Análise Estrutural com o SAP 2000

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Análise Estrutural com o SAP 2000
Research · November 2016
DOI: 10.13140/RG.2.2.34868.04481
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Carlos Eduardo Luna de Melo
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Universidade de Brasília – UnB 
Departamento de Tecnologia – TEC 
Faculdade de Arquitetura e Urbanismo – UnB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE ESTRUTURAL COM O SAP 2000 
 
 
 
 
Carlos Eduardo Luna de Melo - DSc UnB 
Professor Adjunto 
Departamento de Tecnologia – TEC 
Faculdade de Arquitetura e Urbanismo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Novembro/2016 
Análise Estrutural com o SAP 2000 - Prof. Carlos Eduardo Luna de Melo 
 
 2 
1 INTRODUÇÃO 
 
Esse capítulo tem como objetivo dar ao estudante algumas orientações para a utilização do 
programa SAP 2000, apresentando basicamente os comandos principais do programa e 
ilustrando sua aplicação com alguns exemplos propostos, com um aumento gradual do 
nível de complexidade da estrutura. 
 
Cabe ressaltar, que esta apostila não tem o objetivo de ensinar por completo o uso do 
SAP 2000, o objetivo é fornecer ao estudante um texto que facilite o aprendizado para que 
possa ser aplicado no Projeto Piloto da disciplina de Concreto Armado. Ressalta-se ainda, 
que o uso do programa não é obrigatório na disciplina nem no Projeto Piloto. Para 
informações mais detalhadas sobre o programa, recomendamos que consulte o manual do 
programa. 
 
2 CARACTERÍSTICAS GERAIS DO PROGRAMA 
 
O SAP 2000 é um software de análise estrutural baseado no Método dos Elementos Finitos 
(MEF). A versão do SAP utilizada como referência para a elaboração deste capítulo é a 
14.0.0, e admite um comportamento não-linear para a estrutura. Porém as análises 
realizadas no presente trabalho serão apenas admitindo um comportamento linear-elástico, 
para a determinação das solicitações nas estruturas ou elementos estruturais utilizados nos 
exemplos. 
 
Existem softwares mais versáteis que o SAP 2000 que utilizam o Método dos Elementos 
Finitos, como por exemplo o ANSYS, MIDAS, ATENA e DIANA, e devido à sua interface 
extremamente amigável o SAP 2000 torna-se uma ferramenta interessante para o ensino de 
estruturas tanto na Arquitetura quanto na Engenharia Civil. 
 
Embora existam softwares mais completos, o SAP 2000 ainda é bastante utilizado por ser 
um programa bastante flexível, com um processador de cálculo bastante eficiente. Do ponto 
de vista didático, ele é bastante interessante, pois a versão fornece os esforços para a 
estrutura, deixando a cargo do usuário o dimensionamento e detalhamento, que são os 
objetivos da disciplina de Concreto Armado. 
 
O SAP 2000 é um programa bastante flexível, onde é possível modelar desde vigas 
simples, pórticos complexos em 3D, estruturas laminares como lajes e cascas, estruturas 
tridimensionais como treliças espaciais. Ele permite ainda considerar carregamentos 
diversos, esforços dinâmicos, efeitos de gradiente de temperatura e pressões, analisar 
esforços devidos a deslocamentos impostos (como o recalque de uma fundação, por 
exemplo), permitindo até a simulação com concreto protendido. 
 
 
 
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 3 
3 ENTRADA DE DADOS 
 
A primeira etapa a ser realizada é a definição das unidades utilizadas na análise e escolha 
do modelo a ser utilizado. O SAP 2000 não inicia com unidades pré-definidas, portanto é 
necessário padronizar as unidades de entrada para que os resultados saiam todos nas 
mesmas unidades. Como exemplo pode-se utilizar unidades em kN, m, ºC, e os resultados 
sairão nas mesmas unidades ou combinações destas (kN, kN/m2, kN.m). Para definir as 
unidades o usuário deve alterá-las na parte inferior à direita ou no momento da definição de 
um novo modelo (New Model). 
 
Após a escolha das unidades iniciaremos a modelagem da estrutura ou elemento estrutural a 
ser analisado. Selecione “New Model” (Ctrl + N) e será iniciada uma tela com os diversos 
modelos que o usuário poderá escolher um que se adapte para a sua análise. Mas vale 
ressaltar que são limitados, como por exemplo o modelo Beam realiza uma modelagem em 
vigas simples ou contínuas, porém com vãos iguais. Utilizaremos então o modelo Grid 
Only, que praticamente existe em todas as versões do SAP 2000. 
 
 
Figura 1 - Escolha do modelo a ser analisado. 
 
O modelo Grid Only simplesmente irá desenhar uma malha de referência para a 
modelagem da estrutura ou elemento estrutural. O usuário deverá escolher o numero de 
espaços e espaçamento entre as linhas na unidade escolhida. A direção Z por padrão é a 
direção da gravidade. 
 
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 4 
 
Figura 2 – Definição da malha de referência no SAP2000. 
 
A malha de referência poderá ser adaptada posteriormente para facilitar a modelagem, 
simplesmente clicando com o botão direito do mouse sobre a tela de trabalho e em seguida 
clicando em Edit Grid Data. Outra maneira de editar a malha de referência é clicando no 
menu Define/Coordinate Systems Grid/. Pode-se editar a malha então, inserindo ou 
removendo linhasde referência de modo a facilitar a modelagem. 
 
Cabe ressaltar que todos os dados de entrada também podem ser inseridos por meio de um 
arquivo de entrada de dados, porém realizaremos a modelagem de modo iterativo, a partir 
dos comandos a serem apresentados a seguir. 
3.1 MATERIAIS (MATERIALS) 
 
O usuário deverá definir o material ou materiais que serão utilizados da discretização do 
modelo. Por exemplo, se o usuário estiver tratando uma estrutura mista (Aço + Concreto), 
deverão ser definidas as propriedades de cada material nas unidades escolhidas. 
 
Esta definição é feita pelo comando Define/Materials, após a seleção dos elementos que se 
deseja fazer a definição. O usuário poderá ajustar o peso específico, módulo de elasticidade, 
resistência à compressão, coeficiente de Poisson, coeficiente de expansão térmica do 
material considerado. Como estamos tratando estruturas de concreto armado, então 
deveremos escolher o material CONC e ajustar as suas propriedades clicando em 
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Modify/Show Material. A Figura 3 mostra a janela de ajuste das propriedades do concreto 
nas unidades kN e m. 
 
 
Figura 3 – Definição das propriedades do concreto. 
 
 
3.2 PROPRIEDADES DAS BARRAS (FRAME PROPERTIES) 
 
O elemento FRAME é utilizado para modelar elementos estruturais com barras (vigas, 
pilares, pórticos, etc.). Para a devida consideração das rijezas dos elementos e do correto 
peso próprio do modelo, é necessário se fazer a definição das propriedades das barras do 
modelo. 
 
A definição das propriedades das barras é feita com o comando Define/Section 
Properties/Frame Sections, onde se pode definir a seção do modelo de barra e o material 
utilizado. Para adicionar uma seção retangular, por exemplo, deve-se clicar em Add New 
Property e escolher um tipo de seção adequada para cada tipo de material (concreto, aço, 
etc). No caso escolheremos a seção retangular de concreto (Figura 4). O usuário pode 
definir inúmeras seções de barras de acordo com a sua necessidade. Em seguida é possível 
selecionar as dimensões da seção transversal e o material utilizado (Figura 5Erro! Fonte 
de referência não encontrada.). 
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 6 
 
 
Figura 4 – Definição da seção do modelo da barra. 
 
 
Figura 5 – Definição das dimensões da seção retangular e demais propriedades. 
 
3.3 PROPRIEDADES DAS BRRAS (AREA SECTIONS) 
 
Da mesma forma como necessário a definição das propriedades das barras, é necessário 
fazer a definição dos elementos SHELL para a correta modelagem do elemento estrutural. 
O elemento SHELL é utilizado para a modelagem de elementos laminares, como placas, 
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cascas e lajes, gerando uma malha de elementos finitos definida pelo usuário. Usaremos o 
elemento SHELL para a modelagem de lajes de concreto armado. 
 
Para definir as propriedades dos elementos SHELL, utiliza-se o comando Define/Section 
Properties/Area Sections e em seguida Add New Section, onde pode-se definir o tipo de 
material, espessura e o tipo de elemento que será utilizado. A Figura 6 mostra a janela Shell 
Section Data, em que o usuário pode ajustar o elemento SHELL de acordo com a 
necessidade da análise. 
 
 
Figura 6 – Definição das propriedades do elemento SHELL. 
 
