IPETEC-CNO-Dinâmica de Estruturas Flutuantes - Parte II Resposta

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Profº João Henrique VOLPINI Mattos
E-mail: joao.volpini.mattos@gmail.com
WhatsApp: (21) 98132-6927
Agradecemos a todos os nossos antigos colegas da DNV que contribuíram com o meu aprendizado para este trabalho;
Aanund Berdal, Bruna Nabuco, Cecília Cintra, Pascal Le Gal, Fan Zhang, Glenn Davis, Jan Henrik Berg-Jensen, Jeremy
Linn, Jo Ovstaas, Leonardo Brandão, Mariana Fortes, Ole Jan Nekstad, Paula Nascimento, Renata Grabowsky, Rune
Nysveen e Salvatore Ponzio.
Agradecimentos especiais aos professores e pesquisadores da COPPE/UFRJ; Alexandre Alho, Luiz Antonio Vaz Pinto,
Luis Sagrilo, Marcelo Almeida, Sergio Sphaier, Severino Neto, Theodoro Netto e Ulisses Monteiro
mailto:joao.volpini.mattos@gmail.com
PARTE II
A RESPOSTA DINÂMICA
• Vibração
• Números Complexos
• Análise de Sinais
• Hidromecânica do Navio
• Forças Hidrodinâmicas
• Determinando a Resposta
Vibração
)()sen()( 0 tkxtFtxm −= 
• Sistema com 1 grau de liberdade
• Resposta do sistema
• Frequência natural de vibração m
k
n =
R
es
po
st
a 
liv
re
R
es
po
st
a 
fo
rç
ad
a
F
or
çak
m
Fexc(t) = F0sen(ωt)
x
Força excitação
R
es
po
st
a 
liv
re
R
es
po
st
a 
fo
rç
ad
a
Força amortecimento
Regime Regime
transiente permanente
• Todo sistema mecânico tem algum nível de 
amortecimento.
• Resposta do sistema
k
c
m
x
Fexc(t) = F0sen(ωt)
)()()sen()( 0 tkxtxctFtxm −−=  
amortecimento
viscoso
• Coeficiente de amortecimento crítico
• Fator de amortecimento
• Frequência natural amortecida 
kmmc nc 22 == 
cc
c
=
ξ > 1 : Superamortecimento (não há oscilação)
ξ = 1 : Criticamente amortecido (não há oscilação)
ξ < 1 : Subamortecimento
21  −= nd
Efeito do amortecimento em vibração forçada
0/
kX
/F
0
Efeito do amortecimento em vibração livre
ξ
ξ
ξ
ξ
2
1ln
x
x
=
MODO FPSO SPAR TLP SEMI
Avanço (surge) >100 >100 >100 >100
Deriva (sway) >100 >100 >100 >100
Afundamento/arfagem (heave) 5 – 12 20 – 35 < 5 20 – 50
Balanço (roll) 5 – 30 50 – 90 < 5 30 – 60
Caturro (pitch) 5 – 30 50 – 90 < 5 30 – 60
Guinada (yaw) >100 >100 >100 >100
* AncoradosPeríodos em segundos
Ressonância é a tendência de um sistema a oscilar em máxima amplitude em 
certas frequências, conhecido como 'frequências ressonantes'. Nessas 
frequências, até mesmo forças periódicas pequenas podem produzir vibrações 
de grande amplitude, pois o sistema armazena energia.
Slide 8
A Vibração do Arroz
Taça de vinho
Helicóptero pousado
Ponte Tacoma
Embarcação MC-25
Classe : MC-25 (3 barcos)
Construção : 2003 a 2005
Material do casco : Alumínio
L : 29,20 m B : 9,60 m D : 3,80 m T : 1,44 m
Desloc. 119 t AB : 321 Pax : 250
MCP : 2 x 1050 kW x 2100 RPM (oper 1800)
Redução : 2,5291 (711 rpm no eixo = 11,8 Hz)
Hélices 4 pás (freq. pá 711 x 4 / 60 = 47,5 Hz)
5
1. Qual o período natural de vibração de um sistema massa-mola ideal no qual 
a massa do corpo é de 100g e a constante da mola é de 0.274gf/mm ?
s120
0523.0
22
rad/s0523.0
100
274.0
===
===




n
n m
k
2. Considerando apenas o efeito hidrostático, qual seria a frequência natural de 
vibração no movimento de afundamento (heave) de uma barcaça retangular 
oceânica com dimensões (comprimento x boca x calado) de L = 100m, B 
=20 m, T = 5m?
tf/m205020100025.1
t10250520100025.1
' ===
===
xxAk
xxxVm
águadlinha
submerso


s)14( Hz0711.0
2
477.0
2
rad/s447.0
10250
2050
====
===



n
n
n
f
m
k
Slide 12
N
ú
m
er
o
s 
C
o
m
p
le
x
o
s
Slide 13
• Começaram a ser utilizados no século XVI na resolução de equações do
terceiro grau, onde se notou que os resultados levavam a raízes quadradas de
números negativos.
• Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma z = x + iy
onde x e y são reais e i denota a unidade imaginária, que tem a 
propriedade i2=-1
• O plano complexo (Diagrama de Argand) é um plano 
cartesiano utilizado para representar números 
complexos geometricamente, permitindo “algebrizar” 
vetores bidimensionais.
Jean-Robert Argand
Matemático suiço 1768-1822
Na forma cartesiana
e na forma polar
onde (módulo de z)
22
)sin(cos
),(
yxzr
reirz
iyxyxz
i
+==
=+=
+==

