Problemas de Fenômenos dos Transportes

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8ºAula
Problemas envolvendo fenômenos 
dos transportes
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
•	 compreender os procedimentos de resolução de problemas envolvendo os fenômenos dos transportes.
Nesta aula, estudaremos vários problemas de diversos 
assuntos, as aulas 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são a base para o 
entendimentos dos problemas apresentados aqui na aula 8.
Bons estudos!
60Fenômenos de transportes
Seções de estudo
1– Problemas Resolvidos 
1- Problemas Resolvidos 
Problemas de estática de fl uidos
1- Um pistão de peso cai dentro de um 
cilindro com uma velocidade constante de . O 
diâmetro do cilindro é 10,1 e o do pistão é 
. Determinar a viscosidade do lubrifi cante colocado na folga 
entre o pistão e o cilindro.
Solução
Figura – Sistema Cilindro e Pistão. Fonte: BRUNETTI, 2008, p. 6.
Pelas defi nições citadas, se for muito pequeno podemos 
considerar uma variação linear, o que implica em um cálculo 
mais simples sem envolvimento de cálculos integrais. Assim, 
calculemos considerando como o diâmetro do cilindro 
e como diâmetro interno, e dividindo a diferença entre os 
dois por dois para conseguir o valor de , distância do pistão 
com a parede do cilindro, preenchido pelo lubrifi cante:
As forças de tensão de cisalhamento são iguais ao peso 
, este é o equilíbrio dinâmico causado pela velocidade 
constante informada pelo exercício, isso signifi ca que a soma 
das forças do sistema é zero, pois a aceleração é zero com 
velocidade constante: 
Logo, as forças resistentes de tensão de cisalhamento 
 menos o peso com sentido negativo no plano cartesiano 
são iguais a zero: 
As forças são as tensões multiplicadas pela área do 
pistão, essas tensões possuem suas unidades de força ( , por 
exemplo) especifi cadas em relação à área de aplicação. Então, 
por meio da Equação 1-1:
A área total do cilindro pistão é . Acarretando em: 
Já que: 
Isto posto, a Equação 1-1 se altera para: 
Isolando a viscosidade do lubrifi cante :
Resolvendo com e os valores encontrados 
até o momento (no SI): 
Nesse caso em específi co, não há signifi cativas diferenças 
entre considerar variação de com como linear ou não. 
Mas considerando a última hipótese: 
Figura- Diagrama de movimento do pistão e ação da camada de lubrifi cante. Em 
(a), observa-se a defi nição dos parâmetros para o escorregamento de uma 
camada. E em (b), especifi ca-se a espessura e com velocidade também de 
para , desse modo os termos são interpretados por diferenciais. Fonte: 
Elaborado pelo autor.
Para o intervalo , verifi cam os 
escorregamentos de uma camada com velocidade de sentido 
negativo e espessura variando para e velocidade 
 variando para . Essas variações geram a tensão 
de cisalhamento e como exposto anteriormente, para a 
velocidade constante, as forças de tensão de cisalhamento são 
iguais ao peso: 
61
Colocando a variável para o primeiro membro, para 
o segundo membro e as integrando, respectivamente, de uma 
velocidade até o ponto em que demonstra diagrama de 
velocidades nulo e, de (diâmetro interno) à (diâmetro 
externo): 
Logo, a integração e a aplicação da propriedade de 
logaritmos para a subtração, propicia:
Ou:
Isolando e locando os devidos dados na Equação :
Esse seria o resultado correto (real), possuindo 
comparativamente uma margem de erro pequena em relação 
à variação linear de em , considerada inicialmente. 
Comprovemos abaixo, pela variação dos dois resultados em 
relação à viscosidade real e multiplicada por 100 para o erro 
ser demonstrado percentualmente: 
 
Como verificado acima, o porcentual de erro da 
linearização da velocidade é insignificante para esse caso.
2- Um tanque de ar comprimido apresenta valor igual a
Determine a massa especifica e o peso 
do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no 
tanque for igual a . Admita que a temperatura do 
ar no tanque é igual a . 
Solução
O exercício primeiramente pede o valor da massa 
específica, e para encontrá-lo, isolemos na equação dos 
gases perfeitos:
A temperatura é a temperatura absoluta, expressa em 
Kelvin. Transformemos a temperatura informada de graus 
Celsius para Kelvin: 
 
Substituindo os valores prestados pelo exercício, tomando 
a pressão absoluta como a soma da pressão atmosférica e da 
pressão relativa do ar no tanque, a temperatura em Kelvin, e 
para a constante universal dos gases 
:
 
A segunda tarefa proposta é determinar o valor do peso 
contido no tanque. E o peso é definido pela fórmula:
A massa específica é a massa por unidade de 
volume. Então, conhecido o volume , é 
preciso multiplicá por para obter a massa do sistema :
 
Obtendo com o valor de :
Com isso, quando a pressão relativa do ar no tanque for 
igual a , a massa específica e o peso do ar contido 
no tanque são e , respectivamente. 