No campo Material, o usuário deve selecionar CONC para concreto. Em Area Type, 
deve-se selecionar SHELL, pois considera um elemento com dois graus de liberdade: 
rotação e translação, capaz de suportar forças e momentos. No campo Thickness o usuário 
deve colocar o valor da espessura do elemento no campo Bending e repetir o mesmo valor 
no campo Membrane. 
 
Finalmente no campo Type, o usuário deverá selecionar o campo Shell - Thin, sendo mais 
adequado para a modelagem de lajes usuais de concreto armado. 
 
 
 
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4 MODELAGEM 
 
Após a etapa de definição da malha de referência e entrada de dados é iniciada a 
modelagem da estrutura ou elemento estrutural de modo iterativo, usando os comandos a 
seguir. 
 
4.1 ELEMENTO DE BARRA (FRAME) 
 
O usuário pode criar barras diretamente sobre a malha de referência com o comando 
Draw/Draw Frame/Cable/Tendon, que cria barras ao clicar do mouse no cruzamento das 
linhas de referência, ou Draw/Quick Draw Frame/Cable/Tendon, que vai modelar as 
linhas de referência selecionadas como barras. 
 
Existem comandos que facilitam ainda mais a discretização de barras. O comando 
Draw/Quick Draw Braces gera diagonais em “V”, “X”, inclinadas, bastando antes de 
clicar na malha de referência fazer o ajuste Bracing da janela aberta. O comando 
Draw/Quick Secondary Beams cria barras horizontais e verticais, devendo-se fazer o 
ajuste nos campos na janela aberta. 
 
4.2 ELEMENTO DE CASCA (SHELL) 
 
Os elementos SHELL podem apresentar uma forma quadrangular qualquer, porém as 
conectividades devem ser consideradas entre os elementos, de modo a não deixar nós sem 
conectividades e consequentemente uma discretização inadequada. 
 
Uma maneira de se discretizar uma malha de elementos SHELL é usando o comando Draw 
Rectangular Area, bastando clicar em 2 pontos da malha de referência, formando um 
retângulo. Para se discretizar uma malha irregular usa-se o comando Draw Poly Área, 
clicando em pontos da malha de referência e formando o elemento. Por fim, pode-se 
discretizar o elemento clicando-se dentro da malha de referência, com o uso do comando 
Quick Draw Area. 
 
Vale ressaltar que existem comandos que facilitam ainda mais a discretização. Digamos 
que temos uma malha de referência de 1000 linhas na direção X e 1000 linhas na direção Y 
e desejamos discretizar cada retângulo formado pelas linhas de referência com um elemento 
SHELL. A solução é criar um elemento retangular usando o comando Draw Rectangular 
Area apenas no contorno da malha de referência. Em seguida é selecionado o elemento 
com um clique usando o botão esquerdo do mouse e usa-se o comando Edit/Edit 
Areas/Divide Areas. Abre-se então uma janela e o usuário poderá escolher em definir o 
numero de elementos em cada direção ou até mesmo fazer com que seja criado um 
elemento coincidindo com a malha de referência (Figura 7). 
 
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Figura 7 – Divisão do elemento sheel coincidindo com a malha de referência. 
 
 
4.3 CASOS DE CARREGAMENTO (LOAD PATTERNS) 
 
O comando Define/Load Patterns é utilizado para a definição dos casos de carregamento 
da estrutura. Se quisermos fazer uma análise em separado de um elemento estrutural, 
podemos definir as cargas atuantes separadamente, o que é o mais adequado. 
 
Usualmente as estruturas de concreto armado estão submetidas a cargas permanentes e 
cargas acidentais. Então, como iremos posteriormente considerar as combinações de carga, 
deveremos definir cada caso de carregamento, como por exemplo: DEAD para cargas 
permanentes, considerando o peso próprio, LIVE para cargas acidentais e WIND para 
cargas de vento. A Figura 8 mostra a janela de definição de alguns casos de carregamento 
que podem ser considerados na modelagem. 
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Figura 8 – Definição de casos de carregamento – SAP 2000. 
 
A adição de carregamentos é feita clicando no botão Add New Load Pattern após o 
preenchimento dos campos da janela. Percebe-se na Figura 8 que o campo Self Weight 
Multiplier tem valores 0 e 1. Utilizamos 1 para as cargas permanentes e 0 para as cargas 
acidentais. Ou seja, o SAP 2000 apenas considerará o peso próprio quando o campo Self 
Weight Multiplier for igual a 1 e não levará em consideração quando este for igual a zero. 
 
4.4 COMBINAÇÕES DE CARREGAMENTOS (LOAD COMBINATIONS) 
 
Após a definição dos casos de carregamento podemos criar diversas combinações decarga 
a serem consideradas na modelagem. Poderíamos fazer a seguinte pergunta: “Quais seriam 
as solicitações em uma viga considerando a carga permanente e 70% da sobrecarga total?”. 
Definindo então uma combinação de carga, poderemos facilmente obter a resposta desta 
pergunta. 
 
Usando o comando Define/Load Combinations o usuário poderá definir diversas 
combinações de carga que podem ser consideradas na modelagem. A Figura 9 mostra a 
janela de definição das combinações de carga, mostrando, por exemplo, uma combinação 
de carga que considere a carga permanente e 70% da carga acidental. 
 
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Figura 9 – Definição de combinações de carga. 
 
Esta ferramenta é muito importante, pois poderemos saber qual a pior situação que uma 
estrutura está submetida, levando-se em consideração todas as combinações possíveis, e em 
seguida fazer o dimensionamento da estrutura. 
 
4.5 CARGAS NAS BARRAS (FRAME LOADS) 
 
Após a modelagem das barras, deveremos aplicar as cargas atuantes utilizando o comando 
Assign/Frame Loads, após a seleção da barra que receberá o carregamento, selecionando 
Point para a aplicação de cargas concentradas e Distribuited para aplicação de cargas 
distribuídas, dentre outras. Existe ainda a possibilidade de se considerar o efeito da 
temperatura e protensão na barra, mas não será abordado neste trabalho. 
 
Para a aplicação de cargas concentradas o usuário deverá escolher o caso de carregamento, 
a direção de aplicação de cargas, o valor da carga na unidade selecionada e o ponto de 
aplicação da carga, que pode ser feito de modo relativo em relação ao ponto inicial da 
barra, ou de modo absoluto, considerando sempre a vírgula como separador decimal. 
 
Para inserir uma carga concentrada de forma absoluta em relação à origem da barra, deve-
se digitar a distância em relação a origem no campo Distance e o valor da carga no campo 
Load. A Figura 10 mostra um exemplo de aplicação de uma carga concentrada permanente 
de 10 kN a uma distância absoluta de 2 metros em relação ao nó inicial, na direção da 
gravidade. 
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Figura 10 – Aplicação de carga concentrada numa barra. 
 
Para inserir uma carga concentrada relativamente à origem da barra, deve-se digitar a 
distância em porcentagem do comprimento, ou seja, uma carga no meio da barra deve ser 
inserida da seguinte forma: no campo Distance digita-se 0,5 e no campo Load digita-se o 
valor desejado da carga. 
 
Para inserir uma carga distribuída deve-se selecionar o caso de carregamento, a direção de 
aplicação da carga e no campo Uniform Load coloca-se o valor desejado, caso seja 
considerada uma carga distribuída uniforme em toda a extensão da barra. Caso haja 
variação da carga distribuída na barra, deve-se utilizar o campo Trapezoidal Loads e fazer 
a inserção. A Figura 11 mostra um exemplo de aplicação de carga uniformemente 
distribuída permanente de 20 kN.m numa barra, na direção da gravidade. 
 
 
 
Figura 11 – Aplicação de carga uniformemente distribuída numa barra. 
 
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Para aplicar uma carga no sentido contrário ao da gravidade, por exemplo, utiliza-se a carga 
com um valor negativo. Vale ressaltar que a carga pode ser adicionada com uma carga já 
existente, substituída, ou apagada, bastando apenas clicar na opção desejada no campo 
Options. 
 
4.6 CARGAS EM ÁREAS (AREA LOADS) 
 
Para a aplicação de carga distribuída num elemento SHELL, deve-se utilizar o comando 
Assign/Area Loads após a seleção dos elementos que receberão a carga distribuída, 
seguindo do comando Uniform. Existem ainda a possibilidade de se considerar uma carga 
de pressão de superfície, poropressão e temperatura, dentre outras, porém não será 
abordado neste trabalho. 
 