Plano complexo ou Plano de Argand
Johann Carl Friedrich Gauss
Matemático e físico alemão 1777-1855
Slide 14
A álgebra de números complexos permite que grandezas que variem
senoidalmente (ou cossenoidalmente) em função do tempo sejam
interpretados por vetores bidimensionais (fasores), sendo muito mais fácil
operar com números complexos de diferentes módulos e argumentos do que
com funções trigonométricas.
Leonhard Euler
Matemático suiço 1707-1783
▪Propriedades interessantes :
– Multiplicação por i envolve uma 
rotação de 90°
– Multiplicação por i2 envolve uma 
rotação de 180°
– Multiplicação por i3 envolve uma 
rotação de 270°
René Descartes
Matemático e físico francês 1596-1650
Slide 15
Operações elementares
Sejam z e w números complexos dados por 
z=(a,b)=reiθ e 
w =(c,d)=heiφ então :
 ==
===
 e 
ou e 
hr
dbcawz
)()( dbibazwwz +++=+=+
)(e)()( +=++−== irhadbcibdacwzzw
-ieribaz =−=
i-
222
e
11
rz
z
ba
iba
z
==
+
−
=
▪ Identidade
▪ Adição
▪ Multiplicação
▪ Conjugado
▪ Inverso
▪ Oposto
▪ Real
▪ Imaginário
▪ Argumento
)(ibaz −−=−
cos)Re( raz ==
sin)Img( rbz ==








=
z
a
acos
Slide 16
Análise de 
Sinais
Freud & 
Fourier
Associados
• Na análise no domínio do tempo, os sinais físicos ou séries temporais de 
dados ambientais são observados ao longo do tempo. Os valores da função 
observada são números reais contínuos ou discretos, dependendo do modo 
como a observação é feita.
• Na análise no domínio da frequência este dados são observados com relação 
à uma faixa de frequências. Esta análise também pode incluir informações 
do deslocamento de fase aplicada a cada frequência, mas isto normalmente 
é descartado.
Medições no domínio do tempo Medições no domínio da frequência
• Uma função pode ser convertida entre os 
domínios do tempo e da frequência através de 
uma transformação linear conhecida como 
transformada integral, no nosso caso mais 
especificamente utilizando a Transformada de 
Fourier.
Jean-Baptiste Joseph Fourier
Matemático francês 1768-1830
• A série de Fourier é a representação de uma função periódica integrável 
como uma soma de funções periódicas de seno e cosseno.
• Suponha uma função periódica f(t) com período T,
tal que f(t+T) = f(t).
• Fourier diz que f(t) pode ser representada por
onde


=











+




=
0
2
sin
2
cos)(
n
nn T
ntB
T
ntAtf 


−
−





=





=
2
2
2
2
2
sin)(
2
2
cos)(
2
T
Tn
T
Tn
dt
T
nttf
T
B
dt
T
nttf
T
A


Primeiras 5 aproximações de Fourier
Onda “dente de serra”
02
2


== f
T
Espectro dos Coeficientes
• Algumas expansões em série de Fourier mais comuns :
– Onda dente de serra :
– Onda quadrada :
– Onda triangular :
1
2
− 1/𝜋෍
𝑛=1
∞
1
𝑛
sin
𝑛𝜋𝑥
𝐿
4
𝜋
෍
𝑛=1,3,5,…
∞
1
𝑛
sin
𝑛𝜋𝑥
𝐿
8
𝜋2
෍
𝑛=1,3,5,…
∞
−1 ൗ
𝑛−1
2
𝑛2
sin
𝑛𝜋𝑥
𝐿
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Matemático alemão 1805-1859
• A série de Fourier também pode ser expressa em termos exponenciais.
• Pela fórmula de Euler
• Então a expansão de Fourier pode ser representada por
onde
• A relação entre os coeficientes de Fourier na forma trigonométrica e
exponencial é
e Cn=
• Na engenharia, particularmente quando a variável t representa o tempo, a 
sequência de coeficientes é chamada de representação no domínio da 
frequência, adotando-se a notação F[n] ou Fn ao invés de Cn, enfatizando que 
o domínio desta função é um conjunto discreto de frequências. 


−=
=
n
tin
nCtf 0e)(

( ) 0 
2
1
0 )(
2
1
+
−
−− niBA
niBA
nn
nn
)sin()cos( nxinxeinx +=
−=
2
2
0e)(
1
T
T
tin
n dttfT
C 
... ,2 ,1 )(
... ,2 ,1 ,0 
=−=
=+=
−
−
nCCiB
nCCA
nnn
nnn
Paul Adrien Maurice Dirac
Físico britânico 1902-1984
•A Série de Fourier é útil na modelagem a análise do espectro de funções 
periódicas, mas como fazer quando o fenômeno é não-periódico ?
• A saída é permitir que T se torne infinitamente grande, e a série e os 
coeficientes de Fourier se reduzem a :



−
−

−
=
=
dttfiF
diFtf
ti
ti
0
0
e)()(
e)(
2
1
)(
0
00




 Transformada de FourierTransformadaInversa de Fourier
• Enquanto a Série de Fourier converte uma função 
periódica contínua no domínio do tempo para 
amplitudes no domínio da frequência em frequências 
discretas, a Transformada de Fourier converte uma 
função não-periódica contínua no domínio do tempo 
em uma função contínua no domínio da frequência.
• DTF (Discrete Fourier Transform) : Utilizada quando as amostras são coletadas 
a intervalos aleatórios. Ela avalia apenas componentes da frequências 
suficientes para reconstruir o segmento que está sendo analisado, 
decompondo–a em amplitudes de diferentes frequências.
• DTFT (Discrete-time Fourier Transform) : Utilizada quando as amostras são 
coletadas a uma frequência constante.
Se quisermos encontrar o espectro de frequências de uma função que foi 
“sampleada” (amostrada), a Transformada Contínua de Fourier não é muito 
útil, pois não se dispõe de uma função analítica para a função (ex.: análise de 
sinais sonoros, de amplitude das ondas oceânicas, etc.)
10e
1
0
2
,...,N-kxX
N
n
kn
N
i
nk ==
−
=
−
 