3- Dado um cilindro que contém de ar a 
 e a , sendo o ar comprimido a 
, pede-se: (a) considerando as condições isotérmicas, qual é a 
pressão do novo volume e qual é o módulo de elasticidade 
volumétrico? (b) e considerando condições adiabáticas qual 
a pressão e a temperatura final e qual será o módulo de 
elasticidade volumétrico? 
a)
Solução
Temos que para condições isotérmicas a seguinte relação 
pressão-volume foi estabelecida:
Para , e 
, convertendo em unidades equivalentes, se 
constata:
E resolvendo, chega-se a:
Em outros termos, se refere ao módulo de elasticidade 
62Fenômenos de transportes
volumétrico , isto é, se trata da variação da pressão em 
decorrência de uma alteração no volume, conduzindo a uma 
pressão por unidade de volume diferente da inicial.
b)
Solução
Para condições adiabáticas, temos para o ar 
, logo será:
Resolvendo, a conversão de unidades simplifi cada 
anteriormente:
Porém, em condições adiabáticas, o módulo de 
elasticidade volumétrico depende do expoente adiabático, por 
consequência da ausência da troca de calor e é o responsável 
por relacionar o calor específi co a pressão constante e o calor 
específi co a volume constante.
Dito isto:
E por fi m, tem-se a temperatura fi nal:
Operando, é determinada a temperatura fi nal:
Com isso, em condições adiabáticas, obteve-se para 
esse caso a pressão de , a temperatura 
fi nal de e o módulo de elasticidade volumétrico de 
.
4- Um metro cúbico de hélio a pressão absoluta de 
 é comprimido isoentropicamente até que seu 
volume se torne igual à metade do volume inicial. Qual é o 
valor da pressão no estado fi nal? (MUNSON et al., 2004, p. 
19)
Solução
 Pela informação cedida, o processo é isoentrópico (sem 
transferência de calor), logo chegamos a seguinte relação: 
A proporção entre os estados iniciais e fi nais de pressão (
 e , respectivamente) e massa específi ca elevada a ( e 
, respectivamente) é constante. Os estados iniciais são iguais 
aos fi nais. Mas, o objetivo nesse caso, é determinar o valor 
da pressão no estado fi nal. Assim, precisamos primeiramente 
isolar :
Não foram mencionadas as massas específi cas no 
enunciado do exercício, no entanto, foram reveladas suas 
proporções por meio da informação de que o volume fi nal é 
igual à metade do inicial . Vejamos: 
 
O gás Hélio apresenta a , com 
pressão inicial de . Substituindo esses valores e 
 na Equação 1-48: 
 
Desse modo, a pressão no estado fi nal de compressão 
isentrópica é de .
5- No manômetro da fi gura, o fl uido é água 
e o fl uido , mercúrio. Qual é a pressão ? Dados: 
; .
Figura – Manômetro em U com os fl uidos A e B e as respectivas cotas. 
Fonte: Elaborado pelo autor.
Solução
No manômetro da Figura, de coluna líquida em forma de 
U, com os fl uidos A (água) e B (mercúrio), a ramifi cação da 
direita, contendo mercúrio, abre-se a atmosfera e a ramifi cação 
esquerda, contendo água, conecta-se a um reservatório. Pede-
se a pressão , para obtê-la é sufi ciente aplicar o teorema 
de Stevin, consoante à regra de sinais imposta para a escrita 
da equação das pressõesno manômetro. Da esquerda para 
a direita, emprega-se o sinal positivo para o decréscimo de 
altura e utiliza-se o sinal negativo para o acréscimo de altura, 
em relação ao fundo do manômetro. 
Aplicando a regra acima, soma-se à pressão , a pressão 
exercida pela coluna líquida de água medindo (
) de altura e subtrai-se a pressão 
exercida pela coluna líquida de mercúrio medindo (
) de altura, então:
63
Substituindo e 
:
Ou: 
Com isso, a pressão no reservatório A do manômetro 
com tubo em U, devido ao contato do mercúrio com 
a atmosfera e ao preenchimento de água à esquerda do 
manômetro, é de .
6- Um manômetro de reservatório com tubo inclinado 
é construído como mostrado. Deduza uma expressão geral 
para a deflexão do líquido, , no tubo inclinado, em termos 
da diferença de pressão aplicada, . Obtenha, também, uma 
expressão geral para a sensibilidade do manômetro.
Figura – Manômetro de tubo inclinado. Fonte: Elaborado pelo autor.
Solução
Como pode ser visualizado na Figura, um manômetro 
com tubo inclinado é conectado ao reservatório. O exemplo 
consiste em determinar em termos de e a expressão 
geral para a sensibilidade do manômetro.
A referência horizontal a ser adotada será o fluido na 
posição estática, em equilíbrio, assim deve-se considerar o 
fluido estático e incompressível. 