Após a execução do comando Uniform pode-se escolher o caso de carregamento, o valor 
da carga distribuída por área na unidade selecionada e a direção de aplicação da carga, 
utilizando sempre a vírgula como separador decimal e o sinal de negativo para mudar a 
direção de aplicação da carga. A Figura 12 mostra um exemplo de aplicação de uma carga 
uniformemente distribuída em um elemento SHELL, considerando uma sobrecarga de 
2,5 kN na direção da gravidade. 
 
 
Figura 12 – Aplicação de uma carga uniformemente distribuída por área. 
 
Vale ressaltar que a carga pode ser adicionada com uma carga já existente, substituída, ou 
apagada, bastando apenas clicar na opção desejada no campo Options. 
 
4.7 ATRIBUIR (ASSIGN) 
 
Este comando é muito útil quando se deseja alterar as propriedades ou aplicar cargas. Foi 
mostrado anteriormente como fazer a aplicação de cargas em barras e em elementos de 
área, agora iremos mostrar como alterar as propriedades de uma barra ou de um elemento 
de área. 
 
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Digamos que na modelagem um elemento de barra ou de área foi discretizado com uma 
seção diferente da desejada e queremos ajustar este elemento. Para resolver o problema 
selecionamos a barra ou o elemento de área e executamos o comando Assign/Frame/Fame 
Sections ou Assign/Area/Sections. Após este procedimento uma tela surgirá e pode-se 
escolher, adicionar ou modificar as propriedades existentes, ajustando a seção 
corretamente. 
 
5 EXEMPLOS 
 
Iremos agora modelar alguns elementos estruturais, a fim de que se entenda o 
funcionamento do programa. As análises serão escolhidas de acordo com o exemplo a ser 
analisado. Recomenda-se a leitura dos comandos mostrados anteriormente, para o bom 
entendimento dos exemplos que serão mostrados a seguir. 
 
5.1 Viga bi-apoiada 
Usaremos um caso mais simples possível para que possamos compará-lo com as soluções 
teóricas e entendermos o funcionamento do programa. 
 
 
Figura 13 – Estudo de caso: viga biapoiada. 
 
5.1.1 Solução com o SAP 2000 
 
- Malha de Referência 
 
Para geração da malha de referência basta seguir os seguintes passos: 
Clica-se em New Model; 
Seleciona as unidades kN, m, ºC; 
Clica-se em Grid Only; 
Seleciona-se 2 espaço na direção X e 1 nas direções Y e Z, no campo Number of Grid 
Lines; 
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Coloca-se o valor do vão (2 m) no campo Grid Spacing (X direction) e 1 nas direções Y e 
Z. 
Após a criação da malha de referência, selecionaremos a vista adequada para o desenho, 
clicando em View/Set 2D View/X-Z Plane, ou clicando no ícone XZ que aparece no menu 
de ferramentas. 
 
 
- Definição dos Materiais 
 
Clica-se em Define/Materials, em seguida Add New Material, digitando CONC no 
campo Material Name. Todas as propriedades do concreto devem ser ajustadas, porém 
ajustaremos o peso específico do concreto (25 kN/m3), no campo Weight per unit 
Volume), por ser um valor usual e que será usado na solução teórica. Para avaliação das 
flechas, deve-se entrar com o valor correto do módulo de deformação longitudinal do 
concreto no campo Modulus of Elasticity, E, com valor igual a 25E6 kN/m2. 
 
- Propriedades da Barra 
 
Será definida a seção da viga como um elemento de barra clicando em Define/Sections 
Properties/Frame Sections, seguido de Add New Property, type Concrete e selecionar 
Rectangular. Em seguida ajusta-se o material para concreto (CONC) no campo Material 
e coloca-se as dimensões da seção no campo Dimensions. Por último, clica-se em 
Reinforcement, no botão Concrete Reinforcement e clica em Beam, para viga. O 
programa salvará então a seção FSEC1 para ser usada posteriormente. 
 
- Casos de Carregamento 
 
Consideraremos a carga distribuída como sendo uma carga permanente para facilitar a 
aplicação. Clica-se em Define/Load Patterns e verificamos se o campo Self Weight 
Multiplier está com o valor 1 e se o Load Name está definido como DEAD. 
 
- Modelagem 
 
Para a modelagem da barra da viga basta clicarem Draw/Draw Frame/Cable/Tendon e 
selecionar no section Property a seção definida anteriormente, no caso FSEC1. Em seguida 
clica-se no ponto inicial e final da malha de referência para o desenho da barra. 
 
Para a aplicação do carregamento, basta clicar em Assign/Frame Loads/ Distribuited, 
colocando o valor 50 (50 kN/m) no campo Uniform Load, na direção da gravidade. 
 
Para a definição do apoio do lado esquerdo, basta selecionar o nó inicial e clicar em 
Assign/Joint/Restraints. Será aberta uma janela, onde o usuário deverá definir as 
restrições nos apoios. Para definir o apoio do lado esquerdo é o mesmo procedimento. 
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 16 
Existem ícones que definem os apoios de forma rápida, bastando apenas clicar no ícone 
adequado. A Figura 14 mostra a janela para a seleção dos apoios das vigas, com a seleção 
do apoio do 2º gênero, como exemplo. 
 
 
Figura 14 – Definição dos apoios da viga. 
 
 
Os valores, 1, 2 e 3 são as direções dos eixos X, Y e Z, respectivamente. Portanto, o usuário 
poderá definir as condições de contorno para cada nó da maneira que julgar mais adequado. 
A Figura 15 mostra o modelo da viga discretizada com o carregamento uniformemente 
distribuído e com os respectivos apoios. 
 
 
Figura 15 – Modelo da viga com carregamento – SAP 2000. 
 
Para visualizar as cargas no modelo, basta clicar em Display/Show Load Assigns/Frame 
Cable/Tenton e escolher a carga que deseja visualizar. 
 
 
 
- Definição dos Casos de Análise 
Iremos agora fornecer ao programa quais os casos de análise que serão considerados. 
Clicando em Define/Load Cases o programa abrirá uma tela com os casos de 
carregamento. Como estamos apenas querendo o caso de carregamento que considere a 
carga DEAD, então apagamos o restante. Essa função do programa é para que o usuário 
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forneça os casos que poderão ser selecionados mais adiante ou faça alguns ajustes 
necessários. 
 
- Análise da Viga 
Finalmente iremos fazer a análise dos esforços na viga. Para isso será necessário fornecer 
ao programa o tipo de análise a ser realizada. Clicando em Analyze/Set Analysis Options 
uma janela é aberta e selecionam-se os graus de liberdade que serão considerados na 
análise. 
 
No caso da viga em questão, utilizaremos a análise de pórtico plano, que considera rotações 
em torno do eixo Y (RY), deslocamentos em relação ao eixo X (RX) e deslocamentos em 
relação ao eixo Z (RY). Essa etapa é de grande importância, pois deveremos escolher a 
análise adequada para evitar resultados inadequados. Se por acaso o campo RY não for 
marcado nesta análise, por exemplo, haverá um engaste nos apoios, o que não pode 
acontecer, por causa dos apoios adotados que são rodulados. Para facilitar a seleção dos 
graus de liberdade, pode-se clicar no ícone Plane Frame, em Fast DOFs (graus de 
liberdade rápidos), pois este considera a análise somente no plano XZ, que é o caso da 
nossa viga em questão. A Figura 16 mostra a seleção dos graus de liberdade a serem 
considerados. 
 
 
Figura 16 – Definição do tipo de análise da viga – SAP 2000. 
 
Vale ressaltar que para um elemento de viga bi-apoiada não é necessário marcar todos os 
graus de liberdade citados anteriormente. 
 
 
 
 
 
 
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 18 
- Executando a Análise 
 
Para executar a análise da viga basta pressionar a tecla F5 ou clicar em Analyse/Run 
Analysis e finalmente clicar no botão Run Now. O programa então realizará a análise. A 
Figura 17 mostra a janela de seleção dos casos que irão fazer parte da análise. 
 
Figura 17 – Seleção dos casos de análise execução da análise – SAP 2000. 
 
 
Clicando-se em Run/Do Not Run Case após a seleção do caso, pode-se escolher se o 
programa deve fazer a análise ou não. Essa ferramenta serve para escolher uma análise ou 
um grupo de análise em separado, por exemplo, poderemos analisar só a carga DEAD ou a 
LIVE, ou ambas, de acordo com a necessidade. 
 
- Obtenção dos Resultados 
Após a análise o programa mostrará a deformada da viga e poderemos então selecionar os 
resultados a serem mostrados. Clicando em Display/Show Forces/Stresses/Joints, 
poderemos obter as reações nos apoios. As reações calculadas pelo SAP foram: Ra = Rb = 
51,20 kN. Para obter o momento fletor, o esforço cortante e flecha, basta clicar em 
Display/Show Forces/Stresses/Frames/Cables e selecionar o diagrama desejado. A Figura 
18 mostra a janela de seleção dos diagramas para visualização na tela, com a seleção do 
diagrama do momento. 
 
