8 SoluçãodePVI-MétododeEULER-2020-1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
 CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
PROFESSOR: PEDRO LEITE DE SANTANA 
PERÍODO: 2021-1 DATA: 10-09-2021 
DISCIPLINA: CINÉTICA QUÍMICA E REATORES HOMOGÊNEOS 
 
 
TEXTO COMPLEMENTAR: SOLUÇÃO NUMÉRICA DE PROBLEMA DE VALOR 
INICIAL (PVI) – MÉTODO DE EULER 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Vários problemas que ocorrem na ciência e na engenharia são formulados em termos de equações 
diferenciais (ordinárias ou parciais) que expressam a variação das grandezas do sistema. 
 
De modo geral, uma equação diferencial ordinária (EDO) de ordem n pode ser escrita na forma: 
 
 0,...,,,,
2
2






n
n
dx
yd
dx
yd
dx
dy
yxF (1) 
 
A Equação (1) pode ainda ser escrita na seguinte forma: 
 
 








1
1
,...,,,
n
n
n
n
dx
yd
dx
dy
yxG
dx
yd
 (2) 
 
O problema a ser considerado na resolução de uma equação diferencial ordinária consiste em 
encontrar uma função y = y(x) que satisfaz a Equação (2) e a condições do tipo: 
 
 
11
1
1100 )( , . . . ,)´( )( n-n
n CxyCxyCxy  
 
 
Se: 110 ...  nxxx , diz-se que o problema a ser resolvido é um Problema de Valor Inicial (PVI). 
 
Se as condições forem especificadas em posições distintas, diz-se que o problema a ser resolvido é 
um Problema de Valores de Contorno (PVC). 
 
Uma solução y da Equação (2) constitui uma função n vezes diferenciável em um intervalo RI 
com 1,...,1,0,  niIxi , tal que y satisfaça a Equação (2) para Ix . 
 
O problema acima indicado pode ocorrer na forma de sistemas de equações, sendo esta a situação 
usualmente encontrada quando se faz a descrição matemática (modelagem matemática) de sistemas 
de engenharia, como se viu, por exemplo, na análise de Reações Múltiplas ocorrendo em um reator 
batelada (tópico básico nos estudos de Cinética Química). 
 
O objetivo desta anotação de aula é expor a operacionalização do método de Euler para a resolução 
de um problema de valor inicial (PVI). 
 
No caso de uma única variável dependente, tem-se a seguinte forma geral do PVI: 
 
 
 
2 
 
00 )(
,
yxy
yxf
dx
dy


 (3) 
 
No caso de várias variáveis dependentes, tem-se a seguinte forma geral do PVI, dada pelo Sistema 
de Equações (4), com as respectivas condições iniciais para cada variável dependente: 
 
 
𝑑𝑦1
𝑑𝑥
= 𝑓
1
(𝑥, 𝑦
1
, 𝑦
2
, ⋯ , 𝑦
𝑛
) 
 
 
𝑑𝑦2
𝑑𝑥
= 𝑓
2
(𝑥, 𝑦
1
, 𝑦
2
, ⋯ , 𝑦
𝑛
) 
 
. 
. (4) 
. 
 
 
𝑑𝑦𝑛
𝑑𝑥
= 𝑓
𝑛
(𝑥, 𝑦
1
, 𝑦
2
, ⋯ , 𝑦
𝑛
) 
 
Condições Iniciais: 
 
𝑦
1
(𝑥0) = 𝑦10 
 
𝑦
2
(𝑥0) = 𝑦20 
. 
. 
. 
 
𝑦
𝑛
(𝑥0) = 𝑦𝑛0 
 
_______________________________________________________________________________ 
Formulação Básica do Método de Euler 
 
O método de Euler considera uma simples fórmula de diferença avançada para calcular o valor da 
função um passo adiante. 
 
 
 
 
h
yy
xy 010 )´(

 (Aproximação) 
 
)´( 001 xhyyy  
 
 Igualmente: 
 
 )´( 112 xhyyy  
 
 
 
 
3 
 Generalizando: 
 
 )´(1 nnn xhyyy  
 
 Como: y´(xn) = f(xn,yn), tem-se a fórmula iterativa do método de Euler: 
 
 
,...2,1,0
),(
1
1





n
hxx
yxhfyy
nn
nnnn
 
 
Exemplo Ilustrativo: Resolver o seguinte Problema de Valor Inicial: 
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2𝑥𝑦 
 
 𝑦(0) = 2 
 
Solução Analítica (Recomendação: Demonstrar!): 𝑦(𝑥) = 2𝑒−𝑥
2
 
 
Solução Numérica (para um passo de integração h = 0,1) 
 
Fórmulas iterativas: 
 
yn+1 = yn + h f(xn) = yn + h (-2xnyn) 
 
xn+1 = xn + h 
 
x0 = 0 
 
y0 = 2 
 
 
 
