AOL 3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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1. Pergunta 1
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É possível calcular o determinante de qualquer matriz, desde que a mesma seja quadrada, ou seja, que o número de linhas corresponda ao número de colunas (ou seja, uma matriz de ordem n x n). Seu determinante é dado pela subtração entre o somatório do produto dos termos da diagonal principal e do somatório do produto dos termos da diagonal secundária.
Determine a matriz do teorema e a dependência linear das seguintes equações:
f1(x) = eax cos(bx) e f2(x) = eaxsen(bx). 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema Wronskiano, é correto afirmar que:
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1. 
 a matriz é [eax cos(bx)                                          eaxsen(bx)]
                       [-b eaxsen(bx) + a.eax cos(bx)       b.eax cos(bx) + a. eaxsen(bx)] 
linearmente independente.
Resposta correta
2. 
a matriz é [eax cos(bx)                                           eaxsen(bx)]
                       [eaxsen(bx) + a.eax cos(bx)            b.eax cos(bx) + sen(bx)] 
linearmente independente.
3. 
a matriz é [eax cos(bx)                                           eaxsen(bx)]
                       [-b eaxsen(bx) + a.eax sen(bx)      b.eax sen(bx) + a. eaxsen(bx)] 
linearmente independente.
4. 
a matriz é [eax cos(bx)                                           eaxsen(bx)]
                       [-b eaxcos(ax) + bx.eax cos(bx)     a.eax cos(bx) + a. eaxsen(bx)] 
linearmente independente.
5. 
a matriz é [eax cos(bx)                                           eaxsen(bx)]
                       [-b sen(bx) + a.cos(bx)                  b.eax cos(bx) + a. eaxsen(bx)] 
linearmente independente.
2. Pergunta 2
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O Wronskiano é utilizado para determinar se um conjunto de funções diferenciáveis são linearmente dependentes ou independentes, em um dado intervalo. Caso o Wronskiano seja diferente de zero em algum ponto do intervalo, as funções são linearmente independentes.
Determine a matriz do teorema e a dependência linear das seguintes equações:
f1(x) = sen2x e f2(x) = 1 – cos2x 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema Wronskiano, é correto afirmar que:
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1. 
a matriz é [sen2x,              1 – cos2x]
                       [2.senx.cosx            2.sen2x] 
linearmente dependente.
Resposta correta
2. 
a matriz é [sen2x,              1 – cos2x]
                       [sen2x.cosx              sen2x]
linearmente dependente.
3. 
a matriz é [sen2x,              1 – cos2x]
                       [senx                       cos2x]
linearmente dependente.
4. 
 matriz é [sen2x,                 1 – cos2x]
                       [cosx,                       sen2x]
linearmente independente.
5. 
a matriz é [senx.cosx,                  1 – cos2x]
                       [senx.cosx                sen2x]
linearmente independente.
3. Pergunta 3
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Dadas as equações dependentes linearmente no intervalo [0, ∞], determine qual função mantém a dependência do conjunto de funções a seguir:
f1(x) = (x)1/2 + 5
f2(x) = -1.[(x)1/2 + 5x].
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre dependência linear, é correto afirmar que:
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1. 
a função que mantém a série dependente é 5 [x -1].
Resposta correta
2. 
a função que mantém a série dependente é x – 1.
3. 
a função que mantém a série dependente é 1 – 5x2.
4. 
a função que mantém a série dependente é 5x2.
5. 
a função que mantém a série dependente é 5x.
4. Pergunta 4
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Equações diferenciais são expressões que nos dão informações sobre o comportamento da derivada de uma função. Muitas vezes é conveniente encontrar uma função cujas derivadas obedeçam à equação e também aos valores iniciais em particular.
Determine a constante de integração c que satisfaça as condições iniciais:
U’(t) = t
U(0) = 2
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre problema de valor inicial, é correto afirmar que:
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1. 
a constante c equivale a 8.
2. 
a constante c equivale a 10.
3. 
a constante c equivale a 2.
Resposta correta
4. 
a constante c equivale a -4.
5. 
a constante c equivale a 14.
5. Pergunta 5
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De uma maneira geral, podemos afirmar que a independência linear é quando nenhum elemento de um conjunto for combinação linear de outro, ou seja, pode-se afirmar que um subconjunto é linearmente dependente se, e somente se, pelo menos um elemento do conjunto é combinação linear dos demais.
Determine a matriz do teorema e a dependência linear das seguintes equações:
f1(x) = ex
f2(x) = xex
f3(x) = x2.ex
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema Wronskiano, é correto afirmar que:
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1. 
a matriz é:
[ex xex                       x2.ex                   ]
[ex xex + ex              x2.ex + 2xex         ]
[ex xex + 2ex                  x2.ex + 4xex + 2ex]
 
linearmente independente.
Resposta correta
2. 
a matriz é:
[ex xex                       ex                        ]
[ex xex + ex              x2.ex + ex              ]
[ex  + 2ex                         x2.ex + 4xex + 2ex]
 
