Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Fundamentos de Análise Matemática Material Teórico Sequências e séries infinitas Responsável pelo Conteúdo: Prof. Dr. Francisco Augustin Machado Echalar Revisão Textual: Profa. Esp. Kelciane da Rocha Campos • Intervalos • Sequências infinitas • Séries infinitas • Testes de convergência · Apresentar formalmente a noção de limite de uma sequência. Apresentar uma série como uma sequência de somas finitas. Relembrar conceitos e testes de convergência. OBJETIVO DE APRENDIZADO Sequências e séries infi nitas Caro(a) aluno(a), Seja bem-vindo(a) às nossas discussões sobre Fundamentos de Análise Matemática]! Saiba que esta disciplina tem como propósito [aprofundar sua compreensão da Lógica ao mesmo tempo em que discute com maior rigor conceitos relacionados aos números reais e ao cálculo], oferecendo-lhe contato com as discussões mais recentes dessa área; além de lhe proporcionar momentos de leitura – textual e audiovisual – e reflexão sobre os temas que serão aqui discutidos, contribuindo com sua formação continuada e trajetória profissional. Esta disciplina está organizada em [seis] unidades, cujo eixo principal será [o desenvolvimento lógico do cálculo], ou seja, que dê conta [do significado e das técnicas de demonstração, das regras de inferência da lógica, da compreensão das especificidades dos números reais quando comparados com outros campos numéricos, de como essas especificidades permitem compreender o estudo de limites de sequências e séries e finalmente definir de modo rigoroso conceitos como continuidade de funções, derivadas e integrais]. É o que você encontrará nas próximas unidades. Ademais, perceba que a disciplina em ensino a distância pode ser realizada em qualquer lugar em que você tenha acesso à Internet e a qualquer horário. Entretanto, normalmente com a correria do dia a dia, não nos organizamos e deixamos para o último momento o acesso ao estudo, o que implicará o não aprofundamento do material trabalhado ou, ainda, a perda dos prazos para o lançamento das atividades solicitadas. Assim, organize seus estudos de maneira que entrem na sua rotina. Por exemplo, você poderá escolher um dia ao longo da semana ou um determinado horário para todos os dias ou alguns dias e determinar como o “momento do estudo”. No material de cada unidade, há videoaulas e leituras indicadas, assim como sugestões de materiais complementares, elementos didáticos que ampliarão sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados. Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discussão, bem como realize as atividades de sistematização, as quais o(a) ajudarão a verificar o quanto absorveu do conteúdo: são questões objetivas que lhe pedirão resoluções coerentes ao apresentado no material da respectiva Unidade para, então, prepará-lo(a) para a realização das respectivas avaliações. Tratando-se de atividades avaliativas, se houver dúvidas sobre a resposta correta, volte a consultar as videoaulas e leituras indicadas para sanar tais incertezas. Lembre-se: você é responsável pelo seu processo de estudo. Por isso, aproveite ao máximo esta vivência digital! ORIENTAÇÕES UNIDADE Sequências e séries infinitas Contextualização O tema da unidade trata do infinito: se você tem uma sequência de números que nunca acaba, o que é que se pode dizer do que acontece com os valores dessa sequência à medida que você avança mais e mais por ela? Em alguns casos é simples. Por exemplo, sequências triviais, em que todos os valores são iguais: numa sequência de 1’s o valor será sempre 1, não importa quanto você avance por ela. Em outros, a resposta, ainda que não imediata como na sequência constante, parece visível, mas é preciso prová-la, como na sequência a seguir que parece convergir para zero: 1 2 3 4 9 8 27 16 81 32 243 , , , , , ,... (Talvez a razão de nossa hipótese fique mais clara se você olhar a expansão decimal dessas frações...) Um exemplo em que aparece uma sequência como a sequência acima é no quicar de uma bola de tênis. Suponha que você a deixa cair de uma altura de 1m e que, a cada quicada, sua altura se reduz 1/3 em relação à altura anterior. A sequência de alturas atingidas pela bola é a sequência acima. Evidentemente, a bola vai subir cada vez menos, até parar. Isso nos dá um indício de que a sequência converge para 0. Há outros mais complicados, como: 1 3 2 11 6 25 12 137 60 147 60 , , , , , ,... Se você converter essas frações para sua representação decimal, verá que a sequência é crescente, mas que o crescimento a cada passo é cada vez menor. Será que os valores acabam convergindo para um valor limite? O problema é que não é possível chegar às respostas passo a passo, percorrendo um a um os elementos das sequências. É necessário recorrer ao raciocínio lógico. Ao mesmo tempo, o raciocínio lógico envolvendo processos com infinitas etapas pode ser bem capcioso. O filósofo da Antiguidade Zenon de Eléia propôs alguns paradoxos que evidenciam essa dificuldade. O mais conhecido deles é o da corrida entre Aquiles e uma tartaruga. O herói Aquiles vai apostar uma corrida com uma tartaruga. Como a tartaruga é mais lenta, ela começa com uma dianteira de, por exemplo, 10 m. Dada a largada, Aquiles percorre rapidamente os 10m, mas nesse ínterim a tartaruga andou 1m. Quando Aquiles percorre esse 1m, ela está 0,1 m à frente. Quando Aquiles percorre esse 0,1 m, ela está 0,01m. E assim por diante. Por esse raciocínio, Aquiles nunca alcança a tartaruga. Ela sempre estará um pouco à frente. Na prática, sabemos que Aquiles rapidamente ultrapassaria a tartaruga. Qual o problema com o raciocínio? Bem, são dessas questões que trataremos nesta Unidade. 