A pressão resultante no sistema é a pressão aplicada, 
como a diferença , subtraída da pressão 
ocasionada pela elevação líquida , portanto:
Como o volume deslocado no reservatório é igual ao 
volume elevado na coluna líquida do tubo inclinado, pode-se 
escrever:
Onde é o diâmetro do reservatório, é o 
deslocamento do líquido no reservatório, é o diâmetro do 
tubo inclinado e é a elevação do líquido no respectivo tubo.
 Com isso, é dado por:
Substituindo a Equação 1-83 na Equação 1-82:
Conforme visto na Figura 1-38, pode-se inferir:
Assim:
A dimensão inclinada pode ser obtida a evidenciando:
Observe que está em função de .
A sensibilidade é uma relação entre e a deflexão de 
um manômetro comum de tubo em U, contendo água:
Sendo , substituindo 
Como é a massa específica do fluido manométrico e 
 é a massa específica da água, a razão entre ambas pode 
ser denotada por , sendo a massa específica relativa, logo:
Como pode ser percebido na Equação anterior, quando 
for desejado aumentar a sensibilidade do manômetro, os 
parâmetros , e devem ser diminuídos. 
7- O manômetro inclinado da Figura indica que a pressão 
no tubo é . O fluido que escoa nos tubos e é 
água e o fluido manométrico apresenta densidade relataiva de 
. Qual é a pressão no tubo que corresponde à condição 
mostrada na figura.
64Fenômenos de transportes
Figura – Manômetro inclinado com água escoando em e e fl uido 
manométrico entre estes. Fonte: Elaborado pelo autor.
Solução
Sabendo que , a equação 
manométrica que descreve o manômetro inclinado da Figura 
é dada por:
Onde é o peso específi co do fl uido manométrico.
Ou, evidenciando :
A pressão em pode ser determinada substituindo 
, densidade relativa e 
, em que , logo:
Cinemática de fl uidos 
1- O tanque maior da fi gura abaixo permanece em nível 
constante. O escoamento na calha tem uma seção transversal 
quadrada e é bidimensional, obedecendo à equação 
. Sabendo que o tanque (B) tem e é totalmente 
preenchido em segundos e que o conduto circular tem 
 de diâmetro, determinar: (a) a velocidade média na 
calha quadrada; (b) a vazão no conduto circular de 
de diâmetro; (c) a velocidade máxima na seção do conduto 
circular de de diâmetro. 
Figura – Tanque maior sendo abastecido de água por meio de uma calha de 
seção quadrada, com medidas de , e distribuindo a vazão a um 
reservatório menor e ao meio externo, por meio de condutos circulares. Fonte: 
Elaborado pelo autor.
a) 
Solução 
A velocidade média é obtida por meio da Equação 
2-6:
Na calha de seção quadrada, o escoamento bidimensional 
obedece a equação . Assim, conforme a 
equação acima, desenvolve-se:
Onde e , em 
que a base é constante na função de velocidade , 
variando somente em função de .
Como a base da calha mede , é obtida a velocidade 
média:
Nessas condições, a velocidade média na seção 
corresponde somente à medida de sua base.
b) 
Solução
A vazão no conduto circular é calculada subtraindo a 
vazão (advinda da calha) da vazão (destinada ao 
tanque (B)), isto é:
A partir da velocidade média na calha, determina-se sua 
vazão por meio de:
Com e , tem-se:
O tanque (B) possui capacidade de e é totalmente 
preenchido em , com isso:
Aplicando a Equação 2-25 é encontrada a vazão do 
conduto circular de de diâmetro:
Fatores como a maior profundidade e diâmetro das 
tubulações no tanque, condicionam a magnitude da vazão.
65
c) 
Solução
Para determinar a velocidade máxima, primeiro é preciso 
conhecer o regime de escoamento no conduto. Desse modo, 
utiliza-se a relação atinente entre a velocidade máxima e a 
velocidade média. 
O regime de escoamento é determinado obtendo o 
número de Reynolds ( ) ao ser empregada a Equação 2-1:
Ou:
Com , é encontrada a velocidade no conduto 
circular de de diâmetro, substituindo nesta equação, 
 (item b) e:
Então:
Dispondo da velocidade , do 
diâmetro e da viscosidade cinemática para a 
água , é calculado o número de Reynolds 
:
Para , o escoamento é considerado 
turbulento. Nesse caso, emprega-se a relação:
 Sabendo que para a velocidade , de , são 
válidas as igualdades , e calcula-se:
Onde a velocidade média é um valor representativo em 
toda a seção. Contudo, como é visualizado acima, em um 
escoamento turbulento há uma proporcionalidade direta 
entre a velocidade média e a velocidade máxima aplicando o 
coeficiente . 
2- No escoamento incompressível através do 
dispositivo mostrado, as velocidades podem ser consideradas 
uniformes em todas as seções de entrada e de saída. As 
seguintes condições são conhecidas: , 
, , e 
 ( em segundos). Obtenha uma 
expressão para a velocidade e a vazão média total em volume 
na seção 3. Em que instante torna-se zero pela primeira 
vez?
