Lista 1 - Resoluções - Cálculo IV

Prévia do material em texto

Disciplina: Cálculo IV
Professor: Vinícius Oliveira
Lista 1 � SOLUÇÕES
1. Encontre a solução geral para a equação diferencial dada
(a)
dy
dt
= 5y
Solução:
Quando a f(t) = 0
Façamos
y(t) = Ce
∫
−p(t)dt
A solução geral é
y(t) = Ce5t
(b)
dy
dt
+ 2y = 0
Solução:
Quando a f(t) = 0
Façamos
y(t) = Ce
∫
−p(t)dt
A solução geral é
y(t) = Ce−2t
(c) 3
dy
dt
+ 13y = 4
Solução:
Dividindo a equação por 3, temos
dy
dt
+ 4y =
4
3
(1)
O fator integrante é
u(t) = e4t
Multiplicando (1) por u(t)
e4t
dy
dt
+ 4u(t)y =
4
3
e4t
1
Podemos a�rmar que,
d
dt
(e4ty) =
4
3
e4t
e4ty =
4
3
∫
e4tdt
e4ty =
1
3
e4t + C
y(t) =
1
3
+ Ce−4t
(d) t
dy
dt
+ 2y = 3
Solução:
Dividindo a equação por t, temos
dy
dt
+
2
t
y =
3
t
(2)
O fator integrante é
u(t) = e
2
∫
1
t
dt
= e2 ln tdt = eln t
2
= t2
Multiplicando (2) por u(t)
t2
dy
dt
+ 2ty = 3t
Podemos a�rmar que,
d
dt
(t2y) = 3t
t2y = 3
∫
tdt
t2y =
3
2
t2 + C
y(t) =
3
2
+ Ct−2
]
(e)
dy
dt
+ y = e3t
Solução:
O fator integrante é
u(t) = et
Multiplicando a equação por u(t)
et
dy
dt
+ ety = e4t
Podemos a�rmar que,
d
dt
(ety) = e4t
2
ety =
∫
e4tdt
ety =
e4t
4
+ C
y(t) =
e3t
4
+ Ce−t
(f)
dy
dt
= y + et
Solução:
Organizando a equação na forma linear, temos
dy
dt
− y = et (3)
O fator integrante é
u(t) = e−t
Multiplicando (3) por u(t)
e−t
dy
dt
− e−ty = ete−t
Podemos a�rmar que,
d
dt
(e−ty) = 1
e−ty =
∫
tdt
e−ty = t+ C
y(t) = (t+ C)et
(g) y′ + 3t2y = t2
Solução:
O fator integrante é
u(t) = et
3
Multiplicando a equação por u(t)
et
3
y′ + 3t2et
3
y = t2et
3
Logo,
d
dt
(et
3
y) = t2et
3
dt
et
3
y =
∫
t2et
3
dt
3
Resolvendo por mudança de variável
u = t3 du = 2t2dt→ 1
3t2
du = dt
temos,
et
3
y =
1
3
et
3
+ C
y(t) =
1
3
+ Ce−t
3
(h) y′ + 2xy = x3
Solução:
O fator integrante é
u(x) = ex
2
Multiplicando pelo fator integrante
ex
2
y′ + 2xex
2
y = x3ex
2
d
dt
(ex
2
y) = x3ex
2
ex
2
y =
∫
x3ex
2
dx (4)
Aplicando mudança de variável em (4)
u = x2
du = 2xdx→ 1
2x
du = dx
temos∫
xueu
1
2x
du
1
2
∫
ueudu (5)
Aplicando integral por partes em (5)
a = u dv = eudu
da = du v = eu
temos
1
2
∫
ueudu =
1
2
ueu − 1
2
eu + C
Voltando a variável “x” e de (4)
ex
2
y =
1
2
x2ex
2 − 1
2
ex
2
+ C
y(x) =
x2
2
− 1
2
+ Ce−x
2
4
(i) x2y′ + xy = 1
Solução:
Dividindo a equação por x2
y′ +
1
x
y =
1
x2
(6)
Para encontrar o fator integrante, façamos
u(x) = e
∫
1
x
dx
= elnx = x
Multiplicando (6) por u(t)