6 7 Intervalos Usaremos intervalos numéricos frequentemente na nossa discussão, por isso é bom relembrar alguns conceitos e algumas notações. A seguir, algumas definições que valem para qualquer conjunto numérico limitado. Um conjunto C de números reais é limitado à direita ou limitado superiormente se existe um número real K, que será chamado de cota superior de C, tal que para todo elemento c de C vale c ≤ K. Observe que K não precisa pertencer a C. Por exemplo, o conjunto dos números negativos é limitado superiormente. Um conjunto C de números reais é limitado à esquerda ou limitado inferiormente se existe um número real k, que será chamado de cota inferior de C, tal que para todo elemento c de C vale k ≤ c. Observe que k não precisa pertencer a C. Observe também que se existe um K ou k, existem infinitos outros números que têm a mesma propriedade. Por exemplo, se C é o conjunto de todos os números racionais menores que 2, então 2 é uma cota superior de C, mas também 5, 13, 2, ou 1245,5601. A menor das cotas superiores é chamada de supremo do conjunto. No exemplo acima, o supremo é o número 2. A maior das cotas inferiores é chamada de ínfimo do conjunto. Um conjunto limitado superiormente pode ou não ter máximo, isto é, um elemento que é maior do que todos os outros elementos do conjunto. Veja o exemplo de um conjunto com máximo: o intervalo x ≤ 35 é um conjunto limitado superiormente e tem como máximo o número 35. Agora, observe que nem todo conjunto limitado superiormente tem um máximo. Por exemplo, o conjunto de todas as frações da forma n n + 2 , onde n é um número natural, é limitado superiormente, pois qualquer que seja n, a fração correspondente é necessariamente menor que 1, pois o denominador é maior que o numerador. No entanto, esse conjunto não tem máximo, pois à medida que n aumenta, a fração aumenta. Isto é, se m > n, então m m n n+ > +2 2 . Provemos isso por uma demonstração direta. m n m n m mn n mn m n n m > > + > + + > + + > +( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 m m n n 22 Ou seja, ainda que o conjunto dessas frações seja limitado superiormente, dada uma delas, sempre é possível conseguir uma outra que é maior. 7 UNIDADE Sequências e séries infinitas Temos uma ideia análoga para conjuntos limitados inferiormente. Eles podem ou não ter elemento mínimo. Um exemplo de conjunto com mínimo é 2 ≤ x. E um exemplo de conjunto limitado inferiormente que não tem mínimo é o conjunto de todas as frações do tipo 1n , onde n é um número natural. Essas frações são todas positivas, isto é, qualquer que seja n, 1 0n > . No entanto, esse conjunto não tem mínimo, pois dada uma fração 1n , sempre é possível encontrar outra (por exemplo, 1 1n +( ) ) que é menor que ela, qualquer que seja n. Os intervalos são um tipo de conjunto numérico limitado, definido pela identificação das suas extremidades. A seguir, relembramos alguns aspectos da notação relativa a intervalos. Um intervalo é definido pelas suas extremidades, frequentemente representadas como a e b, com a < b. Quando as extremidades não pertencem ao intervalo, dizemos que ele é um intervalo aberto de extremos a e b, representado por (a, b) (onde os parênteses indicam que os extremos não pertencem ao intervalo). Esse intervalo corresponde ao conjunto (a, b) = {x ∈ R: a < x <b} Quando os extremos a e b pertencem ao intervalo, então ele chamado de intervalo fechado e indicado como [a, b] (onde os parênteses indicam que os extremos não pertencem ao intervalo). Esse intervalo corresponde ao conjunto: [a, b] = {x ∈ R: a ≤ x ≤b} O intervalo pode também ser semifechado ou semiaberto, como nos exemplos seguintes: • [-3, 1) = {x ∈ R: -3 ≤ x < 1} – o extremo direito não pertence ao intervalo, mas o esquerdo pertence. • (8,125] = {x ∈ R: 8 < x ≤ 125} – o extremo direito pertence ao intervalo, mas o esquerdo não pertence. Os símbolos –∞ (menos infinito) e +∞ (mais infinito) podem ser usados para representar a reta real como um intervalo: (-∞, +∞) = {x: -∞ < x < +∞}. Esses símbolos são usados para representar também intervalos limitados apenas de um lado: • [-7,+∞) = {x ∈ R: -7 < x} intervalo fechado limitado à esquerda. • (-∞,425] = {x ∈ R: x < 425} Quando falarmos dos intervalos (a, b), [a, b], (a, b] ou [a, b), a e b serão números finitos, com a < b. A Tabela 1 procura sistematizar os diferentes tipos de intervalo. Vamos considerar, salvo menção em contrário, que estamos trabalhando no universo dos números reais. 8 9 Tabela 1 – tipos de intervalos de números reais. Tipo Características Exemplo e notação Na reta Intervalo limitado aberto Definido por dois números a e b, tais que a < b, a e b não pertencem ao intervalo. -3 < x < 7 (-3, 7) Conjunto dos pontos do segmento que começa em -3 e termina em 7, com exceção das extremidades -3 e = 7. Intervalo limitado fechado Definido por dois números a e b, tais que a < b, a e b pertencem ao intervalo. -3 ≤ x ≤ 7 [-3, 7] Conjunto dos pontos do segmento que começa em -3 e termina em 7. Intervalo limitado semiaberto à esquerda Definido por dois números a e b, tais que a < b, b pertence ao intervalo, mas a não. -3 < x ≤ 7 (-3, 7] Conjunto dos pontos do segmento que começa em -3 e termina em 7, com exceção do 3. Intervalo limitado semiaberto à direita Definido por dois números a e b, tais que a < b, a pertence ao intervalo, mas b não. -3 ≤ x < 7 [-3, 7) Conjunto dos pontos do segmento que começa em -3 e termina em 7, com exceção do 7. Intervalo aberto limitado superiormente Definido por um número a, a não pertence ao intervalo. x < 7 (-∞,7) Conjunto dos pontos da semirreta esquerda que tem origem em 7. 