Winterle - 2000 - Vetores e Geometria Analítica-120

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224 Vetores e Geometria Analítica 
o elipsóide, as equações serão obtidas das correspondentes fort:D;<l-S canónicas· substituindo-
se x por x - h, y por y - k e z por z - 1. 
Superfícies Cilíndricas 
Seja C uma curva plana e ruma reta fixa não-paralela ao plano de C. 
Superfície cilíndrica é a superfície gerada 
por uma reta g que se move paralelamente à reta 
fixa _r em contato pen:nanente com a curva plana C. 
A reta g que se move é denominada geratriz 
e a curva C é a diretriz da superfície cilíndrica 
(Figura 9.15). 
Esta superfície pode ser· vista como um con-
junto de infinitas retas paralelas que são as infini-
tas posições da geratriz. 
Em nosso estudo consideraremos ape:r:ias 
superfícies cilíndricas cuja diretriz é uma curva 
que se encontra num dos planos coordenados e a 
geratriz é uma reta paralela ao eixo perpendicular 
ao plano da diretriz. 
Para exemplificar, consideremos a parábola 
no plano xy dada por 
X 
2= 2y (11) 
(na verdade a parábola tem equações: x 2= 2y, z = O). 
Como a geratriz é uma reta paralela ao eixo Oz, a su-
perfície cilíndrica está ao longo deste eixo (Figura 9.16). 
É importante observar que se tomarmos um ponto da 
diretriz, por exemplo A(2, 2, O), todo ponto do tipo (2, 2, z), 
para z real qualquer, também satisfaz a equação ( 11) pois 
esta pode ser vista como x 2= 2y +0z. Em outras palavras, a x 
superfície contém o ponto A e toda reta por A e paralela ao eixo 
Figura 9 .. 15 
r 
Oz. Significa dizer: o valor de z não influi no fato de um ponto Figura 9· 16 
P(x, y, z) pertencer ou não à superfície. Então, como para o ponto só interessam as variáveis x e 
y, a própria equação da diretriz é a equação da superfície cilíndrica, isto é, 
x 2=2y 
A ausência da variável z para este caso permite concluir de modo geral: o gráfico em 
três dimensões de uma equação que não apresenta uma determinada variável, corresponde 
a uma superfície cilíndrica ao longo do eixo desta variável ausente. E, ainda, conforme a 
diretriz seja uma circunferência, elipse, hipérbole ou parábola, a superfície cilindrica é 
Cap. 9 Superfícies quádricas 225 
chamada circular, elíptica,· hiperbólica ou parabólica. 
Portanto, a Figura 9.16 apresenta uma superfície cilíndrica 
parabólica ao longo do eixo Oz. 
Assim também, a equação 
x2 z2 
-+-=1 
4 9 
representa uma superfície cilíndrica elíptica (a diretriz é 
uma elipse) ao longo do eixo Oy (y é a variável ausente) 
(Figura 9.17). 
Problemas Propostos 
z 
Figura 9.t7 
1) Determinar uma equação das superfícies esféricas nas condições dadas. 
a) Centro C(2, -3, 1) e raio 4. 
b) Centro C(4, -1, -2) e passando por P(2, 3, -1). 
c) O segmento de extremos A(-1, 3, -5) e B(5, -1, -3) é um de seus diâmetros. 
d) Centro C(-2, 3, 4) e tangente ao eixo Oz. 
e) Centro C(0, -4, 3) e tangente ao plano 1t: x + 2y- 2z - 2 = O 
2) Determinar uma equação da superfície esférica de centro C(2, -3, 4) e 
a) tangente ao plano xOy . 
b) tangente ao plano xOz 
c) tangente ao plano yOz 
3) Obter uma equação geral do plano tangente à superfície esférica E no ponto P. 
a) E: x 2+ y2+ z2= 9, P(2, 1, -2) 
b) E: (x - 3)2+ (y + 1)2+ (z - 2)2= 12, P(l, -3, 4) 
c) E: x2+ y2+z2-4x +2y-6z -11 = O, P(2, -5, 6) 
4) Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada lima das curvas dadas 
em torno do eixo indicado. 
x2 2 
a) 4 +~6 =1,z=0;eixomaior. f) y=4x
2,z=0;eixoOy. 
x2 2 
b) -+L = 1, z = O; eixo menor. 
4 16 
c) x 2 +y 2 =9,z=0;eixoOx. 
z2 
d) - - y2 = 1, x = O; eixo Oy. 
4 
z2 
e) - - y2 = 1, x = O; eixo Oz. 
4 
g) z = -2y2 , x = O; eixo Oz. 
ti) z = 2y , x = 0;eixo Oz. 
i) z = 2y, x = O; eixo Oy. 
j) y = x , z = O; eixo Oy.