xy′ + y =
1
x
d
dx
(xy) =
1
x
xy =
∫
1
x
dx
xy = lnx+ C
y(x) = (ln x+ C)x−1
(j) y′ = 2y + t2 + 5
Solução:
Organizando a equação
y′ − 2y = t2 + 5 (7)
O fator integrante é
u(t) = e−2t
Multiplicando (7) por u(t)
e−2ty′ − 2e−2ty = t2e−2t + 5e−2t
d
dt
(e−2ty) = t2e−2t + 5e−2t
e−2ty =
∫
(t2e−2t + 5e−2t)dt
e−2ty =
∫
t2e−2tdt+ 5
∫
e−2tdt
e−2ty =
∫
t2e−2tdt︸ ︷︷ ︸+5
∫
e−2tdt︸ ︷︷ ︸
(I) (II)
Resolvendo (II), temos
5
∫
e−2tdt = −5
2
e−2t + C
5
Resolvendo (I) aplicando integração por partes
u = t2 dv = e−2tdt
du = 2tdt v = −1
2
e−2t
temos
∫
t2e−2tdt = −1
2
t2e−2t +
∫
te−2tdt︸ ︷︷ ︸
(III)
Resolvendo (III) utilizando integração por partes
x = t dz = e−2tdt
dx = dt z = −1
2
e−2t
temos
∫
te−2tdt = −1
2
te−2t +
1
2
∫
e−2tdt∫
te−2tdt = −1
2
te−2t − 1
4
e−2t + C
logo (I) é ∫
t2e−2tdt = −1
2
t2e−2t − 1
2
te−2t − 1
4
e−2t + C
Concluímos que
e−2ty = −1
2
t2e−2t − 1
2
te−2t − 1
4
e−2t − 5
2
e−2t + C
y(t) = −1
2
t2 − 1
2
t− 11
4
+ Ce2t
(k) (x+ 4y2)dy + 2ydx
Solução:
Derivando a equação em y, temos
x+ 4y2 + 2y
dx
dy
= 0
2y
dx
dy
+ x = −4y2 (8)
Dividindo (8) por 2y
dx
dy
+
1
2y
x = −2y (9)
O fator integrante é
u(y) = e
1
2
∫
1
y
dy
= e
1
2
ln y
= eln
√
y =
√
y
6
Multiplicando (9) por u(y)
√
y
dx
dy
+
1
2y
√
yx = −2y√y
√
y
dx
dy
+
1
2y · y− 12
x = −2y · y
1
2
√
y
dx
dy
+
1
2
√
y
x = −2y
3
2
Podemos concluir que
d
dy
(
√
yx) = −2y
3
2
√
yx = −2
∫
y
3
2
√
yx = −4
5
y
5
2 + C
x(y) = −4
5
y2 +
C
√
y
(l)
dx
dy
= x+ y
Solução:
Organizando a equação, temos
dx
dy
− x = y
O fator integrante é
u(y) = e−y
Multiplicando a equação por u(y)
e−y
dx
dy
− e−yx = ye−y
d
dy
(e−yx) = ye−y
e−yx =
∫
ye−ydy
Resolvendo por integral por partes
u = y dv = e−ydt
du = dy v = −e−y ∫
ye−ydy = −ye−y − e−y + C
e−yx = −ye−y − e−y + C
x(y) = −y − 1 + Cey
7
(m) tdy = (t sen t− y)dt
Solução:
Derivando a equação em relação a t
t
dy
dt
= t sen t− y
t
dy
dt
+ y = t sen t
Dividindo por t
dy
dt
+
1
t
y = sen t (10)
O fator integrante é
u(t) = t
Multiplicando (10) por u(t)
t
dy
dt
+ y = t sen t
d
dt
(ty) = t sen t
ty =
∫
t sen tdt
Resolvendo por integral por partes
u = t dv = sen tdt
du = dt v = − cos t ∫
t sen tdt = −t cos t+ sen t+ C
Concluímos
ty = −t cos t+ sen t+ C
y(t) = − cos t+ t−t sen t+ Ct−1
(n) (1 + x2)dy + (xy + x3 + x)dx = 0
Solução:
Derivando a equação em x
(1 + x2)
dy
dx
+ xy + x3 + x = 0
(1 + x2)
dy
dx
+ xy = −x(x2 + 1)
Dividindo por (1 + x2)
dy
dx
+
x
1 + x2
y = −x (11)
