Matemática Computacional: Métodos Iterativos e Sistemas Lineares

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1Em matemática computacional, um método iterativo é um procedimento que gera uma sequência de soluções aproximadas que vão melhorando conforme iterações são executadas, e resolvem uma classe de problemas estabelecida. Existem alguns métodos de resolução para sistemas lineares que são iterativos. Sobre o método iterativo para sistemas lineares, assinale a alternativa CORRETA:
A
Cramer.
B
Fatoração LU.
C
Gauss-Seidel.
D
Inversão de matrizes.
2Na resolução de sistemas lineares, é importante conhecer os coeficientes das incógnitas do problema. É através deles que os métodos de resolução de baseiam para que possam ser resolvidos. Analise o sistema a seguir:
ax + y = 19
2x + by = 31
Referentes aos valores de a e b, para que o sistema apresentado tenha solução (12, 7), classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) a = -2 e b = 3.
(    ) a = 2 e b = -3.
(    ) a = 1 e b = -1.
(    ) a = 1 e b = 1.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
F - F - V - F.
B
V - F - F - F.
C
F - F - F - V.
D
F - V - F - F.
3Existem várias maneiras de determinar a inversa de uma matriz. Em alguns destes métodos, o mecanismo envolvido torna-se ineficiente, devido à quantidade de linhas e colunas da matriz. Na situação a seguir, adotamos um método prático clássico que gera a matriz aumentada [AMI] composta da matriz A concatenada com a matriz identidade I da mesma ordem de A. O processo obedece às operações elementares sobre as linhas e tem como objeto transformar a matriz A na matriz identidade I. Perante as operações apresentadas, identifique qual elemento apresenta o resultado INCORRETO:
A
Elemento a23.
B
Elemento a32.
C
Elemento a22.
D
Elemento a33.
4Considere o sistema linear com m equações e n incógnitas escrito na forma matricial Ax=b. Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir:
I- Se duas linhas da matriz ampliada S=[A:b] são iguais, o sistema tem uma única solução.
II- A matriz A é uma matriz de ordem mxn e tem m.n elementos.
III- Se o número de incógnitas for estritamente maior que o número de equações, o sistema terá, obrigatoriamente, infinitas soluções.
IV- Se o determinante da matriz A é igual a zero, o sistema é impossível.
Assinale a alternativa CORRETA:
A
Somente a sentença II está correta.
B
As sentenças II e IV estão corretas.
C
As sentenças III e IV estão corretas.
D
As sentenças I e III estão corretas.
5Os critérios de convergência são grandes aliados no momento de realizar um processo iterativo, mostrando se o método pode convergir ou divergir. Para cada tipo de método de iteração, quando necessário, há, respectivamente, um critério que auxilia a verificar a convergência do processo. Sobre o Critério de Scarborough, utilizado para verificar a convergência em sistemas lineares, assinale a alternativa CORRETA em que a condição (a) é satisfeita:
A
Na primeira e terceira equação.
B
Na segunda e terceira equação.
C
Na primeira equação.
D
Na primeira e segunda equação.
6O elemento neutro na multiplicação é o número um, da mesma forma que o zero é para a adição. Logo, quando multiplicamos um número por outro e seu resultado é um, dizemos que eles são inversos e quando a soma resulta em zero, dizemos que os números são opostos. Um dos comandos do MaTlab/Scilab é o eye, que proporciona uma matriz com características importantes nas operações. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta as opções válidas de comando no MaTlab/Scilab sobre o eye:
A
As opções I e II estão corretas.
B
Somente a opção II está correta.
C
As opções I e IV estão corretas.
D
As opções II e III estão corretas.
7Um dos comandos básicos no MatLab/Scilab é a matriz nula. Uma matriz nula é qualquer matriz em que todos os seus elementos possuem valor 0. Um caso especial é a matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas). Para o comando lógico em uma matriz de ordem 2, devemos proceder:
No MatLab
>> a=zeros(2)
No Scilab
>> a=zeros(2,2)
Qual das opções a seguir apresenta itens válidos de comando no MaTlab/Scilab sobre os "zeros"?
A
Somente a opção II está correta.
B
As opções I e II estão corretas.
C
As opções II e III estão corretas.
D
As opções I e IV estão corretas.
