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Faculdades Ibmec de Minas Gerais 
Administração 
Disciplina: Mercados Financeiros 
Prof: Dr. Eduardo Senra Coutinho 
 
 
Resolução dos exemplos de Operações de Desconto e Produtos Financeiros 
 
 
Desconto Racional Simples 
 
Determinar: a) o valor do desconto aplicado; b) o valor recebido pela empresa em uma 
operação de desconto racional simples feita por uma empresa com um título de crédito 
de valor nominal de $12.000, 115 dias antes do vencimento, na qual foi cobrada uma 
taxa de 2,5% a.m. 
 
𝑁 = $12.000,00 𝑛 = 115 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑖 = 2,5% 𝑎. 𝑚. 
 
a) 𝑑 =
𝑁∗𝑖∗𝑛
(1+𝑖∗𝑛)
=
12.000,00∗0,025∗115 30⁄
(1+0,025∗
115
30
)
= $1.049,43 
 
b) 𝐴 = 𝑁 − 𝑑 = 12.000,00 − 1.049,43 = $10.950,57 
 
𝐴 =
𝑁
(1 + 𝑖 ∗ 𝑛)
=
12.000,00
(1 + 0,025 ∗
115
30 )
= $10.950,57 
 
 
Um comerciante procurou uma instituição financeira para descontar um título com valor 
nominal de $8.500, com vencimento em 135 dias. Determinar a taxa mensal de 
desconto, sabendo que o desconto aplicado foi de $1.243,13. 
 
𝑁 = $8.500,00 𝑛 = 135 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑑 = $1.243,13 
 
𝑁 = 𝐴(1 + 𝑖 ∗ 𝑛) 
 
𝐴 = 𝑁 − 𝑑 = 8.500,00 − 1.243,13 = $7.256,87 
 
8.500,00 = 7.256,87 (1 + 𝑖 ∗
135
30
) 
 
8.500,00
7.256,87
= 1 + 𝑖 ∗
135
30
 
 
𝑖 ∗
135
30
= 1,171303882 − 1 
𝑖 = 0,171303882 ∗
30
135
= 0,038067529 𝑜𝑢 3,8067529% 𝑎. 𝑚. 
 
Um título de crédito de $10.000, com vencimento em 02 de dezembro sofreu um 
desconto racional simples de $687,50 no dia 18 de setembro do mesmo ano. Determinar 
a taxa de juros mensal e anual da operação. 
 
Contagem de dias na HP: 
 
18.092021 enter; 02.122021 g EEX (ΔDYS) = 75 dias 
 
𝑁 = $10.000,00 𝑑 = 687,50 𝑛 = 75 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
𝐴 = 10.000,00 − 687,50 = $9.312,50 
 
𝑑 = 𝐴 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛 
 
687,50 = 9.312,50 ∗ 𝑖 ∗
75
30
 
 
75
30
∗ 𝑖 =
687,50
9.312,50
 
 
75
30
∗ 𝑖 = 0,073825503 
 
𝑖 = 0,02953020135 𝑜𝑢 2,953020135% 𝑎. 𝑚. 
 
𝑖𝑎.𝑎. = 𝑖𝑎.𝑚. ∗ 12 = 35,43624162% 𝑎. 𝑎. 
 
 
Desconto Comercial Simples 
 
Determinar o valor recebido por um empresário que descontou um título de $15.000, 
sete meses antes do seu vencimento, considerando uma taxa de desconto comercial 
simples de 6% a.m. (analise o resultado). 
 
𝐴 = 𝑁 ∗ (1 − 𝑖 ∗ 𝑛) = 15.000,00 ∗ (1 − 0,06 ∗ 7) = $8.700,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um empresário aplicou $35.000 em letras de câmbio a uma taxa de juros compostos de 
2,0% a.m. O vencimento dos títulos ocorreria em sete meses. Entretanto, precisou 
resgatar o dinheiro dois meses após a aplicação, por meio de uma operação de desconto 
comercial simples à uma taxa de 2,5% a.m. Determinar: a) o valor futuro do título (VN); 
b) valor do desconto (D); e c) valor recebido pelo cliente (A).; d) taxa efetiva recebida. 
(analise o resultado). 
 
a) 𝐹 = 35.000,00(1 + 0,025)7 = $41.604,00 
 
b) 𝑑 = 𝑖 ∗ 𝑛 ∗ 𝑁 = 0,025 ∗ 5 ∗ 41.604,00 = $5.200,50 
 
c) 𝐴 = 𝑁 − 𝑑 = 41.604,00 − 5.200,50 = $36.403,50 
 
d) 𝑖𝑎.𝑚. = (
36.403,50
35.000,00
)
1
2⁄
− 1 = 0,019852931 𝑜𝑢 1,9852931% 𝑎. 𝑚. 
 
