Equações Diferenciais - AOL02 (10 - 10)

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Equações Diferenciais – AOL 02 
 
1) Uma equação diferencial ordinária de primeiro grau pode ser muitas vezes simplesmente 
solucionada pelo método das variáveis separáveis, tal método, que é considerado a forma 
mais simples de se resolver uma equação diferencial, basicamente divide as variáveis 
independentes e dependentes com seus respectivos fatores de integração, permitindo a 
integração das variáveis. 
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, 
calcule a equação abaixo utilizando o método das variáveis separáveis: 
dy/dx = (1+e2x) 
Avalie as afirmativas a seguir: 
 
( ) O resultado da integral é x + 2e2x + c 
( x ) O resultado da integral é x + ½ e2x + c 
( ) O resultado da integral é x + ex + c 
( ) O resultado da integral é x + 1/2ex + c 
( ) O resultado da integral é x2 + e2x + c 
 
2) As equações diferenciais lineares estão presentes em vários ramos da engenharia. Um 
modelo matemático é uma representação de um sistema físico que pode ser, por diversas 
vezes, expresso por uma equação diferencial linear. 
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações diferenciais 
lineares, dada a equação abaixo, encontre a solução geral utilizando o método de 
resolução de uma equação linear: 
dy/dx + xy/(x2 + 9) = 9 
Avalie as afirmativas abaixo: 
 
( ) O valo de y é igual a = x2 / (c+9) 
( ) O valo de y é igual a = x2 + 9/c 
( x ) O valo de y é igual a = c / (x2 + 9)^1/2 
( ) O valo de y é igual a = (c / x2) 
( ) O valo de y é igual a = c / (x2 + 9) 
 
3) “Viscosidade é a propriedade física que caracteriza a resistência de um fluido ao 
escoamento. Em outras palavras, é a propriedade associada à resistência que um fluido 
oferece à deformação por cisalhamento, tipo de tensão gerado por forças aplicadas em 
sentidos opostos, porém, em direções semelhantes no material analisado. “ 
Fonte: PROLAB. O que é viscosidade de um fluido? Disponível em: 
https://www.prolab.com.br/blog/curiosidades/o-que-e-viscosidade-de-um-fluido/. Acesso 
em: 08/08/2019. 
Considere a seguinte situação problema: 
Um corpo de m está caindo em um fluido em que a resistência em kgf seja proporcional ao 
quadrado da velocidade em m/s. Se a velocidade máxima limite é 50m/s, considerando o 
texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações variáveis separáveis, calcule a 
velocidade após 2s, com o corpo partindo do repouso: 
Dica: m.dv/dt = mg – Kv2 
Avalie as afirmativas abaixo e assinale a correta: 
 
( ) Velocidade após 2s = 20,5 m/s 
( ) Velocidade após 2s = 22 m/s 
( x ) Velocidade após 2s = 21,4 m/s 
( ) Velocidade após 2s = 30 m/s 
( ) Velocidade após 2s = 27,8 m/s 
 
4) A aplicação do método das variáveis separáveis é tida como uma das mais fáceis, sua 
resolução consiste em colocar a derivada na forma dy/dx, por exemplo, em um lado da 
equação e o restante dos termos do outro lado, depois disso, deve-se colocar tudo que tem 
a variável x junto com o termo dx e, da mesma forma, tudo que tem y deve ser colocado 
juntamente com dy. 
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, 
dada a equação diferencial dy/dx = sen(x), ache a equação de y(x). 
Avalie as afirmativas a seguir: 
 
( x ) A solução para a equação corresponde a y = -cos(x) + c 
( ) A solução para a equação corresponde a y = sen(x) + c 
( ) A solução para a equação corresponde a y = -cos(x) 
( ) A solução para a equação corresponde a y = -sen(x) + c 
( ) A solução para a equação corresponde a y = cos(x) + c 
 
5) Considere a situação-problema a seguir: 
Imagine que há um tanque de 400 litros, e que uma solução de 60 kg de sal em água 
enche o tanque. Despeja-se 8 litros de água por minuto e a mistura homogênea sai na 
mesma proporção. 
 Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, 
calcule a quantidade de sal existente no tanque após 1 hora? 
Dica: A concentração será S/400 Kg/litro, porém, a cada 8 minutos, temos que 8S/400 = -
S/50 dt é a variação na quantidade de sal que sai do tanque. 
Avalie as afirmativas abaixo: 
 
( ) A quantidade de sal é igual a 24 kg. 
( ) A quantidade de sal é igual a 26 kg. 
( ) A quantidade de sal é igual a 10 kg. 
( x ) A quantidade de sal é igual a 18 kg. 
( ) A quantidade de sal é igual a 20 kg. 
 