Figura – Sistema com o escoamento de um fluido incompressível através de um 
dispositivo com três seções, nas quais o sentido do escoamento é representado 
nas seções 1 e 2. Fonte: Elaborado pelo autor.
Solução 
Segundo o princípio da conservação de massa, a soma das 
vazões é nula em um sistema com escoamento incompressível 
e permanente. Opta-se por convencionar o fluxo de entrada 
como negativo e o fluxo de saída como positivo. Como estão 
representados os sentidos de escoamento através das seções 
1 e 2, a seção 3 obrigatoriamente possui sentido contrário, 
supondo que é necessário satisfazer o princípio da conservação 
de massa. Com essas ponderações, escreve-se:
Onde , , , , e são as velocidades e as 
áreas das seções 1, 2 e 3, respectivamente. 
É exigida uma formulação para a velocidade na seção 3, 
evidenciando na Equação 2-31:
Substituindo , 
, , e 
 (com em segundos) na Equação 
5-2, resulta:
Desse modo, a equação para a velocidade na seção 3 é:
Com em e em .
A vazão média total em volume na seção 3 é calculada 
integrando a respectiva formulação para vazão, com a Equação 
2-33 e a área . Os limites de integração são 
66Fenômenos de transportes
em relação ao tempo, partindo do instante inicial e 
progredindo infi nitamente, ou seja, . Logo:
A integral imprópria é resolvida mediante:
Então, a vazão média total em volume na seção 3 é 
. 
Por fi m, representando grafi camente, é encontrado 
, em que torna-se zero pela primeira vez.
3- No escoamento laminar de um fl uido em condutos 
circulares, o diagrama de velocidades é representado pela 
equação , onde é a velocidade 
no eixo do conduto, é o raio do conduto e é um raio 
genérico para o qual a velocidade é genérica. Verifi car que 
, onde velocidade média na seção.
Solução
A velocidade média pode ser calculada pela integração 
da função de velocidade em relação à área da seção de 
escoamento, dividida pela mesmaárea, isto é:
Temos a área da seção circular como , assim 
. E a função de velocidade, para o raio do 
conduto, é . 
A partir dessas análises, deduz-se:
Portanto, a velocidade média na seção de condutos 
circulares com escoamento laminar é metade da velocidade 
máxima ( ).
Problemas: energia associada a fl uidos
1- A Figura mostra o escoamento de água numa redução. 
A pressão estática em e em são medidas com um 
manômetro em U invertido que utiliza óleo, densidade 
igual a , como fl uido manométrico. Nessas condições, 
determine a leitura no manômetro (MUNSON et al., 
2004, p. 112-113).
Figura - Manômetro invertido contendo óleo e acoplado a uma redução, na 
qual escoa água. Fonte: Elaborado pelo autor.
Solução
Reescrevendo a Equação de Bernoulli:
É necessário encontrar a diferença de pressão realizando 
as devidas substituições, com diferentes equações, para poder 
combiná-las e assim determinar . A primeira equação é 
a anterior, e podemos encontrar a diferença , a 
simplifi cando:
A equação da continuidade dita a vazão em volume 
como constante, ou seja, , substituindo 
:
Ou:
67
Além deste método, outros são possíveis, como o da 
pressão manométrica estudada no capítulo anterior em que 
cada ponto do fluido é analisado (alturas peculiares ao óleo 
e à água):
Ou:
Igualando a Equação 3-39 e a Equação 3-40:
A velocidade do fluido corresponde à razão entre a vazão 
em volume e a área da seção do ponto correspondente, então 
tendo , encontra-se a partir da Equação 3-41. 
Veja:
Ou:
Observe que a altura não é em função de , sua 
alteração não terá consequências em . No entanto, isso 
não ocorre na diferença de pressão , porque em sua 
resolução (Equação 3-3) há o termo e modificações 
em acarretam em alterações dessa diferença de cotas, 
diferente de , em que na última equação obtida (Equação 
3-42) não existe a subtração .
2- No sistema da figura, os reservatórios são de grandes 
dimensões. O reservatório alimenta o sistema com 
e o reservatório é alimentado pelo sistema com 
. A potência da bomba é e o seu rendimento, 
. Todas as tubulações têm de diâmetro e as perdas 
de carga são: ; e 
.O fluido é água . Pede-se a potência 
dissipada na instalação e a cota da seção em relação ao 
centro da bomba.
Figura - Reservatórios e pertencentes ao sistema, com cada um possuindo 
uma vazão em volume, sendo que não estão nivelados e há uma bomba permitindo 
o reservatório receber fluido. Fonte: Elaborado pelo autor.
Solução
A potência dissipada é encontrada aplicando os princípios 
fundamentais da conservação de energia no escoamento, 
tendo uma máquina (bomba) no sistema e não havendo trocas 
de calor, mas considerando perdas de carga. Então, a equação 
da continuidade quanto à vazão em volume é descrita por:
A vazão em volume de entrada é identificada por 
, e em seguida, a de saída por , pois o reservatório 
está alimentando o sistema, onde igualmente representa 
a evacuação. Assim:
De e :
Inicialmente, foi referida a equação da conservação de 
energia, sendo que a partir dela foram deduzidas expressões 
a fim de quantificar a potência dissipada (seção 3.2.3), logo 
podemos nos ater à equação final.