Duplicatas 
 
Uma empresa descontou uma duplicata de $1.520 com vencimento em 10/11/19 em 
24/09/19 por meio de desconto comercial simples à taxa de 2,5% a.m. Na operação foi 
cobrado IOF de 0,0041% a.d., de 0,38% (adicional) e tarifa de análise de crédito (TAC) 
de 0,5% do valor nominal. Determinar o valor líquido recebido (A’) pela empresa. 
 
Calcular a quantidade de dias: 24.092019 enter; 10.112019 g EEX (ΔDYS) = 47 dias 
 
𝑑 = 𝑖 ∗ 𝑛 ∗ 𝑁 = 0,025 ∗
47
30
∗ 1.520,00 = $59,53 
 
𝐴 = 𝑁 − 𝑑 = 1.520,00 − 59,53 = $1.460,47 
 
𝐼𝑂𝐹𝑑 = 𝑎𝑙í𝑞𝑢𝑜𝑡𝑎 ∗ 𝑛 ∗ 𝐴 = 0,000041 ∗ 47 ∗ 1.460,47 = $2,81 
 
𝐼𝑂𝐹𝑎𝑑𝑖𝑐 = 𝑎𝑙í𝑞𝑢𝑜𝑡𝑎 ∗ 𝐴 = 0,0038 ∗ 1.460,47 = $5,54 
 
𝑇𝐴𝐶 = 0,005 ∗ 1.520,00 = $7,60 
 
𝐴′ = 𝐴 − 𝐼𝑂𝐹𝑑 − 𝐼𝑂𝐹𝑎𝑑𝑖𝑐 − 𝑇𝐴𝐶 = 1.460,47 − 2,81 − 5,54 − 7,60 = $1.444,52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma empresa realizou uma operação de desconto comercial simples de duplicata, à taxa 
de desconto de 2,25% a.m., pelo prazo de 48 dias. O valor nominal da duplicata é de 
$18.500. Considerando que as alíquotas de IOF são 0,0041% a.d. e 0,38% (adicional) e 
que a TAC cobrada foi de $150, determinar: a) o valor do desconto (d); b) o imposto 
sobre operações financeiras (IOF); c) o valor líquido recebido pela empresa (A’); d) a 
taxa efetiva do período da operação; e) a taxa efetiva mensal da operação. 
 
a) 𝑑 = 𝑖 ∗ 𝑛 ∗ 𝑁 = 0,0225 ∗
48
30
∗ 18.500,00 = $666,00 
 
b) 𝐼𝑂𝐹𝑑 = 𝑎𝑙í𝑞𝑢𝑜𝑡𝑎 ∗ 𝑛 ∗ 𝐴 = 0,000041 ∗ 48 ∗ (18.500,00 − 666,00) = $35,09 
 
𝐼𝑂𝐹𝑎𝑑𝑖𝑐 = 𝑎𝑙í𝑞𝑢𝑜𝑡𝑎 ∗ 𝐴 = 0,0038 ∗ (18.500,00 − 666,00) = $67,76 
 
c) 𝐴′ = 𝐴 − 𝐼𝑂𝐹𝑑 − 𝐼𝑂𝐹𝑎𝑑𝑖𝑐 − 𝑇𝐴𝐶 = (18.500,00 − 666,00) − 35,09 − 67,76 − 150,00 
 
𝐴′ = $17.581,15 
 
d) 𝑖𝑎.𝑝. =
𝑁
𝐴′
− 1 =
18.500,00
17.581,15
− 1 = 0,052263362 𝑜𝑢 5,2263362% 𝑎. 𝑝. 
 
e) 𝑖𝑎.𝑚. = (1 + 0,052263362)
30
48⁄ − 1 = 0,032351946 𝑜𝑢 3,2351946% 𝑎. 𝑚. 
 