7 não pertence ao intervalo. Intervalo fechado limitado superiormente Definido por um número a, a pertence ao intervalo. x ≤ 7 (-∞, 7] Conjunto dos pontos da semirreta esquerda que tem origem em 7. 7 não pertence ao intervalo. Intervalo aberto limitado inferiormente Definido por um número a, a não pertence ao intervalo. - 3 < x (-3,+∞) Conjunto dos pontos da semirreta esquerda que tem origem em -3. -3 não pertence ao intervalo. Intervalo fechado limitado inferiormente Definido por um número a, a pertence ao intervalo. - 3 ≤ x [-3, +∞) Conjunto dos pontos da semirreta esquerda que tem origem em -3. -3 não pertence ao intervalo. Um intervalo limitado superior e inferiormente está, então, associado a um segmento da reta, enquanto os intervalos limitados apenas de um lado correspondem a semirretas. Quando as extremidades pertencem ao intervalo, costuma-se desenhá-las como “bolas cheias”, como indicado na figura 1. Quando a extremidade não pertence ao intervalo, costuma-se desenhá-la como “bola vazia”, como mostrado na Figura 1. Figura 1 – exemplo de representação gráfi ca de intervalos. Extremidade como círculo preenchido: pertence ao intervalo. Extremidade como círculo não preenchido: não pertence ao intervalo. 9 UNIDADE Sequências e séries infinitas Toda nossa discussão será baseada em intervalos e é essa uma das dificuldades do tratamento formal do cálculo. O aluno inicialmente está acostumado a trabalhar com cálculos e problemas que envolvem manipulação de números e cujos resultados são números. Quando se começa a estudar funções, uma das dificuldades é se dar conta de que o objeto de estudo não são mais números e sim relações entre números. Às vezes o resultado até é um número, mas que deve ser interpretado no contexto das relações em que ele se insere. Aqui, o problema é que não trabalhamos mais com números e sim com intervalos de números. Sequências infinitas Uma sequência numérica infinita nada mais é do que uma sequência de números que tem um elemento inicial, mas não tem fim. Uma sequência (não ficaremos repetindo o termo “infinita”, todas de que trataremos aqui são infinitas) pode ser simplesmente constante, a repetição de um mesmo número: 2, 2, 2, ... Pode ser uma sequência de números aleatórios: 1, 4, 2, 2, 2, 5, 9, 7,... ou pode ser uma sequência de números que variam segundo alguma determinada regra. O exemplo mais simples desse caso é a sequência de números naturais: 1, 2, 3, 4, 5,... Conforme o tipo de regra, às vezes as sequências recebem nomes especiais. Você possivelmente conhece as progressões aritméticas e geométricas. Uma progressão geométrica é uma sequência na qual cada elemento é obtido multipli- cando-se o elemento anterior por uma razão q. O termo geral dessa sequência é a a qn n= −1 1. onde a1 é o termo inicial da sequência. A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada por: S a q qn n = −( ) −( ) 1 1 1 . Ex pl or No link a seguir você encontrará informações sobre as progressões aritméticas: Disponível em : http://goo.gl/Vl7Noq E neste aqui sobre progressões geométricas: Disponível em : http://goo.gl/SH1VRk Ex pl or As posições dos números são numeradas e são importantes. A sequência 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... é diferente da sequência 6, 5, 4, 3, 2, 1 ... Em termos matemáticos, 10 11 toda sequência pode ser entendida como uma função cujo domínio são os números naturais: n f n→ ( ) . Cada número natural n identifica uma posição da sequência (começando com o 1, mas isso pode ser mudado conforme a conveniência). A cada posição n, está associado um número, que representamos como f(n), segundo a notação usual de funções, ou, muito mais frequentemente, como an, segundo a notação mais comum quando se fala de séries. O número n que aí aparece é chamado de índice da sequência, e an de n-ésimo elemento da sequência. Uma sequência está definida quando se conhecem, ou se tem condições de conhecer, os números que ocupam cada uma das posições da sequência. Isto é, paracada n, há como conhecer o an correspondente. Quando temos uma fórmula que relaciona n e an, isso é inequívoco. A fórmula do an em função de n é chamada de termo geral da sequência. Exemplos: A sequência dos números pares positivos é dada pela fórmula an = 2n. Verifique, substitua n por cada um dos primeiros números naturais, faça a conta e veja que são gerados os primeiros números pares positivos. A sequência dos números ímpares positivos é dada pela fórmula an = 2n – 1, com n = 1, 2, 3,... Se começamos a contar o n a partir do 0 (o que em alguns casos pode ser conveniente fazer), a fórmula deve ser alterada para an = 2n + 1, com n ≥ 0. Uma sequência pode ser descrita pelos seus primeiros termos. Por exemplo, as relações abaixo sugerem que se trata da sequência dos múltiplos positivos de 4. a1 = 4, a2 = 8, a3 = 12, a4 = 16, a5 = 20, a6 = 20,... No caso a seguir, o reconhecimento não necessariamente é imediato, mas se trata das aproximações decimais por falta de 2 : a1 = 1,4, a2 = 1,41, a3 = 1,414, a4 = 1,4142, a5 = 1,41421, a6 = 1,414213,... Para indicar a sequência como um todo, muito frequentemente se usa a notação (an) ou então (an)n∈N, (a1, a2, a3,...). Por que falar de sequências infinitas? Por que não se restringir a sequências finitas? Uma razão é porque já vimos que sequências