Sistema de CRAMER

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Coeficientes Termos Independentes
1 -3 5 1
1 2 1 12
2 -1 3 10
1 -3 5
12 2 1 D= -15
10 -1 3 Dx= -75 x= 5
Dy= -45 y= 3
1 1 5 Dz= -15 z= 1
1 12 1
2 10 3
1 -3 1
1 2 12
2 -1 10
Observação: O metodo de CRAMER, só nos permite trabalhar com sistemas cuja a matriz dos coefientes possuam um determinante diferente de zero caso contrário devemos utilizar outras 
estratégias
Resumo sobre regra de Cramer
- A regra de Cramer é um método para encontrar as soluções de um sistema linear.
- Dado um sistema de equações, a regra de Cramer propõe que:
D, Dx, Dy e Dz são determinantes de matrizes formadas com o sistema.
D → é o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas;
Dx → é o determinante da matriz formada pelos coeficientes substituindo a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes que estão depois da igualdade;
Dy → é o determinante da matriz formada pelos coeficientes substituindo a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes que estão depois da igualdade;
Dz → é o determinante da matriz formada pelos coeficientes substituindo a coluna dos coeficientes de z pelos termos independentes que estão depois da igualdade.
A primeira delas é a matriz formada por cada um dos coeficientes de x, y e z. Seu determinante é representado por D.
Já nas demais matrizes, vamos substituir cada uma das colunas pela coluna dos valores que estão depois da igualdade. Por exemplo, Dx terá na sua primeira coluna, onde ficavam os coeficientes de x, os valores de d1, d2 e d3. Em Dy e Dz, isso acontecerá 
respectivamente nas 2ª e 3ª colunas:
Exemplo:
Sistema de equação 3x3
Resolução:
Primeiramente, calcularemos o valor de D:
Coeficientes Termos independentes
1
12
10
D = 1 · 2 · 3 + (– 3) · 1 · 2 + 5 · 1 · (– 1) – [5 · 2 · 2 + 1 · 1 · (– 1) + (– 3) · 1 · 3]
D = 6 – 6 – 5 – [20 – 1 – 9]
D = – 5 – 10
D = – 15
Agora, calcularemos o valor de Dx:
Dx = 1 · 2 · 3 + (– 3) · 1 · 10 + 5 · 12 · (– 1) – [5 · 2 · 10 + 1 · 1 · (– 1) + (– 3) · 12 · 3]
Dx = 6 – 30 – 60 – [100 – 1 – 108]
Dx = – 84 + 9
Dx = – 75
Calculando Dy:
Dy = 1 · 12 · 3 + 1 · 1 · 2 + 5 · 1 · 10 – [5 · 12 · 2 + 1 · 1 · 10 + 1 · 1 · 3]
Dy = 36 + 2 + 50 – [120 + 10 + 3]
Dy = 88 – 133
Dy = – 45
Calculando Dz:
Dz = 1 · 2 · 10 + (– 3) · 12 · 2 + 1 · 1 · (– 1) – [1 · 2 · 2 + 1 · 12 · (– 1) + (– 3) · 1 · 10
Dz = 20 – 72 – 1 – [4 – 12 – 30]
Dz = – 53 +38
Dz = – 15
Agora podemos encontrar os valores de x, y e z:
Fonte:
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/regra-cramer.htm
Sistema linear Represençaão de coeficientes, variáveis, termos independentes do sistema
Coeficientes Termos Independentes
2 3 -1 2
1 -2 4 4
3 2 1 3
2 3 -1 Determinantes
4 -2 4 D= 5
3 2 1 Dx= -10 x= -2
Dy= 15 y= 3
2 2 -1 Dz= 15 z= 3
1 4 4
3 3 1
2 3 2
1 -2 4
3 2 3
Observação: O metodo de CRAMER, só nos permite trabalhar com sistemas cuja a matriz dos coefientes possuam um determinante diferente de zero caso contrário devemos utilizar outras 
estratégias
MÉTODO DE CRAMER
calcular o determinante da matriz dos coeficientes
Calculado o determinante, devemos agora substituir, uma a uma, as colunas da matriz dos fatores pelos valores dos termos independentes. Teríamos, 
portanto, as três matrizes:
Se chamarmos nossa matriz original de A, podemos chamar estas três matrizes, respectivamente, de Ax, Ay e Az. 
Se analisarmos bem, para encontrar Ax, substituímos todos os coeficientes que multiplicam a variável x pelos termos 
independentes, assim como fizemos em Ay , substituindo os coeficientes de y, e em Az, substituindo os coeficientes de 
z. 
Agora, com estas novas matrizes, calculamos também seus determinantes, que chamaremos de Dx, Dy e Dz:
Dx = -10 Dy = 15 Dz = 15 (14)
Agora, para calcular os valores de x, y e z, devemos apenas dividir cada um dos determinantes (Dx Dy e Dz) pelo determinante da matriz dos coeficientes. 
Desta forma, temos x = -2, y = 3 e z = 3. Para comprovar se estes valores são as raízes do sistema, podemos substituí-los no próprio sistema:
MÉTODO DO ESCALONAMENTO OU ELIMINAÇÃO DE GAUSS
Note que as raízes encontradas são exatamente as mesmas encontradas através do método de Cramer.
MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
se retornarmos à forma de sistema linear, temos:
Mais uma vez, com um método diferente,
MÉTODO DA MATRIZ INVERSA
Para utilizar este método, devemos considerar a igualdade:
Logo:
multiplicamos a matriz inversa dos coeficientes pela matriz dos termos independentes
Sistema linear Represençaão de coeficientes, variáveis, termos independentes do sistema
Coeficientes Termos Independentes
1 -3 4 1
2 1 2 -2
2 2 1 -3
1 -3 4
-2 1 2 D= -1
-3 2 1 Dx= 5 x= -5
Dy= -2 y= 2
1 1 4 Dz= -3 z= 3
2 -2 2
2 -3 1
1 -3 1
2 1 -2
2 2 -3
Observação: O metodo de CRAMER, só nos permite trabalhar com sistemas cuja a matriz dos coefientes possuam um determinante diferente de zero caso contrário devemos utilizar outras 
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Sistema linear Represençaão de coeficientes, variáveis, termos independentes do sistema
Coeficientes Termos Independentes
1 2 -1 1
-1 -3 4 2
2 2 3 4
1 2 -1
2 -3 4 D= 1
4 2 3 Dx= -13 x= -13
Dy= 9 y= 9
1 1 -1 Dz= 4 z= 4
-1 2 4
2 4 3
1 2 1
-1 -3 2
2 2 4
Observação: O metodo de CRAMER, só nos permite trabalhar com sistemas cuja a matriz dos coefientes possuam um determinante diferente de zero caso contrário devemos utilizar outras 
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