Custo Efetivo Total (CET): o custo final efetivo do crédito considerando todos os 
demais encargos incidentes sobre a operação e não apenas a taxa de juros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Borderô 
 
A Cia. HP apresentou a um banco o seguinte borderô de duplicatas para desconto: 
 
 
 
Supondo que o banco cobre uma taxa de desconto comercial simples de 2,3% a.m., que 
as alíquotas de IOF sejam de 0,0041% a.d. e 0,38% (adicional) e que a instituição 
financeira cobrou uma TAC de 0,5% do valor nominal de cada título, determinar: a) o 
valor do desconto (d); b) o valor do IOF pago na operação; c) o valor liberado à 
empresa (A’); d) a taxa efetiva do período (ia.p.); e) taxa efetiva mensal (ia.m.) para a 
empresa. 
 
Duplicata Valor Nominal Peso Dias Peso*Dias 
A $15.500,00 0,2180 36 7,8480 
B $15.750,00 0,2216 42 9,3072 
C $17.450,00 0,2455 59 14,4845 
D $22.380,00 0,3149 65 20,4685 
Total $71.080,00 1,0000 - 52,1082 
 
a) 𝑑 = 𝑖 ∗ 𝑛 ∗ 𝑁 = 0,023 ∗
52,1082
30
∗ 71.080,00 = $2.839,62 
 
b) 𝐼𝑂𝐹𝑑 = 𝑎𝑙í𝑞𝑢𝑜𝑡𝑎 ∗ 𝑛 ∗ 𝐴 = 0,000041 ∗ 52,1082 ∗ (71.080,00 − 2.839,62) 
 
𝐼𝑂𝐹𝑑 = $145,79 
 
𝐼𝑂𝐹𝑎𝑑𝑖𝑐 = 𝑎𝑙í𝑞𝑢𝑜𝑡𝑎 ∗ 𝐴 = 0,0038 ∗ (71.080,00 − 2.839,62) = $259,31 
 
c) 𝐴′ = 𝑁 − 𝑑 − 𝐼𝑂𝐹𝑑 − 𝐼𝑂𝐹𝑎𝑑𝑖𝑐 − 𝑇𝐴𝐶 
 
𝑇𝐴𝐶 = 0,005 ∗ 71.080,00 = $355,40 
 
𝐴′ = 71.080,00 − 2.839,62 − 145,79 − 259,31 − 355,40 = $67.479,88 
 
d) 𝑖𝑎.𝑝. =
71.080,00
67.479,88
− 1 = 0,053351014 𝑜𝑢 5,3351014% 𝑎. 𝑝. 
 
e) 𝑖𝑎.𝑚. = (
71.080,00
67.479,88
)
30
52,1082⁄
− 1 = 0,030376419 𝑜𝑢 3,0376419% 𝑎. 𝑚. 
 
 
 
 
Borderô de Duplicatas
Duplicata Valor Nominal Prazo (n)
A $ 15.500 36 dias
B $ 15.750 42 dias
C $ 17.450 59 dias
D $ 22.380 65 dias
Necessitando de recursos para capital de giro um empresário apresentou a uma IF o 
seguinte borderô de cheques para desconto: 
 
 
 
Supondo que o banco cobre uma taxa de desconto comercial simples de 2,75% a.m., 
que as alíquotas de IOF sejam de 0,0041% a.d. e 0,38% (adicional) e que a instituição 
financeira cobrou uma TAC de 0,6% do valor nominal de cada título, determinar: a) o 
valor do desconto (D); b) o valor do IOF pago na operação; c) o valor liberado à 
empresa (A’); d) a taxa efetiva do período (ia.p.); e) taxa efetiva mensal (ia.m.) para a 
empresa. 
 
Cheque Valor Nominal Peso Dias Peso*Dias 
10075 $15.000,00 0,1049 37 3,8813 
25650 $28.000,00 0,1958 39 7,6362 
25658 $11.000,00 0,0769 42 3,2298 
25556 $37.000,00 0,2587 46 11,9002 
56686 $52.000,00 0,3636 55 19,9980 
Total $143.000,00 1,0000 - 46,6455 
 
 
a) 𝑑 = 𝑖 ∗ 𝑛 ∗ 𝑁 = 0,0275 ∗
46,6455
30
∗ 143.000,00 = $6.114,45 
 
b) 𝐼𝑂𝐹𝑑 = 𝑎𝑙í𝑞𝑢𝑜𝑡𝑎 ∗ 𝑛 ∗ 𝐴 = 0,000041 ∗ 46,6455 ∗ (143.000,00 − 6.114,45) 
 
