Teste1AL2021-2

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INSTITUTO DE MATEMÁTICA -UFRJ
Álgebra Linear II - 2021-2
Professor Felipe Acker
Teste 1 - 25.XI.2021
1. Se A = (a1, a2), B = (b1, b2), C = (c1, c2) e D = (d1, d2) são pontos distintos, a
interseção das retas AB e CD é
(a) a solução de (a1, a2) + t(b1 − a1, b2 − a2) = (c1, c2) + t(d1 − c1, d2 − c2).
(b) (a1, a2)+ t(b1− a1, b2− a2), sendo t solução de (a1, a2)+ t(b1− a1, b2− a2) =
(c1, c2) + t(d1 − c1, d2 − c2).
(c) a solução do sistema{
(1− t1)a1 + t1b1 = (1− s1)c1 + s1d1
(1− t2)a2 + t2b2 = (1− s2)c2 + s2d2
(d) (a1, a2)+ t(b1− a1, b2− a2), sendo t solução de (a1, a2)+ t(b1− a1, b2− a2) =
(c1, c2) + s(d1 − c1, d2 − c2).
(e) nenhuma das respostas anteriores
2. Um questionãrio admite as respostas: sim (associada ao número 1); não
(associada ao número 2); talvez (associada ao número 3). Cada questionário
preenchido gera um vetor, r, com 20 coordenadas, sendo ri o número associados
à resposta dada à questão i. Para as 6 primeiras questões, um sim vale 2 pontos,
um não vale 1 e um talvez vale 0; para as 8 seguintes, um sim vale 4, um não
vale 2 e um talvez vale 0; para as 6 últimas, um sim vale -2, um não vale -1 e um
talvez vale 0. Nosso problema é achar vetores, p e a, tais que o total de pontos
correspondente a cada questionário seja dado pela fórmula
t = pTr + a.
(a) p1 = p2 = . . . = p6 = 2, p7 = p8 = . . . = p14 = 4, p15 = p16 = . . . = p20 =
−2, a = −48
(b) p1 = p2 = . . . = p6 = −1, p7 = p8 = . . . = p14 = −2, p15 = p16 = . . . =
p20 = 1, a = 48
(c) p1 = p2 = . . . = p6 = 2, p7 = p8 = . . . = p14 = 4, p15 = p16 = . . . = p20 =
−2, a = −96
(d) p1 = p2 = . . . = p6 = 2, p7 = p8 = . . . = p14 = 4, p15 = p16 = . . . = p20 =
−2, a = 96
(e) nenhuma das respostas anteriores
2
3. Se f , g, h : Rn → R são dadas por
f (x1, . . . , xn) =
x1 + · · ·+ xn
n
(média aritmética);
g(x1, . . . , xn) = n
√
x1x2 · · · xn (média geométrica);
h(x1, . . . , xn) =
p1x1 + · · ·+ pnxn
p1 + · · ·+ pn
, p1, . . . , pn > 0 (média ponderada),
então
(a) f e g são lineares, mas não h.
(b) h e g são lineares, mas não f .
(c) f e h são lineares, mas não g.
(d) só f é linear.
(e) nenhuma das respostas anteriores
4. Suponha que a função f : R3 → R é tal que
f (−2, 1, 0) = 1, f (3, 0, 1) = 2, f (1, 1, 1) = 3.
Então
(a) f é linear.
(b) f não é linear.
(c) f pode, ou não, ser linear.
(d) f (4, 1, 2) = 5.
(e) nenhuma das respostas anteriores
5. Suponha que g : R3 → R é uma função afim, da qual conhecemos os seguintes
valores: g(1, 1, 1) = 3, g(10, 1, 1) = 6, g(1, 10, 1) = 7 e g(1, 1, 10) = −4. Queremos
encontrar uma relação entre x1, x2 e x3, de forma que, sempre que x1, x2 e x3
variem mantendo essa relação, o valor de g permaneça constante. Podemos então
dizer que
(a) isso só é possível se 3x1 + 4x2 − 7x3 = 0.
(b) isso é impossível, pois, se qualquer um dos três variar, g variará.
(c) isso talvez seja possível, mas depende de mais dados sobre g
(d) isso é possível, desde que 3x1 + 4x2 − 7x3 permaneça constante.
(e) nenhuma das respostas anteriores
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RESPOSTAS
NOME:
(a) (b) (c) (d) (e)
1. ♥ ♥ ♥ ♥ ♥
2. ♥ ♥ ♥ ♥ ♥
3. ♥ ♥ ♥ ♥ ♥
4. ♥ ♥ ♥ ♥ ♥
5. ♥ ♥ ♥ ♥ ♥