infinitas podem ser muito frequentes ao trabalhar com números reais. Lembra-se dos dígitos das expansões decimais de dízimas periódicas e de números irracionais? Então, precisamos entender melhor como é possível uma sequência infinita de dígitos corresponder a um valor finito, bem preciso. Como é possível que a sequência infinita de dígitos que representam a expansão decimal da raiz quadrada de 2 corresponda a um valor preciso, bem definido, à medida da diagonal de um quadrado de lado 1? Vamos, então, primeiramente procurar identificar o conceito de sequência convergente. Um exemplo é a sequência dada por a nn = 1 . A Tabela 2 mostra os primeiros termos dessa sequência: 11 UNIDADE Sequências e séries infinitas Tabela 2 – primeiros termos da sequência a nn = 1 . n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 an 1 0,5 0,333.. 0,25 0,20 0,1666... 0,142857... 0,125 0,111... Observe os valores da sequência. Eles ficam cada vez menores à medida que n aumenta e parecem chegar cada vez mais perto do 0. Parece razoável pensar que quando n tende a infinito, o valor de an tende a 0. Não parece? Bem, daqui a pouco provaremos que é mesmo isso. Antes devemos sublinhar alguns aspectos: • “No popular”, o problema pode ser traduzido por “qual é o valor de an quando n é infinito”? Por que “no popular”? Porque infinito não é um número real, muito menos natural. Ou seja, não dá para substituir n por infinito e fazer uma conta. A ideia é tentar prever qual o resultado quando n assume valores finitos, mas cada vez maiores, sem limite. Dá para dizer algo sobre o valor de an? • Como a cada vez n assume apenas valores finitos bem determinados, não é possível chegar ao infinito passo a passo, aumentando gradativamente o valor de n. Precisamos de outro caminho. Esse caminho é dado pelo raciocínio lógico, que vai nos permitir dar esse salto: contornar as limitações de passos finitos e levar-nos a um valor de an “no infinito” que faça sentido. • Para desenvolver esse salto, precisamos antes definir mais objetivamente alguns termos que usamos acima: “valor no infinito”, “tender para”, “ficar cada vez menor”, “chegar cada vez mais perto”. É isso que faremos agora. Comecemos lembrando que n cresce indefinidamente. Uma maneira de dizer isso é que “n tende a infinito” ou “n tende a mais infinito”. Isso quer dizer que se tomarmos como referência um número L qualquer, em algum ponto da sequência os valores de n alcançarão L e o ultrapassarão. Em outras palavras, não é possível colocar um limite para n. Em algum momento, n alcançará esse limite e o ultrapassará. No caso dos an, isso também pode acontecer. Depende da sequência. Por exemplo, isso acontece com a sequência dos números pares positivos mencionada anteriormente (an = 2n). Não é possível colocar um limite superior para an. Vamos tentar. Vamos supor que o limite seja L. A ideia é que todos os elementos da sequência sejam menores ou no máximo iguais a L. an ≤ L. Vamos substituir nessa expressão a fórmula de an: 2n ≤ L. Ora, essa fórmula só será verdadeira enquanto n for menor ou no máximo igual à metade de L. Quando n for igual à metade de L + 1, acabou. A partir daí todos os an serão maiores que L, qualquer que seja L. É isso o que quer dizer “an tende a infinito”. Se todas as sequências fossem desse jeito, as coisas seriam muito sem graça. Provavelmente nem estaríamos falando delas. A questão é que há séries para as quais é possível colocar um limite, é possível dizer, por exemplo, que “an tende para 2.” 12 13 Vejamos um exemplo. Seja a sequência a n nn = +1 2 . A Figura 2 mostra os valores dessa sequência de n = 1 até n = 100. Observe que ele começa em 3 e cai rapidamente no início e depois continua caindo cada vez mais lentamente à medida que n aumenta. Por exemplo, em n = 1, an = 3, enquanto em n = 10, an = 2,1, em n = 20, an = 2,05, em n = 100, an = 2,01. Em outras palavras, dá a impressão de que an se aproxima cada vez mais de 2, à medida que n aumenta. Se isso for de fato verdade para qualquer valor de n, nós dizemos que a sequência an converge para 2 quando n tende a infinito. A ideia é que, se fosse possível chegar a n, an valeria dois. Vamos primeiramente formalizar essa ideia. Figura 2 – Comportamento de a n nn = +1 2 a medida que n cresce. Diz-se que uma sequência (an) converge para o número L, ou tem limite L, se, dado qualquer número ε > 0, é sempre possível encontrar um número N tal que: n N a Ln> → − < ε Uma sequência que não converge é dita divergente. Chama-se sequência nula toda sequência que converge para zero. Escreve-se lim , n n n a L a L, → = = ∞ lim ou a Ln → . (ÁVILA, 2006) Ex pl or Vamos interpretar a definição de sequência convergente. O e representa um limite superior para o erro absoluto, a diferença em módulo entre o valor an da sequência e o limite L, ou ainda a distância entre an e L na reta. A definição diz que qualquer que seja o valor escolhido para esse e, (isto é, “dado e > 0”) a partir de um certo valor de n maior do que um limite N (que pode ou não ser inteiro ou mesmo positivo), todos os valores subsequentes de an estarão a uma distância de L menor que e. Em outras palavras, se a sequência converge, podemos chegar tão perto quanto necessário de L, sendo esse “tão perto quanto se queira” definido pelo valor de e. Para isso, basta avançar o suficiente na sequência, isto é, encontrar o valor de n a partir do qual estaremos a uma distância menor do que e. Para desenvolver as discussões sobre limites, é importante apresentar o conceito de vizinhança. 