amostrados valores os mrepresenta n
n
ni
n xxX 

−=
−=  e)(
• O cálculo da DFT diretamente da sua definição é impraticável na maioria 
dos casos por ser muito lento (proporcional a N2).
• Existem vários algoritmos para a FFT, sendo o mais conhecido o de Cooley-
Tukey, que divide a transformada sucessivamente em dois pedaços de 
tamanho N/2 (e portanto é limitado a que o número de amostras seja uma 
potência de 2).
A Transformada Rápida de Fourier (FFT – Fast Fourier Transform) é um 
algoritmo eficiente para calcular a DFT e sua inversa.
John Wilder Tukey
Estatístico americano 1915-2000
James W. Cooley
Matemático americano 1926-
• Este algoritmo apresenta um esforço 
computacional da ordem de N.log(N).
Para uma amostra com 128 elementos, isto significa 
uma diferença de 60x no esforço computacional.
Para uma amostra de 10.000 elementos a diferença 
é de 2500x.
Slide 24
Hidromecânica do 
Navio
MOVIMENTO ÍNDICE DESCRIÇÃO
FORÇAS E 
MOMENTOS
VELOCI-
DADES
POSI-
ÇÃO
VISUALIZAÇÃO
Avanço/deslocamento (surge) 1
Translação 
longitudinal
X u x
Deriva/abatimento/caimento 
(sway)
2 Translação lateral Y v y
Afundamento/arfagem (heave) 3 Translação vertical Z w z
Jogo/balanço (roll) 4
Rotação em torno 
do eixo 
longitudinal
K p ϕ
Caturro (pitch) 5
Rotação em torno 
do eixo transversal
M q θ
Guinada/cabeceio (yaw) 6
Rotação em torno 
do eixo vertical
N r ψ
O comportamento hidromecânico afeta :
– Segurança dos passageiros, tripulantes, carga e da própria 
unidade.
– Conforto dos passageiros e tripulantes.
– Carregamento dinâmico sobre a estrutura da unidade flutuante, 
sua carga e equipamentos.
– Velocidade e consumo de combustível.
– Capacidade de manobra em operações marítimas.
T (s)
A
ce
le
ra
çã
o 
(g
)
Intolerável
Mal estar
Imperceptível
• Exemplos :
- Movimentos de jogo combinado com vento lateral podem causar 
ângulos de banda perigosos ou mesmo emborcamento.
- Ondas de popa de aproximadamente o mesmo comprimento do navio 
causam grandes ângulos de jogo.
- Acelerações transversais devidas ao efeito combinado do jogo e 
deriva causam deslocamento da carga e rompimento dos dispositivos 
que as seguram.
- Movimentos verticais de unidades de perfuração podem causar avaria 
da coluna de perfuração.
• Movimento na frequência da onda (wave-frequency
motion) : Movimento linearmente excitado na faixa de frequências de 
onda com energia significativa. Períodos na faixa 5-20s.
• Movimento de alta frequência (high-frequency motion) : 
Significativo em TLPs, é devido a oscilações de ressonância em 
afundamento, arfagem e balanço. Os tendões das TLPs são excitados 
por efeitos não lineares das ondas. Períodos na faixa 2-4s.
• Movimento de deriva lenta (slow-drift motion) : Aparecem 
em unidades flutuantes ancoradas sob o efeito de ondas e correnteza. 
As frequências naturais nos movimentos no plano horizontal (avanço, 
deriva e guinada) são bastante baixas, e amortecimento também é 
muito baixo, de modo que o carregamento de baixa frequência das 
ondas podem gerar excursões lentas mas bastante amplas. 
• Movimento de deriva média (mean drift) : Devido ao 
componente permanente de carregamento de segunda ordem de ondas, 
o corpo tende a se mover e alinhar na direção das ondas, determinando 
uma nova posição de equilíbrio.
( ) )( tFxCxBxAM ijijjijjijij =+++ 
1
2
3
4
5
6
jjj xxx  ,,












=
666261
161211
PPP
PPP
Pij




... que tem uma consequência na direção i
Algo acontece
na direção j ...
Ex: C53 = restauração em pitch devido
ao deslocamento em heave
onde
Mij = massa oscilante / momento de inércia
Aij = massa adicional induzida na direção i devido à aceleração em j
Bij = amortecimento sofrido na direção i devido à velocidade na 
direção j
Cij = restauração na direção i devido ao deslocamento na direção j
Fi = forças de excitação na direção i
= deslocamento, velocidade e aceleração da embarcação na 
direção j
i,j = 1, ... 6 denotam os 6 graus de liberdade 
Para uma unidade tendo simetria a bombordo/estibordo, e considerando a origem do sistema 
de coordenadas coincidente com o centro de flutuação :




















