AULA-2-ESTATÍSTICA-DESCRITIVA-V1

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ESTATÍSTICA 
Fernando Arbache 
Aula 2 – Distribuição de Frequência e Histograma 
Distribuição 
de 
Frequência 
3 
• Distribuição de Frequência ou 
Histograma: 
• É construído através de gráfico de 
colunas 
• Representa a variação de uma medida 
de um grupo de dados 
• Utiliza a distribuição de frequências 
4 
• Final idade da Distr ibuição de 
Frequência 
• Identificar variações anormais em um 
determinando no processo 
• Facilita a comparação de resultados 
• Permite tomada de decisões a respeito de 
um processo, pois melhora a capacidade de 
análise 
5 
• Final idade da Distr ibuição de 
Frequência 
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
500
1000
1500
• Melhora a visibilidade de 
onde está um valor central 
 
 
• Facil ita a análise da 
dispersão de uma amostra 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
6 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
•  Transformando uma Tabela Primitiva è Rol 
•  Tabela primitiva 
•  Exemplo 1: 
•  Uma tabela primitiva possui dados desordenados 
Amostra: 32, 45, 65, 12, 18, 73, 45, 62, 12, 18, 50, 62, 50, 12 
•  Construindo o ROL 
•  Tabela após ter seus dados ordenados, crescente ou 
decrescente 
 
Amostra : 12, 12, 12, 18, 18, 32, 45, 45, 50, 50, 62, 62, 65, 73 
•  Repassando os conceitos 
O Que é o rol? 
 
É a distribuição de uma amostra ou 
população em ordem crescente. 
S = {4, 1, 3, 1, 2, 2, 3, 2} 
Rol: S = {1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4} 
 
 
 
 
 
7 
TABELA DE FREQUÊNCIA 
8 
•  Distribuição de frequência sem intervalos 
de classe 
•  Para se fazer a distribuição de frequência em 
tabelas, é necessário transformar os dados 
brutos, em ROL 
è 
i xi
1 12
2 12
3 12
4 18
5 18
6 32
7 45
8 45
9 50
10 50
11 62
12 62
13 65
14 73
i xi fi
1 12 3
2 18 2
3 32 1
4 45 2
5 50 2
6 62 2
7 65 1
8 73 1
n 14
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
•  Repassando os conceitos 
 
• fi – Frequência Absoluta – esta 
variável refere-se a quantidade de 
vezes que um elemento repete 
 
 
 
 
9 
TABELA DE FREQUÊNCIA 
•  Repassando os conceitos 
 
Exemplo: Considerando a amostra: 
S = {1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4} 
f1 = 2 – repetiu duas vezes 
f2 = 3 – repetiu três vezes 
f3 = 2 – repetiu duas vezes 
f4 = 1 – repetiu uma vez 
 
 
 
 
 
 
10 
TABELA DE FREQUÊNCIA 
•  Repassando os conceitos 
 
• p’i – Frequência Relativa – é a 
proporção que a frequência 
individual possui em relação ao 
volume total 
 
 
 
11 
TABELA DE FREQUÊNCIA 
•  Repassando os conceitos 
 
Ex: Considerando a amostra: S = {1, 1, 
2, 2, 2, 3, 3, 4} total de 8 elementos 
p1 = 2/8 = 0,25 * 100 = 25% 
p2 = 3/8 = 0,375 * 100 = 37,5% 
p3 = 2/8 = 0,25 * 100 = 25% 
p4 = 1/8 = 0,125 * 100 = 12,5% 
 
 
 
 
 
 
12 
TABELA DE FREQUÊNCIA 
•  Repassando os conceitos 
 
 
 
 
 
 
 
Σp’i = p’1 +p’2 + p’3 + p’4 
Σp’i = 25%+37,5+25%+12,5% 
Σp’i = 0,25 + 0,375 + 0,25 + 0,125 = 1 
 
 
 
!!, ! = 1!
13 
TABELA DE FREQUÊNCIA 
•  Exemplo 2: Uma das tabelas mais utilizadas 
na estatística é a distribuição de frequências. 
 
14 
TABELA DE FREQUÊNCIA 
•  Do mesmo modo, podemos definir frequência 
relativa de um valor observado como sendo a 
relação: 
 
 
p! = !!! Frequência relativa 
f! = n Soma das Frequências absolutas 
!!, = 1 Soma das Frequências relativas 
 
15 
TABELA DE FREQUÊNCIA 
xi 
(n˚ de defeito por 
peças) 
fi 
(n˚ de 
peças) 
pi 
(n˚ de defeito por peças) 
0 6 6/16 = 0,375 = 37,5% 
1 4 4/16 = 0,25 = 25% 
2 5 5/16 = 0,3125 = 31,25% 
3 1 1/16 = 0,0625 = 6,25% 
total 16 1 = 100% 
!
16 
TABELA DE FREQUÊNCIA 
17 
•  Distribuição de frequência com intervalos de 
classe 
•  Exemplo 1: O número de classes será 
determinado através de: 
k = √n, onde k é o número de classes e n o número de 
elementos 
k = √14 = 3,74 
 