𝐼𝑂𝐹𝑑 = $261,78 
 
𝐼𝑂𝐹𝑎𝑑𝑖𝑐 = 𝑎𝑙í𝑞𝑢𝑜𝑡𝑎 ∗ 𝐴 = 0,0038 ∗ (143.000,00 − 6.114,45) = $520,16 
 
c) 𝐴′ = 𝑁 − 𝑑 − 𝐼𝑂𝐹𝑑 − 𝐼𝑂𝐹𝑎𝑑𝑖𝑐 − 𝑇𝐴𝐶 
 
𝑇𝐴𝐶 = 0,006 ∗ 143.000,00 = $858,00 
 
𝐴′ = 143.000,00 − 6.114,45 − 261,78 − 520,16 − 858,00= $135.245,61 
 
d) 𝑖𝑎.𝑝. =
143.000,00
135.245,61
− 1 = 0,057335613 𝑜𝑢 5,7335613% 𝑎. 𝑝. 
 
e) 𝑖𝑎.𝑚. = (
143.000,00
135.245,61
)
30
46,6455⁄
− 1 = 0,036507558 𝑜𝑢 3,6507558% 𝑎. 𝑚. 
 
 
 
Borderô de Cheques
Cheque Valor Nominal Prazo (n)
10075 $ 15.000 37 dias
25650 $ 28.000 39 dias
25658 $ 11.000 42 dias
25556 $ 37.000 46 dias
56686 $ 52.000 55 dias
Desconto Racional Composto 
 
Um investidor descontou um título de valor nominal $45.000, 4 meses antes do seu 
vencimento, com uma taxa de desconto racional composta de 2,1% a.m. Determinar: a) 
o valor do desconto (d); b) o valor líquido recebido pelo investidor (A); c) a taxa efetiva 
do período; d) a taxa efetiva mensal da operação. 
 
a) 𝑑 = 𝑁 ∗ [
(1+𝑖)𝑛−1
(1+𝑖)𝑛
] = 45.000,00 ∗ [
(1+0,021)4−1
(1+0,021)4
] = $3.589,59 
 
b) 𝐴 = 𝑁 − 𝑑 = 45.000,00 − 3.589,59 = $41.410,41 
 
 𝐴 =
𝑁
(1+𝑖)𝑛
=
45.000,00
(1+0,021)4
= $41.410,41 
 
c) 𝑖𝑎.𝑝. =
𝑁
𝐴
− 1 =
45.000,00
41.410,41
− 1 = 0,086683276 𝑜𝑢 8,6683276% 𝑎. 𝑝. 
 
d) 𝑖𝑎.𝑚. = (
45.000
41.010,41
)
1
4⁄
− 1 = 0,021000009 𝑜𝑢 2,1000009% 𝑎. 𝑚. 
 
Um título com valor nominal de $26.000 foi descontado 6 meses antes do seu 
vencimento. Sabendo que se trata de uma operação de desconto racional composto com 
uma taxa de 2,75% a.m., determinar: a) o valor do desconto (d); b) o valor líquido da 
operação (A). 
 
a) 𝑑 = 𝑁 ∗ [
(1+𝑖)𝑛−1
(1+𝑖)𝑛
] = 26.000,00 [
(1+0,0275)6−1
(1+0,0275)6
] = $3.905,59 
 
b) 𝐴 = 𝑁 − 𝑑 = 26.000,00 − 3.905,59 = $22.094,41 
 
Um cliente recebeu $10.736,25 de uma instituição financeira em uma operação de 
desconto racional composto, cujo valor nominal era de $12.000. Se a taxa de desconto 
utilizada foi de 2,25% a.m., determinar quantos meses foi o prazo de antecipação desse 
título. 
 
12.000,00 = 10.736,25(1 + 0,0225)𝑛 
 
1,0225𝑛 =
12.000,00
10.736,25
 
 
1,0225𝑛 = 1,117708697 
 
𝑙𝑛1,0225𝑛 = 𝑙𝑛1,117708697 
 
𝑛 ∗ 𝑙𝑛1,0225 = 𝑙𝑛1,117708697 
 
𝑛 =
𝑙𝑛1,117708697
𝑙𝑛1,0225
=
0,111280784
0,022250609
= 5,001246656 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
 
 
Tesouro Pré-fixado 
 
Calcule o PU de um Tesouro Pré-Fixado que conta com 231 dias úteis até o seu 
vencimento e oferece uma com taxa anual de 8,87% a.a. 
 