8Em um sistema linear de duas equações e duas variáveis, podemos interpretar geometricamente cada uma destas equações, com sendo uma reta. Logo, ao representá-las no plano, veremos as várias possibilidades possíveis em que estas retas estarão dispostas. Para cada particularidade de posição, podemos admitir uma classificação diferente para o sistema. Sobre a classificação do sistema pela posição da reta, associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Sistema Possível e Determinado (SPD): é o sistema que admite uma única solução.
II- Sistema Possível e Indeterminado (SPI): é o sistema que admite um número infinito de soluções.
III- Sistema Impossível (SI): é o sistema que não admite soluções.
(    ) Paralelas, ou seja, equidistantes e sem ponto comum.
(    ) Coincidentes, ou seja, com todos os pontos comuns.
(    ) Concorrentes, ou seja, com um ponto comum.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
III - I - II.
B
I - III - II.
C
I - II - III.
D
III - II - I.
9Diversos são os teoremas para provar que determinada série numérica converge ou diverge. Esses costumam ser chamados de testes (ou critérios). Sobre a importância dos critérios de convergência, assinale a alternativa CORRETA:
A
Nos processos iterativos, em princípio, o método pode não convergir para uma aproximação da solução do sistema.
B
Uma vez de posse do sistema, escolher qual o método mais eficiente para resolvê-lo.
C
De posse destes critérios, não podemos escolher com maior propriedade os valores iniciais do processo.
D
Nos processos diretos, os sistemas podem não ter solução.
10"A história dos sistemas de equações lineares começa no oriente. Em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, surge a ideia de determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de números). O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois num trabalho de Leibniz, ligado também a sistemas lineares. A conhecida regra de Cramer é na verdade uma descoberta do escocês Colin Maclaurin (1698-1746), datando provavelmente de 1729, embora só publicada postumamente em 1748 no seu Treatise of algebra. O suíço Gabriel Cramer (1704-1752) não aparece nesse episódio de maneira totalmente gratuita. Cramer também chegou à regra independentemente. O francês Étienne Bézout (1730-1783), autor de textos matemáticos de sucesso em seu tempo, tratou do assunto, sendo complementado posteriormente por Laplace, em Pesquisas sobre o cálculo integral e o sistema do mundo. O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho de Cauchy sobre o assunto. Neste artigo, apresentado à Academia de Ciências, sugeriu a notação que hoje é aceita como convenção. Já o alemão Jacobi fez a leitura dessa teoria da forma como atualmente se estuda". Com base nessas curiosidades a respeito das equações lineares e dos determinantes, analise as sentenças a seguir:
I- Um sistema impossível é o sistema que não admite soluções.
II- Um sistema possível e determinado é o sistema que admite uma única solução.
III- Não existem inúmeros métodos de resolução de sistemas lineares. Na verdade, sempre que nos deparamos com um sistema linear na literatura, independentemente das suas características, ele nunca poderá ser solucionado.
IV- Um sistema possível e indeterminado é o sistema que admite um número infinito de soluções.
Assinale a alternativa que apresenta a resposta CORRETA:
FONTE: https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_equa%C3%A7%C3%B5es_lineares. Acesso em: 24 jan. 2019.
A
As sentenças II e IV estão corretas.
B
As sentenças I, II e III estão corretas.
C
As sentenças I, II e IV estão corretas.
D
As sentenças II e III estão corretas.
1Em análise numérica, polinômio de Lagrange (nomeado por razão de Joseph-Louis de Lagrange) é o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos. Com base nos dados do quadro anexo, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o polinômio interpoladorobtido via método de Lagrange para a função:
A
1,2295x + 1.
B
0,6125x + 1.
C
1,3845x + 2.
D
x + 0,6125.
2O Método da Bisseção tem como finalidade encontrar as raízes em uma função contínua, por um processo iterativo. O método consiste, inicialmente, em encontrar por verificação dois pontos, a e b, tais que, quando aplicados em uma função, tenhamos resultados de sinais opostos. O fato da existência da raiz é garantido pelo Teorema de Bolzano. As iterações são realizadas, determinando a média aritmética x = (a + b)/2 entre os valor a e b, posteriormente, para o resultado de x, haverá um evolução por cima ou por baixo. Considere que na função que queremos procurar, a raiz seja f(x) = x² - 3. Partindo dos valores de a = 1 e b = 3, determinando o valor a ser testado na terceira iteração, assinale a alternativa CORRETA:
A
x = 1,75.
