ainda,	
“só	entendo	alguma	coisa	quando	faço	um	esquema,	um	desenho”.	Essas	“sensações”	
são	relativas	às	nossas	preferências	cerebrais	individuais.
Essas informações são importantes para o professor, pois ele deve utilizar 
diferentes	formas	de	comunicação	se	pretende	contemplar	as	preferências	cerebrais	
distintas	de	seus	alunos.
Nesse	sentido,	é	 importante	para	o	professor	saber	que	a	representação	de	
um	conhecimento	não	se	dá	apenas	de	maneira	verbal	(palavra	falada	ou	escrita),	mas	
31
depende	de	representações	mentais	fornecidas	pelas	diferentes	linguagens.	Assim,	um	
mesmo conceito deve ser apresentado em diferentes formas de representação, para 
procurar	atender	ao	maior	número	possível	de	alunos.
Hemisfério cerebral esquerdo:	 controla	 o	 uso	 da	 fala,	 da	 escrita,	 da	
leitura,	 as	 capacidades	 numéricas,	 o	 raciocínio	 lógico,	 os	 processos	 simbólicos,	
abstratos,	analíticos	e	metodológicos.	Funciona	no	nível	do	consciente	e	transforma	as	
percepções	em	representações	racionais.	Esse	hemisfério	governa	todo	o	lado	direito	
do	corpo	(é	trocado:	o	hemisfério	esquerdo	governa	o	lado	direito	e	vice-versa).	Ele	
permite	a	consciência	das	sequências	temporais	e	da	linearidade	dos	acontecimentos.	
Os	intelectuais	possuem	preferências	tipicamente	lógico-racionais.	Analisam	
as	questões	dedutivamente,	não	divagam,	pensam	de	maneira	convergente,	agem	de	
maneira	sequencial.	Costumam	planejar	o	tempo	e,	metaforicamente,	dizemos	que	são	
“pessoas	capazes	de	ver	a	árvore,	mas	não	a	floresta”.	Essa	última	expressão,	do	ponto	
de	 vista	matemático,	 indica	 que	 preferem	 lidar	 com	 objetos	 (grandezas)	 discretos,	
descontínuos	ou	contáveis.
Hemisfério cerebral direito:	 está	 relacionado	 às	 formas	 não-verbais	 do	
pensamento;	à	imaginação,	à	apreensão	espacial	das	formas,	à	sensibilidade,	aos	ritmos	
e	às	cores.	A	percepção	dos	conceitos	se	dá	globalmente.	Esse	hemisfério	governa	todo	
o	lado	esquerdo	do	corpo.	Permite	a	consciência	das	informações	simultâneas	e	viso-
espaciais.
Os	 artistas possuem essas funções cerebrais bem desenvolvidas e seu 
pensamento	 apoia-se,	 especificamente,	 na	 intuição	 e	na	 síntese.	O	 comportamento	
dessas	pessoas	não	se	exprime	de	maneira	linear	e	sequencial	e	elas	não	costumam	
se	 preocupar	 em	 planejar	 o	 tempo.	 A	 metáfora,	 nesse	 caso,	 é	 são	 “pessoas	 que	
percebem	melhor	 a	 floresta	 do	que	 a	 árvore”.	 Essa	última	 expressão,	 do	ponto	de	
vista	matemático,	indica	que	preferem	lidar	com	objetos	(grandezas)	sem	interrupção,	
contínuos	ou	que	podem	ser	medidos.
Podemos,	na	matemática,	utilizar	as	representações	escrita,	simbólica,	pictórica	
ou	gráfica,	para	um	mesmo	conceito.
Por	exemplo:
Adição:	 é	 a	 operação	 que	 “junta”	 duas	 quantidades	 em	 um	 só	 total.	 Para	
adicionar	duas	laranjas	a	outras	três	laranjas,	é	preciso	juntar	todas,	fazendo	duas	mais	
três	e	o	total	é	cinco	(Representação	verbal).
Adição:	2	+	3	=	5	(Representação	simbólica).
Adição:	 	(Representação	pictórica).