13 UNIDADE Sequências e séries infinitas Dado um número L qualquer, chama-se vizinhança ε de L todos os números x do intervalo (L – ε, L + ε). Denotaremos esse intervalo com o símbolo Vε(L). Observe que a condição x ∈ Vε(L) pode ser escrita das seguintes três maneiras equivalentes: x L x L L x L− < ⇔ − < − < ⇔ − < < +ε ε ε ε ε Ex pl or O conceito de vizinhança permite dizer que se uma sequência converge para o limite L, isso quer dizer que a partir de um certo valor suficientemente grande de n, todos os termos an passam a pertencer à vizinhança em torno de L, vizinhança esta definida por e. Simbolicamente, isso pode ser representado de diferentes modos equivalentes: • A sequência converge para L: n N a Ln> → − < • A partir de n > N, an está na vizinhança de L: n N a V Ln> → ∈ ( )ε Vamos provar agora, usando a definição, que a sequência acima de fato converge para 2. A sequência é: a n nn nn ( ) = + = … + … 1 2 3 1 5 2 7 3 1 2 , , , , , Então, nossa hipótese é que lim n n n→ + = ∞ 1 2 2. Se esse for o caso, provar que esse limite existe e é 2 implica encontrar uma regra que, dado e, permite calcular N tal que n N a Ln> → − < ε . A estratégia é manipular o termo a Ln − < de maneira a isolar n. Procuremos fazer isso. a L n n n n n n n − < + − < + − < < ε ε ε ε 1 2 2 1 2 2 1 Como n é sempre positivo, podemos tirar o módulo. 1 1 1 n n n < < < ε ε ε Ou seja sempre que n for maior que N = 1 ε , então a Ln − < ε 14 15 Observe que, em geral, como neste caso, N depende de e. Isto é, conforme nosso nível de exigência sobre a proximidade entre an e L, isto é, um e maior ou menor, teremos que ter um N correspondentemente menor ou maior. Neste caso, se (e = 0,1) n → 10. Ou seja, a partir do a11, é que ,an − <2 0 1 . De fato, a11 23 11 = . E que a11 2 23 11 2 23 22 11 1 11 − = − = − = , que de fato é menor do que é dado (e = 0,1). Se quisermos valores muito mais próximos de L, teremos que avançar bem mais na sequência. Por exemplo, se e = 0,000001 → n > 1000000. Ou seja, a partir do a1000001, é que ,an − <2 0 1 . De fato, a1000001 2000003 1000001 = . E que a1000001 2 2000003 1000001 2 23 2000002 1000001 1 1000001 − = − = − = , que de fato é menor do que o é dado (e = 0,000001). Façamos um segundo exemplo, retirado de Ávila (2006). Seja a sequên- cia: a n n sen nn = + 3 2 O limite dessa sequência é 3. Você pode, por exemplo, fazer o gráfico para chegar a essa estimativa. Agora é necessário provar que de fato essa sequência converge para 3 à medida que n se torna cada vez maior. A ideia é basicamente a mesma, partir da definição e encontrar uma fórmula para n em função de e. a L n n sen n n n n sen n n n n n − < + − < − +( ) + = − − ε ε 3 3 3 3 2 3 3 3 ++ = − + = + < n n n sen n n sen ε 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 Para continuar, vamos usar uma propriedade da função seno: sen x( ) ≤ 1, qualquer que seja x. 3 2 2 3 2 sen n n sen n n sen n+ ≤ + Observe agora o denominador: n sen n sen+ ≥ −2 22 2 . Consequentemente: 1 1 n sen n sen+ ″ −2 2 ≤ Multiplicando essa inequação por 3, temos: 3 3 n sen n sen+ ″ −2 2 ≤ 15 UNIDADE Sequências e séries infinitas Voltando a usar sen x( ) ≤ 1: 3 2 3 1n sen n n− ≤ − Observe que a relação acima só vale quando n > 1. Em resumo, conseguimos o seguinte: a L n n sen nn − = + − ″ − 3 3 3 12 ≤ Ou seja, se fizermos com que 3 1n − ≤ ε , garantiremos que a L n n senn − = + − ″ 3 3 ε≤ 2 Resolvendo a 1ª desigualdade: 3 1 3 1 3 3 3 1 n n n n n − ≤ → ≤ −( ) → ≤ − → + ≤ → + ≤ε ε ε ε ε ε ε Ou seja, se n > +1 3 ε , então necessariamente a L n n senn − = + − < 3 3 ε 2 , o que prova o limite acima. Observe que por causa das simplificações realizadas, não é possível dizer que se 3 3n n sen+ − < ε 2 , então n > +1 3 ε , mas como para nós o objetivo é provar que o limite é 3, só precisamos da 1ª implicação. O estudo de sequências implica determinar seus limites. Hipóteses sobre limites são feitas, por exemplo, por meio de estudo da função f(n) = an. A demonstração pela definição de que o limite é de fato o que se supõe utiliza outras ferramentas, como as propriedades operacionais de limites e os testes de convergência. A seguir estudaremos mais aprofundadamente algo que pode ser entendido como um tipo especial de sequência numérica: as séries infinitas, de particular importância no estudo de funções. Séries infinitas Nós já encontramos séries infinitas. A expansão decimal de um número irracional ou de uma fração que é uma dízima periódica é uma série infinita (de agora em diante, usaremos na maior parte das vezes o termo série apenas – está implícito que é uma série infinita). Por exemplo: 1 3 3 10 3 100 3 1000 3 10000 0 3333= + + + +…= …, Ou seja, uma série infinita nada mais é do que uma soma com infinitos termos. No caso da expansão acima, a soma, apesar de ter infinitos termos, tem um valor 16 17 finito. Como dissemos no início, temos que ser capazes de responder à seguinte pergunta: como chegar ao resultado de uma soma infinita? Não dá para fazer a soma no sentido estrito. Precisamos usar o raciocínio lógico. No caso de dízimas periódicas, podemos, por exemplo, usar o procedimento a seguir: Chamemos a dízima de x: x = 0,33333... Multipliquemos x por 10: 10x = 3,3333... Façamos 10x – x 10x – x = 3,3333... – 0,33333... 9x = 3 x = 3/9 = 1/3 Tudo parece muito claro e lógico, não? E funciona. No entanto, por cada passagem há a ideia de que essa soma tem um valor definido e que posso operar com elas como se fossem números reais. Ora, anteriormente já mostramos uma série que, conforme a maneira como a analisássemos, resultava num valor diferente: S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 -1 ... 