B
x = 1,7.
C
x = 1,5.
D
x = 1,25.
3Há vários métodos para resolver equações, alguns que proporcionam respostas exatas e outros que nos fornecem uma aproximação. Contudo, nos casos em que necessitamos realizar iterações, os métodos podem se diferenciar entre métodos de confinamento e métodos abertos. Uma importante diferença entre eles, é que em métodos de confinamento, o processo sempre converge, enquanto que nos métodos abertos, nem sempre há a convergência. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta apenas métodos abertos:
A
Secante e bisseção.
B
Bisseção e o regula falsi.
C
Newton e o iteração de ponto fixo.
D
Regula falsi e iteração de ponto fixo.
4Para resolver equações por meio numérico, há dois grupos de métodos que podemos utilizar: métodos de confinamento e métodos abertos. Um destes métodos, tem como ideia identificar um intervalo que consta uma solução, enquanto o outro, admite-se uma estimativa inicial para a solução. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta apenas métodos de confinamento:
A
Bisseção e o regula falsi.
B
Newton e o iteração de ponto fixo.
C
Regula falsi e iteração de ponto fixo.
D
Secante e bisseção.
5Em alguns métodos numéricos para determinar a raiz de uma equação, é necessário encontrar um intervalo que contenha uma raiz. O processo para determinar este intervalo consiste em um simples teste de verificação. Supondo que os dois parâmetros iniciais sejam a e b, sabendo que o método que será utilizado é o da falsa-posição, classifique as V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) f(a).f(b)=0 então nada é concluído.
(    ) f(a).f(b)<0 então a raiz da função, está no intervalo [a, b].
(    ) f(a).f(b)>0 então devemos testar outro ponto, pois não é conclusivo.
(    ) f(a).f(b)<0 então devemos testar outro ponto, pois não é conclusivo.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
F - V - F - V.
B
V - F - V - F.
C
F - V - V - F.
D
V - F - F - V.
6Encontrar a solução de uma equação pode ser um processo complicado, principalmente quando tentamos resolver de forma analítica. Este é um dos motivos que incentivaram os matemáticos a criarem métodos diferenciados para a resolução de forma numérica. Existem vários métodos numéricos para a resolução de equações, o qual procuramos encontrar uma solução aproximada para o problema. Sobre os processos de resolução de forma numérica de equações, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Uma das fases é a de localizar um intervalo em que a raiz está contida.
(    ) Uma das fases consiste em isolar a variável, utilizando as operações elementares.
(    ) Um importante processo consiste na tentativa arbitrária de localizar a solução.
(    ) Uma importante fase é de refinamento, em que consiste em melhorar a aproximação da raiz.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
V - V - F - V.
B
V - F - V - F.
C
V - F - F - V.
D
F - V - V - F.
7Na forma de Lagrange, as funções base, denotadas por L, que constituem parte da função interpoladora, são resolvidas por um certo algoritmo. Considere que temos um grupo de dados tabelados, com três pontos, e desejamos criar um polinômio interpolador de grau 2 Dessa forma, analise as opções a seguir, identificado qual estrutura a função base L2 terá, e, em seguida, assinale a alternativa CORRETA:
A
Somente a opção III está correta.
B
Somente a opção I está correta.
C
Somente a opção II está correta.
D
Somente a opção IV está correta.
8O Método de Newton-Raphson tem como ideia geométrica a utilização de retas tangentes que convergem para uma raiz. Além disso, podemos estabelecer outras colocações conceituais ou definições para este método. Sobre as colocações corretas sobre o Método de Newton-Raphson, analise as sentenças a seguir:
I- Tem como alicerce a derivada das funções.
II- O método consiste em determinar raízes de funções por um processo iterativo.
III- A função deve ser contínua para que o método funcione.
IV- A função converge sobre qualquer hipótese inicial.
Assinale a alternativa CORRETA:
A
As sentenças I e IV estão corretas.
B
Somente a sentença I está correta.
C
As sentenças II e IV estão corretas.
D
As sentenças I, II e III estão corretas.
9As expressões algébricas que se formam a partir da união de duas ou mais variáveis e constantes, relacionadas através de operações de multiplicação, subtração ou adição, recebem o nome de polinômios. Dado o polinômio P (x) = 0,6x² + 0,9x + 1, determine seu valor para x = 0,4:
A
1,456.
B
2,104.