O	ensino de matemática	está	utilizando	o	lado	esquerdo	do	cérebro	quando	
as	atividades	desenvolvidas	permitem	que	os	alunos	debatam	entre	si;	apresenta	tarefas	
O CONHECIMENTO
MATEMÁTICO E AS TEORIAS
DE APRENDIZAGEM
CONCEITOS BÁSICOS EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NOS 
ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
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com	meios	descontínuos	(tampinhas,	grãos,	fichas,	palitos,	pessoas	etc.)	e	se	referem	
à	contagem	e	à	aritmética.	Por	outro	lado,	o	hemisfério	direito	está	sendo	solicitado	
quando	as	atividades	desenvolvidas	permitem	que	ele	descubra	regularidades, isto 
é,	um	padrão	que	se	repete,	em	um	desenho	ou	em	uma	sequência	de	palavras.	Ou	
ainda,	em	atividades	realizadas	com	objetos	contínuos	(barbantes,	réguas,	superfícies,	
tecidos	etc.)	e	que	se	relacionam	às	medidas	e	à	geometria.
Um	exemplo	de	atividade	envolvendo	regularidade	é	escrever	na	lousa:	gato,	
maçã,	 cachorro,	 banana,	 macaco,	 laranja,	 cavalo....	 O	 aluno	 deve	 descobrir	 que	 a	
próxima	palavra	deve	ser	o	nome	de	uma	fruta.	
Atividade 9
1.	 Exemplifique	uma	situação	de	uma	aula	de	matemática	em	que	o	professor	está	
explorando	o	hemisfério	cerebral	direito	dos	alunos.
2.	 Agora,	prepare	uma	atividade	sobre	o	mesmo	assunto	que	você	escolheu	para	
a	questão	anterior,	mas	que	explore	o	hemisfério	 cerebral	 esquerdo	de	 seus	
alunos.
3.	 Reflita	sobre	suas	facilidades	e	dificuldades	cognitivas	e	verifique	qual	é	a	sua	
“preferência”	cerebral.
Proposta de Atividades
1.	 Faça	 um	 resumo	 acerca	 dos	 aspectos	 histórico,	 filosófico,	 psicológico	 e	
sociológico	do	conhecimento	matemático.
2.	 Faça	um	quadro	que	evidencie	o	princípio	básico	do	behaviorismo,	da	teoria	de	
Piaget,	da	teoria	de	Vygotsky,	de	Gardner	e	da	Neurociência.	Coloque	também,	
nesse	mesmo	quadro,	os	pontos	positivos	e	negativos	de	cada	teoria;	o	papel	do	
professor e comodeveria ser o ensino de matemática fundamentado em cada 
uma	dessas	 teorias.	E,	 com	base	nesses	dados,	 escolha	uma	das	 teorias	para	
embasar	a	sua	prática	e	justifique	sua	escolha.	Observe	que	as	diversas	teorias	de	
aprendizagem	não	são	mutuamente	excludentes;	de	fato	são	complementares.	
Esta	atividade	tem	objetivo	de	tornar	isso	claro.
3.	 Para	 entender	 o	 desenvolvimento	 da	 criança,	 nada	melhor	 do	 que	 observá-
la	e	procurar	compreender	o	que	percebemos	à	 luz	do	que	temos	estudado.	
33
Sugerimos,	então,	que	você	escolha	uma	situação	do	dia-a-dia	da	escola	para	
observar	 atentamente	 as	 crianças	 e	 registrar	 suas	 observações.	 Podem	 ser	
situações de brincadeira, de leitura, de conversa, de escrita, de lanche, de passeio 
ou	qualquer	outra	que	você	julgue	interessante.	Registre	suas	observações	de	
acordo	com	o	roteiro	a	seguir:
a)	Anote	a	idade	das	crianças,	a	data,	o	local	e	o	tempo	que	durou	a	observação.	
Descreva	a	situação	de	observação	(o	que	as	crianças	faziam,	com	quem,	que	
materiais	tinham	à	disposição,	como	era	o	local	em	que	se	encontravam	etc.).
b)	Observe	como	as	crianças	se	comportam,	o	que	falam	e	para	quem,	como	interagem	
entre	si	e	com	os	adultos.	Procure	registrar	tudo	o	mais	minuciosamente	possível,	
inclusive	as	falas.	Para	isso,	organize	um	pequeno	relatório	de	suas	observações	
e faça uma primeira análise das informações coletadas, procurando responder o 
que	você	aprendeu	observando	as	crianças	e	que	aspectos	de	suas	observações	
podem	ser	relacionados	àquilo	que	você	tem	estudado	sobre	desenvolvimento	
humano e educação1.