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 19 
 
Figura 18 – Escolha dos diagramas da viga. 
 
No caso da viga analisada o eixo X é o eixo 1, o Z é o eixo 2, e Y é o eixo 3. Portanto, 
baseado nessas informações poderemos obter os diagramas nas respectivas direções. Por 
exemplo: para obter o diagrama de momentos, seleciona-se o item Moment 3-3, pois é o 
momento em torno do eixo Y (eixo 3) e para se obter o diagrama de esforço cortante, 
seleciona-se o item Shear 2-2, pois é na direção do eixo Z, eixo 2, e assim por diante. 
 
Para saber qual é a direção dos eixos, basta clicar em View/Set Display Options e 
selecionar o campo Local Axes, em Frame/Cables. Selecione a vista 3D e os eixos 
aparecerão no modelo. O eixo vermelho é o eixo 1, branco é o eixo 2, e o eixo azul é o eixo 
3. 
 
Após obter um diagrama, basta clicar na barra com o botão direito do mouse e aparecerá 
uma janela com todos os diagramas da viga, inclusive a flecha calculada. A Figura 19 
mostra os diagramas da viga que foi modelada com os valores máximos selecionados 
(Show Max). 
 
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 20 
 
Figura 19 – Diagramas para a viga modelada – SAP 2000. 
 
5.1.2 Solução Teórica 
 
Resolvendo a viga manualmente, temos: 
 
- Carregamento: 
Peso Próprio = ( ) mkNPp /2,112,04,025 =××= 
Carga Distribuída = mkNq /50= 
Carga Total = mkNqtot /2,512,150 =+= 
 
- Momento Fletor: 
mkNqlMMAX .6,258
22,51
8
22
=
×
== 
 
- Esforço Cortante: 
kNqlVMAX 2,512
22,51
2
=
×
== 
 
- Flecha: 
26 /1025 mkNE ×= 
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 21 
4
33
00064,0
12
40,0.12,0
12
mbhI === 
m
EI
MLf 000666,0
00064,02500000048
26,255
48
5 22
=
××
××
== 
 
 
Verifica-se que os valores são os mesmos dos calculados com o SAP 2000, exceto uma 
pequena diferença no cálculo da flecha. 
 
5.2 Pórtico Plano 
 
Usaremos agora como exemplo um pórtico plano, submetido a carregamentos uniformes 
distribuídos (sobrecarga de utilização), a cargas concentradas no meio do vão das vigas 
(para simular carregamento oriundo de vigas apoiadas) e ainda a carregamentos horizontais 
devido a ação do vento. 
 
Dados: 
Pilares de 12 cm x 40 cm 
Vigas de 12 cm x 30 cm 
Carga de Utilização = 10 kN/m 
Carga Concentrada = 10 kN 
Carga de Vento = 3 kN/m (Direção Y – Perpendicular ao pórtico) 
 
 
Figura 20 – Carregamentos no pórtico, exceto carga de vento. 
 
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 22 
Verifica-se na Figura 20 que não aparece a carga de vento, pois está perpendicular ao eixo 
X do pórtico. Esta carga será aplicada uniformemente distribuída em todas as barras com o 
valor de 3 kN/m. 
 
5.2.1 Solução com o SAP 2000 
 
- Malha de Referência (Grid) 
Para a geração da malha de referência, clica-se em New Model, selecionando as unidades 
utilizadas (kN, m, ºC), em seguida clica-se no modelo Grid Only, e finalmente 
preenchem-se os campos da seguinte forma: 
 
Number of Grid Spaces 
X direction: 2 
Y direction: 1 
Z direction: 4 
 
Grid Spacing 
X direction: 7,35 
Y direction: 1 
Z direction: 4 
 
Percebe-se que será necessário acrescentar mais linhas verticais na direção X, que será feito 
da seguinte forma: 
 
- Seleciona-se a vista XZ, clica-se natela com o botão direito do mouse e em seguida em 
Edit Grid Data; 
- Clica-se em Modify/Show System; 
- Seleciona-se a direção X e adicionam-se linhas na direção X = 12,1 e X= 19,45; 
 
- Definição dos Materiais 
 
Os elementos estruturais serão definidos como sendo de concreto. Para isso será utilizado o 
comando Define/Materials e em seguida Add New Material, ajustando-se as seguintes 
propriedades do concreto: 
 
Peso Específico: 25,0 kN/m3 
Módulo de Elasticidade: 25E6 kN/m2 
 
 
- Propriedades da Barra 
Será definida a seção da viga e do pilar como sendo elementos de barra, clicando-se em 
Define/Section Properties/Frame Sections, seguido de Add New Property e seção 
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 23 
retangular. Ajusta-se o material para concreto (CONC) e colocam-se as dimensões da 
seção dos pilares no campo Dimensions. Por último, clica-se em Reinforcement, no 
campo Concrete e clica-se em Beam, para viga. O programa salvará então a seção FSEC1 
para ser usada posteriormente. 
 
Para a definição dos pilares, segue-se o mesmo procedimento, apenas ajustando o item 
Reinforcement, no campo Concrete e clica-se em Column para o pilar. Finalmente o 
programa salvará então a seção FSEC2 para ser usada posteriormente. 
 
- Casos de Carregamento 
Consideraremos as cargas aplicadas como sendo cargas acidentais. Clica-se em 
Define/Load Patterns ajustando o campo Self Weight Multiplier com o valor 1 e os 
campos Load Name e Type ajustando como LIVE e em seguida clica-se em Modify Load 
Pattern. Adiciona-se a carga de vento, escrevendo WIND no campo Load Name, 
ajustando WIND no campo Type, colocando o fator do peso próprio igual a zero, e em 
seguida clica-se em Add New Load Pattern. 
 
- Modelagem 
A etapa de modelagem segue os mesmos passos realizados no exemplo anterior, exceto que 
as barras de pilares deverão ser modeladas com a seção FSEC2 e as vigas com a seção 
FSEC1, definidas anteriormente. 
 
Para a aplicação da carga uniformemente distribuída nas vigas, selecionam-se as barras 
horizontais e clica-se em Assign/Frame Loads/ Distribuited. Ajusta-se o campo o Load 
Case Name para LIVE, colocando o valor 10 (10 kN/m) no campo Uniform Load, na 
direção da gravidade. 
 
Para a aplicação da carga de vento no pórtico, selecionam-se todas as barras e clica-se em 
Assign/Frame Loads/ Distribuited. Ajusta-se o campo o Load Case Name para WIND, 
colocando o valor 3 (3 kN/m) no campo Uniform Load, na direção Y. 
 
Finalmente, para a aplicação das cargas concentradas no meio do vão das vigas externas, 
selecionam-se somente as barras horizontais externas e clica-se em Assign/Frame Loads/ 
Point. Antes de colocar os valores das cargas e distância, seleciona-se Relative Distance 
From End-I, o campo Load Case Name para Live e o campo Options para Add to 
Existing Loads. Coloca-se o valor 10 (10 kN) no campo Load e 0,5 no campo Distance. A 
Figura 21 mostra a janela para aplicação de carga concentrada no meio da viga. 
 
Análise Estrutural com o SAP 2000 - Prof. Carlos Eduardo Luna de Melo 
 
 24 
 
Figura 21 – Aplicação de carga concentrada no meio da viga – SAP 2000. 
 
Para a definição dos apoios, basta selecionar os nós inferiores e clicar em 
Assign/Joint/Restraints. Será aberta uma janela, onde o usuário deverá definir as 
restrições nos apoios. Utiliza-se o ícone de engaste, restringindo rotação e translação em 
todos os eixos. Após esse procedimento a modelagem foi concluída. 
 
Para verificar se as cargas estão postas corretamente no modelo, utiliza-se o comando 
Display/Show Load Assigns/Frame/Cable/Tendon. Caso não apareçam as cargas de 
vento, clica-se em 3-d para a visualização do pórtico em perspectiva. 
 
 
- Definição dos Casos de Análise 
Iremos agora fornecer ao programa quais os casos de análise que serão considerados. 
Clicando em Define/Load Cases o programa abrirá uma tela com os casos de 
carregamento. Como estamos apenas querendo o caso de carregamento que considere a 
carga LIVE e a carga WIND, então apagamos o caso MODAL e modificamos o caso 
DEAD para LIVE. Essa função do programa é para que o usuário forneça os casos que 
poderão ser selecionados mais adiante ou faça alguns ajustes necessários. 
 
