Questão resolvida - As derivadas são muito úteis para estudar questões e problemas do cotidiano. Dentre suas utilidades, é possível citar o cálculo de taxas de variação e o cálculo de máximos e mínimo

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• As derivadas são muito úteis para estudar questões e problemas do cotidiano. Dentre 
suas utilidades, é possível citar o cálculo de taxas de variação e o cálculo de máximos 
e mínimos de funções.
 
Sabendo disso, considere o seguinte cenário:
 
Suponha que você seja um atirador desportivo e foi treinado em um club de tiro com seus 
amigos. Na modalidade treinada por você, um objeto em forma de disco é arremessado no 
ar, e você deve disparar sua arma e destruí-lo ainda em movimento. Por sua experiência 
com a arma utilizada, você consegue uma boa quantidade de acertos quando o objeto está 
até, mais ou menos, 14 metros de distância.
O objeto O se movimenta mantendo uma distância fixa do chão, e você está posicionado em 
um ponto P, como mostrado na figura a seguir.
Dada a situação descrita, responda as seguintes questões:
 
a) Seja d a distância entre você e o objeto, e θ o ângulo mostrado, como d varia em relação 
a θ? Faça um gráfico de d vs. θ.
 
b) Qual é a distância d para θ = 30º,45º e 60º?
 
c) Para que ângulo θ ocorre a menor distância d?
 
d) Qual é o intervalo de ângulos aproximados em que a distância seja de até 14 metros?
 
Resolução:
 
 
 
a)
 
Perceba que a altura de 10 metros, a distância d e a distância de P até o ponto de onde o 
objeto foi arremessado forma um triângulo retângulo:
 
Nesse triângulo retângulo, 10 m é o cateto adjacente e d é a hipotenusa, assim, podemos 
aplicar a lei dos senos;
 
sen 𝜃 =( )
10
d
Isolando d, chegamos a uma relação entre d e ;𝜃
 
sen 𝜃 = d ⋅ sen 𝜃 = 10( )
10
d
→ ( )
 
d 𝜃 =( )
10
sen 𝜃( )
 
Para chegar ao gráfico vamos substituir alguns valores notáveis (como: d ×𝜃
) de na relação encontrada e chegar a pontos :, , e 
𝜋
6
𝜋
4
𝜋
3
𝜋
3
𝜃 d,𝜃( )
 
 
 
(Resposta - a (1))
𝜃 = d = d = 20; ponto 20;
𝜋
6
→
𝜋
6
10
sen
𝜋
6
→
𝜋
6
𝜋
6
 
𝜃 = d = d ≅ 14; ponto 14;
𝜋
4
→
𝜋
4
10
sen
𝜋
4
→
𝜋
4
𝜋
4
 
𝜃 = d = d ≅ 11, 55; ponto 11, 55; 
𝜋
3
→
𝜋
3
10
sen 
𝜋
3
→
𝜋
3
𝜋
3
 
𝜃 = d = d ≅ 10; ponto 10; 
𝜋
2
→
𝜋
2
10
sen 
𝜋
2
→
𝜋
2
𝜋
3
Plonatando esses pontos em um gráfico e ligando-os, o gráfico (entre 0 e ) deve ficar como 𝜋
o visto a na sequência;
 
b)
 
A distância d para foram encontadas no item 𝜃 = 30° = , 𝜃 = 45° = , 𝜃 = 60° =
𝜋
6
𝜋
4
𝜋
3
anterior;
 
 
 
𝜃 = d = d = 20
𝜋
6
→
𝜋
6
10
sen
𝜋
6
→
𝜋
6
 
𝜃 = d = d ≅ 14
𝜋
4
→
𝜋
4
10
sen
𝜋
4
→
𝜋
4
 
𝜃 = d = d ≅ 11, 55
𝜋
3
→
𝜋
3
10
sen 
𝜋
3
→
𝜋
3
c)
 
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função ;d 𝜃( )
 
d 𝜃 = = 10sen 𝜃 d' 𝜃 = - 10sen 𝜃 ⋅ cos 𝜃 d' 𝜃 = -( )
10
sen 𝜃( )
-1( ) → ( ) -1-1( )( ) ( ) → ( )
10cos 𝜃
sen 𝜃
( )
2( )
 
Igualando a derivada a zero, encontramos o(s) crítico(s) de ;d 𝜃( )
 
d' 𝜃 = 0 - = 0 10cos 𝜃 = 10cos 𝜃 = 0 cos 𝜃 =( ) →
10cos 𝜃
sen 𝜃
( )
2( )
→ ( )
0
-sen 𝜃2( )
→ ( ) → ( )
0
10
 
cos 𝜃 = 0 𝜃 = Arccos 0 𝜃 =( ) → ( ) →
𝜋
2
Logo, tem um ponto crítico para ; analisando o gráfico vemos que, no intervalo d 𝜃( ) 𝜃 =
𝜋
2
, esse ponto se trata de um ponto de mínimo.0 < 𝜃 < 𝜋
 
d)
 
Queremos o intervalo de ângulos para que;𝜃
 
d 𝜃 < 14 ( )
isso é o mesmo que;
 
 
 
(Respeito - c)
< 14
10
sen 𝜃( )
 
Resolvendo para , fica;𝜃
 
< 14 10 < 14sen 𝜃 14sen 𝜃 > 10 sen 𝜃 > 𝜃 > Arcsen
10
sen 𝜃( )
→ ( ) → ( ) → ( )
10
14
→
10
14
 
𝜃 > 45, 59°
Como o intervalo analisado está entre ou ; o intervalo para d menor que 14 0,𝜋] [ 0, 180°] [
m é;
 
45, 59°; 180°] [
 
 
(Resposta )