1 Questão adaptada dos Cadernos de Formação – Psicologia da Aprendizagem	do	projeto	Pedagogia	Cidadã	
da	Unesp.
Anotações
O CONHECIMENTO
MATEMÁTICO E AS TEORIAS
DE APRENDIZAGEM
CONCEITOS BÁSICOS EM
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ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
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Anotações
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INTRODUÇÃO 
De	um	modo	geral,	podemos	dizer	que	por	volta	de	1800	a	matemática	era	
ensinada	nas	escolas	da	maioria	dos	países	do	mundo,	sendo	que	seu	ensino	consistia	
basicamente	 em	 como	 resolver	 problemas	 utilizando	 regras.	Os	 livros	 dessa	 época	
eram	de	natureza	comercial,	porque	continham	um	grande	número	de	problemas	e	
regras	relativas	a	negócios	e	ao	comércio,	e	não	se	destinavam	a	ensinar	crianças,	já	que	
raramente	se	ensinava	mais	do	que	contagem	e	operações	com	números	pequenos	a	
crianças	menores	de	dez	anos.
No início do século XX, começou a preocupação com a aplicação dos 
conteúdos	escolares	à	vida	real	dos	adultos,	e	esse	fato	gerou	abusos	como	ensinar	
juros	e	taxas	para	crianças	do	então	ensino	primário.	No	final	dos	anos	20	do	século	
XX,	iniciou-se	a	preocupação	com	a	idade	mental	adequada	à	aprendizagem	de	alguns	
tópicos	de	matemática.	Foram	 feitos	estudos	que	exerceram	enorme	 influência	nos	
currículos	escolares	nos	vinte	anos	seguintes.
Mesmo com todas as mudanças ocorridas no ensino brasileiro, os currículos 
atuais continuam reproduzindo o modelo dessa época, com os sete primeiros anos do 
Ensino	Fundamental	enfatizando	a	aritmética	e	os	dois	últimos	apresentando	a	álgebra	
e	os	fatos	mais	simples	da	geometria	indutiva.	O	Ensino	Médio	continua	com	a	álgebra,	
a	geometria	é	a	dedutiva	e	aparece	a	trigonometria.	
Durante as décadas de 50 e 60 do século XX, o ensino de matemática, em 
diferentes	 países,	 foi	 influenciado	 por	 um	 movimento	 que	 ficou	 conhecido	 como	
Matemática	 Moderna.	 Esse	 movimento	 teve	 seu	 início	 quando	 os	 Estados	 Unidos	
entraram	na	Segunda	Guerra	Mundial	e	ficou	patente	para	os	militares	que	os	soldados	
pouco	 sabiam	de	matemática.	 Em	outubro	 de	 1957,	 quando	 os	 russos	 lançaram	o	
primeiro	satélite	Sputinik,	o	governo	norte-americano	e	todo	o	país	ficaram	convencidos	
de	que	estavam	atrasados	em	relação	aos	russos	em	ciências	e	em	matemática.
	 Segundo	Nogueira	 (2002),	 a	 reforma	 curricular	 proposta	 pela	Matemática	
Moderna	consistiu	basicamente	em	se	largar	a	matéria	tradicional	em	favor	de	campos	
Diferentes Abordagens
em Educação
Matemática
Escolar
2
CONCEITOS BÁSICOS EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NOS 
ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
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novos	 da	matemática,	 e	 o	 que	 se	 pretendia	 era	 diminuir	 a	 distância	 entre	 o	 saber	
ensinado	e	o	saber	da	disciplina.	Para	isso,	a	matemática	moderna	precisava	utilizar	
a	linguagem	da	teoria	dos	conjuntos.	É	quando	a	teoria	dos	conjuntos	passou	a	ser	
ensinada	em	todos	os	níveis	de	ensino.	Não	existia	nenhuma	preocupação	pedagógica	
com	o	ensino	da	matemática,	o	que	se	percebia	era	a	intenção	de	transformar	a	criança	
ou	adolescente	em	um	matemático-mirim,	preocupado	com	a	exatidão,	o	 rigor	e	 a	
estrutura	lógica	da	matemática.