8
Para encontrar o fator integrante façamos
u(x) = e
∫
x
1 + x2
dx
Resolvendo a integral por substituição
u = 1 + x2 du = 2xdx→ du = xdx
1
2
∫
1
u
du =
1
2
lnu
Voltando a variável “x” ∫
x
1 + x2
dx =
1
2
ln(1 + x2)
Logo,
u(x) = e
∫
x
1 + x2
dx
= e
1
2
ln(1+x2) = eln
√
1+x2 =
√
1 + x2
Multiplicando (11) por u(x)
√
1 + x2
dy
dx
+
x
1 + x2
√
1 + x2y = −x
√
1 + x2
√
1 + x2
dy
dx
+
x√
1 + x2
y = −x
√
1 + x2
Podemos concluir que
d
dx
(
√
1 + x2y) = −x
√
1 + x2
√
1 + x2y = −
∫
x
√
1 + x2dx
resolvendo por substituição
u = 1 + x2
du = 2xdx→ 1
2x
du = dx temos
1
2
∫ √
udu =
1
3
u
3
2 + C
Voltando a variável �x�
−
∫
x
√
1 + x2dx = −1
3
(1 + x2)
3
2 + C
Portanto,
√
1 + x2y = −1
3
(1 + x2)
3
2 + C
y(x) = −1
3
(1 + x2) +
C√
1 + x2
9
(o) (1 + et)
dy
dt
+ ety = 0
Solução:
Temos
dy
dt
+
et
(1 + et)
y = 0
Quando a f(t) = 0
Façamos
u(t) = Ce
∫
et
(1 + et)
dt
= eln(1+e
t) = 1 + et
A solução geral é
y(t) = Ce−(1+e
t)
(p) (1− t3)dy
dt
= 3t2y
Solução:
Dividindo a equação pelo termo que acompanha a derivada, temos
dy
dt
=
3t2
1− t3
y
dy
dt
− 3t
2
1− t3
y = 0
Como f(t) nulo Façamos
u(t) = Ce
−3
∫
t2
1− t3
dt
=
Resolvendo a integral por substituição
u = 1− t3
du = −3t2dt
−3
∫
t2
u
1
−3t2
du =
∫
1
u
du = lnu
Voltando a variável t
−3
∫
t2
1− t3
dt = ln(1− t3)
O fator integrante é
u(t) = eln(1−t
3) = 1− t3
Portanto, a solução geral é
y(t) = C(1− t3)−1
10
(q) cosx
dy
dx
+ y senx = 1
Solução:
dy
dx
+ y tg x = secx (12)
Para encontrar o fator integrante, façamos
u(x) = e
∫
tg xdx
= e− ln cosx = eln cosx
−1
= eln secx = secx
Multiplicando (12) por u(x)
secx
dy
dx
+ y secx tg x = sec2 x
Podemos a�rmar que
d
dx
(y secx) = sec2 x
y secx =
∫
sec2 xdx
y secx = tg x+ C
A equação geral da equação dada é
y(x) = (tg x+ C) cosx
(r)
dy
dt
+ y cotg t = 2 cos t
Solução:
O fator integrante é
u(t) = e
∫
cotg xdx
= eln sen t = sen t
Multiplicando a equação dada pelo fator u(t)
sen t
dy
dt
+ y cotg t sen t = 2 cos t sen t
sen t
dy
dt
+ y cos t = 2 cos t sen t
Podemos a�rmar que
d
dt
(y cos t) = 2 cos t sen t
Lembrando da soma de dois arcos
sen 2u = 2 senu cosu
d
dt
(y cos t) = sen 2t
11
d
dt
(y cos t) = sen 2t
y cos t =
∫
sen 2tdt
y cos t = −1
2
cos 2t
A solução geral é
y(t) =
(
−1
2
cos 2t+ C
)
sen t−1
(s) t
dy
dt
+ 4t = t3 − t
Solução:
Temos
t
dy
dt
+ 4t = t(t2 − 1)
Dividindo a equação por t
dy
dt
+
4
t
y = t2 − 1 (13)
O fator integrante é
u(t) = e
4
∫
1
t
dt
