Exercício de Funções de uma Variável Complexa

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Exercício de Funções de uma Variável Complexa 
Determine a expressão que define 𝑓(𝑧), sabendo que 𝑓(−1) = 0, 𝑓(2) = 3 e 𝑓(0) = −1. 
Solução: 
Sendo 𝑓(𝑧) = , precisamos encontrar o valor dos coeficientes 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑, 
 
Para isso, utilizaremos as informações fornecidas pela questão, como mostra a tabela abaixo. 
 
𝑓(−1) =
𝑎(−1) + 𝑏
𝑐(−1) + 𝑑
 ⟹ 𝑓(−1) =
−𝑎 + 𝑏
−𝑐 + 𝑑
 ⟹ 0 =
−𝑎 + 𝑏
−𝑐 + 𝑑
 ⟹ −𝑎 + 𝑏 = 0 ⟹ 𝑎 = 𝑏 
 
𝑓(2) =
𝑎(2) + 𝑏
𝑐(2) + 𝑑
 ⟹ 𝑓(2) =
2𝑎 + 𝑏
2𝑐 + 𝑑
 ⟹ 3 =
2𝑎 + 𝑏
2𝑐 + 𝑑
 ⟹ 2𝑎 + 𝑏 = 3(2𝑐 + 𝑑) ⟹ 
⟹ 2𝑎 + 𝑏 = 6𝑐 + 3𝑑 ⟹ 2𝑎 + 𝑏 − 6𝑐 − 3𝑑 = 0 
 
𝑓(0) =
𝑎(0) + 𝑏
𝑐(0) + 𝑑
 ⟹ 𝑓(0) =
𝑏
𝑑
 ⟹ −1 =
𝑏
𝑑
 ⟹ 𝑏 = −𝑑 
 
Com as informações da tabela, podemos formar o sistema de equações: 
{
𝑎 = 𝑏 
2𝑎 + 𝑏 − 6𝑐 − 3𝑑 = 0
𝑏 = −𝑑
 
 
De acordo com as equações (𝟏) e (𝟑) do sistema, temos que: 
Se 𝑎 = 𝑏 e 𝑏 = −𝑑, então 𝑎 = −𝑑 ou 𝑑 = −𝑎 
 
Substituindo 𝑏 = 𝑎 na equação (𝟐), temos: 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎𝑧 + 𝑏
𝑐𝑧 + 𝑑
 respectivamente. 
(𝟐) 
(𝟏) 
(𝟑) 
2𝑎 + 𝑏 − 6𝑐 − 3𝑑 = 0 
2𝑎 + 𝑎 − 6𝑐 − 3𝑑 = 0 
3𝑎 − 6𝑐 − 3𝑑 = 0 
 
Substituindo 𝑑 = −𝑎 em 3𝑎 − 6𝑐 − 3𝑑 = 0, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, temos: 
𝑓(𝑧) =
𝑎𝑧 + 𝑏
𝑐𝑧 + 𝑑
 
𝑓(𝑧) =
𝑎𝑧 + 𝑎
𝑎𝑧 + (−𝑎)
 
𝑓(𝑧) =
𝑎𝑧 + 𝑎
𝑎𝑧 − 𝑎
 
𝑓(𝑧) =
𝑎(𝑧 + 1)
𝑎(𝑧 − 1)
 
𝑓(𝑧) =
𝑎(𝑧 + 1)
𝑎(𝑧 − 1)
 
𝑓(𝑧) =
𝑧 + 1
𝑧 − 1
 
 
3𝑎 − 6𝑐 − 3𝑑 = 0 
3𝑎 − 6𝑐 − 3 ⋅ (−𝑎) = 0 
3𝑎 − 6𝑐 + 3𝑎 = 0 
6𝑎 − 6𝑐 = 0 
6𝑎 = 6𝑐 
𝑎 =
6𝑐
6
 
𝑎 = 𝑐 
 
 
 
 
Aqui, foi utilizada a fatoração pela colocação de um fator comum em 
evidência, que consiste em separarmos do polinômio dado o fator 
comum, transformando-o num produto de dois fatores, em que um deles 
é o fator comum e o outro, que será colocado entre parênteses, é obtido 
pela divisão do polinômio pelo fator comum. 
𝑎𝑧 + 𝑎 = 𝑎(𝑧 + 1) 
𝑎 aparece nas duas parcelas, 
portanto 𝑎 é o fator comum. 
Colocando 𝑎 em evidência, ele 
será o 1º fator. 
Dividindo e , obtemos (𝑧 + 1), 
 que o 2º fator. 
𝑎𝑧
𝑎
 
𝑎
𝑎
 
Quando uma adição algébrica contém parênteses 
precedidos do sinal +, podemos eliminar esses parênteses, 
bem como o sinal que os precede, escrevendo cada número 
que está no interior dos parênteses com o seu próprio sinal. 
10 + (−6) = 10 − 6 
𝑓(𝑧) =
𝑧 + 1
𝑧 − 1