Atividade 4 (A4)_ Cálculoa Várias Variáveis

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14/03/2022 08:40 Atividade 4 (A4): Revisão da tentativa
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Minhas Disciplinas 202210.ead-29782294.06 - CÁLCULO APLICADO � VÁRIAS VARIÁVEIS - GR0551 UNIDADE 4
Atividade 4 (A4)
Iniciado em segunda, 14 mar 2022, 07:37
Estado Finalizada
Concluída em segunda, 14 mar 2022, 08:39
Tempo
empregado
1 hora 2 minutos
Avaliar 9,00 de um máximo de 10,00(90%)
Questão 1
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
“Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma , onde e são funções contínuas”
(STEWART, 2016, p. 1028). Se , a equação é dita linear homogênea, caso contrário, se a equação é dita linear não
homogênea. 
 
STEWART, J. Cálculo. 
São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
 
Com relação às equações homogêneas, assinale a alternativa correta: 
 
 
a. A equação diferencial  tem solução .
b. A equação diferencial  tem solução .
c. A equação diferencial  tem solução .
d. A equação diferencial  tem solução .
e. A equação diferencial 
 tem solução 
.
 Resposta correta. A alternativa está correta. Dada a equação diferencial ,
escrevemos sua equação auxiliar . Resolvendo essa equação de segundo
grau, obtemos os seguintes valores para . Como as raízes são distintas,
podemos escrever a solução geral da equação diferencial dada como .
A resposta correta é: A equação diferencial  tem solução .

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Questão 2
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Um circuito elétrico simples composto por um resistor , um indutor e uma força eletromotriz (proporcionada por uma pilha ou gerador)
pode ser modelado matematicamente por meio da seguinte equação diferencial: . Sabendo que essa equação é do tipo
linear de primeira ordem, considere um resistor de , uma indutância de e uma voltagem constante de . 
 
Assinale a alternativa que corresponde ao fator integrante da EDO dada. 
 
 
a. .  Resposta correta. A alternativa está correta. O fator integrante de uma EDO linear
de primeira ordem  é expresso por . Dada a EDO
, temos que  e, portanto, o fator integrante
é .
b.
c. .
d. .
e. .
A resposta correta é: .

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Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Problemas que envolvem crescimento ou decrescimento de alguma grandeza podem ser modelados matematicamente por meio do
seguinte problema de valor inicial: 
, 
onde é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou negativa. Considere a seguinte situação: 
 
Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, assinale a
alternativa que corresponde à expressão da função crescimento dessa população. 
 
 
 
 
a.
b. .
c.  Resposta correta. A alternativa está correta. O problema pode ser descrito pela
seguinte equação diferencial , onde  é a função quantidade de bactérias que
depende do tempo . Além disso, temos os seguintes dados: para  temos 
. Resolvendo a equação diferencial, temos
, onde  e  são constantes e . Como  temos 
. Portanto, a função que descreve o
crescimento dessa população de bactérias é .
d. .
e. .
A resposta correta é: 

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Questão 4
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 5
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
As equações diferenciais podem ser classificadas de acordo com alguns critérios. Por exemplo, podemos classificar uma equação
diferencial de acordo com sua ordem e grau. No caso da classificação pela ordem, temos que esta é definida pela ordem da mais alta
derivada que aparece na equação, e a classificação pelo grau é dada pelo expoente da derivada de maior ordem que aparece na equação. 
 
De acordo com a classificação de ordem e grau, assinale a alternativa correta: 
 
 
a. A equação diferencial 
 é de ordem 1 e
grau 1.
 Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as de�nições de
classi�cação por ordem e grau, temos que a ordem da equação é de�nida pela "maior
derivada" da equação, no caso, a maior derivada é a de ordem 1, . Já a classi�cação
pelo grau é dada pelo expoente da maior derivada, nesse caso, grau 1, pois .
b. A equação diferencial  é de ordem 3 e grau 2.
c. A equação diferencial  é de ordem 3 e grau 2.
d. A equação diferencial  é de ordem 2 e grau 2.
e. A equação diferencial  é de ordem 1 e grau 2.
A resposta correta é: A equação diferencial  é de ordem 1 e grau 1.
Uma equação diferencial de variáveis separáveis é toda equação diferencial de primeira ordem e primeiro grau que pode ser escrita na
forma . O nome separável vem do fato de que a equação pode ser separada em uma função de e uma função de .
A solução de tal equação é obtida ao integrarmos ambos os lados da igualdade. 
 
Dado que é uma constante real, assinale a alternativa abaixo que corresponde à solução da equação diferencial separável . 
 
 
a. .
b. .
c. .
d. .  Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é uma equação
separável. Separando as variáveis  e , podemos reescrever a equação como 
. Integrando ambos os lados da igualdade, temos 
, onde .
e. .
A resposta correta é: .

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Questão 6
Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada função dessa família se diferencia da outra pelo valor de uma
constante. Para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, devemos substituir a expressão da função e suas derivadas
na equação e verificar se vale a igualdade. Se a igualdade for verdadeira, a função é solução, se não for verdadeira, não é solução. 
 
Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. A função é solução da equação diferencial . 
II. A função é solução da equação diferencial . 
III. A função é solução da equação diferencial . 
IV. A função é solução da equação diferencial . 
 