C
1,324.
D
1,6.
10O Método da Secante é utilizado para determinar as raízes em uma função. Primeiramente, devemos determinar um intervalo [a, b] em que a função seja contínua e que não necessariamente, a raiz esteja neste intervalo. A expressão a seguir, determina as iterações para a aproximação da raiz deste método. Supondo que na função que queremos procurar, a raiz seja f(x) = - x² + 3, partindo dos valores de a = -1 e b = 3. Determinando o valor x da aproximação na primeira iteração, assinale a alternativa CORRETA:
A
x = 0,4.
B
x = 1,2.
C
x = 0.
D
x = 1,5.
Em matemática, a teoria de sistemas lineares é a base de uma parte fundamental da álgebra linear, um tema que é usado na maior parte da matemática moderna. Deve-se observar que, em primeiro lugar, a equação linear é, necessariamente, uma equação polinomial. Em diversos ramos da matemática aplicada e ciências naturais, podemos encontrar vários usos de sistemas lineares. Exemplos são a física, a economia, a engenharia, a biologia, a geografia, a navegação, a aviação, a cartografia, a demografia e a astronomia. Com base no exposto, responda com suas palavras o que é um sistema de equações lineares.
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2Na resolução de equações diferenciais, é comum o uso de métodos de integração numérica para solução analítica. Com isso, a integração numérica das equações diferenciais pode ser realizada de duas formas:
• criação de seu próprio algoritmo de integração, utilizando algum método numérico desenvolvido em uma linguagem qualquer de programação;
• utilização de algum pacote de simulação comercialmente disponível, tais como: Matlab, Scilab, Octave e Maple.
Com base no exposto, explique o porquê que devemos utilizar a integração numérica na solução de equações diferenciai.
Em matemática, a teoria de sistemas lineares é a base de uma parte fundamental da álgebra linear, um tema que é usado na maior parte da matemática moderna. Deve-se observar que, em primeiro lugar, a equação linear é, necessariamente, uma equação polinomial. Em diversos ramos da matemática aplicada e ciências naturais, podemos encontrar vários usos de sistemas lineares. Exemplos são a física, a economia, a engenharia, a biologia, a geografia, a navegação, a aviação, a cartografia, a demografia e a astronomia. Com base no exposto, responda com suas palavras o que é um sistema de equações lineares.
Resposta esperada
*É um conjunto finito composto por um determinado número de equações lineares. *Uma equação linear é uma equação formada por uma soma de termos algébricos, *onde cada termo algébrico é composto por um produto entre uma variável e um coeficiente numérico (x), por exemplo.
Minha resposta
É um conjunto finito compostopor um determinado número de equações lineares. Uma equação linear é uma equação formada por uma soma de termos algébricos, onde cada termo algébrico é composto por um produto entre uma variável e um coeficiente numérico (x), por exemplo.
2Na resolução de equações diferenciais, é comum o uso de métodos de integração numérica para solução analítica. Com isso, a integração numérica das equações diferenciais pode ser realizada de duas formas:
• criação de seu próprio algoritmo de integração, utilizando algum método numérico desenvolvido em uma linguagem qualquer de programação;
• utilização de algum pacote de simulação comercialmente disponível, tais como: Matlab, Scilab, Octave e Maple.
Com base no exposto, explique o porquê que devemos utilizar a integração numérica na solução de equações diferenciai.
Resposta esperada
O cálculo integrado pode ser uma função analítica ou um conjunto de pontos discretos, ou seja, dados contidos em uma tabela. A integração numérica, para solução de equações diferenciais, é necessária em três casos, conforme segue: - quando a integração analítica é difícil de ser calculada; - quando a integração analítica é impossível, ou seja; não tem como fazê-la; - quando o integrando é fornecido como um conjunto discreto de pontos em um gráfico.
Minha resposta
O cálculo integrado pode ser uma função analítica ou um conjunto de pontos discretos, ou seja, dados contidos em uma tabela. A integração numérica, para solução de equações diferenciais, é necessária em três casos: -Quando a integração analítica é difícil de ser calculada; -Quando a integração analítica é impossível, ou seja; não tem como fazê-la; -Quando o integrando é fornecido como um conjunto discreto de pontos em um gráfico.
É um conjunto finito composto por um
O cálculo integrado pode ser uma fu
-Quando a integração analítica é difí
-Quando a integração analítica é imp