𝑃𝑈 =
1.000,00
(1 + 𝑖𝑎.𝑎.𝑜.)
𝐷𝑈
252⁄
 
 
𝑃𝑈 =
1.000,00
(1 + 0,0887)
231
252⁄
= 𝑅$925,054803 
 
Calcule a rentabilidade anual de um Tesouro Pré-Fixado com PU de $952,26 e tem 189 
dias úteis até o seu vencimento. 
 
𝑖𝑎.𝑎.𝑜. = (
1.000,00
𝑃𝑈
)
252
𝐷𝑈⁄
− 1 
 
𝑖𝑎.𝑎.𝑜. = (
1.000,00
952,26
)
252
189⁄
− 1 = 0,06739692 𝑜𝑢 6,739692% 𝑎. 𝑎. 𝑜. 
 
Calcule quantos dias úteis há até o vencimento de um Tesouro Pré-Fixado, que está 
sendo negociada a $745,46, com uma taxa de 10,75% a.a.o. 
 
1.000,00 = 745,46(1 + 0,1075)
𝐷𝑈
252⁄ 
 
𝑖𝑎.𝑑.𝑢. = (1 + 𝑖𝑎.𝑎.𝑜.)
1
252⁄ − 1 = (1,1075)
1
252⁄ − 1,000405262 𝑜𝑢 0,0405262% 𝑎. 𝑑. 𝑢. 
 
1.000,00 = 745,46(1,000405262)𝐷𝑈 
 
1,000405262𝐷𝑈 =
1.000,00
745,46
 
 
1,000405262𝐷𝑈 = 1,341453599 
 
𝑙𝑛1,000405262𝐷𝑈 = 𝑙𝑛1,341453599 
 
𝐷𝑈 ∗ 𝑙𝑛1,000405262 = 𝑙𝑛1,341453599 
 
𝐷𝑈 =
𝑙𝑛1,341453599
𝑙𝑛1,000405262
= 725 𝑑𝑖𝑎𝑠 ú𝑡𝑒𝑖𝑠. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desconto Comercial Composto 
 
Um título de valor nominal de $17.500 envolvido em uma operação de desconto 
comercial (por fora) composto foi antecipado em 4 meses o seu vencimento a uma taxa 
de desconto de 2,5% a.m. Determinar: a) valor descontado (D); b) valor recebido pelo 
seu detentor (A); c) taxa efetiva do período (iap); d) taxa efetiva mensal da operação 
(ia.m.). 
 
a) 𝑑 = 𝑁[1 − (1 − 𝑖)𝑛] = 17.500,00[1 − (1 − 0,025)4] = $1.685,46 
 
b) 𝐴 = 𝑁 − 𝑑 = 17.500,00 − 1.685,46 = $15.814,54 
 
c) 𝑖𝑎.𝑝. =
𝑁
𝐴
− 1 =
17.500,00
15.814,54
− 1 = 0,10657674 𝑜𝑢 10,657674% 𝑎. 𝑝. 
 
d) 𝑖𝑎.𝑚. = (1 + 𝑖𝑎.𝑝.)
1
4⁄ − 1 = (1 + 0,10657674)
1
4⁄ − 1 = 0,025641026 𝑜𝑢 2,5641026% 𝑎. 𝑚. 
 
Determinar o valor nominal (VN) de um título em uma operação de desconto comercial 
composto com uma taxa de 2,25% a.m., 6 meses antes de seu vencimento, que produziu 
um desconto de $7.147,29. 
 
7.147,29 = 𝑁[1 − (1 − 0,0225)6] 
 
𝑁 =
7.147,29
0,127630253
= $55.999,97 
 
Um título de valor nominal de $27.000 envolvido em uma operação de desconto 
comercial por fora foi antecipado em 5 meses o seu vencimento, gerando um desconto 
de $3.822,29. Determinar: a) taxa efetiva do período (iap); b) taxa efetiva mensal da 
operação (ia.m). 
 
3.822,29 = 27.000,00 [1 − (1 − 𝑖𝑎.𝑝.)
1
] 
 
0,141566296 = 1 − (1 − 𝑖𝑎.𝑝.) 
 
𝑖𝑎.𝑝. = 0,141566296 𝑜𝑢 14,1566296% 𝑎. 𝑝. 
 
𝑖𝑎.𝑚. = (1 + 0,141566296)
1
5⁄ − 1 = 0,02683397 𝑜𝑢 2,683397% 𝑎. 𝑚.

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