6) Há uma forma lógica de se resolver equações diferenciais homogêneas, primeiramente, 
deve-se separar a equação em M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, para então, aplicar o método de 
solução, ou seja, transformando-a em uma EDO com variáveis separáveis. 
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equaões homogêneas, 
dada a equação abaixo, resolva-a utilizando o método de resolução de equações 
homogêneas. 
Dy/dx = y/x + xey/x com a condição y(1) = 1 
Assinale as afirmativas abaixo: 
 
( x ) A solução da equação homogênea é e-1 – e-y/x = ln|x| 
( ) A solução da equação homogênea é e-1 = ln|x| 
( ) A solução da equação homogênea é e-1 + e-y/x = ln|e.x| 
( ) A solução da equação homogênea é e-x – e-y/x = ln|e| 
( ) A solução da equação homogênea é – e-y/x = ln|x| 
 
7) Para se resolver uma equação diferencial linear, há um método lógico que leva em 
consideração alguns passos: deve-se primeiramente escrever a equação linear na forma 
dy + [P(x) – f(x)]dx = 0, sendo o fator de integração igual a e^(integral de P(x)). 
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações diferenciais 
lineares, calcule o fator de integração da seguinte equação: 
Dy/dx – 4y/x = x5ex 
Avalie as afirmativas e assinale a correta: 
 
( ) O fator de integração é igual a x-e 
( ) O fator de integração é igual a xe-4 
( ) O fator de integração é igual a e-4 
( x ) O fator de integração é igual a x-4 
( ) O fator de integração é igual a e-4x 
 
8) O fator de integração é uma função na qual o produto da equação diferencial por tal função 
transforma o lado esquerdo da equação em uma derivada do produto de duas funções, a 
saber, y e o fator integrante. Essa função é utilizada na resolução de equações lineares. 
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações diferenciais 
lineares, para a equação diferencial dada abaixo, ache o fator de integração necessário 
para sua resolução:Dy/dx – 3y = 0 
Avalie as afirmativas abaixo e assinale a correta: 
 
( ) O fator de integração é e3x 
( ) O fator de integração é 3x 
( ) O fator de integração é ex 
( ) O fator de integração é 3x.e 
( x ) O fator de integração é e-3x 
 
9) De acordo com a lei de Newton de arrefecimento, a taxa de perda de calor de um 
determinado corpo é proporcional à diferença de temperatura entre tal corpo e o meio em 
que ele se encontra enquanto estiver sob o efeito de uma brisa. 
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, 
sendo a temperatura do ar igual a 30º C, e o resfriamento observado de 100º C para 70º C 
de uma certa substancia em 15 minutos, calcule em qual momento a temperatura será 
40º.Dica: fórmula a ser usada: dT/ dt = -k(T-30) 
Avalie as afirmativas abaixo: 
 
( ) O tempo é igual a 50 min 
( x ) O tempo é igual a 52 min. 
( ) O tempo é igual a 62 min. 
( ) O tempo é igual a 40 min. 
( ) O tempo é igual a 35 min. 
 
10) “Uma forma simples de observar a homogeneidade de uma função polinomial é constatar 
que todos os monômios da função têm o mesmo grau e, no caso de uma função racional 
(quociente de polinômios), todos os membros do numerador têm um mesmo grau e todos 
os membros do denominador também possuem um mesmo grau. Uma EDO que está na 
forma normal y'=f(x,y) é homogênea se a função f=f(x,y) é homogênea de grau zero.” 
Fonte: UEL. Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira ordem. Disponível em: 
http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/edo/edo1ord.htm#edo0203. Acesso em: 
08/09/2019 
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações homogêneas, 
dada a equação abaixo, determine se a mesmaé homogênea e, em caso positivo, 
determinar seu grau. 
f(x, y) = x/2y + 4 
Assinale a alternativa correta: 
 
( ) Homogênea grau 2. 
( ) Homogênea grau 3. 
( x ) Homogênea grau 0. 
( ) Homogênea grau 1 
( ) Não homogênea. 
 
Respostas 
1-B / 2-C / 3-C / 4-A / 5-D / 6-A / 7-D / 8-E / 9-B / 10-C