1ª possibilidade: S = (1 - 1) + (1 -1) + (1 -1) + ... = 0. 2ª possibilidade S = 1 — (1 — 1) — (1 — 1) — (1 — 1) — ... = 1. Precisamos definir o limite de uma série e depois calculá-lo. Para fazer isso, definimos formalmente uma série como uma sequência de somas parciais. Para entender melhor as sutilezas que podem envolver raciocínios sobre processos infi nitos, vale a pena conhecer os paradoxos de Zenon. Você pode encontrar uma interessante apresentação em (USP. Filosofi a da Física. Capítulo 1: Paradoxos de Zenão. Disponível em: http://goo.gl/2D7jS3 Ex pl or Seja a série: S = a1 + a2 + a3 + a4... Essa série é definida como o limite da seguinte sequência de somas parciais (finitas) S1 = a1 S2 = a1 + a2 17 UNIDADE Sequências e séries infinitas S3 = a1 + a2 + a3 S4 = a1 + a2 + a3 + a4 ... Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an ... Onde cada Sn é a soma dos n primeiros termos da série. Sn também é chamado de soma parcial ou reduzida de ordem n. A série S tem um valor definido, isto é, converge para um limite se a sequência (Sn) é convergente. Isto é: . A diferença entre esse limite (se ele existe) e uma dada soma parcial qualquer Sk é chamada de resto de ordem k (Rk) da série. Simbolicamente: . [...] a noção de série infinita generaliza o conceito de soma finita, pois a série se reduz a uma soma finita quando todos os seus termos, a partir de um certo índice, são nulos. Mas é bom enfatizar que há uma real diferença entre a soma de um número finito de termos e a soma de uma série infinita. Esta última não resulta de somar uma infinidade de termos — operação impossível: ela é, isto sim, o limite da soma finita Sn. (ÁVILA, 2006) Vamos agora desenvolver algumas ferramentas para estudar séries. Vejamos inicialmente uma condição necessária para que uma série convirja. Vamos provar que se uma série converge, seu termo geral an tende a zero. Hipóteses: • S an k n k= = ∑ 1 – esta é a reduzida de ordem n da série S. • S S n n = → lim ∞ – a série converge. Tese: lim n n a → = ∞ 0 Demonstração a S S a S S n n n n n n n n = − = −( ) − → → − 1 1lim lim∞ ∞ Como, quando os limites existem, o limite da diferença é a dos limites, podemos escrever: lim lim lim n n n n n n a S S → → → − = ( ) − ( ) ∞ ∞ ∞ 1 18 19 Ora, tanto lim n n S S → ( ) = ∞ , como lim n n S S → − ( ) = ∞ 1 . Logo: lim lim n n n n a S S a → → = − = ∞ ∞ 0 Observe que o ponto de partida foi que a série converge, e a conclusão foi quean tende a 0. Isso não quer dizer que se an tende a zero, a série converge. Veja um exemplo famoso, o da série harmônica: S nn = = ∑ 1 1∞ . O termo 1 n tende a 0. No entanto, a série é divergente. A seguir uma ilustração da demonstração dada por Nicole Oresme, matemático do século XIV (ÁVILA, 2006): A série é esta soma: S = + + + +…1 1 2 1 3 1 4 . Os termos desta soma podem ser agrupados do seguinte modo: S = + + + + + + + + +…+ + +…+1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 16 1 17 11 32 1 33 1 64 + +…+ … Observe que cada par de parênteses é a soma 2 1 2 1 1 k k n+ + ∑ CUIDADO COM AS POTÊNCIAS: No limite de baixo, o expoente é somente k (o 1 está sendo somado ao 2k). No limite de cima, o expoente do 2 é k+1 Essa soma é sempre maior que ½, pois: 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 k k n k k k k k k k+ + + + + ∑ = + + + +…+ + −( ) + > + +…+ 22 2 2 1 21 1k k k+ += = Exemplo no caso do 4º parênteses: 1 17 1 18 1 31 1 32 1 32 1 32 1 32 1 32 16 32 1 2 + …+ + > + …+ + = = Ou seja S > + + + + + + + +…1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 O lado direito é claramente divergente; consequentemente, S também é. Para dizer que o lado direito é divergente, usamos o teorema na sua forma contrapositiva. O teorema diz “Se S converge, então an à 0”. A contrapositiva é “Se an não tende a 0, então S não converge.” Essa contrapositiva também pode ser usada para demonstrar que a série S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 -1 ... não converge, pois an fica oscilando entre -1 e 1. 19 UNIDADE Sequências e séries infinitas Testes de convergência O teorema acima forneceu uma condição necessária para a convergência de uma série, mas, como ela não é uma condição suficiente, ele não pode ser usado como teste de convergência. A seguir apresentamos alguns testes úteis. Mas antes, apresentaremos um teorema que permite deduzir a convergência de uma série a partir da convergência de outras séries. O teorema é consequência das propriedades operacionais dos limites de sequências. Ele diz que se as séries ∑ na e ∑ nb convergem e k é um número qualquer, então as séries ∑ nka e ∑ +( )a bn n também convergem e valem as seguintes relações: ∑ = ∑ ∑ +( ) = ∑ + ∑ ka k a a b a b n n n n n n Em outras palavras, a soma de duas séries convergentes é uma série convergente, e seu limite é a soma dos limites das duas séries iniciais; o produto de uma série convergente por uma constante k é uma série convergente e seu limite é o produto da série inicial por k. Uma consequência disso é que se prova-se que uma série converge a partir de n > N, toda a série converge e os limites se relacionam do seguinte modo: n n N n N na S a = = +∑ ∑= + 1 1 ∞ ∞ onde S a a aN N= + + +1 2 ... Pois n n n N N N N n n n N a lim S S a a a a lim S = + + + = ∑ ∑ = ( ) = + + +…+( ) = ( ) + 1 1 2 1 ∞ ∞ lim limm a a a a S a N N N n n n N n N n + + + = = + + +…+( ) = +∑ ∑ 1 2 1 1 ∞ ∞ Critério de convergência de Cauchy O critério de convergência de Cauchy oferece