A potência dissipada em todo o sistema é a soma destas 
em todo o seu comprimento, ou no caso: , , 
. Dito isto:
Então:
 
Além da potência dissipada, pede-se a medida de , da 
Figura 3-8. A conservação de energia por unidade de tempo 
também inclui a energia na forma dissipada, pois há desníveis, 
uma bomba hidráulica e, portanto, energia absorvida e 
dissipada.
A equação descrita segue abaixo:
Ou:
68Fenômenos de transportes
A Equação de Bernoulli retrata a perda de carga, 
descrevendo em termos do coefi ciente de energia cinética 
, para certifi car a exatidão de entrada e saída no sistema, e em 
termos de na superfície do reservatório :
Na superfície a pressão é nula; o fl uido está estático, logo 
a velocidade também é zero; a altura do solo à superfície 
mede ; e . Com isso, a única variável restante 
é .
Em a pressão é nula e a distância ao solo também 
, isto é:
Calculando como a vazão em volume dividida pela 
área da seção:
Supondo velocidade constante :
Podemos agora obter , com , 
e 
E seguindo as mesmas condições, como fl uido 
estático e pressão superfi cial nula, resta: 
O rendimento de uma bomba é a razão entre a potência 
recebida pelo fl uido e a fornecida pela bomba. O rendimento 
é de e a potência da bomba . À vista 
disso, a potência recebida pelo fl uido é dada pela multiplicação 
entre a potência da bomba e o seu rendimento:
Finalmente, todas as variáveis pertinentes foram 
identifi cadas, e podem ser substituídas na Equação 3-45, 
restando apenas .
Assim:
Portanto, o desnível entre a bomba e a superfície 
superior do líquido no reservatório é de .
3- Supondo fl uido ideal, mostrar que os jatos de dois 
orifícios na parede de um tanque interceptam-se num mesmo 
ponto sobre um plano, que passa pela base do tanque, se o 
nível do líquido do orifício superior é igual à altura do orifício 
inferior acima da base.
Figura – Reservatório com dois orifícios, um a altura da base e outro a altura 
 da superfície livre. Fonte: Elaborado pelo autor.
Solução
Para movimentos uniformemente variados, o alcance em 
 de um lançamento oblíquo é dado por:
Onde a aceleração do objeto deve-se à aceleração da 
gravidade de modo que , assim:
Pode-se referenciar como altura inicial o início de 
cada jato, sendo a velocidade nesse instante igual a zero, 
originando e , então:
O alcance horizontal é defi nido ao empregar a expressão 
para velocidade:
Substituindo, determina-se:
69
Especificando o ponto (1) como o jato livre mais 
próximo da base e o ponto (2) como o jato livre mais próximo 
da superfície livre, chega-se a:
E:
Para a posição horizontal de referência (PHR) junto à 
superfície livre, conforme a equação no exercício anterior (
), no jato superior é desenvolvido 
, e no jato inferior, , onde é a distância 
entre os orifícios. Com e 
nas equações respectivamente, tem-se:
Sendo a posição final nas ordenadas, quando os jatos 
se interceptam, com referência a posição horizontal de origem 
de cada jato, em (1) tem-se e em (2) , com 
isso as equações tornam-se, respectivamente:
Como vemos, ( ), portanto os jatos se 
interceptam sobre o plano que passa pelo reservatório.
Problemas sobre escoamento
1- Um tanque, com volume de , contém ar 
a (absoluta) e . Em , o ar começa 
a escapar do tanque através de uma válvula com área de 
escoamento de . O ar passando através da válvula 
tem velocidade de e massa específica de 
. Determine a taxa instantânea de variação da 
massa específica do ar no tanque em . 
Dados: Um tanque de volume contendo 
ar a (absoluta) e . Em , o 
ar começa a escapar por uma válvula. O ar sai com velocidade 
 e massa específica através 
de uma área .
Figura – Volume de controle do tanque de ventilação.
 Fonte: Elaborado pelo autor.
Solução
O volume de controle determinado pelo exercício é o 
demonstrado na Figura, visualizado pela linha tracejada. A 
equação a ser utilizada para determinar a taxa de variação da 
massa específica do ar no tanque em é a equação para 
volume de controle para a conservação de massa:
Para resolver o problema deve-se considerar a 
uniformidade das propriedades no tanque, dependentes do 
tempo, e o escoamento como uniforme na seção 1. Logo, a 
massa específica pode ser colocada para fora da integral 
e a integral de volume de controle pode ser assumida como 
simplesmente :
A superfície de controle em que a massa atravessa os 
limites do volume de controle é somente a limitada pela 
região da seção e sendo considerado escoamento uniforme 
nessa mesma seção, a equação desenvolvida acima pode ser 
expressa da seguinte maneira:
O termo da Equação 4-95 é positivo devido ao 
vetor área possuir o mesmo sentido do vetor velocidade 
 do escoamento.