= e4 ln t = eln t
4
= t4
Multiplicando (13) pelo fator integrante
t4
dy
dt
+ 4t3y = t6 − t4
Temos
d
dt
(t4y) = t6 − t4
t4y =
∫
(t6 − t4)dt
t4y =
1
7
t7 − 1
5
t5 + C
y(t) =
1
7
t3 − 1
5
t+ Ct−4
(t) x2y′ + x(x+ 2)y = ex
Solução:
Dividindo a equação por x2
y′ +
(x+ 2)
x
y =
ex
x2
(14)
O fator integrante é
u(x) = e
∫
(x+ 2)
x
dx
= ex+lnx
2
= exelnx
2
= exx2
12
Multiplicando (14) por u(x)
exx2y′ +
x+ 2
x
exx2y =
ex
x2
exx2
exx2y′+ (x+ 2)exxy = e2x
d
dx
(exx2y) = e2x
exx2y =
∫
e2xdx
exx2y =
1
2
e2x + C
y(x) =
1
2
exx−2 + C(exx2)−1
(u) xy′ + (1 + x)y = e−x sen 2x
Solução:
dividindo a equação por x
y′ +
(1 + x)
x
y =
1
x
e−x sen 2x (15)
O fator integrante é
u(x) = e
∫
(1 + x)
x
dx
= elnx+x = elnxex = xex
Multiplicando (15) por u(x)
xexy′ + (1 + x)exy = sen 2x
d
dx
(xexy) = sen 2x
xexy =
∫
sen 2xdx
xexy = −1
2
cos 2x+ C
y(x) = −1
2
(exx)−1 cos 2x+ C(exx)−1
(v)
dy
dt
+ y =
1− e−2t
et + e−t
Solução:
Fator integrante é
u(t) = et
13
Multiplicando a equação por u(t)
et
dy
dt
+ ety =
et − e−t
et + e−t
Pode-se a�rmar que
d
dt
(ety) =
et − e−t
et + e−t
ety =
∫
et − e−t
et + e−t
dt (16)
Aplicando mudança de variável
u = et + e−t
du = (et − e−t)dt→ 1
et−e−tdu = dt∫
1
u
du = lnu+ C
Concluímos de (16)
ety = ln(et + e−t) + C
A solução geral é
y(t) = (ln(et + e−t) + C)e−t
(w)
dy
dt
− y = senh t
Solução:
O fator integrante é
u(t) = e−t
Multiplicando a equação pelo fator integrante
e−t
dy
dt
− e−ty = e−t senh t
temos,
d
dt
(e−ty) = e−t senh t
e−ty =
∫
e−t senh tdt
Substituindo senh t por
et − e−t
2
e−ty =
∫
e−t
et − e−t
2
dt
e−ty =
∫
1− e−2t
2
dt
e−ty =
1
2
t+
1
4
e−2t + C
14
A solução geral é
y(t) =
1
2
tet +
1
4
e−t + Cet
(x) t
dy
dt
− 2y = t4
Solução:
Dividindo a equação por t
dy
dt
− 2
t
y = t3 (17)
O fator integrante é
u(t) = e
−2
∫
1
t
dt
= e−2 ln t = eln t
−2
= t−2
Multiplicando (17) por u(t)
t−2
dy
dt
− 2
t
t−2y = t
t−2
dy
dt
− 2t−3y = t
d
dt
(t−2y) = t
t−2y =
∫
tdt
t−2y =
1
2
t2 + C
A solução geral da equação diferencial dada é
y(t) =
1
2
t4 + Ct2
15
2. Resolva a equação diferencial dada sujeita a condição inicial indicada
(a) y′ + 5y = 20, y(0) = 2
Solução:
Temos
u(t) = e5t
Multiplicando a equação por u(t)
e5ty′ + 5e5ty = 20e5t
d
dt
(e5ty) = 20e5t
e5ty = 20
∫
e5tdt
e5ty = 4e5t + C
y(t) = 4 + Ce−5t (18)
Aplicando o valor inicial para t = 0 e y = 0
y(0) = 4 + Ce−5·0
2 = 4 + C
C = −2
Substituindo em (18)
y(t) = 4− 2e−5t
É solução do P.V.I.