linearmente dependente.
3. 
a matriz é:
[ex xex                       x2.ex                   ]
[ex xex                     x2.ex + 2xex         ]
[ex  + 2ex                         x2.ex + 4xex + 2ex]
 
linearmente dependente.
4. 
a matriz é:
[ex xex                       x2.ex                   ]
[ex xex + 2ex           x2.ex + 4ex           ]
[ex xex + 4ex                  x2.ex + 8xex + 2]
 
linearmente dependente.
5. 
a matriz é:
[ex                              x2.ex                   ]
[ex xex + ex              x2.ex + 2x              ]
[xex + 2ex                       x2.ex + 4xex + 2ex]
 
linearmente independente.
6. Pergunta 6
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As equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem são equações que pertencem ao grupo de equações diferenciais lineares. Tais equações são tidas como homogêneas se a função g(t) na equação y” + p(t)y’ + q(t)y = g(t) for nula, ou seja, y” + p(t)y’ + q(t)y = 0.
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equação linear homogênea, dada a função y = e2x, é correto afirmar que a equação diferencial linear homogênea que admite tal solução é:
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1. 
2y’’’ – 10y’’ + 8y’ – 5y = 0.
2. 
y’’’ – 6y = 0.
3. 
y’’’ – 6y’’ + 11y’ – 6y = 0.
Resposta correta
4. 
6y’’ + 11y’ – 6y = 0.
5. 
y’’ – 11y’ – 10y = 0.
7. Pergunta 7
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Equações diferenciais envolvem derivadas de uma função desconhecida. Já a equação Diferencial Ordinária (EDO) envolve especificamente as derivadas relativas a uma única variável independente, por vezes representando o tempo.
Ache o problema inicial dada a função:
Y = sen(4x)
Y(0) = 0
Y(π/2) = 0
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre problema de valor inicial, é correto afirmar que:
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1. 
a equação diferencial corresponde a 8y” + 16y’ = 0.
2. 
a equação diferencial corresponde a y” + 16y = 0.
Resposta correta
3. 
a equação diferencial corresponde a 16y’ + 8y = 0.
4. 
a equação diferencial corresponde a 4y” + 8y = 0.
5. 
a equação diferencial corresponde a y’ + 16y” = 0.
8. Pergunta 8
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Uma solução particular para uma equação homogênea pode ser a soma de uma função complementar com qualquer outra solução particular, como, por exemplo, a soma de uma combinação linear com qualquer outra solução particular, ou seja, o resultado pode ser dado como: y = função complementar + qualquer outra solução particular.
Dada que a solução geral para a equação não homogênea a seguir é y = c1.ex + c2.e2x + c3.e3x, por substituição, determine sua solução particular e apresente a solução geral.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre equações não homogêneas, é correto afirmar que a solução geral para y’’’ – 6y’’ + 11y’ – 6y = 0 é:
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1. 
y = c1.ex + c2.e2x + c3.e3x – 11/12 – x.
2. 
y = c1.ex + c2.e2x + c3.e3x – 10 – x.
3. 
y = c1.ex + c2.e2x + c3.e3x – 11/12 – 1/2x.
Resposta correta
4. 
y = c1.ex + c2.e2x + c3.e3x – 11 – 2x.
5. 
y = c1.ex + c2.e2x + c3.e3x – 12 – 1/2x.
9. Pergunta9
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Existem diversas formas de se classificar uma equação diferencial, como, por exemplo, a ordem da equação diferencial, que corresponde à ordem da derivada de maior grau que aparece na equação. A solução de uma equação diferencial de ordem n conterá n constantes.
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equação linear homogênea, dada a função y = e3x, é correto afirmar que a equação diferencial linear homogênea que admite tal solução é:
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1. 
igual a y” – 3y’ + y = 0.
2. 
igual a 9y” – 18y’ = 0.
3. 
igual a y” – 18y’ + 12 = 0.
4. 
igual a y” – 9y = 0.
Resposta correta
5. 
igual a x2 + 4y = 0.
10. Pergunta 10
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A solução de uma equação diferencial é uma função que não contém derivadas nem diferenciais e que satisfaz a equação dada (ou seja, a função que, substituída na equação dada, a transforma em uma identidade), ou seja, dada uma equação diferencial, uma função solução é aquela que satisfaz todas as condições da equação diferencial.
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações não homogêneas, dada a solução particular para a equação não homogênea
y = e2x, é correto afirmar que a equação não homogênea que admite tal solução é:
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1. 
y’’ – 3y’ + 4y = 2e2x.
Resposta correta
2. 
y’’ – 6y’ - 4y = 4x2.
3. 
y’’ – 6y’ + 16y = e2x.
4. 
y’’ – 3y’ + 4y = 2e.
5. 
y’’ – 3y’ = 2e6x.