=




















=




















=




















−
−−
−
=
000000
0000
00000
0000
000000
000000
 
000
000
000
000
000
000
 
000
000
000
000
000
000
 
0000
0000
000
00000
0000
0000
5553
44
3533
666462
555351
464442
353331
362422
151311
666462
555351
464442
353331
362422
151311
664
5
464
CC
C
CC
C
BBB
BBB
BBB
BBB
BBB
BBB
B
AAA
AAA
AAA
AAA
AAA
AAA
A
II
IMz
IIMz
M
MzM
MzM
M
ijij
ij
c
c
c
c
ij
Slide 30
Forças 
Hidrodinâmicas
• Forças potenciais
– Devido à aceleração e desaceleração das partículas do 
fluido ao mudar sua trajetória.
• Forças viscosas
– Devido ao aparecimento da camada limite, com 
cisalhamento entre as partículas do fluido.
FORMA
FORÇAS 
POTENCIAIS
FORÇAS 
VISCOSAS
≈ 0% ≈ 100%
≈ 10% ≈ 90%
≈ 80% ≈ 20%
≈ 100% ≈ 0%
• A teoria linear pode descrever o carregamento hidrodinâmico em estados de 
mar calmo a médio (dependendo do tamanho da embarcação).
• A linearidade implica que o carregamento e movimentos são proporcionais às 
amplitudes das ondas.
• A linearidade permite a superposição : os carregamentos e respostas em mar 
irregular podem ser obtidos por sua combinação linear das respostas ao mar 
regular ou senoidal.
• Devido à hipótese linear, a análise pode ser executada tanto no domínio do 
tempo quanto da frequência. 
Fhid = Fexc + Frad + Frest
Cargas
Lineares
Equações
Lineares do
Movimento
movimentoondas
• Uma vez que temos um modelo linear no domínio do tempo, cargas não 
lineares podem ser adicionadas pela hipótese de superposição de forças :
• o modelo linear não deve ser encarado como uma limitação : na verdade ele 
é a base sobre a qual podemos construir modelos não-lineares baseado na 
hipótese da superposição de forças.
Cargas
Lineares
Equações
Lineares do
Movimento
movimentoondas
Cargas
Não-Lineares
forças de 
excitação
m.a = Fexc - c.v - k.x
M.a
forças de radiação e 
restauração (massa 
adicional, amortecimento e 
hidrostática)
força resultante no 
sistema flutuante
= Fm + Ffk + Fd – A.a – B.v – B2.v.|v| - C.x
amortecimento viscoso
• Ffk : Força de Froude-Krilov
– Considera a pressão devido 
à ação da onda não 
perturbada pelo corpo.
• Fd : Força deDifração
– Considera a modificação da 
pressão da onda devido à 
presença do corpo.
Forças atuantes sobre a unidade quando ela tem seu movimento restringido, 
ao mesmo tempo em que é sujeita à ondas incidentes.
▪1ª Ordem
- Forças grandes
- Mesma frequência da onda
- Relacionada à elevação da onda
- Proporcional à amplitude da onda (linear)
▪2ª Ordem
- Forças pequenas
- Baixa frequência
- Relacionadas ao grupo de ondas
- Proporcional ao quadrado da amplitude da 
onda
• Fm : Força de Morison
- Considera a parte viscosa da força.
É a força induzida pelo campo de pressões gerado pelas ondas não perturbadas 
pelo corpo (o corpo é suficientemente pequeno para não influenciar as ondas).
Onde Ffk = força de Froude-Krilov
Sw = área da superfície molhada do corpo flutuante
p = pressão da onda não perturbada p = ρ g ekz ζa sin (ωt - kx) 
n = vetor normal ao corpo, apontando para a direção da água
Ffk = - p n ds∫∫
Sw
• Esta expressão é corrigida através de coeficientes que são determinados
experimentalmente
• Importante quando a amplitude do movimento é grande.
• Em termos práticos ela pode ser aplicada quando a dimensão do corpo é bem
menor que o comprimento de onda.
• Se for integrada ao longo da superfície molhada instantânea do corpo, pode
ser considerada não linear.
William Froude
Engenheiro inglês 1810-1879
Alexei Nikolaievich Krylov
Engenheiro naval russo 1863-1945
Integração da pressão da água ao longo da 
superfície molhada média do corpo
Difração é o fenômeno que ocorre quando as ondas 
contornam um objeto cuja dimensão é da mesma ordem 
de grandeza do seu comprimento. A onda ao contornar 
um obstáculo sofre uma variação na trajetória, podendo 
então se combinar com outras linhas de fluxo e dessa 
forma produzir máximos e mínimos diferentes daqueles 
que iriam ocorrer se o corpo não estivesse presente.
Slide 37
• Como resultado a pressão da onda é 
modificada devido à presença do corpo. Deve 
ser tratada com cuidado especialmente quando 
λ < 5 D.
• Integral da pressão ao longo do corpo, com 
condições de contorno associadas à presença 
do corpo e diferentes das condições para 
massa adicional e teoria potencial.
Gibraltar
componente inercial componente viscosa
uuCD
dt
duCAF dmm .....
2
1
..  +=
(soma de uma componente inercial em fase com a aceleração local do fluxo e uma componente viscosa de arrasto proporcional ao quadrado da velocidade do 
fluxo)
Inicialmente desenvolvida para força de onda em cilindro vertical fixo,
posteriormente ampliada para cilindro inclinado, cilindro livre, cilindro livre em
correnteza, cilindro livre em ondas e cilindro livre em ondas e correnteza.
Área
seccional
Coeficiente
de massa
adicional Diâmetro
Coeficiente
de arrasto
Força horizontal 
por unidade de 
comprimento
Formulação semiempírica para a força em um corpo submetido a um fluxo 
oscilatório, aplicável a corpos com dimensões muito menores que o comprimento 
da onda (D < 0.05ʎ) - a onda “não sente” a estrutura. ʎ
z
u(z,t)
D
d
H
• Aplicações : Risers, umbilicais, linhas de ancoragem, jaquetas, pilares,
pernas de jackups, bracings, etc.
• Fatores que afetam Cm e Cd
- Número de Reynolds (para escoamento com velocidade constante) : Re = v.D / 
- Número de Keulegan-Carpenter (para escoamento oscilatório) : KC = vm.T / D
- Rugosidade :  = k / D
Onde D = diâmetro [m]
T = período da onda ou de oscilação [s]
k = altura da rugosidade [m]
v = velocidade total do escoamento [m/s]
 = viscosidade cinemática do fluido [m2/s]
vm = velocidade orbital máxima da partícula [m/s]
- Efeitos de parede
- Vibração induzida por vórtices (VIV)
- Comprimento finito
- Distância à superfície livre
- Efeito de sombra
- Forma da seção transversal
• Valores de referência para Cm (CA na tabela) : DNV RP-C205
• Valores de referência para Cd : DNV RP-C205
Slide 41
0=dC