- Definição das Combinações de Carga 
Iremos considerar no exemplo as seguintes combinações de carga: 
1 – Somente a sobrecarga (Carregamento LIVE) – COMB1 
2 – Somente a ação do vento (Carregamento WIND) – COMB2 
3 – Sobrecarga + ação do vento (1,0xLIVE+1,0xWIND) – COMB3 
Onde 1 é um coeficiente que multiplica o valor do carregamento. Poderia ser utilizado 1,4, 
considerando os esforços de projeto. 
 
Para a combinação 1 (COMB1), clica-se em Define/Load Combinations, em seguida em 
Add New Combo, seleciona-se no campo Case Name o caso de carregamento LIVE e 
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 25 
colocando 1 no campo Scale Factor e em seguida em Add. Deve-se deixar o campo 
Combination Type como Linear Add. 
 
Para a combinação 2 (COMB2), repete-se o mesmo procedimento, apenas trocando o caso 
de carregamento de LIVE para WIND. 
 
Para a combinação 3 (COMB3), segue o mesmo procedimento mostrado anteriormente, 
apenas adicionando os 2 casos de carregamento WIND e LIVE, com o campo Scale 
Factor, ajustado com o valor 1. A Figura 22 mostra a janela de ajuste da combinação 
COMB3 para o pórtico modelado. 
 
 
Figura 22 – Definição da combinação COMB3 para o pórtico. 
 
- Análise do Pórtico 
Finalmente iremos fazer a análise dos esforços no pórtico. Para isso será necessário 
fornecer ao programa o tipo de análise a ser realizada. Clicando em Analyze/Set Analysis 
Options uma janela é aberta e selecionam-se os graus de liberdade que serão considerados 
na análise. No caso do pórtico em questão teremos deslocamentos em X, em Z e rotações 
em relação ao eixo Y, ou seja, 3 graus de liberdade por nó. Opcionalmente, pode selecionar 
diretamente, no campo Fast DOFs, a opção Plane Frame. 
 
- Executando a Análise 
Para executar a análise do pórtico basta pressionar a tecla F5 ou clicar em Analyse/Run 
Analysis e finalmente em Run Now, da mesma forma que foi feito para a análise da viga. 
- Obtenção dos Resultados 
Após a execução da análise do pórtico obtêm-se os resultados de momentos fletores, 
esforços cortantes, flechas, momento torsor e reações. 
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 26 
 
Clicando em Display/Show Forces/Stresses/Joints, poderemos obter as reações nos apoios 
(Figura 23). 
 
 
Figura 23 – Reações de apoio do pórtico. 
 
 
Para obter o momento, esforço cortante e flecha, basta clicar em Display/Show 
Forces/Stresses/Frames/Cables e selecionar o diagrama desejado, de acordo com a 
combinação selecionada. Vale ressaltar que existem momentos fletores em dois planos, 
quando existe a aplicação do vento (COMB2 e COMB3): no plano XZ temos o diagrama 
Moment 3-3 e no planoYZ temos o diagrama Moment 2-2. 
 
A Figura 24 mostra o diagrama de momentos fletores no plano XZ a Figura 25 mostra o 
diagrama dos momentos fletores no plano YZ para a combinação COMB3. 
 
Selecionando o diagrama, podemos clicar nas barras com o botão direito do mouse e 
obtermos os valores máximos e mínimos dos diagramas para serem usados no 
dimensionamento. 
 
 
 
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 27 
 
Figura 24 – Diagrama de momentos fletores (M33) do pórtico para a COMB 1. 
 
 
Figura 25 – Diagrama de momentos fletores (M22) do pórtico para a COMB 3. 
 
 
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 28 
5.3 Laje Plana Retangular 
Este exemplo tem como finalidade mostrar a aplicação do elemento SHELL na análise de 
uma laje plana retangular. A Figura 26 mostra a laje que será estudada pelo SAP 2000 e 
pelas tabelas de Bares (1981), que utiliza a Teoria Clássica das Placas Isótropas, 
considerando uma sobrecarga de 3,0 kN/m2. 
 
 
 
Figura 26 – Esforços da lajecalculados pelo processo de Marcus. 
 
Para a modelagem das lajes, usaremos uma discretização simples, que não leve em 
consideração as rijezas das vigas e pilares, somente para comparação com o processo de 
Marcus. Vale ressaltar que para a obtenção de esforços que se aproximem mais do 
funcionamento da estrutura real, o interessante é considerar a estrutura como um todo: 
pilares, vigas e lajes com a suas devidas dimensões. 
 
O procedimento apresentado a seguir não considera o estudo de refinamento de malha de 
elementos finitos, etapa importante para otimizar o custo computacional do processamento 
da estrutura. 
 
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 29 
5.3.1 Solução com o SAP 2000 
 
- Malha de Referência (Grid) 
Analisaremos a laje no plano XY, tornando a discretização simples, para isso clica-se no 
ícone XY da Barra de Ferramentas. Para a geração da malha de referência, clica-se em 
New, selecionando as unidades utilizadas (kN, m, ºC), em seguida clica-se no modelo Grid 
Only, e finalmente preenchem-se os campos da seguinte forma: 
 
Number of Grid Spaces 
X direction: 3 
Y direction: 2 
Z direction: 1 
 
Grid Spacing 
X direction: 2,925 
Y direction: 4,85 
Z direction: 1 
 
A malha de referência adotada é suficiente para iniciarmos a discretização. Os ajustes serão 
realizados posteriormente. 
 
- Definição dos Materiais 
 
O ajuste do peso específico e módulo de deformação do concreto será realizado como 
realizado no exemplo anterior. 
 
- Propriedades do Elemento de Área 
 
A seção da laje será definida como sendo elementos de área, clicando-se em 
Define/Section Properties/Area Sections, seguido de Add New Section. Ajusta-se então 
o material para concreto (CONC) e coloca-se a espessura nos campos Membrane e 
Bending, no caso 0,10 m. O campo Type deverá ser definido como Shell-Thin. 
 
- Casos de Carregamento 
Consideraremos as cargas aplicadas como sendo cargas acidentais. Clica-se em 
Define/Load Patterns ajustando o campo Self Weight Multiplier com o valor 1 e os 
campos Load Name e Type ajustando como LIVE, em seguida clica-se em Modify Load 
Pattern. 
 
- Modelagem 
 
Inicialmente serão inseridos os elementos SHELL, utilizando um para cada laje. Para a 
inserção dos elementos clica-se em Draw/Quick Draw Area e em seguida, clica-se em 
qualquer ponto dentro da malha de referência e serão criados os elementos principais. 
 
Análise Estrutural com o SAP 2000 - Prof. Carlos Eduardo Luna de Melo 
 
 30 
A etapa de discretização dos elementos menores será feita considerando 29 elementos na 
direção X e 48 na direção Y para cada laje. Para isso, clica-se no elemento SHEL e utiliza-
se o comando Edit/Edit Areas/Divide Areas, colocando-se 29 no campo superior e 48 no 
campo inferior e repete a operação para a segunda laje (Figura 27). Com isso as lajes 
ficarão discretizadas com elementos de 10 cm x10 cm aproximadamente. 
 
 
Figura 27 – Realizando a divisão do elemento principal da laje em elementos menores. 
 
 
Vale ressaltar que a definição dos tamanhos dos elementos depende de uma análise de 
convergência, ou seja, deve-se verificar com quantos elementos a análise se torna confiável. 
É feita então uma curva de valores obtidos nas análises, por exemplo: número de elementos 
versus deslocamento central, e a partir dessa curva obtém-se o numero de elementos que 
representa melhor o comportamento do elemento estrutural. 
 
Um item importante que deve ser levado em consideração é que sempre deverá haver uma 
conectividade entre os elementos, não podendo haver uma descontinuidade entre os 
elementos para que a análise ser feita da maneira correta. 
 
Para a aplicação da carga na laje, selecionam-se todos os elementos e clica-se em 
Assign/Area Loads/Uniform, colocando o valor 3,0 (3,0 kN/m2) no campo Load. 
 
A definição das restrições dos apoios será feito para simular o apoio da viga, lembrando 
que este modelo não contempla a deformação da viga, sendo o mais adequado para a 
comparação com o Processo de Marcus. Os nós do contorno serão definidos com translação 
no eixo Z e sem consideração da rotação, os nós da viga V104 serão definidos com 
translação no eixo Z e rotação apenas no eixo 2 (eixo Y). 
 
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 31 
Para definir as restrições dos nós das vigas seleciona-se o nó e utiliza-se o comando 
Assign/Joint/Restraints, ajustando a restrição adequada para a análise. A Figura 28 mostra 
as lajes discretizadas no SAP 2000. 
 