(b) y′ = 2y + t(e3t − e2t), y(0) = 2
Solução:
Organizando a equação no formato linear
y′ − 2y = t(e3t − e2t) (19)
u(t) = e−2t
Multiplicando (19) por u(t)
e−2ty′ − 2e−2ty = t(e3t − e2t)e−2t
d
dt
(e−2ty) = tet − t
e−2ty =
∫
tet − tdt
16
e−2ty =
∫
tetdt︸ ︷︷ ︸−
∫
tdt (20)
(∗)
Resolvendo por integração por partes em (∗)
u = t dv = etdt
du = dt v = et ∫
tetdt = tet − et + C
Substituindo em (20)
e−2ty = tet − et − 1
2
t2 + C
y(t) =
(
tet − et − 1
2
t2 + C
)
e2t (21)
Para encontrar a solução, substituímos em (21) y(0) = 2
y(0) = y(0) = (0e0 − e0 − 1
2
02 + C)e2·0
2 = −1 + C → C = 3
Substituindo o valor encontrado de C em (21)
y(t) =
(
tet − et − 1
2
t2 + 3
)
e2 t
É solução do P.V.I.
(c) L
di
dt
+Ri = E, L,R,E constantes, i(0) = i0
Solução:
Dividindo a equação por L
di
dt
+
R
L
i =
E
L
(22)
u(t) = e
R
L
t
Multiplicando (22) pelo fator integrante u(t)
e
R
L
tdi
dt
+
R
L
e
R
L
ti =
E
L
e
R
L
t
temos
d
dt
(e
R
L
ti) =
E
L
e
R
L
t
e
R
L
ti =
E
L
∫
e
R
L
tdt
e
R
L
ti =
E
R
e
R
L
t + C
i(t) =
E
R
+ Ce−
R
L
t (23)
17
Aplicando em i(0) = i0
i(0) =
E
R
+ Ce−
R
L
·0
i0 =
E
R
+ C → C = i0 −
E
R
Substituindo em (23) A solução do P.V.I será
i(t) =
E
R
+
(
i0 −
E
R
)
e−
R
L
t
(d) t
dy
dt
− y = 2t2, y(1) = 5
Solução:
temos
dy
dt
− 1
t
y = 2t (24)
O fator integrante é
u(t) = e
−
∫
1
t
dt
= e− ln t = eln t
−1
= t−1
Multiplicando (24) por u(t)
t−1
dy
dt
− t−2y = 2
d
dt
(t−1y) = 2
t−1y = 2
∫
dt
y(t) = (2t+ C)t (25)
Substituindo na solução geral (25), y(1) = 5, obtemos
y(1) = (2 · 1 + C) · 1
y(5) = 2 + C → C = 3
Portanto, a solução do P.V.I é
y(t) = (2t+ 3)t
(e) y′ + y tg t = cos2 t, y(0) = −1
Solução:
u(t) = e
∫
tg tdt
= e− ln cos t = eln cos t
−1
= sec t
18
Multiplicando a equação por u(t)
sec t · y′ + y sec t tg t = cos t
d
dt
(sec t · y) = cos t
sec t · y = sen t+ C
y(t) = (sen t+ C) cos t (26)
Aplicando no ponto y(0) = −1 em (26)
y(0) = (sen 0 + C) cos 0
C = −1
A solução será
y(t) = (sen t− 1) cos t
(f)
dT
dt
= k(T − 50), K constante T (0) = 200
Solução:
Temos
dT
dt
= kT − 50k
dT
dt
− kT = −50k (27)
O fator integrante é
u(t) = e−kt
Multiplicando (27) por u(t)
e−kt
dT
dt
− ke−ktT = −50k
d
dt
(e−ktT ) = −50ke−kt