D
D
H
▪Região V
▪ Efeitos viscosos e potenciais importantes. Utilize 
Morrison.
▪Regiões III e IV
- Algum arrasto, porém inércia é mais importante.
- Em III ignore a difração.
▪Regiões I e II
- Sem separação apreciável do escoamento, 
efeitos viscosos confinados à camada limite, 
solução do problema via teoria potencial.
- Em I ignore a difração, aproximação de FK pode 
ser utilizada.
- Em II considere os efeitos de difração da onda.
0 0  dm CC
10510.50.10.050.01
0,01
0.05
0.1
0.5
1
5
10
50
GRANDE ARRASTO
DEEP WATER
BREAKING WAVE
CURVE
VI
V
III
IV
II
INÉRCIA E ARRASTO
POUCO ARRASTO
GRANDE INÉRCIA
ARRASTO DESPREZÍVEL
DIFRAÇÃO
DESPREZÍVEL
TOTALMENTE INERCIAL
REGIÃO DE
DIFRAÇÃO
I
• Quais os regimes de força hidrodinâmica para :
a) Uma FPSO com comprimento de 200m em ondas de 
comprimento 150m e altura 8m ?
b) Um riser de diâmetro 0,5m em ondas de comprimento de 
50m e altura de 4m ?
FPSO
D=200m λ=150m H=8m → πD/λ=4 H/D=0,04 → Forças de difração
Riser
D=0,5m λ=50m H=4m → πD/λ=0,03 H/D=8 → Forças de inércia e arrasto
• Em um cilindro vertical com massa desprezível, diâmetro D=1m e 
comprimento submerso L=5m, em água salgada, em movimento oscilatório 
horizontal com amplitude de ζ=1m e período de T=10s, qual é a força 
medida no topo ? Considere Cd=1 e Cm=2.
LuuCD
dt
duCAF dm 




 += .....
2
1
.. 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
= 0.628
𝐴 = 𝜋𝐷2/4=0.785
𝑢 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= ζ.cos(𝜔t) 𝑑𝑢
𝑑𝑡
= -ζ.sin(𝜔t)x=ζ.sin(𝜔t)
)628.0cos()628.0cos(563.2)628.0sin(04.8 tttF +−=
• A.a : Massa adicional
– Proporcional à aceleração do corpo.
• B.v : Amortecimento potencial
– Proporcional à velocidade do corpo.
• B2.v.|v| : Amortecimento viscoso
– Proporcional ao quadrado da velocidade
• C.x : Forças de restauração hidrostática
– Proporcional ao deslocamento da embarcação em relação à sua posição original
Forças potenciais
Forças atuantes sobre a unidade quando ela é forçada a oscilar em águas 
tranquilas.
As forças de radiação aparecem devido ao movimento da embarcação : a
mudança no momento do fluido devido ao movimento do casco altera a
distribuição de pressões ao longo do casco, induzindo as ondas.
• Estas forças tem duas componentes :
– Proporcional às acelerações
– Proporcional às velocidades
Se o movimento da embarcação na direção i for harmônico podendo ser 
descrito por :
Então, após integrar a pressão sobre a superfície do casco, as forças de 
radiação na direção j devido ao movimento na direção i tomam a seguinte 
forma :
• Os coeficientes que multiplicam às acelerações são chamados de 
coeficientes de massa adicional, embora nem todos tenham unidade de 
massa (alguns são inércia). Os termos de massa adicional nos dão as forças 
devido às acelerações do fluido a medida em que a embarcação oscila.
• Os coeficientes proporcionais às velocidades são chamados de coeficientes 
de amortecimento potencial, e representam a energia transportada para 
longe com as ondas geradas pelo movimento do casco.
( )ti  cos=
( ) ( ) iijiijjrad BA   −−=,
Forças e momentos são obtidos integrando a pressão sobre a superfície molhada 
média Sw
( )
( )






=







−
=







−
−

4,5,6i 
1,2,3i 
dsnr
t
dsn
t
i
S
rad
i
S
rad
irad
w
w
.
.
3
,



1
2
3
4
5
6
força ou momento
• A.a : Massa adicional
– O movimento do corpo em aceleração irá 
mover algum volume do fluido.
• B.v : Amortecimento potencial
– Energia transportada para longe devido às 
ondas geradas pelo movimento do corpo.
Slide 49
Mesmo na ausência de onda 
incidente, um corpo em 
movimento cria ondas e 
portanto, forças de inércia 
potenciais.
Relembrando, devido ao movimento forçado do corpo, teremos :
• Os coeficientes de massa adicional e amortecimento 
dependem da :
‒Forma da embarcação
‒Velocidade de avanço
‒Profundidade da água
Massa adicional e amortecimento em 
afundamento para barcaça retangular simétrica
• As matrizes de massa adicional e amortecimento têm dimensões 6 x 6,
portanto temos 36 coeficientes de massa adicional e 36 de amortecimento a
serem calculados.• Se a estrutura não tem velocidade de avanço (ou sua velocidade é
longitudinal), e tem um plano de simetria longitudinal, metade dos
coeficientes é nulo.
• Se a estrutura tem velocidade nula e não há corrente, as matrizes de massa
adicional e amortecimento são simétricas.
( ) ( )
( ) ( )

jiij
jiij
BB
AA
=
=
• Em um fluido real, a fricção também causa amortecimento, vórtices e o 
fenômeno da separação da camada limite.
• B2.v.|v| : Amortecimento viscoso
– Importante quando a amplitude do movimento é grande.
– Devido à geração de vórtices e fricção.
– Proporcional ao quadrado da velocidade.
• C.x : Forças de restauração
– Em um contexto físico, forças de restauração são forças variáveis que tentam
levar um sistema perturbado de volta ao seu equilíbrio.
– As forças são proporcionais ao deslocamento do corpo em torno do seu equilíbrio.
• Forças hidrostáticas
• Linhas de ancoragem
• Risers e umbilicais
• Cabos de reboque
• Mangotes de transferência
• Etc.
• Algumas forças de restauração podem
ser idealizadas de modo diferente :
– Leme
– Estabilizadores ativos
– Impelidores laterais
para pequenos 
deslocamentos
x
y
dx
F
y
x
• Área da linha d’água
• Volume de deslocamento da embarcação 
• Centro de flutuação F (centro de flutuação) :
• Momento de inércia longitudinal
• Momento de inércia transversal 
• Raios metacêntricos
= dxyAwl .2
wl
F A
dxyx
x =
..
= dxyxIL ..2
2
= dxyIT
3
3
2
 == TTLL IBMIBM
LC
Centro de 
carena
Centro de 
gravidade
Metacentro