 
 
Figura 28 – Lajes discretizadas no programa SAP 2000. 
 
 
- Análise das Lajes 
 
O procedimento de análise das lajes é semelhante ao da viga e do pórtico, porém deveremos 
considerar convenientemente os graus de liberdade para a correta modelagem das lajes. 
Clicando em Analyze/Set Analysis Options uma janela é aberta e selecionam-se os graus 
de liberdade que serão considerados na análise. No caso das lajes em questão teremos 
deslocamento somente em Z e rotações em relação ao eixo X e Y. Clicando no ícone Plane 
Grid a análise das lajes será feita corretamente. 
 
 
- Executando a Análise 
 
O procedimento é o mesmo para a análise dos exemplos anteriores. Para executar a análise 
das lajes basta pressionar a tecla F5 ou clicar em Analyse/Run Analysis e finalmente em 
Run Now. O programa então realizará a análise. 
 
 
- Obtenção dos Resultados 
Após a análise o programa apresentará a deformada das lajes e poderemos então selecionar 
os resultados a serem mostrados. Para obter o momento fletor, esforço cortante, esforço 
Análise Estrutural com o SAP 2000 - Prof. Carlos Eduardo Luna de Melo 
 
 32 
normal e momento torçor, basta clicar em Display/Show Forces/Stresses/Shells e 
selecionar esforço desejado. 
 
O SAP 2000 usa as seguintes designações para a obtenção dos momentos fletores e 
esforços cortantes para o elemento SHELL: 
 
M11: Momento por unidade de comprimento atuando à meia altura do elemento na face 1 
positiva e negativa sobre o eixo 2. 
 
M22: Momento por unidade de comprimento atuando à meia altura do elemento na face 2 
positiva e negativa sobre o eixo 1. 
 
M12: Momento volvente por unidade de comprimento atuando à meia altura do elemento 
na face 1 positiva e negativa sobre o eixo 1 e atuando na face 2 positiva e negativa sobre o 
eixo 2; 
 
MMAX: Máximo momento principal por unidade de comprimento atuando à meia altura 
do elemento. Note que pela definição os momentos principais são orientados de tal forma 
que os momentos torçores associados a estes são iguais a zero por unidade de comprimento. 
 
MMIN: Máximo momento principal por unidade de comprimento atuando à meia altura do 
elemento. Note que pela definição os momentos principais são orientados de tal forma que 
os momentos torçores associados a estes são iguais a zero, por unidade de comprimento. 
 
V13: Força cortante fora do plano por unidade de comprimento atuando à meia altura do 
elemento na face 1 positiva e negativa na direção do eixo 3 (eixo Z). 
 
V23: Força cortante fora do plano por unidade de comprimento atuando à meia altura do 
elemento na face 2 positiva e negativa na direção do eixo 3 (eixo Z). 
 
VMAX: Força cortante maxima principal por unidade de comprimento atuando à meia 
altura do elemento. Note que por definição o cisalhamento é orientado na face do elemento 
de tal forma que o cortante associado perpendicular à face é igual a zero, por unidade de 
comprimento. A Figura 29 mostra os eixos e faces de referência para a obtenção dos 
esforços no elemento SHELL. 
 
Análise Estrutural com o SAP 2000 - Prof. Carlos Eduardo Luna de Melo 
 
 33 
 
Figura 29 – Elemento SHELL de referência – SAP 2000. 
 
A partir dessas designações poderemos obter, por exemplo, os momentos fletores das lajes 
modeladas. A Figura 30 mostra o resultado obtido no SAP 2000 dos momentos fletores na 
direção do eixo X (M11) e a Figura 31 mostra os momentos fletores na direção do eixo Y 
(M22), com as unidades em kN e m, definidas anteriormente.Figura 30 – Momentos fletores na direção X (Moment 1-1) em kN.m. 
 
Análise Estrutural com o SAP 2000 - Prof. Carlos Eduardo Luna de Melo 
 
 34 
 
Figura 31 – Momentos fletores na direção Y (Moment 2-2) em kN.m. 
 
Vale ressaltar que os momentos obtidos são por unidade de comprimento. Como resposta 
para o carregamento aplicado, temos: 
 
Mxmax = 2,91 kN.m 
Xxmax = -5,41 kN.m 
Mymax = 1,30 kN.m 
 
Não analisaremos o esforço cortante nas lajes modeladas pois estes esforços são 
relativamente baixos em lajes usuais de edifícios, que é o caso das lajes estudadas. Porém 
para obter os esforços basta utilizar os comandos citados anteriormente. 
 
5.3.2 Solução pela Teoria das Placas 
A solução apresentada a seguir foi obtida da publicação de Bares (1981), que utiliza a 
Teoria Clássica das Placas Isótropas, também chamada de Teoria das Placas Delgadas de 
Poisson-Kirchhoff, e que está baseada em certas hipóteses simplificadoras e limitações. A 
motivação do uso dessa teoria foi pelo fato de apresentar melhores resultados em 
comparação com o Processo de Marcus. 
 
As seguintes hipóteses relativas ao material e forma da placa são consideradas: 
 
1. O material da placa é perfeitamente elástico; 
2. O material da placa segue a Lei de Hooke e tem as mesmas constantes elásticas 
(módulo de elasticidade e módulo de Young), para qualquer estado de 
carregamento; 
Análise Estrutural com o SAP 2000 - Prof. Carlos Eduardo Luna de Melo 
 
 35 
3. O material da placa é homogêneo e isotrópico; 
4. A espessura da placa é constante; 
5. A espessura da placa é pequena, comparada com as outras dimensões da placa; 
6. As fibras perpendiculares ao plano médio da placa antes da deformação 
permanecem perpendiculares à superfície média da placa deformada; 
7. A tensão normal perpendicular ao plano médio da placa é desprezível; 
8. As flechas são pequenas; 
9. No plano médio da placa atuam tensões normais; 
10. O peso próprio deve ser considerado na carga externa; 
11. Os ângulos das placas estão seguros contra ao levantamento (momento volvente). 
 
Os resultados obtidos utilizando as tabelas de Bares (1981), são: 
 
Mxmax = 2,65 kN.m 
Xxmax = -5,41 kN.m 
Mymax = 1,11 kN.m 
 
Percebe-se que os valores estão bem próximos, com uma pequena diferença no valor de 
Mxmax e Mymax. Uma análise mais apurada na convergência dos elementos poderia talvez 
reduzir essa diferença, que no primeiro momento já apresenta bons resultados. 
5.4 Marquise 
O exemplo a seguir mostra a aplicação do elemento SHELL em conjunto com o elemento 
FRAME. Será usada uma laje engastada na viga, representando uma marquise e pilares 
servindo de apoio às vigas. 
 
Carregamento na Extremidade da Laje: 
Mureta (0,10 x 0,20 x 25) = 0,5 kN/m 
Letreiro = 1,0 kN/m 
 
Carregamento na laje: 
Sobrecarga = 0,5 kN/m2 
Revestimento = 1,0 kN/m2 
Altura média da laje (10+7)/2 = 8,5 cm 
 
5.4.1 Solução com o SAP 2000 
 
- Malha de Referência (Grid) 
Será necessário definir uma malha tridimensional para a correta modelagem dos pilares e 
das vigas. Para a geração da malha de referência, clica-se em New, selecionando as 
unidades utilizadas (kN, m, ºC), em seguida clica-se no modelo Grid Only, e finalmente 
preenchem-se os campos da seguinte forma: 
 
Number of Grid Spaces 
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 36 
X direction: 3 
Y direction: 2 
Z direction: 2 
 
Grid Spacing 
X direction: 4,0 
Y direction: 2,0 
Z direction: 2,7 
 
A malha de referência já é suficiente para iniciarmos a discretização, sem necessidade de se 
adicionar linhas de referência posteriormente. 
 
- Definição dos Materiais 
 
O ajuste do peso específico e módulo de deformação do concreto será realizado como 
realizado no exemplo anterior. 
 
- Propriedades do Elemento de Área 
 
A seção da laje será definida como elemento SHELL e no campo Type também seleciona-
se apenas o campo SHELL, ajustando a espessura da laje para o seu valor médio, que é 
0,085 (8,5 cm). Também existe a possibilidade de desativar o peso próprio no SAP 2000 e 
considerar o peso próprio como carga uniformemente distribuída na laje. Vale ressaltar que 
as tensões ao longo da laje serão aproximadas, pois não consideram a variação da 
espessura, mas como queremos apenas os valores dos momentos máximos na ligação laje-
viga, é aceitável tal consideração. 
 