Amplitude: 73 – 12 = 61 
i xi fi
1 12 3
2 18 2
3 32 1
4 45 2
5 50 2
6 62 2
7 65 1
8 73 1
n 14
INTERVALO DE CLASSES 
18 
•  Distribuição de frequência com intervalos 
de classe 
•  Classe 
•  Intervalos de variação da variável (i) 
•  Número total de classes (k) 
•  Na tabela anterior k = 3,74 ≅ 4 
•  Intervalos 44 |------- 60 é a 3ª classe, onde i = 3 
INTERVALO DE CLASSES 
19 
•  Distribuição de frequência com intervalos 
de classe 
•  Tabela de frequência com a distribuição de classes: 
i li ls fi
1 12 28 5
2 28 44 1
3 44 60 4
4 60 76 4
n 14
INTERVALO DE CLASSES 
20 
•  Distribuição de frequência com intervalos de 
classe 
•  Limites de classe 
•  44 |------- 60 Limite inferior = 44 (li) e o limite 
superior = 60 (ls) 
•  O símbolo |------- representa um intervalo fechado 
à esquerda e aberto à direita 
•  O dado 60 do ROL não pertence a classe 3 e sim a 
classe 4 representada por 60 |------- 76 
INTERVALO DE CLASSES 
Exemplo 2: 
21 
35 42 33 59 63 31 55 42 77 74 54 66 44 41 33 39 
48 50 41 31 65 70 36 40 40 52 62 58 39 37 58 62 
!
Nota-se que neste grupo foram realizados 32 observações, 
variando de 31 a 77 anos. 
•  A amplitude da amostra será: 77 – 31 = 46 anos 
•  número de classes será: classes 
•  Como a amplitude é de 46 anos e o número de classes 6, 
obtém-se o intervalo das classes da seguinte forma: 46 ÷ 6 
≅ 8 anos 
! = 32 ≅ 6 !
INTERVALO DE CLASSES 
•  Organizando os dados de frequência por classes 
22 
Idade (em anos) fi 
30 ⊢ 38 7 
38 ⊢ 46 9 
46 ⊢ 54 3 
54 ⊢ 62 5 
62 ⊢ 70 5 
70 ⊢ 78 3 
Total 32 
!
TABELA DE FREQUÊNCIA 
Histograma e 
Polígono de 
Frequência 
Exemplo 1: Será feito o histograma da seguinte tabela 
de frequência, divididas em classe: 
24 
HISTOGRAMA 
i Classes fi
1 12#28 5
2 28#44 1
3 44#60 4
4 60#76 4
n 14
25 
HISTOGRAMA 
5"
1"
4" 4"
0"
1"
2"
3"
4"
5"
6"
12)28" 28)44" 44)60" 60)76"
Histograma*
Exemplo 2: Analise o histograma da seguinte tabela 
26 
HISTOGRAMA 
i Classes fi
1 0#|%%#1 5
2 1#|%%#2 6
3 2#|%%#3 12
4 3#|%%#4 9
5 4#|%%#5 7
6 5#|%%#6 4
7 6#|%%#7 3
n 46
27 
HISTOGRAMA 
5"
6"
12"
9"
7"
4"
3"
0"
2"
4"
6"
8"
10"
12"
14"
0"|--"1" 1"|--"2" 2"|--"3" 3"|--"4" 4"|--"5" 5"|--"6" 6"|--"7"
Histograma*
28 
Tipos de Histogramas 
Forma de Gauss Forma bimodal – Tipo Pico 
Duplo 
Forma asimétrica 
Forma censurada Forma com anomalías – Tipo Pico Isolado 
Exemplo 1: 
29 
Polígono de Frequência 
Classes fi Pontos,Médios
12#28 5 20
28#44 1 36
44#60 4 52
60#76 4 68
Exemplo 1: 
30 
Polígono de Frequência 
Classes Pontos*Médios fi
4 0
12%28 20 5
28%44 36 1
44%60 52 4
60%76 68 4
84 0
Composição do polígono 
Amplitude entre os pontos médios: 36 - 20 = 16 
Composição: 20 – 16 = 4 e 68 + 16 = 84 
31 
Polígono de Frequência 
0"
5"
1"
4" 4"
0"
0"
1"
2"
3"
4"
5"
6"
1" 2" 3" 4" 5" 6"
Polígono'de'Frequência'
Exemplo 1: 
Exemplo 2: 
32 
Polígono de Frequência 
i Classes Pontos+Médios fi
0 0
1 0#|%%#1 0,5 5
2 1#|%%#2 1,5 6
3 2#|%%#3 2,5 12
4 3#|%%#4 3,5 9
5 4#|%%#5 4,5 7
6 5#|%%#6 5,5 4
7 6#|%%#7 6,5 3
7,5 0
Exemplo 2: 
33 
Polígono de Frequência 
0"
5"
6"
12"
9"
7"
4"
3"
0"
0"
2"
4"
6"
8"
10"
12"
14"
1" 2" 3" 4" 5" 6" 7" 8" 9"
Polígono'de'Frequência'''
Exemplo 2: 
34 
Polígono de Frequência Acumulada 
Classes Pontos*Médios fi Fi
0 0 0
0"|$$"1 0,5 5 5
1"|$$"2 1,5 6 11
2"|$$"3 2,5 12 23
3"|$$"4 3,5 9 32
4"|$$"5 4,5 7 39
5"|$$"6 5,5 4 43
6"|$$"7 6,5 3 46
7,5 0 46
Exemplo 2: 
35 
Polígono de Frequência Acumulada 
0"
5"
10"
15"
20"
25"
30"
35"
40"
45"
50"
0"|))"1" 1"|))"2" 2"|))"3" 3"|))"4" 4"|))"5" 5"|))"6" 6"|))"7"
Polígono'de'Frequência'Acumulada'