• Não há restauração no plano horizontal.
– C33 : Restauração do heave devido ao heave
– C35 : Restauração do heave devido ao pitch
– C44 : Restauração do roll devido ao roll
– C53 : Restauração do pitch devido ao heave
– C55 : Restauração do pitch devido ao pitch
M
wlgAC =33
GMgC = 44
LGMgC = 55
wlF AgxC =35
3553 CC −=
Avalie os períodos naturais de uma semi-submersível com as seguintes
características :
• 6 colunas cilíndricas (3 por bordo) com 10m de diâmetro
• 2 pontões retangulares com 15m largura, 6m altura e 90m comprimento
• Calado 21m
• GMT=GML=1.5m
• Raio de giração x = y = 15m
• Cmad22=0.7. Cmad44=Cmad55=0.3
• K33=ρgAwl
• K44=ΔgGM
T
Slide 56
Determinando a 
Resposta
Teste de Modelo em Peersless Pool (Londres – 1761)
corpo em movimentoonda incidente
onda irradiada e refratada
Conservação da massa Equações de campo dentro do fluido
Conservação do momento Equações do movimento do corpo
Condições de contorno
Hipótese básica : fluido invíscido
Equações :
U
Equação geral de Navier-Stokes : 0
1
=•+ v
Dt
D 

• Hipótese 1: Fluido incompressível
0
0
=•
=
v
Dt
D


• Hipótese 2 : Movimento irrotacional
=
=
v
v


0
• Hipóteses 1 e 2 dão a seguinte equação do domínio do fluido :
( ) 0,,,2 = tzyx
A densidade é constante.
O divergente de velocidades é nulo.
(água que entra = água que sai)
O rotacional de velocidades é nulo.
A velocidade pode ser expressa como o
gradiente de uma função potencial.
O Laplaciano do campo de potencial de
velocidades é nulo.
então
então
A variação da massa em um
volume infinitesimal é igual
à massa que nele entra menos
a massa que sai.
Slide 58
No leito do oceano (z = -d) : 0=


=
n
vn

rad =
nVn
=


Slide 59
• No infinito : 
• No corpo : 
• Na superfície livre (z = 0) : 
– Condição de contorno cinemática : uma partícula do fluido que está na 
superfície livre lá permanece.
– Condição de contorno dinâmica : A pressão atmosférica é considerada 
nula pois uma pressão constante não exerce força resultante sobre o 
corpo.
A velocidade do fluido normal ao fundo é nula.
A onda não sofre perturbação no infinito.
A velocidade normal do fluido se iguala
a velocidade normal do corpo.
0.
2
=


+


z
g
z

• As partes estruturais tem dimensões comparáveis ao comprimento da onda
(grandes volumes).
• Efeitos viscosos são negligenciados.
• É incluída a distorção nas ondas devido à presença da estrutura.
• São criadas ondas devido ao movimento da estrutura.
• Teoria linear.
Slide 60
John Nicholas Newman
Engenheiro naval americano 1935-
• Assume que a amplitude da onda é “pequena”.
• Expande todas as condições de superfície livre em torno no nível médio do 
mar e mantém somente os termos proporcionais à amplitude da onda.
• O movimento da estrutura é da mesma ordem de grandeza da amplitude da 
onda.
• Expande todas as condições da estrutura em torno de sua posição média e 
mantém somente os termos proporcionais ao movimento da embarcação.
 A grade computacional (modelo de painéis) é a mesma o tempo todo.
Modelo linear – vista superior Modelo linear – vista inferior Modelo não-linear – vista inferior
• As cargas induzidas por um mar irregular podem ser obtidas por superposição 
linear de componentes regulares.
• Assumindo um regime permanente, com todos os efeitos transientes 
negligenciados, as cargas e a resposta dinâmica da estrutura está oscilando 
harmonicamente com a mesma frequência de encontro das ondas incidentes.
• Este tipo de análise é conhecida como “análise no domínio da frequência”, e 
os resultados são apresentados em função da frequência de encontro.
S(
f)
f f f
R
A
O
(f) 2 Z(f)
O RAO (Response Amplitude Operator), também conhecido como Função de 
Transferência, é um conjunto de estatísticas da unidade flutuante, 
normalmente calculados para todos os seus movimentos, em todas as 
direções e frequências de onda ω.
• Efetivamente é utilizado para determinar o efeito que um determinado 
estado de mar acarretará sobre o movimento da unidade.
• RAO só tem sentido se assumirmos que os movimentos da unidade são 
lineares, ou seja, proporcionais à altura da onda, e que o princípio da 
superposição funciona.
• Pode ser obtido de :
– Predições numéricas (software)
– Experimentos em tanques de
prova
• Se considerarmos a equação do movimento
então
• RAO é a resposta à onda unitária como função do período de onda e sua 
direção. 
  )()()(  FCxxBxAM =+++ 