O SAP 2000 não considera elementos SHELL variáveis. Uma maneira de aproximar os 
resultados é colocar uma carga aproximada atuante em cada elemento, de forma que fique 
uma carga mais aproximada possível da realidade. Por ser extremamente trabalhoso e 
estarmos apenas mostrando a maneira mais prática de modelagem, usamos uma carga 
uniformemente distribuída. Nota-se que os momentos serão um pouco maiores do resultado 
exato, estando assim, a favor da segurança. 
 
- Casos de Carregamento 
Consideraremos as cargas aplicadas como sendo cargas acidentais. Clica-se em 
Define/Load Patterns ajustando o campo Self Weight Multiplier com o valor 1 e os 
campos Load Name e Type ajustando como LIVE. 
 
- Modelagem 
 
Inicialmente serão inseridas as barras dos pilares e da viga contínua. Usaremos FSEC1 
(15 cm x 30 cm) para os pilares e FSEC2 (30 cm x 60 cm) para a viga contínua. A laje será 
discretizada com o comando Draw Rectangular Area e discretizada posteriormente com 
80 elementos na direção X e 20 elementos na direção Y. Clicando-se nos botões XY 
Análise Estrutural com o SAP 2000 - Prof. Carlos Eduardo Luna de Melo 
 
 37 
inserimos as barras da viga e o elemento SHELL, e clicando no botão YZ inserimos os 
pilares utilizando as linhas de referencia do lado direito. 
 
Para que o SAP 2000 considere a deformação da laje em conjunto com a viga, deve-se 
dividir a barra da viga de modo que os nós da laje e da viga coincidam. Usando o comando 
Edit/Edit Lines/Divide Frames após a seleção da barra, pode-se dividir o frame para que 
as deformações entre laje e viga sejam compatibilizadas. Com isso, seleciona-se cada 
trecho de viga e faz-se uma divisão de cada viga em 40 trechos menores. 
 
Para a aplicação da carga uniformemente distribuída na laje, selecionam-se todos os 
elementos e clica-se em Assign/Area Loads/Uniform, colocando o valor 1,5 (1,5 kN/m2) 
no campo Load. Para a aplicação da carga da mureta e do letreiro, selecionam-se os nós do 
final do balanço e clica-se em Assign/Joint Loads/Forces, ajustando o valor da força para 
0,15 kN (1,5 kN x 0,1 m) em cada nó. 
 
A restrição dos nós dos pilares é feita com o comando Assign/Joint/Restraints, definindo 
um engaste no pilar. A Figura 28 mostra a marquise discretizadas no SAP 2000. 
 
 
Figura 32 – Discretização utilizada na marquise. 
 
- Análise das Lajes 
 
O procedimento de análise do modelo é semelhante ao da viga e do pórtico, porém 
deveremos considerar convenientemente os graus de liberdade para a correta modelagem 
das lajes. Clicando em Analyze/Set Analysis Options uma janela é aberta e selecionam-se 
os graus de liberdade que serão considerados na análise. Clicando no ícone Space Frame a 
análise das lajes será feita corretamente, pois deveremos considerar a estrutura como 
pórtico espacial, com 6 graus de liberdade por nó. 
 
 
 
Análise Estrutural com o SAP 2000 - Prof. Carlos Eduardo Luna de Melo 
 
 38 
 
 
- Executando a Análise 
 
O procedimento é o mesmo para a análise dos exemplos anteriores. Para executar a análise 
das lajes basta pressionar a tecla F5 ou clicar em Analyse/Run Analysis e finalmente em 
Run Now. O programa então realizará a análise. 
 
 
- Obtenção dos Resultados 
Após a análise o programa mostrará a deformada das lajes e poderemos então selecionar os 
resultados a serem mostrados. Para obter o momento fletor, esforço cortante, esforço 
normal e momento torçor, basta clicar em Display/Show Forces/Stresses/Shells e 
selecionar esforço desejado. A Figura 34 mostra o resultado dos momentos fletores na 
direção Y (M22) em kN.m. 
 
 
Figura 33 - Momentos fletores na direção Y (Moment 2-2) em kN.m.É possível também obter os esforços nas barras do pórtico com o comando Display/Show 
Forces/Stresses/Frames/Cables e posteriormente em Torsion. A Figura 34 mostra o 
momento torsor na viga. 
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 39 
 
Figura 34 – Momento torsor na viga em kN.m (Torsion). 
 
 
 
Para obter os momentos fletores no pórtico, clica-se em Display/Show 
Forces/Stresses/Frames/Cables e posteriormente em Moment 2-2 ou Moment 3-3, de 
acordo com a necessidade. A Figura 35 mostra os momentos fletores Moment 3-3 no 
pórtico. 
 
Figura 35 – Momento fletor no pórtico em kN.m (Moment 3-3). 
 
 
Para obter o esforço cortante no pórtico, clica-se em Display/Show 
Forces/Stresses/Frames/Cables e posteriormente em Shear 2-2 ou Shear 3-3, de acordo 
com a necessidade. A Figura 36 mostra o cortante Shear 2-2 no pórtico. 
 
 
Análise Estrutural com o SAP 2000 - Prof. Carlos Eduardo Luna de Melo 
 
 40 
 
Figura 36 – Esforço Cortante no pórtico em kN (Shear 2-2). 
 
 
Como exercício o aluno poderá verificar os momentos considerando a laje engastada na 
viga, obtendo resultados aproximados 
 
5.5 Laje Cogumelo 
Neste exemplo serão analisados os esforços numa laje cogumelo, comparando os resultados 
obtidos pelo método do pórtico equivalente, TQS e o programa SAP 2000. A Figura 37 
mostra a laje cogumelo a ser estudada. 
 
 
 
Figura 37 – Laje cogumelo a ser estudada. 
 
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 41 
DADOS: 
 
- Laje com 18 cm de espessura; 
- Pilares com 4,0 metros de altura e seção 30 cm x 30 cm; 
- fck = 30,0 MPa; 
- Sobrecarga de 3,0 kN/m². 
 
5.5.1 Solução com o SAP 2000 
- Malha de Referência (Grid) 
 
Será necessário definir uma malha tridimensional para a correta modelagem dos pilares e 
da laje cogumelo. Para a geração da malha de referência, clica-se em New, selecionando as 
unidades utilizadas (kN, m, ºC), em seguida clica-se no modelo Grid Only, e finalmente 
preenchem-se os campos da seguinte forma: 
 
Number of Grid Spaces 
X direction: 2 
Y direction: 2 
Z direction: 1 
 
Grid Spacing 
X direction: 5,0 
Y direction: 5,0 
Z direction: 4,0 
 
Definição dos Materiais 
 
O ajuste do Peso Específico e Módulo de Elasticidade do concreto será realizado como 
realizado no exemplo anterior. 
 
- Propriedades do Elemento de Área 
 
O ajuste das propriedades dos elementos de área é feito clicando-se em Define/Area 
Sections. A seção da laje será definida como elemento SHELL e no campo Type o campo 
SHELL deverá ser selecionado, ajustando a espessura da laje para 0,18 (18,0 cm) nos 
campos Membrane e Bending. 
 
 
- Casos de Carregamento 
Consideraremos as cargas aplicadas como sendo cargas acidentais. Clica-se em 
Define/Load Cases ajustando o campo Self Weight Multiplier com o valor 1 e os campos 
Load Name e Type ajustando como LIVE. 
 
- Modelagem 
Análise Estrutural com o SAP 2000 - Prof. Carlos Eduardo Luna de Melo 
 
 42 
 
Inicialmente serão inseridas as barras dos pilares, definindo-se FSEC1 (30 cm x 30 cm) 
para os pilares clicando-se em Define/Section Properties/Frame Sections, com uma seção 
retangular. A laje será discretizada com o comando Draw Rectangular Area. Clicando-se 
nos botões XY dividimos o elemento SHELL em 50 elementos na direção X e 50 
elementos na direção Y, clicando-se inicialmente no centro do elemento SHELL e depois 
em Edit/Edit Areas/Divide Areas. Clicando no botão YZ view inserimos os pilares 
utilizando as linhas de referencia verticais, com o comando Draw Frame/Cable/Tendon. 
Para facilitar a inserção dos pilares utilizam-se os comandos Move Up in List e Move 
Down in List, que são facilmente localizadas na barra de ferramentas com o desenho de 
uma seta para cima e para baixo. 
 
Para a aplicação da carga uniformemente distribuída na laje, selecionam-se todos os 
elementos e clica-se em Assign/Area Loads/Uniform, colocando o valor 3,0 (3,0 kN/m2) 
no campo Load. 
 