uma condição necessária e suficiente para a convergência de uma série. O teorema diz o seguinte: uma condição necessária e suficiente para que uma série ∑ na seja convergente é que dado e > 0 qualquer, é possível encontrar um N tal que para todo inteiro positivo p: n N a a an n n p> → + +…+ <+ + +1 2 ε Observe que a a a S Sn n n p n p n+ + + ++ +…+ = −1 2 20 21 Com esse critério, podemos formalizar a demonstração da não convergência da série harmônica. Para isso, façamos p = n. Logo: a a a a a an n n p n n n+ + + + ++ +…+ = + +…+1 2 1 2 2 Observe que a soma dentro do módulo tem n parcelas. a a a n n n a a a n n n n n p n n n p + + + + + + + +…+ = + + + +…+ + +…+ > + +… 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 ++ = = 1 2 2 1 2n n n Ora, se o lado esquerdo é maior que meio para um n qualquer, nunca encontraremos um N tal que, para n > N, o lado esquerdo seja menor que um dado e arbitrário. Logo, a série é divergente. Provemos agora que se ∑ na converge, então ∑ na converge. Se ∑ na converge, ela passa pelo critério de Cauchy. Ou seja, é possível encontrar N, tal que, dado e > 0 qualquer, para todo inteiro positivo p: n N a a an n n p> → + +…+ <+ + +1 2 ε Se ∑ na e ∑ na são ambas séries convergentes, diz-se que a série ∑ na converge absolutamente. Se ∑ na é convergente mas ∑ na não é convergente, diz-se que a série ∑ na converge condicionalmente. Ex pl or Ora, a a a a a an n n p n n n p+ + + + + ++ +…+ ≥ + +…+1 2 1 2 . Logo, se ∑ na atende ao critério de Cauchy, então necessariamente ∑ na também atende e consequentemente ∑ na é convergente. Teste da comparação Sejam ∑an e ∑bn duas séries de termos não negativos, tal que an≤ bn, para n ≥ p. Atendidas estas condições, podemos afirmar que: (a) Se ∑ nb converge, então ∑ na converge e ∑ ≤ ∑a bn n . (b) Se ∑ na diverge, então ∑ nb também diverge. Demonstremos a parte (a) usando o critério de Cauchy. Se ∑ nb converge, então, dado e, é possível encontrar um N tal que para todo inteiro positivo p: n N b b bn n n p> → + +…+ <+ + +1 2 ε 21 UNIDADE Sequências e séries infinitas Ora, como para todo n, an≤bn e an≥0 e bn≥0, então a a a b b bn n n p n n n p+ + + + + ++ +…+ ≤ + +…+1 2 1 2 Ou seja, se ∑ nb atende ao critério de Cauchy, então necessariamente ∑ na também atende ao critério. Tendo provado (a) podemos provar (b) rapidamente: se ∑ nb convergisse, então ∑ na também convergiria (por causa da parte a do teste). Um exemplo da utilização desse teste é a demonstração de que a série n n= ∑ 0 1∞ ! é convergente. Observe que 1 0 n! > . A série ∑ na será n n= ∑ 2 1∞ ! . Ou seja, n nn a = ∑ ∑= + + 0 1 1 0 1 1 ∞ ! ! ! . Como vimos acima, se ∑ na converge, então n n= ∑ 0 1∞ ! converge e n nn a = ∑ = + ∑ 0 1 2 ∞ ! . Precisamos encontrar uma série ∑ nb tal que an≤bn para todo n. Isso é feito do seguinte modo: 1 n! = 1 2. 3. ... .n £ 1 2. 2. ... .2 = 1 2n-1 ≤ Ou seja, ∑ = = −∑bn n n 2 1 1 2 ∞ Ora, ∑ nb nada mais é do que a soma de uma progressão infinita de razão ½ e termo inicial ½. Como a razão é menor que 1, essa progressão tem limite dado por S l razão = −1 inicia . Ou seja:S = − = = 1 2 1 12 1 2 1 2 1. Ou seja, temos que ∑ = = ∑a nn n 2 1∞ ! e ∑ = = −∑bn n n 2 1 1 2 ∞ . Essas duas séries atendem às condições do teste: para todo n, an > 0, bn ≥ 0, an ≤ bn. Ou seja, elas atendem à condição do teste. Sabemos que ∑ nb converge; logo ∑ na converge. Se ∑ na e n nn a = ∑ = + ∑ 0 1 2 ∞ ! , então n n= ∑ 0 1∞ ! também converge, como queríamos demonstrar. 22 23 Teste da razão ou teste de D’Alembert Seja ∑ na uma série de termos positivos (isto é, an > 0 para todo n) tal que existe o limite L do quociente a a n n +1 . Se L < 1, a série converge. Se L > 1, a série diverge. Se L = 1, não é possível concluir nada sobre a convergência de ∑ na . A demonstração desse teste você encontra em Ávila (2006, p. 120). Veja um exemplo de aplicação com a série ∑ +n n 1 ! . Observe que os termos dessa série são todos positivos, pois n ≥ 1. Precisamos ver se existe o limite L. Primeiro calculemosa a n n +1 : a a n n n n n n n n n n n n n + = +( ) + +( ) + = +( ) + +( ) + = + +( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ! ! ! . ! . ! . nn n a a n n n a a n n a a n n n n n n n n n ! . + = + +( ) + = + +( ) = + + + + + + 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 11 Calculemos agora o limite de a a n n +1 : L a a n n nn n n n = = + + +→ + → lim lim ∞ ∞ 1 2 2 2 1 Dividindo o numerador e o denominador da razão por n²: L n n n n n n n n L n n n n n n = + + + = ( ) + ( ) → → → → lim lim / lim lim ∞ ∞ ∞ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 ∞∞ ∞ ∞ 1 2 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2+ ( ) + ( ) = + + + = = → → lim / lim n n n n L Logo, L < 1. Consequentemente, a série converge. 23 UNIDADE Sequências e séries infinitas Teste da integral Seja f(x) uma função positiva e decrescente. Seja uma série ∑ na tal que an = f(x). Seja a integral 1 N f x dx∫ ( ) . Essa integral é limitada superior e inferiormente do seguinte modo: n N N n N f n f x dx f n = = − ∑ ∫ ∑( ) ≤ ( ) ≤ ( ) 2 1 1 1 O esquema da Figura 3 mostra porque essas somas constituem estimativas por falta e por excesso dessa integral. Quando N →∞ , se a integral converge, pela primeira desigualdade de expressão acima, concluímos que a série converge; se a série converge, pela segunda desigualdade da expressão, concluímos que a integral converge. Figura 3 – relação entre as somas e a integral no teste da integral. No lado esquerdo, entre n N f n = ∑ ( ) 2 (estimativa por falta) e 1 N f x dx∫ ( ) . No lado direito, entre n N f n = − ∑ ( ) 1 1 (estimativa por excesso) e 1 N f x dx∫ ( ) . Fonte: Ávila (2006). Em resumo, dadas essas condições, a série ∑ na converge se e somente se a integral imprópria 1 ∞ ∫ ( )f x dx tem um limite definido. Vejamos dois exemplos. Comecemos por −∑ ne . Seja f x e x( ) = − . A integral que devemos calcular é 1 N xe dx∫ − : 1 1 1 N x x N Ne dx e e e∫ − − − −= − = − + Precisamos agora calcular o limite dessa integral quando → ∞N . lim lim lim lim li N N x N N N N N e dx e e e e → − → − − → − → −∫ = − +( ) = −( ) + ( )∞ ∞ ∞ ∞ 1 1 1 mm lim lim lim N N x N N N N N x e dx e e e d → − → → → − ∫ ∫ = − + ∞ ∞ ∞ ∞ 1 1 1 1 xx e e dx eN N x = − + = → −∫ 0 1 1 1 lim ∞ Ou seja, a integral imprópria 1 ∞ ∫ ( )f x converge. Logo, a sequência converge. 