É	 somente	 a	 partir	 dos	 anos	 60	 do	 século	 XX	 que	 o	 fracasso	 escolar	 se	
tornou	uma	preocupação	mundial	e,	desde	então,	inúmeras	teorias	foram	elaboradas	
procurando	 esclarecer	 porque	 isto	 acontece	 sem	 que	 nenhuma	 delas	 obtivesse	
pleno	 êxito.	 Ao	 longo	 desse	 período,	 no	mundo	 todo,	 foram	propostas	mudanças	
curriculares,	 aconteceram	 rupturas	 teóricas	 e	 ideológicas,	 multiplicaram-se	 as	
orientações	metodológicas	 baseadas	 em	diferentes	 teorias	 de	 aprendizagem,	mas	 a	
realidade	educacional	a	tudo	resiste.
A	mesma	situação	se	aplica	ao	ensino	da	matemática.	Diversas	propostas	 já	
foram	colocadas	em	prática,	 algumas	alterando	apenas	os	conteúdos	das	propostas	
curriculares,	 outras	 se	 fixando	 na	 questão	 metodológica,	 além	 daquelas	 que	
propunham	 alteração	 tanto	 nos	 conteúdos	 quanto	 na	 forma	 de	 tratá-los,	 porém,	
qualquer	que	seja	a	proposta,	o	seu	sucesso	depende,	essencialmente,	do	professor.	
Salvo	exceções,	todavia,	a	obsessão	pela	ação,	a	premência	em	“passar	do	discurso	à	
prática”	não	permite	que	os	professores	reflitam	sobre	seu	fazer	pedagógico.
A maioria dos professores compartilha da conhecida concepção de ensino e 
aprendizagem:	“ensinar	consiste	em	explicar	exaustivamente	e	aprender	consiste	em	
repetir	(ou	exercitar)	o	ensinado	até	repeti-lo	fielmente”.	Essa	atuação	na	Educação	
Infantil	 e	 anos	 iniciais	 do	 Ensino	 Fundamental	 é	 um	 erro	 grave,	 pois	 todos	 os	
esforços	devem	convergir	para	o	desenvolvimento	do	pensamento	lógico-matemático	
da	 criança.	 Essa	 reflexão	 tem	 a	 maior	 importância,	 pois	 se	 os	 professores	 não	
compreendem	porque	realizam	determinadas	atividades	em	sala	de	aula,	se	não	têm	
clareza	de	seus	objetivos,	das	possíveis	contribuições	ou	limitações	que	estas	possuem,	
podem	conduzir	de	maneira	inadequada	suas	ações.	Como	consequência	desse	fato,	
os	 próprios	 professores	 poderão	 diminuir	 as	 possibilidades	 de	 uma	 intervenção	
pedagógica	que	contribua	para	o	desenvolvimento	do	pensamento	lógico-matemático	
da	criança.
O	professor	de	matemática	deve	desempenhar	o	papel	de	mediador	entre	o	
conhecimento	matemático	e	o	aluno	na	construção	do	conhecimento	por	este	último.	
Para	realizar	essa	tarefa	com	segurança,	o	professor	precisa	ter	uma	sólida	formação	em	
matemática	juntamente	com	outros	conhecimentos	específicos	do	ofício	de	ensinar.	
O	conhecimento	matemático	teórico,	pela	sua	própria	natureza,	é	difícil	de	ser	
comunicado	diretamente,	exigindo,	em	geral,	estratégias	bem	elaboradas,	preparação	
37
prévia	 e	 respeito	 às	 fases	 de	 desenvolvimento	 cognitivo	 dos	 alunos.	 Ao	 fazer	 essa	
transposição, o professor necessita conhecer os obstáculos envolvidos no processo de 
construção	de	conceitos	e	procedimentos	matemáticos,	bem	como	as	dificuldades	de	
natureza	epistemológica.		
Para	 nós,	 não	 existe	 um	 único	 processo	 de	 ensino-aprendizagem.	
Consideramos	que	existem	dois	processos	distintos:	um	é	o	processo	de	ensinar,	em	
que	o	sujeito	é	o	professor,	que	realiza	a	mediação	entre	o	aluno	e	o	conhecimento,	
o	que	foi	muito	bem	estudado	por	Vygotsky.	O	outro	é	o	processo	de	aprender,	em	
que	o	sujeito	é	o	aluno	e	que	foi	exaustivamente	estudado	por	Piaget,	determinando,	
entre outros aspectos importantes,