A restrição dos nós dos pilares é feito com o comando Assign/Joint/Restraints, definindo 
um engaste no pilar. A Figura 38 mostra a laje cogumelo discretizada pelo programa SAP 
2000. 
 
 
Figura 38 – Discretização utilizada na laje cogumelo – SAP 2000. 
 
 
 
 
 
 
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- Análise das Lajes 
 
O procedimento de análise do modelo é semelhante ao da viga e do pórtico, porém 
deveremos considerar convenientemente os graus de liberdade para a correta modelagem 
das lajes. Clicando em Analyze/Set Analysis Options uma janela é aberta e selecionam-se 
os graus de liberdade que serão considerados na análise. Clicando no ícone Space Frame a 
análise das lajes será feita corretamente, pois deveremos considerar a estrutura como 
pórtico espacial. 
 
 
- Executando a Análise 
 
O procedimento é o mesmo para a análise dos exemplos anteriores. Para executar a análise 
das lajes basta pressionar a tecla F5 ou clicar em Analyse/Run Analysis e finalmente em 
Run Now. O programa então realizará a análise. 
 
 
 
- Obtenção dos Resultados 
Após a análise o programa mostrará a deformada das lajes e poderemos então selecionar os 
resultados a serem mostrados. Para obter o momento fletor, esforço cortante, esforço 
normal e momento torçor, basta clicar em Display/Show Forces/Shells e selecionar esforço 
desejado. A Figura 39 e a Figura 40 mostra o resultado dos momentos fletores da laje na 
direção X (Moment 1-1) e na direção Y (Moment 2-2) em kN.m. 
 
 
Figura 39 – Momentos fletores da laje na direção X (Moment 1-1) em kN.m. 
 
 
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Figura 40 – Momentos fletores da laje na direção Y (Moment 2-2) em kN.m. 
 
 
 
Analisando os pilares podemos obter as reações nos apoios no topo e na base dos pilares. 
Para a verificação da laje à punção é utilizada a reação no topo do pilar. A Tabela 5.1 
mostra um resumo das reações na face inferior da laje (topo do pilar) . 
 
Tabela 5.1 – Reação da laje no topo do pilar em kN – SAP 2000. 
Pilar Reação do Pilar (kN) *
Pilar Central -253.0
Pilar de Borda -85.5
Pilar de Canto -32.3
* Sinal negativo indica compressão. 
 
 
A Tabela 5.2 mostra os momentos fletores positivos e negativos obtidos pelo programa 
SAP 2000. 
Tabela 5.2 – Momentos fletores positivos e negativos – SAP 2000. 
Momentos Positivos (kN.m /m)
Pilar de Borda Pilar Central Vão Central
Central -10.9 -30.6 14.6
Extremidade -8.6 -21.9 14.1
Momentos Negativos (kN.m /m)
Faixa
 
 
 
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 45 
5.5.2 Solução pelo Método do Pórtico Equivalente 
A título de comparação, os esforços foram calculados também pelo Método do Pórtico 
Equivalente. A Tabela 5.3 mostra os valores determinados pelo Método do Pórtico 
Equivalente do ACI. 
 
Tabela 5.3 – Momentos fletores pelo Método do Pórtico Equivalente do ACI. 
Momentos Positivos (kN.m /m)
Pilar de Borda Pilar Central Vão Central
Central -6.8 -28.8 10.4
Extremidade -6.4 -23.3 9.8
Momentos Negativos (kN.m /m)
Pórtico
 
 
 
5.5.3 Solução Utilizando o sistema TQS 
Utilizando o sistema TQS para a obtenção dos esforços, podemos fazer uma comparação 
com os resultados obtidos pelo SAP 2000 e pelo Método do Pórtico Equivalente. A 
discretização da laje utilizada no sistema TQS foi a de Grelha de Lajes Planas, e foi obtida 
automaticamente. Vale ressaltar que o detalhamento da armadura não será mostrado, pois 
não é o objetivo. A Figura 41 mostra a discretização utilizada no TQS. 
 
Figura 41 – Discretização da grelha utilizada no TQS. 
 
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 46 
Podem-se obter no resultado da grelha do TQS também as reações da laje no pilar. A 
Tabela 5.4 mostra as reações obtidas da grelha do TQS. 
 
Tabela 5.4 – Reação da laje no topo do pilar em kN – TQS. 
Pilar Reação do Pilar (kN) *
Pilar Central -261
Pilar de Borda -84
Pilar de Canto -33
* Sinal negativoindica compressão. 
 
Verifica-se que os valores das reações calculadas pelo TQS são bem próximos do calculado 
com o SAP 2000, sendo praticamente insignificante a diferença. Esses valores, juntamente 
com os valores dos momentos fletores atuantes, são fundamentais para a verificação da 
resistência da laje à punção e à flexão. A Tabela 5.5 mostra os momentos fletores positivos 
e negativos obtidos da grelha do TQS. 
 
Tabela 5.5 – Momentos fletores positivos e negativos – TQS. 
Momentos Positivos (kN.m /m)
Pilar de Borda Pilar Central Vão Central
Central -5.0 -26.0 7.0
Extremidade -8.0 -20.0 6.0
Momentos Negativos (kN.m /m)
Faixa
 
 
 
A Tabela 5.6 mostra a comparação dos momentos fletores positivos e negativos entre o 
SAP 2000, TQS e Pórtico Equivalente do ACI. 
 
Tabela 5.6 – Comparativo de esforços entre SAP 2000, TQS e Pórtico Equivalente do ACI. 
 
Observa-se que os resultados dos momentos fletores obtidos pela análise utilizando o SAP 
2000 foi a que apresentou uma maior discrepância entre as demais. O motivo pelo qual o 
Momentos Positivos (kN.m /m)
SAP TQS P. EQ. SAP TQS P. EQ. SAP TQS P. EQ.
Central -10.9 -5.0 -6.8 -28.8 -26.0 -20.8 14.6 7.0 10.4
Extremidade -8.6 -8.0 -6.4 -23.3 -20.0 -19.6 14.1 6.0 9.8
Vão CentralFaixa Pilar de Borda Pilar Central
Momentos Negativos (kN.m /m)
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 47 
SAP 2000 não apresentou bons resultados deve-se, provavelmente, pela má discretização 
da região de apoio do pilar, acarretando, como verificado no exemplo, pico de momentos. 
 
Uma solução mais aproximada pode ser encontrada discretizando a região da ligação laje-
pilar com apoios. Vale ressaltar que esta discretização irá desconsiderar as rijezas dos 
pilares, e que, em alguns casos, pode levar a resultados insatisfatórios. 
 
Uma análise mais adequada seria a discretização dos pilares com elementos sólidos e a laje 
em shell, mas que não será apresentado por não ser de fácil implementação. 
 
Foi realizado um comparativo entre as reações da laje no topo dos pilares. A Figura 42 
mostra o comparativo entre as reações da laje no topo dos pilares. 
 
Figura 42 – Comparativo das Reações da Laje no Topo dos Pilares – SAP 2000 e TQS. 
 
Pilar TQS (kN) SAP 2000 (kN)
Pilar Central -261 -253.0
Pilar de Borda -84 -85.5
Pilar de Canto -33 -32.3
* Sinal negativo indica compressão.
Reação da Laje no Topo do Pilar *
 
 
Em relação às reações da laje no topo dos pilares, verifica-se que os valores apresentados 
pelo TQS e SAP 2000 são bem próximos, podendo ser utilizados com segurança para a 
verificação da resistência da laje à punção, lembrando que para o cálculo da laje à flexão, 
os valores da discretização apresentada levam a um dimensionamento exagerado da 
armadura da laje à flexão. 
 
É importante dizer que só aprender a utilizar o programa não quer dizer que a análise 
resultará em resultados satisfatórios. É de suma importância a análise estrutural e a 
Análise Estrutural com o SAP 2000 - Prof. Carlos Eduardo Luna de Melo 
 
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sensibilidade de se determinar um modelo que represente da melhor forma possível a 
estrutura real. 
 
Nenhum programa é capaz de escolher uma análise mais adequada para uma estrutura real. 
Se forem oferecidos dados incoerentes as respostas serão incoerentes. O importante é 
sempre duvidar até ter a certeza de que os resultados efetivamente são bons. O profissional 
deve estar preparado para tomar as decisões corretas para que a análise seja de boa 
qualidade. 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÀFICAS 
 
BARES, R. - Tablas para el calculo de placas y vigas pared. Ed. Gustavo Gili., 1981. 
Sistemas CAD/TQS para Windows, Manual de utilização. 
Sap 2000, Versão 8.0, Manual de utilização. 
 
View publication statsView publication stats
https://www.researchgate.net/publication/309851471