24 25 Exercícios de fi xação 1) Demonstre pela definição que a sequência a n nn = + 2 7 2 2 converge para o limite 2. 2) Demonstre pela definição que a sequência a n n n nn = + 3 5 converge para o limite 3. 3) Demonstre pelo teste da comparação que a série ∑ + 4 3 2n é convergente. 4) Demonstre que 0,9999... = 1 5) Verifique se as séries a seguir convergem ou não. Utilize o teste da integral: a) 2 1 4 ∑ n b) 1 2 1 ∑ +n Soluções 1) Demonstre pela definição que a sequência a n nn = + 2 7 2 2 converge e tem como limite 2. Pela definição, se L = 2, então podemos encontrar N tal que para n > N, temos 2 7 2 2 2 n n + − < ε Manipulando o lado esquerdo, temos: 2 7 2 2 2 14 7 14 7 14 7 142 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n+ − = − − + = − + = + < Se fizermos 14 2n < ε , teremos: n n 2 14 14 > > ε ε Ou seja, dado e, se n > 14 ε , então teremos 2 7 2 2 2 n n + − < ε Logo, está provado que o limite é 2. 2) Demonstre pela definição que a sequência a n n n nn = + 3 5 converge para o limite 3. Pela definição, se L = 3, então podemos encontrar N tal que para n > N, temos: 3 5 3 n n n n + − < ε 25 UNIDADE Sequências e séries infinitas Manipulando o lado esquerdo, temos: 3 5 3 3 3 5 5 3 3 15 5 15 5 15 5 15n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n+ − = − +( ) + = − − + = − + = + < nn n Se fizermos 15 n n < ε , teremos: n n n n = > > 3 2 2 3 15 15 ε ε Ou seja, dado e, se n > 15 2 3 ε , então teremos 3 5 3 n n n n + − < ε Logo, está provado que o limite é 3. 3) Demonstre pelo teste da comparação que a série a seguir é convergente: ∑ + 4 3 2n Se ∑ = ∑ + an n 4 3 2 , precisamos encontrar ∑ nb , tal que bn ≥ an. Considerebn n= 4 3 . Observe que 4 3 4 3 2n n > + para todo n ≥ 1. Por outro lado, 4 3 ∑ n é uma progressão geométrica infinita de razão 1/3 e termo inicial 4/3. Logo, ela converge. Pelo teste da comparação, se ∑ nb converge, sendo ,b an n≥ ≥ 0 então ∑ na converge. 4) Demonstre que 0,9999... = 1 Lembre-se do que significa a expansão decimal de um número: 0 9999 9 10 9 10 9 10 9 10 12 3 4, …= + + + +…= 26 27 Ou seja, a pergunta pode ser entendida como: demonstre que a série 9 10 ∑ n converge para o limite 1. Vamos demonstrar que a série converge com auxílio do teste da razão. Determinemos primeiro a a n n +1 : a a n n n n n n + + += = = 1 1 1 9 10 9 10 9 10 10 9 1 10 . Ou seja, a razão entre o termo seguinte e o anterior é sempre 1/10. Evidentemente, neste caso o limite da razão existe: lim lim n n n n a a→ + → = = ∞ ∞ 1 1 10 1 10 Como o limite lim n n n a a→ + ∞ 1 é menor que 1, a série converge. Para provar que o limite da série 9 10 ∑ n é 1, precisamos calcular a soma parcial Sn. Observe que a série é uma progressão geométrica infinita. A soma de uma PG finita é dada por: S a q qn n = −( ) − 1 1 1 No problema, a q1 9 10 1 10 = = e : Sn n n n = ( ) − − = − − = −910 1 10 1 1 10 1 9 10 1 10 1 1 10 10 9 10 1 10 1 − = − − = − 9 10 1 10 1 1 1 10 Sn n n 27 UNIDADE Sequências e séries infinitas Claramente, quando n à ∞, Sn à 1 5) Verifique se as séries a seguir convergem ou não. Utilize o teste da integral: a) 2 1 4 ∑ n 2 1 4 ∑ n > 0 para todo n > 1 Seja f x x ( ) = 1 4 2 . f(x) é decrescente. Precisamos calcular a integral 1 N f x dx∫ ( ) : 1 2 1 2 1 1 1 4 4 4 1 4 1 4 N N N x dx x dx x N∫ ∫= = − = − + − − Calculando o limite: 1 2 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 ∞ ∞ ∞ ∞∫ = − + = − + → → →x dx N Nn n n lim lim lim = + =0 1 4 1 4 Como o limite existe, a série converge. b) 1 2 1 ∑ +n 1 2 1 ∑ +n > 0 para todo n ≥ 1 Seja f x x ( ) = + 1 2 1 . f(x) é decrescente. Precisamos calcular a integral 1 N f x dx∫ ( ) : 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 3 N N N x dx x N x dx N ∫ ∫ + = + = + − + + = + − Calculando o limite: 1 1 2 1 2 1 3 ∞ ∞ ∞∫ + = + −( ) = +→x dx Nnlim Como o limite não existe, a série não converge. 28 29 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nestaUnidade: Vídeos Videoaulas da UNIVESP TV sobre sequências e séries convergentes: USP: (UNIVESP TV. Cálculo III. Aula 01 – Introdução ao estudo de sequências e séries convergentes. https://goo.gl/bm0IPQ UNICAMP: UNIVESP TV. Cursos Unicamp - Cálculo III – Sequências numéricas- parte 1. https://goo.gl/QOjWFQ Paradoxos de Zenon Preparação Digital. Noções de cálculo, limite de funções e paradoxo de Zenão. http://goo.gl/1ySGgj O que é o paradoxo da dicotomia, de Zenão – Colm Kelleher. https://goo.gl/7aGucI Progressões geométrica e aritmética Matemática com Prof. Gui. Progressão Aritmética (P.A) – Prof. Gui. https://goo.gl/aD34bB Marcos Aba Matemática. PG – Progressão Geométrica – aula 01. https://goo.gl/bgK4KX 29 UNIDADE Sequências e séries infinitas Referências ÁVILA, Geraldo. Análise matemática para licenciatura. 3ª ed. São Paulo: Blücher, 2006. 30
Compartilhar