Para determinar a taxa de variação da massa específica do 
ar é necessário expressar , portanto:Em , tem-se:
70Fenômenos de transportes
O sinal negativo para a taxa de variação da massa 
específi ca em , , 
deve-se ao decréscimo da massa específi ca do ar no tanque. 
Com isso, concluímos que podemos utilizar a equação 
da conservação de massa para a resolução de problemas de 
escoamento em regime transiente.
2- Considere o escoamento permanente de água em 
uma junção de tubos, conforme mostrado no diagrama. 
As áreas das seções são: , e 
. O fl uido também vaza para fora do tubo 
através de um orifício em com uma vazão volumétrica 
estimada em . As velocidades médias nas seções 
 e são e , respectivamente. 
Determine a velocidade do escoamento na seção .
Figura – Escoamento em uma junção de tubos. Fonte: Elaborado pelo autor.
Solução
O volume de controle fi xo pode ser determinado pela 
região da junção. Como iremos determinar a velocidade de 
escoamento na seção , precisamos defi nir um sentido para 
o escoamento conforme os sentidos defi nidos na Figura. 
Pode-se defi nir, por exemplo, que o sentido de escoamento 
na seção é para fora, se a hipótese for incorreta, o resultado 
fi nal terá sinal negativo. 
É necessário fazer algumas considerações: escoamento 
permanente, escoamento incompressível e propriedades 
uniformes nas seções, consequentemente a equação para a 
conservação de massa se torna:
Conforme a Equação 4-97, a soma dos produtos escalares 
na superfície de controle considera a vazão volumétrica 
através das seções , , e do orifício :
O fl uxo através das seções precisa ser analisado 
individualmente, desse modo o produto escalar possui 
resultado negativo caso os vetores área e possuam 
sentidos contrários, e positivos caso os sentidos sejam os 
mesmos. Onde a normal à área é sempre traçada para fora da 
superfície de controle. Logo, resulta em:
Assim, a velocidade é defi nida por:
Substituindo , 
, , , e 
 na Equação 4-99:
Desse modo, a velocidade do escoamento através da 
seção é de , onde ao sinal negativo apenas 
denota o sentido de escoamento contrário ao inicialmente 
adotado. Nesse caso, foi adotado a velocidade saindo 
do volume de controle, contudo, o resultado válido é o 
escoamento entrando no volume de controle através da 
seção a uma velocidade de .
3- A água sai de um bocal estacionário e atinge uma placa 
plana, conforme mostrado. A água deixa o bocal a 
; a área do bocal é . Considerando que a água é 
dirigida normal à placa e que escoa totalmente ao longo da 
placa, determine a força horizontal sobre o suporte. 
Figura – Volume de Controle I ( ) (a) e Volume de Controle II ( ) (b) para a 
água atingindo uma placa plana. Fonte: Elaborado pelo autor.
Solução
Primeiramente é necessário defi nir um volume de 
controle para resolver o problema. Dentre as escolhas 
possíveis, são dispostas duas posições para o volume de 
controle na Figura. A seção de entrada do volume de 
controle pode ser considerada igual à seção do bocal, defi nida 
por . As direções de saída do escoamento ocorrem 
tangencialmente à superfície da placa, no sentido e 
. Dentre as considerações possíveis, tem-se o escoamento 
permanente, incompressível e uniforme através das fronteiras 
do volume de controle. Assim, as equações de governo são:
E:
71
Consequentemente, podem ser deduzidas as seguintes 
equações para a quantidade de movimento e de conservação 
de massa, respectivamente:
A força horizontal sobre o suporte pode ser obtida por 
meio dos dois volumes de controle apresentados na Figura. 
Considerando o Volume de Controle I ( ), as áreas da 
superfície esquerda e da direita são iguais e denotadas por 
, as reações no suporte são e , a pressão atmosférica 
 age sobre todas as superfícies de controle e o peso para 
o volume de controle é denotado por , a força de campo 
na direção . 
Sendo as forças de superfície e as forças de 
campo, podemos obtê-las na direção e . E conforme 
as ponderações anteriores, somente há força de campo na 
direção , logo . As forças de superfície em são:
Na equação acima foi considerada a distribuição da 
pressão atmosférica em ambos os sentidos de e a reação 
do jato na superfície da placa. 
A Equação 4-101 também pode ser expressa por:
E com isso, tem-se a Equação 4-100 como:
Onde a componente de na Equação 4-100 é em , 
portanto . 
Como não há escoamento nas superfícies superior e 
inferior do volume de controle, nesses locais considera-se 
. Na Figura 4-16 podemos visualizar a seção , em 
que a reação pode ser interpretada em função dela assim 
sendo:
Substituindo , , 
 e na Equação 4-102:
A reação em é contrária ao sentido de impacto do 
jato, considerado positivo.