)()]([
)RAO(
2
0
iBAMC
Fx
a ++−
==
RAOEntrada : MAR Saída : MOVIMENTOX
2
• Em boa parte das situações não nos basta a resposta RAO de amplitudes 
para avaliar as acelerações e movimentos em um ponto da embarcação.
• Exemplo : a aceleração vertical em um ponto do bordo da embarcação 
depende da conjugação dos movimentos de heave, pitch e roll.
Está difícil 
embarcar na 
baleeira !
▪Precisamos também dos ângulos de fase das
respostas de modo a combiná-las adequadamente.
▪A função de transferência RAO é mais facilmente
tratada como uma variável complexa
Entrada
Saída
CR
i iFFeFH +== ),(),(),( 
)Re()cos( tiet  =
)),(Re( tieH 
Combinação
RAO de 
Carregamento
RAO de 
Carregamento 
para Movimento
RAO de 
Movimento
( )ti( )t
( )t ( )ti
Movimento
Elevação da superfície do mar
exc
• RAOs de forças são representados por F(j,ω).
RAOs de forças 
sobre barcaça.
RAOs de 
movimentos sobre 
barcaça.
• RAOs de movimentos são representados por H(j,ω).
• Para uma onda regular
as forças lineares de excitação serão :
• A amplitude e fase das forças de excitação dependem de :
– Ângulo de encontro (frequência das ondas, velocidade da embarcação, ângulo de 
aproamento relativo às ondas)
– Amplitude das ondas
– Velocidade de avanço
( ) += ti cos
( ) ( )  iiiexc t += cos,
( )










cos
cos
2
cosencontro de relativa velocidade
cos encontro de relativa velocidade
2
U
g
Uc
Uc
T
Uc
e
e
e
−=
−=
−
==
−=
em águas profundas
Quando estudamos o comportamento de embarcações é importante considerar 
a frequência no qual ela encontra as ondas fe. Esta frequência depende da 
velocidade das ondas c, da velocidade da embarcação U e da direção das ondas 
em relação à embarcação β.
β
c
U
c
λ


cos
▪Portanto, frequência de encontro é a frequência 
das ondas experimentada pelo navio.
Johann Cristian Andreas Doppler
Físico austríaco 1803-1853








cos
2
1
)(
)(
)(
)(
)()(
00
g
U
SS
d
d
SS
dSdS
e
e
e
ee
−
=
=
=

em águas
profundas
ω [rad/s]
Do ponto de vista da embarcação, o espectro da onda é transformado quando
ela se encontra em movimento. Entretanto, a energia total do oceano deve ser
constante, seja visto de um observador estacionário ou um que esteja se
movendo.
• Afundamento (squat)
• Mudança no trim
• Queda da pressão no corpo paralelo
Ernest Oliver Tuck
Matemático australiano 1939-2009
Sem velocidade de avanço
Velocidade de avanço 13 nós
RAO Heave PSV
• Para uma análise no domínio da frequência pelo menos 30 frequências devem
ser analisadas.
• Um espaçamento entre frequências não maior que ζω0 deve ser utilizado.
• Na região da ressonância um menor espaçamento ainda deve ser utilizado.
• Existem alguns problemas relacionados à interação ondas-estrutura que não 
podem ser descritos unicamente pela teoria linear.
• Os problemas não lineares tentam descrever mais precisamente as condições 
na superfície livre e no corpo em valores instantâneos ao invés de valores 
médios.
• Um modo conveniente de resolver este tipo de problema é utilizando a análise 
de perturbação.
• Na teoria de segunda ordem os problemas são resolvidos até a segunda 
ordem da amplitude da onda incidente, ou seja, termos potenciais e de 
pressão proporcionais à amplitude e ao quadrado da amplitude da onda são 
considerados.
• Os efeitos do carregamento de segunda ordem são importantes para 
estruturas que são mantidas em posição através de linhas de ancoragem ou 
sistemas de DP, ou para embarcações que sigam trajetórias definidas. 
Tempo
F
or
ça
Componente de baixa frequência
Componente de alta frequência
Componente médio
• Forças de deriva média : Determina a posição de equilíbrio de sistemas
ancorados (juntamente com o efeito de vento e correnteza). São importantes
no projeto de linhas de ancoragem e sistemas de posicionamento dinâmico.
• Forças de deriva lenta : Estas forças tem frequências muito menores que a
frequência de elevação das ondas. Elas podem excitar modos de ressonância
na posição horizontal da embarcação, com períodos típicos de 1 a 2 minutos.
• Forças de alta frequência : Estas forças tem componentes em frequências
superiores à frequência das ondas, podendo excitar modos de ressonância na
estrutura, com períodos de 2 a 4 segundos.
Uma maneira simples de evidenciar os efeitos de segunda ordem no problema é 
olhando o termo quadrático na equação de Bernoulli : 
então
Considere o caso onde 
então 
C
t
p =++ 


 .
2
1
2
3
2
2
2
1. VVV ++= 
2
3
2
2
2
1. VVV ++= 
( ) ( )
( )  ( ) tAAtAA
tAtA
AAV
21212121
2
2
2
1
2
1
2
2
2
12
1
coscos 
2cos
2
2cos
2
 