ILUSTRAÇÃO: PROBLEMA DE VALOR 
INICIAL 
 
 
SOLUÇÃO NUMÉRICA - MÉTODO DE 
EULER 
 
h i x y(i) y(i+1) y(x) ErroABS 
0,1 0 0,0 2,0000 2,0000 2,0000 0,0000 
 1 0,1 2,0000 1,9600 1,9801 0,0199 
 2 0,2 1,9600 1,8816 1,9216 0,0384 
 3 0,3 1,8816 1,7687 1,8279 0,0537 
 4 0,4 1,7687 1,6272 1,7043 0,0644 
 5 0,5 1,6272 1,4645 1,5576 0,0696 
 6 0,6 1,4645 1,2887 1,3954 0,0691 
 7 0,7 1,2887 1,1083 1,2253 0,0635 
 8 0,8 1,1083 0,9310 1,0546 0,0537 
 9 0,9 0,9310 0,7634 0,8897 0,0413 
 10 1,0 0,7634 0,6107 0,7358 0,0277 
 11 1,1 0,6107 0,4764 0,5964 0,0143 
 12 1,2 0,4764 0,3620 0,4739 0,0025 
 
 
 
4 
 13 1,3 0,3620 0,2679 0,3690 0,0070 
 14 1,4 0,2679 0,1929 0,2817 0,0138 
 15 1,5 0,1929 0,1350 0,2108 0,0179 
 16 1,6 0,1350 0,0918 0,1546 0,0196 
 17 1,7 0,0918 0,0606 0,1112 0,0193 
 18 1,8 0,0606 0,0388 0,0783 0,0177 
 19 1,9 0,0388 0,0240 0,0541 0,0153 
 20 2,0 0,0240 0,0144 0,0366 0,0126 
 
Gráfico correspondente: 
 
 
 
 
 
 
 
Comentário: O método de Euler, na primeira iteração, corresponde a considerar a aproximação linear 
para a função a partir da sua expansão em série de Taylor. Geometricamente, isto corresponde a 
aproximar a função na vizinhança do ponto x0 pela tangente da função neste ponto. 
 
Aproximação da função por série de Taylor: 
 
...)´´(
!2
)(
)´()()()( 0
2
0
000 

 xy
xx
xyxxxyxy
 
 
Aproximação linear: 
 
)´()()()( 000 xyxxxyxy  
 
Tomando esta aproximação para calcular a função em x = x1 = x0 + h, tem-se: 
 
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00
y
x
Solução numérica Solução analítica
 
 
 
5 
 
)´()()()( 00101 xyxxxyxy  
 
 
)´( 001 xhyyy  
 
Recomendação: Fazer o estudo do método de Euler em textos básicos de Cálculo Numérico. 
______________________________________________________________________________ 
 
 
Sistemas de Equações 
 
A fórmula iterativa mostrada acima, para uma única equação, é diretamente estendida para o caso de 
sistemas de equações, isto é, para um PVI envolvendo mais de uma variável dependente. A seguir, 
faz-se a ilustração para uma reação em série (Cinética Química: Reações Múltiplas). 
 
 
Exemplo de Cinética Química: Considerar o esquema reacional abaixo indicado, realizado em um 
reator batelada a volume constante e partindo-se apenas do reagente A numa concentração inicial 
CA0. Supor que a reação (1) segue uma cinética de segunda ordem e a reação (2) uma cinética de 
primeira ordem. 
 
(1) BA k 1 
 
(2) CB k 2 
 
Escrevendo-se os balanços de conservação para cada uma das espécies envolvidas no esquema 
reacional, têm-se: 
 
 
B
C
BA
B
A
A
Ck
dt
dC
CkCk
dt
dC
Ck
dt
dC
2
2
2
1
2
1



 (a) 
 
Como condições iniciais, em t = 0, têm-se: 
 
 
0)0(
0)0(
)0( 0



C
B
AA
C
C
CC
 (b) 
 
O Sistema de Equações (a) com as condições iniciais (b) constitui um Problema de Valor Inicial. 
Aplicando o método de Euler ao PVI em questão, obtêm-se as seguintes fórmulas iterativas: 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
0
0
C
0
0,1,2,...n 
0,
0,
0A,0
0
1
,2,1,
,2
2
,1,1,
2
,1,1,
Iterativas Fórmulas












C
B
A
nn
nBnCnC
nBnAnBnB
nAnAnA
C
C
C
t
htt
CkhCC
CkCkhCC
CkhCC
 
 
As fórmulas iterativas correspondentes ao PVI podem ser facilmente implementadas 
computacionalmente (por exemplo, utilizando a planilha Excel). Os valores que seguem são os 
resultados da sequência iterativa, considerando um passo de integração h = 0,1 min. Os valores 
assumidos para as condições iniciais (t = 0 min): CA0 = 4 mol/L; CB0 = 0 mol/L; CC0 = 0 mol/L. Os 
valores dos parâmetros cinéticos são: k1 = 0,2 L/mol.min; k2 = 0,08 min
-1. 
 