O Volume de Controle é demonstrado na 
Figura 4-16-b. Nesse caso, apenas a esquerda do volume de 
controle possui interação direta com a pressão atmosférica. 
Denominando a reação horizontal da placa sobre o volume 
de controle como , devido ao contato do volume de 
controle com a superfície da placa, a equação da quantidade 
de movimento, Equação 4-100, é dada por:
Assim como deduzido na Equação 4-102, o sentido do 
vetor área é contrário ao de , portanto:
Logo:
Anteriormente obtivemos que , 
isto é:
A soma das forças em do jato sobre a placa, 
considerando o volume de controle , é:
A reação não surge na Equação pois esta não atua 
sobre a placa, quando são consideradas as forças atuantes 
sobre a placa, tem-se o desenvolvimento acima. Assim 
sendo, a pressão atmosférica sobre a placa para somente 
atua sobre a face direita, portanto, com sentido para esquerda, 
convencionado acima como negativo. E nessas condições, 
tem-se a reação do volume de controle sobre a placa, logo, 
 positivo.
Conforme as considerações acima, a reação é dada 
por:
A reação é determinada pela Equação 4-103, 
substituindo-a na Equação anterior, determina-se:
Para ambos os volumes de controle considerados, 
 e , é positivo, o que significa que o sentido 
inicialmente convencionado foi definido de forma correta. 
A mesma reação em , independentemente 
da escolha do volume de controle, demonstra que realizando 
72Fenômenos de transportes
as ponderações corretas, mostra-se possível a resolução do 
problema com o volume de controle julgado mais apropriado. 
Diferentes escolhas de volume de controle, possibilitam 
processos mais simplifi cados de resolução.
Problemas de transferência de calor
1) Considere uma placa plana de vidro de 
espessura e condutividade térmica 
. A superfície esquerda é 
mantida à temperatura , enquanto 
a superfície direita permanece com temperatura 
. Determine a densidade de fl uxo de 
calor que atravessa a placa de vidro.
Solução
A partir da equação de Fourier, pode-se inferir a 
densidade de fl uxo de calor para toda a placa de vidro nas 
condições expressas. 
Onde os limites de integração referem-se à variação da 
espessura da camada de vidro ( à ) e às respectivas variações 
de temperatura ( à ). Resolvendo a integração, deduz-se:
Para , , 
e , obtém-se:
Com isso, a densidade fl uxo de calor na direção ( ), 
que atravessa a placa de vidro, é de .
2) A Figura 5-9 abaixo mostra um esquema de uma 
placa de mármore de espessura e 
condutividade térmica . A 
superfície esquerda da placa é mantida à temperatura 
, enquanto a superfície direita 
permanece com temperatura . 
Determine, por meio da integração da equação de 
Fourier para a condução: (a) a densidade de fl uxo 
de calor que atravessa a placa; e (b) a distribuição de 
temperatura na placa. 
 
Figura 5-9 – Seção de uma placa de mármore, com espessura e condutividade 
térmica . Fonte: Elaborado pelo autor.
(a)
Solução
A equação diferencial de Fourier para a condução pode 
ser descrita na forma:
Onde é a densidade de fl uxo de calor através da placa, 
 é a condutividade térmica do mármore e é a 
variação diferencial da temperatura através da espessura 
da placa. 
Separando as variáveis surge:
Os limites de integração são fornecidos pelas condições 
do problema. No primeiro membro da equação acima, tem-
se aespessura da placa de mármore variando de a . 
No segundo membro dessa mesma equação, a temperatura 
 varia de uma temperatura da superfície esquerda a 
uma temperatura da superfície direita. Essa integração é 
resolvida adiante:
Como é exigida a densidade de fl uxo de calor através da 
placa ( ), evidenciando esse termo acima, defi ne-se:
Substituindo os seguintes dados fornecidos no 
enunciado: , , 
e , é encontrado :
Então, a densidade de fl uxo de calor através da placa é 
de .
(b)
Solução
A distribuição de temperatura na placa é encontrada 
com a integração indefi nida da equação de Fourier para a 
condução. 
Primeiro, evidencia-se o termo diferencial da referida 
equação:
73
Separando as variáveis:
A integração indefinida fornece uma função com 
a constante , identificada por meio de uma condição de 
contorno. Dessa maneira:
Em , a temperatura superficial é 
, o que determina a condição de contorno:
Substituindo na Equação 5-106, é elaborada a 
função de distribuição da temperatura na placa.
Contudo, são conhecidos os termos 
(item a)) e , logo:
A função é a 
distribuição de temperatura ao longo da espessura da placa. 
3) A Figura mostra um esquema de um duto cilíndrico 
de raios interno e externo . A superfície 
interna é mantida à temperatura , enquanto a 
superfície externa permanece com temperatura , 
constantes, sendo . A parede da tubulação 
é constituída por um material de condutividade 
térmica que varia linearmente com a temperatura 
segundo a função , onde e 
 são constantes. Determine o fluxo de calor por 
comprimento unitário do duto. 
