ANALISE MATEMATICA AULA I

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1Na matemática, toda e qualquer afirmação precisa ser provada a partir de fatos considerados válidos ou verdadeiros. Uma vez provada a afirmação, ela vale para sempre. Basicamente existem três tipos de provas matemáticas. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta os três tipos de provas:
A
Prova direta, prova por comparação e prova por absurdo.
B
Prova direta, prova por indução e prova por absurdo.
C
Prova indireta, prova por indução e prova por comparação.
D
Prova concreta, prova por comparação e prova por contradição.
2Muitas vezes pensamos que a Análise Matemática procura provar fatos que intuitivamente parecem ser bastante simples. É claro que a matemática que conhecemos hoje é fruto de uma grande quantidade de anos, onde estudos foram cada vez mais aperfeiçoados, sendo que, hoje ainda existem problemas matemáticos ainda não resolvidos. Logo, partindo de um fato simples, a multiplicação de números naturais, analise as sentenças que são provadas matematicamente:
I- Dados três números naturais m, n e p, m . (n + p) = m . n + m . p.
II- Dados três números naturais m, n e p, m . (n . p) = (m . n) . p.
III- Sejam m, n, temos que m . n = m . (-n).
IV- Seja m natural, temos que m é sucessor de algum número.
Assinale a alternativa CORRETA:
A
Somente a sentença I está correta.
B
As sentenças II e III estão corretas.
C
As sentenças I e II estão corretas.
D
As sentenças I, II e IV estão corretas.
3Normalmente, o ato de somar nos remete a um processo simples. Contudo, na analise matemática, podem ser provadas várias propriedades da adição dos números naturais. Estas provas podem ser feitas por indução, e não são tão simples quanto o usual ato de somar números. Sobre as propriedades da adição dos números naturais, analise as opções a seguir:
I- Comutatividade.
II- Associatividade.
III- Elemento inverso.
IV- Lei do corte.
Assinale a alternativa CORRETA:
A
As sentenças I, II e IV estão corretas.
B
As sentenças I e III estão corretas.
C
As sentenças II e III estão corretas.
D
As sentenças III e IV estão corretas.
4
A desigualdade n2 > n + 1 é falsa para n = 1, porém para n  2 logo têm-se que 4 >3, em que se verifica que é uma afirmação verdadeira. Baseando nesta afirmação, qual será a prova real de n2 > n + 1, n ≥ 2?
A
A afirmação é verdadeira para n = k ≥ 2, porque ao se substituir k por 2 chega-se a desigualdade 3 > 4.
B
A afirmação é falsa para n = k ≥ 2, porque ao se substituir k por 2 chega-se a desigualdade 4 > 3.
C
A afirmação é verdadeira para n = k ≥ 2, porque ao se substituir k por 2 chega-se a desigualdade 4 > 3.
D
A afirmação é verdadeira para n = k ≥ 2, porque ao se substituir k por 2 chega-se a desigualdade 1 > 2.
5Durante o aprendizado em matemática, e em particular no estudo da analise matemática, é necessário construir os raciocínios ligados aos métodos de transformação. A parte mais importante e mais complicada talvez seja o processo de decidir qual estratégia será utilizada para demonstrar certo teorema, propriedade ou proposição.
Baseado nisto, para mostrar que a soma 1 + 3 + 5 + ... + 2n -1 = n² para todo n natural, o tipo mais aconselhado de demonstração a ser utilizado é a por:
A
Contradição.
B
Absurdo.
C
Indução.
D
Prova Direta.
6Um dos mais icônicos escritos da matemática do século XIX foi o famoso Formulaire de Mathematiques, de Giuseppe Peano.
Nele Peano, matemático italiano, formulou os famosos axiomas dos números naturais. Ferramenta que desenvolveu fortemente a Análise Matemática. São eles:
• Zero é um número.
• Se a é um número, o sucessor de a é um número.
• Zero não é o sucessor de um número.
• Dois números cujos sucessores são iguais são eles próprios iguais.
• Se um conjunto S de números contém o zero e também o sucessor de todo número de S, então todo número está em S.
Baseado nisto, assinale a opção de uma proposição que pode ser provada a partir do uso destes axiomas:
A
Sejam m, n e p três números naturais quaisquer. Então (m + n) + p = m + (n + p).
B
Seja X um conjunto finito e Y um subconjunto de X. Então Y também é finito e possui no máximo o mesmo número de elementos de X.
C
Raiz de 2 é um número irracional.
D
Todo subconjunto dos números naturais é enumerável.
7Existem alguns métodos de demonstração conhecidos. Porém, os mais importantes da matemática são os métodos da indução, a demonstração direta e a redução ao absurdo. Baseado nestes casos, assinale a alternativa CORRETA que pode ser provada pelo método da indução:
A
Prove que 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n² para todo número natural n.
B
Teorema de Tales.
C
Para todo número real a não nulo, temos que a . 0 = 0.
D
Se m é um número inteiro e m² é um número par, então m também é um número par.
8Em matemática, uma prova é uma demonstração de que, dados certos axiomas, algum enunciado de interesse é necessariamente verdadeiro. Utiliza como base premissas intrínsecas a um modelo conceitual e um silogismo que, a partir de uma série de operações, chega ao resultado. Historicamente, a matemática foi construída através de demonstrações que constituíram os alicerces até hoje conhecidos. A figura anexa faz a alusão a um dos teoremas mais intrigantes de todos os tempos, o famoso Último Teorema de Fermat. Ele, apesar de ter sido enunciado no século XVII, apenas há poucas décadas, através do matemático Andrew Willes, conseguiu ser demonstrado.
FONTE DA IMAGEM: Disponível em: . Acesso em: 24 jul. 2018.
A
Indução, absurdo e demonstração direta.
B
Demonstração direta, indução e absurdo.
C
Indução, demonstração direta e absurdo.
D
Absurdo, demonstração direta e indução.
9Existem alguns métodos de demonstração conhecidos. No entanto, os mais importantes da matemática são os métodos da indução, a demonstração direta e a redução ao absurdo. Sobre a sentença que pode ser provada pelo método da demonstração direta, assinale a alternativa CORRETA:
A
Se m é um número inteiro e m² é um número par, então m também é um número par.
B
Prove que 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n² para todo número natural n.
C
Para todo número real a não nulo, temos que a . 0 = 0.
D
Teorema de Tales.
10O conjunto IN = {1, 2, 3, 4, ...} é usado para contagens. De tão natural, IN é chamado de conjunto dos números naturais, o primeiro conjunto numérico que aparece na história de qualquer civilização ou em qualquer tratado sobre os fundamentos da Matemática. Quanto à característica dos números naturais:
I- Um dos axiomas de Peano é justamente o princípio da indução, já visto por nós como método de demonstração.
II- A adição de números naturais e a multiplicação de números naturais podem ser definidas a partir do conceito de número inteiro.
III- O Princípio da Boa Ordenação nos garante que qualquer subconjunto não vazio dos números naturais possui um elemento mínimo.
IV- O mesmo Princípio da Boa Ordenação tem como consequência imediata o Primeiro Princípio da Indução, que é uma boa ferramenta matemática a ser utilizada em demonstrações.
Assinale a alternativa CORRETA:
A
As sentenças I, II e IV estão corretas.
B
As sentenças I e IV estão corretas.
C
As sentenças II e III estão corretas.
D
As sentenças I e III estão corretas.