 
CA0 h n t(n) CA(n) CB(n) CC(n) CA(n+1) CB(n+1) CC(n+1) 
4 0,2 0 0 4,000 0,000 0,000 3,360 0,640 0,000 
CB0 1 0,2 3,360 0,640 0,000 2,908 1,081 0,010 
0 2 0,4 2,908 1,081 0,010 2,570 1,402 0,028 
CC0 3 0,6 2,570 1,402 0,028 2,306 1,644 0,050 
0 4 0,8 2,306 1,644 0,050 2,093 1,831 0,076 
k1 5 1 2,093 1,831 0,076 1,918 1,977 0,106 
0,2 6 1,2 1,918 1,977 0,106 1,771 2,092 0,137 
k2 7 1,4 1,771 2,092 0,137 1,645 2,1840,171 
0,08 8 1,6 1,645 2,184 0,171 1,537 2,257 0,206 
 9 1,8 1,537 2,257 0,206 1,443 2,316 0,242 
 10 2 1,443 2,316 0,242 1,359 2,362 0,279 
 11 2,2 1,359 2,362 0,279 1,285 2,398 0,317 
 12 2,4 1,285 2,398 0,317 1,219 2,426 0,355 
 13 2,6 1,219 2,426 0,355 1,160 2,446 0,394 
 14 2,8 1,160 2,446 0,394 1,106 2,461 0,433 
 15 3 1,106 2,461 0,433 1,057 2,471 0,472 
 16 3,2 1,057 2,471 0,472 1,012 2,476 0,512 
 17 3,4 1,012 2,476 0,512 0,971 2,477 0,551 
 18 3,6 0,971 2,477 0,551 0,934 2,475 0,591 
 19 3,8 0,934 2,475 0,591 0,899 2,471 0,631 
 20 4 0,899 2,471 0,631 0,866 2,463 0,670 
 21 4,2 0,866 2,463 0,670 0,836 2,454 0,710 
 22 4,4 0,836 2,454 0,710 0,808 2,443 0,749 
 23 4,6 0,808 2,443 0,749 0,782 2,430 0,788 
 24 4,8 0,782 2,430 0,788 0,758 2,415 0,827 
 25 5 0,758 2,415 0,827 0,735 2,400 0,865 
 26 5,2 0,735 2,400 0,865 0,713 2,383 0,904 
 
 
 
7 
 27 5,4 0,713 2,383 0,904 0,693 2,365 0,942 
 28 5,6 0,693 2,365 0,942 0,674 2,346 0,980 
 29 5,8 0,674 2,346 0,980 0,656 2,327 1,017 
 30 6 0,656 2,327 1,017 0,638 2,307 1,055 
 31 6,2 0,638 2,307 1,055 0,622 2,286 1,092 
 32 6,4 0,622 2,286 1,092 0,607 2,265 1,128 
 33 6,6 0,607 2,265 1,128 0,592 2,244 1,164 
 34 6,8 0,592 2,244 1,164 0,578 2,222 1,200 
 35 7 0,578 2,222 1,200 0,564 2,200 1,236 
 36 7,2 0,564 2,200 1,236 0,552 2,177 1,271 
 37 7,4 0,552 2,177 1,271 0,540 2,155 1,306 
 38 7,6 0,540 2,155 1,306 0,528 2,132 1,340 
 39 7,8 0,528 2,132 1,340 0,517 2,109 1,374 
 40 8 0,517 2,109 1,374 0,506 2,086 1,408 
 41 8,2 0,506 2,086 1,408 0,496 2,063 1,442 
 42 8,4 0,496 2,063 1,442 0,486 2,039 1,475 
 43 8,6 0,486 2,039 1,475 0,477 2,016 1,507 
 44 8,8 0,477 2,016 1,507 0,467 1,993 1,539 
 45 9 0,467 1,993 1,539 0,459 1,970 1,571 
 46 9,2 0,459 1,970 1,571 0,450 1,947 1,603 
 47 9,4 0,450 1,947 1,603 0,442 1,924 1,634 
 48 9,6 0,442 1,924 1,634 0,434 1,901 1,665 
 49 9,8 0,434 1,901 1,665 0,427 1,878 1,695 
 50 10 0,427 1,878 1,695 0,420 1,855 1,725 
 
 
Gráfico correspondente: 
 
 
 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0 2 4 6 8 10
C
o
n
ce
n
tr
aç
ão
 d
a 
Es
p
éc
ie
 (
m
o
l/
L)
Tempo (min)
CA
CB
CC