Figura – Duto cilindro com condutividade térmica , raio interno e externo e 
 e temperatura interna e externa e , respectivamente. 
Fonte: Elaborado pelo autor.
Solução
A forma como processa-se a variação da temperatura na 
parede do duto é essencialmente dependente da temperatura 
interna e externa e de suas correspondentes magnitudes. 
Assim, lembremos que para :
Em que a densidade de fluxo de calor apresenta-se 
positiva, de modo que há a transferência de calor no sentido 
da superfície externa para a interna, com a tendência de 
equilibrar-se termicamente.
E para :
Nesse caso, a transferência de calor ocorre no sentido da 
superfície interna para a externa. 
Seus termos podem ser descritos como sendo 
, onde , e as variáveis podem ser separadas para 
a integração:
Como :
Integrando para a variação de a , e para a 
:
Para o segundo membro da Equação 5-108 aplica-se 
a propriedade de integração correspondente à integração 
de uma soma, onde esta é resolvida mediante a somadas 
integrações:
Onde foi empregado devido ao exercício exigir o 
fluxo de calor por comprimento unitário do tubo. 
A integração do primeiro membro da Equação 5-109 
resulta em um logaritmo natural:
74Fenômenos de transportes
Como exige-se o fl uxo de calor por unidade de 
comprimento, tem-se:
Dessa maneira, determina-se dependendo somente 
das temperaturas da superfície interna e externa das tubulações, 
de seus raios internos e externos, além das constantes e . 
4) Considere uma parede plana de espessura , 
com um eixo perpendicular às suas superfícies, 
tendo sua superfície esquerda, situada em 
, mantida à temperatura constante, enquanto 
com temperatura constante, sendo . 
A condutividade térmica varia com a temperatura 
segundo a relação , onde e 
são constantes, e a área da seção transversal decresce 
linearmente de um valor em até em 
. Considerando que a condução de calor é 
unidimensional (na direção x), determine o fl uxo de 
calor (taxa de transferência de calor).
Solução
A seção transversal da parede plana varia linearmente 
com a espessura . Então, a área longitudinal de transferência 
de calor pode ser deduzida como uma equação linear. De 
modo que o coefi ciente angular pode ser deduzido como:
Variando linearmente de em a a , sendo
 . Representando o termo independente, deduz-se 
a equação:
A derivada da Equação resulta em:
De acordo com a equação de Fourier, para
 pode-se inferir:
Realizando a separação de variáveis, surge:
temos,
Integrando o primeiro membro de a e o segundo 
membro de a , considerando as magnitudes dessas 
grandezas da superfície esquerda à direita, respectivamente:
Onde , , e .
Aplica-se a soma de integrais a integral de uma soma:
Realizando as respectivas integrações, dispõe-se:
Logo, o fl uxo de calor através da parede é dado por:
Ou ainda, invertendo o numerador e o denominador no 
logaritmo natural:
Conforme a propriedade de logaritmos, o expoente pode 
ser disposto como um coefi ciente do logaritmo, o que resulta 
em:
Simplifi cando a Equação 5-113, determina-se:
Sendo esta a taxa de transferência de calor em função da 
variação das áreas longitudinais
75
Ao fi nal desta última aula, vamos recordar sobre o 
que aprendemos até aqui.
Retomando a aula
1 – Problemas Resolvidos
Foram diversos problemas envolvendo os fenômenos 
dos transportes.
Artigo: https://nelsonreyes.com.br/Mec%20Fluidos.
pdf. 
Resolução de problemas. Disponível em: https://
www.youtube.com/h?v=SXoyuYBxzJ0&list=PL4Jsnfxm
VFTvX4vNXghLyBBEF7zWGsOx. 
Vale a pena assistir
Vale a pena
Referências
BIRD, R. B.; STEWART, W. E.; LIGHTFOOT, E. N. 
Fenômenos de Transporte. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004. 
BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos. 2. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2008. 
ÇENGEL, Y.A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos Fluidos: 
fundamentos e aplicações. São Paulo: McGraw-Hill, 2007. 
FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. 
J. Introdução à Mecânica dos Fluidos. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2011. 
GOMES, M. H. R. Apostila de Mecânica dos Fluidos. 
Disponível em: http://www.ufjf.br/engsanitariaeambiental/
fi les/2012/09/Apostila-de-Mec%C3%A2nica-dos-Fluidos.
pdf. Acesso em: 27 jan. 2018. 
HALLIDAY, D., RESNICK, R.; WALKER, J. 
Fundamentos de Física: gravitação, ondas e termodinâmica. 9. 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013.
LIVI, C. P. Fundamentos de Fenômenos de Transporte. Rio de 
Janeiro: LTC, 2004. 
MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F.; OKIISHI, T. H. 
Fundamentos da Mecânica dos Fluidos. 4. ed. São Paulo: Edgard 
Blücher, 2004. 
Minhas anotações