Equações diferenciais lineares de 2 ord_v2 (1)

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Equações diferenciais lineares de 2ª ordem de coeficientes constantes 
 
1. Homogéneas (vibrações livres) 
São do tipo 𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̈ + 𝑘𝑥̈ = 0, onde m, c e k são constantes reais positivas. 
 
Resolução: 
• Considera-se a equação característica 𝑚𝜆2 + 𝑐𝜆 + 𝑘 = 0 
• Determinam-se as suas raízes λ1 e λ2 
• A solução geral da equação diferencial depende do tipo de raízes, conforme a 
tabela: 
 
Raízes reais e distintas, λ1 ≠ λ2 𝑥̈(𝑡) = 𝐶1 𝑒𝜆1𝑡 + 𝐶2 𝑒𝜆2𝑡 
Raiz real dupla, λ = λ1 = λ2 𝑥̈(𝑡) = (𝐶1 + 𝐶2 𝑡) 𝑒𝜆𝑡 
Raízes complexas conjugadas, 𝜆 = 𝛼 ± 𝛽𝑖 
𝑥̈(𝑡) = 𝐴 𝑒𝛼𝑡 sen(𝛽𝑡 + 𝜑) ou 
𝑥̈(𝑡) = 𝐴 𝑒𝛼𝑡 cos(𝛽𝑡 + 𝜑) ou 
𝑥̈(𝑡) = 𝑒𝛼𝑡 [𝐶1 cos(𝛽𝑡) + 𝐶2 sen(𝛽𝑡)] 
 
• As constantes C1 e C2 (ou A e φ) determinam-se através das condições iniciais: 
 
• Substituem-se as constantes na solução geral da equação homogénea para 
obter a solução do problema de valor inicial. 
 
2. Não homogéneas (vibrações forçadas) 
São do tipo 𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̈ + 𝑘𝑥̈ = 𝐹(𝑡), onde m, c e k são constantes reais positivas. 
 
Resolução: 
• Considera-se a equação geral xH(t) da equação homogénea associada (ponto 
anterior) 
• Determina-se uma solução particular xP(t) da equação. Se a função excitadora 
é do tipo harmónico, 𝐹(𝑡) = 𝐹0 cos(𝜔𝑡) ou 𝐹(𝑡) = 𝐹0 sen(𝜔𝑡), a solução 
particular será da forma da indicada na tabela: 
 
Não amortecida 
𝑐 = 0 
c = 0 e 𝜔 ≠ 𝜔𝑛 𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥̈ = 𝐹(𝑡) 𝑥̈𝑃(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡) + 𝐵 sen(𝜔𝑡) 
Não amortecida 
𝑐 = 0 
c = 0 e 𝜔 = 𝜔𝑛 𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥̈ = 𝐹(𝑡) 𝑥̈𝑃(𝑡) = 𝑡 [𝐴 cos(𝜔𝑡) + 𝐵 sen(𝜔𝑡)] 
Amortecida 
𝑐 ≠ 0 
 𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̈ + 𝑘𝑥̈ = 𝐹(𝑡) 𝑥̈𝑃(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡) + 𝐵 sen(𝜔𝑡) 
 
• As constantes A e B determinam-se pelo método dos coeficientes 
indeterminados substituindo a solução particular, 𝑥̈𝑃, na equação diferencial 
dada. Claro que 𝑥̈𝑃(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡) + 𝐵 sen(𝜔𝑡) pode também escrever-se nas 
formas 𝑥̈𝑃(𝑡) = 𝐴 sen(𝜔𝑡 + 𝜓) ou 𝑥̈𝑃(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜓), onde as constantes a 
determinar são A e 𝜓. 
 
• A solução geral da equação não homogénea será, assim, 𝑥̈(𝑡) = 𝑥̈𝐻(𝑡) + 𝑥̈𝑃(𝑡).