É correto o que se afirma em: 
 
 
a. I, III e IV, apenas.  Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. De acordo com a de�nição
de solução de uma equação diferencial, temos que estão incorretas as a�rmativas I e
III, pois:
A�rmativa I: Incorreta. Dada a função  temos 
 e . Repare que .
Trocando  na equação diferencial, temos: 
A�rmativa III: incorreta. Dada a função , temos . Trocando  e  na
equação diferencial, temos:
.
b. III e IV, apenas.
c. II e IV, apenas.
d. I, II e III, apenas.
e. I e III, apenas.
A resposta correta é: II e IV, apenas.

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Questão 7
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Considere uma mola com uma massa de 3 kg e de comprimento natural 0,5 m. Para esticá-la até um comprimento de 0,8 m, é necessária
uma força de 22,5 N. Suponha que a mola seja esticada até o comprimento de 0,8 m e, em seguida, seja liberada com velocidade inicial
nula. O movimento realizado obedece à equação diferencial: , onde é uma função do tempo que indica a posição da massa
 e é a constante elástica. 
 
Com base na situação descrita, assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke: ). 
 
 
a. A equação auxiliar da EDO possui duas raízes reais e distintas.
b. A situação descrita é um PVI dado por:  e .
c. A posição da
massa em
qualquer
momento  é
expressa por 
 Resposta correta. A alternativa está correta. O enunciado fornece as seguintes condições:  (a
mola no tempo  está esticada em 0,8 m sendo seu comprimento natural de 0,5 m; portanto, está
deformada em 0,3 m) e  (a velocidade inicial da mola é nula; lembre que a função velocidade
é a derivada primeira da função posição). Pela lei de Hooke, temos que o valor da constante elástica
é: . Tomando  e  na EDO , obtemos a EDO 
. Resolvendo o PVI: ,  e  temos que a solução geral da
EDO é  , portanto, a solução do PVI é . Portanto,
d. A solução geral do problema descrito é dada por .
e. A situação descrita é um PVI dado por: ,  e 
A resposta correta é: A posição da massa em qualquer momento  é expressa por 

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Questão 8
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem, consiste em determinar uma
solução que satisfaça às condições iniciais da forma e . Por meio dessas condições, é possível determinar o valor
das constantes obtidas na solução geral. 
 
Considere o seguinte PVI: , e . Analise as afirmativas a seguir: 
 
I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas. 
II. A solução do PVI é . 
III. O valor de umas das constantes da solução geral é . 
IV. A EDO dada não é homogênea. 
 
É correto o que se afirma em: 
 
 
a. I e IV, apenas.
b. II, apenas.
c. IV, apenas.
d. I e II, apenas.  Resposta correta. A alternativa está correta. São verdadeiras as a�rmativas
I e II, pois:
A�rmativa I: Correta. A equação auxiliar é expressa por ,
cujas raízes são  (duas raízes reais e distintas).
A�rmativa II: correta. Como a equação auxiliar possui raízes reais e
distintas, a saber , a solução geral é expressa por 
. A partir das condições iniciais, obtemos o seguinte
sistema:
(i) 
(ii) 
Resolvendo o sistema, obtemos  e . Portanto, a solução do PVI
é .
e. I e III, apenas.
A resposta correta é: I e II, apenas.

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Questão 9
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro
elemento. Uma substância é dita mais estável quando a meia-vida possui um valor elevado. Esse tipo de problema pode ser modelado pela
seguinte equação diferencial: , onde representa a quantidade de átomos presente na substância e é uma função do tempo . Uma
substância radioativa teve sua quantidade inicial reduzida em 0,043% após 15 anos. 
 
Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. O valor da constante de proporcionalidade é . 
II. A função que representa o problema descrito é . 
III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos. 
IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de . 
 
É correto o que se afirma em: 
 
 
a. I e IV, apenas.
b. II, III e IV, apenas.
c. I e IV, apenas.
d. I e II, apenas.  Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação diferencial
separável , temos que as a�rmativas I e II estão corretas, pois
, onde .
Para , concluímos que  e, para  concluímos 
. Portanto, a função que representa o problema descrito é 
.
e. I, II e IV, apenas.
A resposta correta é: I e II, apenas.

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Questão 10
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Uma função é considerada solução de uma equação diferencial se, ao trocarmos a função e suas derivadas na equação, o resultado obtido
for uma igualdade verdadeira. Uma equação diferencial possui uma infinidade de funções como solução, caso nenhuma condição seja
especificada. Por outro lado, dada uma condição, obtém-se uma solução particular para a equação diferencial. 
 
Considere a equação diferencial . Analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s). 
 
I. ( ) Para temos que é solução da equação diferencial dada. 
II. ( ) Para temos que é solução da equação diferencial dada. 
III. ( ) Para , temos que é solução da equação diferencial dada. 
IV. ( ) Para , temos que é solução da equação diferencial dada. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
 
a. F, V, V, F.
b. V, V, F, F.
c. V, F, V, F.
d. F, V, V, V.
e. V, V, V, F.  Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação
diferencial, temos que sua solução geral é: 
. Assim:
A�rmativa I: Verdadeira. Para , temos que 
. Portanto,  é solução da equação
diferencial dada.
A�rmativa II: Verdadeira. Para , temos que 
. Portanto,  é solução da equação
diferencial dada.
A�rmativa III: Verdadeira. Para  temos que 
. Portanto,  é solução da
equação diferencial dada.
A resposta correta é: V, V, V, F.
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