22


++−+
++
+= Componente médio Componentes de variação rápida
Componente de 
variação lenta
Ancoragem em SPM de petroleiro 200.000 TDW
Em mar irregular as forças de deriva contém componentes com frequências
coincidindo com a frequência natural dos movimentos horizontais de navios
ancorados. Como o amortecimento destes movimentos é pequeno, sua
amplitude tende a ser grande.
Slide 76
• Se o sistema é linear, de modo que seu comportamento seja linearmente 
dependente do seu deslocamento, velocidade e aceleração, então seu 
comportamento pode ser estudado no domínio da frequência.
• Entretanto, há casos mais complicados que violam estas hipóteses lineares, 
tais como amortecimento viscoso, forças e momentos devido à correnteza, 
vento, ancoragem, sem mencionar os efeitos de segunda ordem das ondas.
• Nestes casos, o princípio da superposição 
não se aplica, e somos forçados a solucionar 
as equações do movimento em função do 
tempo.
• É importante para predição de cargas 
extremas, slamming, slow drift, rigging e 
análise acoplada.
Slide 77
• Em fluidodinâmica, massa adicional ou massa virtual é a inércia adicionada 
ao sistema pois um corpo acelerando movimenta algum volume de fluido a 
medida em que se move.
• Por simplicidade ela é modelada como algum volume do fluido se movendo 
com o corpo, mas na realidade “todo” o fluido é acelerado em vários graus.
• O coeficiente de massa adicional é a massa adicional dividida pelo volume do 
fluido deslocado.
• Para embarcações, a massa adicional pode facilmente atingir de 25 a 35% da 
massa da embarcação, representando uma inércia significativa.Slide 79
• Para corpos esbeltos o movimento do fluido pode ser formulado como um 
problema 2D, onde a variação do fluxo no plano transversal da embarcação é 
muito maior que a variação na sua direção longitudinal.
• O princípio da teoria das faixas envolve a divisão da parte submersa do corpo 
em um número de fatias definido. Então, os coeficientes para massa adicional 
podem ser calculados para cada fatia e então integrados ao longo do 
comprimento do corpo para obter os coeficientes 3D.
Como calcular os coeficientes para uma seção 
transversal de um casco real ?
Plano de Balisas Cargueiro Convencional – Série BSRA
Odd Magnus Faltisen
Matemático norueguês 1944-






+++++++=+= −13
4
2
32
10 ... n
naaaaaaizyX


Ela envolve uma função de transformação utilizando números 
complexos, que preserva os ângulos e formas locais 
infinitesimais.
É uma técnica matemática usada para relacionar o 
escoamento conhecido de um fluido (seja 
matematicamente ou experimentalmente) em torno de 
uma forma conhecida com o escoamento em torno de 
outra forma a qual se quer analisar.
• Primeira aproximação (Lewis 1929)
– A transformação era aproximada por dois coeficientes da seção : a proporção entre a 
meia boca e o calado e o coeficiente de área da seção.
• Aproximações atuais
– Outras formulações para as seções, onde centroides da área e momentos de várias 
ordens são utilizados.
• Vantagens e desvantagens :
– Soluções suaves em toda a faixa de frequência, sem irregularidades.
– Cantos vivos não são bem representados.
– Seções com coeficiente de área seccional muito baixa não são bem representados.
– Não trata áreas seccionais totalmente submersas, como proa bulbosa.
ss
s
s
s
s
TB
A
T
BH
=
=

0
Bs /2
Ts
As
seção real seções de Lewis
Johan M. J. Journeé
Engenheiro naval holandês 1941-
Slide 82
• É um método numérico para o cálculo do escoamento potencial em torno de 
um corpo, onde o potencial de velocidades é representado por uma 
distribuição de singularidades (fontes-dipolos) sobre a superfície molhada do 
corpo.
• Originalmente desenvolvido para quando não havia velocidade de avanço, 
posteriormente foi aperfeiçoado distribuindo-se fontes de Rankine sobre a 
superfície do corpo e a superfície livre do fluido.
• O métodos dos painéis divide a superfície do navio e do fluido ao redor em 
elementos discretos (painéis). Em cada um destes elementos uma 
distribuição de fontes e sumidouros é definida, satisfazendo a equação de 
Laplace.
William John Macqueorn Rankine
Engenheiro escocês 1820-1872
• O comprimento da diagonal dos painéis deve ser menor que 1/6 do menor 
comprimento de onda analisado (1/8 segundo Faltisen).
• Uma malha mais densa deve ser aplicada em áreas com mudanças bruscas de 
geometria (cantos vivos).
• Quando modelando estruturas finas de paredes com água em ambos os lados 
o tamanho do painel não deve exceder 3 a 4 vezes a espessura da parede.
• Uma malha mais densa deve ser aplicada na região da linha d’água quando 
calculando forças de deriva de ondas.
• Devem ser realizados testes de convergência através do aumento progressivo 
do número de painéis.
• No cálculo de elevação da superfície da água e velocidades do fluido uma 
malha mais densa, da ordem de 1/10 do menor comprimento de onda, deve 
ser utilizada.
• Interação entre vários corpos (por ex., FPSO e aliviador 
lado a lado).
• Águas rasas ou restritas (aumento da massa adicional 
e efeitos de difração não lineares).
• Efeitos do moonpool. Dependendo das suas dimensões, 
o RAO de heave pode ser fortemente influenciadopelo 
movimento do fluido dentro do moonpool.
• Sloshing nos tanques. Dependendo dos movimentos do 
corpo na ressonância e da oscilação do fluido nos 
tanques, pressões de amplificação dinâmica nas 
paredes do fluido podem ocorrer.
Thor I. Fossen
Engenheiro naval norueguês 1963-
• DNV “DNV-RP-C205 Environmental Conditions and Environmental Loads”
• F. M. Lewis. (1929) “The Inertia of Water Surrounding a Vibrating Ship”, Transactions, 
SNAME.
• Faltinsen, O.M. (1990) “Sea Loads on Ships and Offshore Structures”, Cambridge 
University Press, Cambridge, UK
• Newman, J.N. (1977) “Marine Hydrodynamics”, MIT Press, Cambridge, MA, USA
• Sarpkaya, T (1979) “Mechanics of Wave Forces on Offshore Structures”, Van Nostrand 
Reinhold Company, New York, USA
• Jensen, J.J. (2001) “Load and Global Response of Ships”, Elsevier Science Ltd., 
Oxford, UK
• Chakrabarti, S.K. (2003) “Hydrodynamics of Offshore Structures”, WIT Press, 
Southampton, UK
• Fossen, T.I. (1994) “Guindance and Control of Ocean Vehicles”, John Wiley & Sons, 
Chichester, England
Slide 86
https://drive.google.com/drive/folders/18uuzfgTtx3C99z_rldXFWPR0UGecdHvm?usp=sharing
FIM DA PARTE II
A RESPOSTA DINÂMICA