e−ktT = −50k
∫
e−ktdt
e−ktT = 50e−kt + C
T (t) = 50 + Cekt (28)
Substituindo em (28), T (0) = 200
T (0) = 50 + Cek·0
200 = 50 + C → C = 150
19
A solução do P.V.I é
T (t) = 50 + 150ekt
(g) xdy + (xy + 2y − 2e−x)dx = 0, y(1) = 0
Solução:
Derivando a equação em x
x
dy
dx
+ xy + 2y − 2e−x = 0
Organizando na forma linear
x
dy
dx
+ (x+ 2)y = 2e−x
Dividindo a equação por x
dy
dx
+
(x+ 2)
x
y =
2
x
e−x (29)
Para encontrar o fator integrante, façamos
u(x) = e
∫
(x+ 2)
x
dx
= ex+2 lnx = exelnx
2
= exx2
Multiplicando (29) por u(x)
exx2
dy
dx
+ (x+ 2)exx2y = 2x
d
dx
(exx2y) = 2x
exx2y = 2
∫
xdx
exx2y = x2 + C
y(x) = e−x + C(e−xx−2) (30)
Substituindo em (30) x = 1 e y = 0
y(0) = e−1 + Ce−11−1
0 = e−1 + Ce−1
C = −1
A solução será
y(x) = e−x − (exx2)−1
20
(h) ty′ + y = et, y(1) = 2
Solução:
Como o fator integrante é
u(t) = t
Podemos concluir que
d
dt
(ty) = et
ty =
∫
etdt
ty = et + C
y(t) = (et + C)t−1 (31)
Substituindo y(1) = 2 em (31)
y(1) = (e1 + C) · 1−1
2 = e+ C → C = 2− e
Portanto,
y(t) = (et + 2− e)t−1
É solução do P.V.I.
(i) x(x− 2)y′ + 2y = 0, y(3) = 6
Solução:
x(x− 2)y′ = −2y
y′ = − 2
x(x− 2)
y
1
y
y′ =
−2
x(x− 2)
Estamos diante de uma equação exata, logo∫
1
y
dy =
∫
−2
x(x− 2)
dx
ln y =
∫
−2 + x− x
x(x− 2)
dx
ln y =
∫
−2 + x
x(x− 2)
dx−
∫
x
x(x− 2)
dx
ln y = lnx− ln(x− 2) + C
eln y = elnx−ln(x−2)+C
y(x) = elnxeln(x−2)
−1
eC
21
y(x) = x(x− 2)−1C (32)
Aplicando y(3) = 6 em (32)
y(3) = 3(3− 2)−1C
6 = 3C → C = 2
A solução do P.V.I é
y(x) = 2x(x− 2)−1
(j) sen t
dy
dt
+ y cos t = 0, y
(
−π
2
)
= 1
Solução:
Temos
sen t
dy
dt
= −y cos t(
1
y
)
dy
dt
= − cotg t∫
1
y
dy = −
∫
cotg tdt
ln y = − ln sen t+ C
eln y = e− ln sen t+C
y = eln sen t
−1
eC
y(t) =
C
sen t
Aplicando em y
(
−π
2
)
= 1
y(t) =
C
sen t
y
(
−π
2
)
=
1
sen
(
−π
2
)
1 = −C → C = −1
A solução do P.V.I. é
y(t) = − 1
sen t
(k) y′ +
1
t
y = 1, y(5) = 2
Solução:
u(t) = t
22
Multiplicando a equação dada pelo fator integrante
ty′ + y = t
d
dt
(ty) = t
ty =
∫
tdt
ty =
1
2
t2 + C
y(t) =
1
2
t+
1
t
C
Substituindo y(5) = 2 na equação acima
y(5) =
1
2
5 +
1
5
C
2 =
5
2
+
1
5
C
1
5
C = −1
2
C = −5
2
Portanto, a solução será
y(t) =
t
2
− 5
2t
23