IPETEC-CNO-Dinâmica de Estruturas Flutuantes - Parte I Excitação

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Profº João Henrique VOLPINI Mattos
E-mail: joao.volpini.mattos@gmail.com
WhatsApp: (21) 98132-6927
Agradecemos a todos os nossos antigos colegas da DNV que contribuíram com o meu aprendizado para este trabalho;
Aanund Berdal, Bruna Nabuco, Cecília Cintra, Pascal Le Gal, Fan Zhang, Glenn Davis, Jan Henrik Berg-Jensen, Jeremy
Linn, Jo Ovstaas, Leonardo Brandão, Mariana Fortes, Ole Jan Nekstad, Paula Nascimento, Renata Grabowsky, Rune
Nysveen e Salvatore Ponzio.
Agradecimentos especiais aos professores e pesquisadores da COPPE/UFRJ; Alexandre Alho, Luiz Vaz Pinto, Luis
Sagrilo, Marcelo Almeida, Sergio Sphaier, Severino Neto, Theodoro Netto e Ulisses Monteiro
mailto:joao.volpini.mattos@gmail.com
VOLPINI é engenheiro naval formado pela UFRJ em 1980. Desde antes de 
formado, trabalhou no Estaleiro Mauá, alcançando a posição de chefia do setor 
de Arquitetura Naval.
Após tentativa frustrada de terminar o mestrado em hidrodinâmica na COPPE 
(faltou a finalização da tese – Cálculo de Vibração em Propulsores pela Teoria 
da Circulação), e com o fechamento da indústria naval, se envolveu com o 
desenvolvimento de sistemas para várias áreas da engenharia.
Foi sócio de empresas de informática 1988 a 2000, quando desenvolveu e 
aprovou um microcomputador para uso marítimo. Primeiro representante 
Autodesk no Rio de Janeiro, escrevendo livros e artigos sobre o assunto. 
Fez MBA em Análise de Sistemas e, após breve passagem por uma 
empresa desenvolvedora de sistemas de manutenção preditiva para 
plataformas e navios, foi gerente comercial e instrutor da DNV Software 
para os aplicativos de análise estrutural e hidrodinâmica de sistemas 
flutuantes.
Desde 2012 é o engenheiro responsável pela frota da CCR Barcas (20 
embarcações e 15 flutuantes).
joao.volpini.mattos@gmail.com (21)98132-6927
ENGENHARIA DE CONSTRUÇÃO NAVAL E OFFSHORE ENGENHARIA DE MANUTENÇÃO NAVAL E OFFSHORE
COMPETÊNCIAS E PERFIL DO ESPECIALISTA
O Curso de Pós-graduação em Engenharia de Construção
Naval e Offshore prepara o aluno para entender vários
processos relativos à construção naval e offshore, desde a
preparação da chapa, à entrega do navio.
O egresso do curso estará apto a realizar atividades de
gestão e planejamento ou análise de processos em
estaleiros, embarcações e oficinas.
Turmas em andamento
COMPETÊNCIAS E PERFIL DO ESPECIALISTA
O Curso de Pós-graduação em Engenharia de Manutenção
Naval e Offshore apresenta os principais conceitos em
processos na construção naval, máquinas e sistemas
navais, sistemas elétricos e eletrônica embarcada.
O egresso do curso estará apto a analisar: tratamento de
superfícies, proteção anticorrosiva e soldagem; gestão de
manutenção; análise de risco e falhas; práticas de
manutenção e docagem para reparação naval.
Primeira turma: 07/08/2021
METODOLOGIA A DISTÂNCIA
✓ As aulas são 100% ao vivo, transmitidas por videoaulas.
✓ Essa metodologia privilegia a interação, em tempo real, entre o professor e alunos da turma, possibilitando, ainda, durante a aula, 
trabalhos em grupos em salas virtuais.
✓ As aulas transmitidas ao vivo são gravadas e disponibilizadas na plataforma do aluno, juntamente com o material didático, 
enviado previamente pelos professores como conteúdo suplementar de apoio.
✓ Horários:
Sábados quinzenais das 08:30h às 17:30h ou
Noite: segundas e quartas quinzenais ou terças e quintas quinzenais das 18:30h às 22h
https://www.ipetec.com.br/engenharia-de-construcao-naval-offshore-ead/
https://www.ipetec.com.br/engenharia-de-manutencao-naval-e-offshore-ead/
OBJETIVOS
Na área marítima, principalmente em regiões de mar aberto, 
as ondas tem papel fundamental sobre o comportamento de 
estruturas flutuantes, seja um navio ou plataforma. Elas 
afetam não só a manobrabilidade e velocidade da 
embarcação, a estrutura do casco sobre a qual incidem, mas 
também às outras estruturas e equipamentos a ele 
conectados, devido às acelerações dos movimentos 
decorrentes deste impacto.
Os objetivos desta aula é dar uma ideia de como este tipo de 
problema é abordado, apresentando mas não se detendo 
muitos detalhes matemáticos ou dos softwares utilizados.
TÓPICOS PRINCIPAIS
✓ Parte I : A Excitação das Ondas
✓ Parte II : A Resposta Dinâmica
✓ Parte III : A Resposta Estrutural
Avaria da proa recebida pelo petroleiro norueguês Wilstar em 
1974, causada pela combinação do movimento caturro e uma 
onda de grande altura
Porta-container ONE Apus (2019 – 14.000 TEU), perde mais de 1.000 
containers no Pacífico em novembro/2020, entre o EUA e a China.
PARTE I
A EXCITAÇÃO DAS ONDAS
• Alguma Matemática (não tão) Básica
• Física (meio) Básica
• Ondas de Gravidade
• Características Físicas das Ondas
• Medindo as Ondas
• Ondas Regulares
• Ondas Irregulares
• Alguma Estatística (não tão) Básica
• Espectros
• A Onda Centenária
• Vento
• Correntes
• As Vezes a Matemática Falha
Algumas características do comportamento de estruturas flutuantes em ondas são
importantes no seu projeto, sob o ponto de vista da segurança e conforto :
– Movimentos e acelerações em diversos pontos do casco
– Tensões ocorrentes em pontos do casco.
– Ocorrência de batida de proa (slamming).
– Incidência de água no convés (green sea).
– Ocorrência de emersão do propulsor.
– Perda de velocidade em ondas.
– Dificuldade de manobras.
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Para calcular tudo isto, o primeiro passo é uma 
compreensão adequada das ondas : seu comportamento 
real, seus modelos matemáticos, sua distribuição no 
tempo e no espaço, ...
Slide 7
Alguma
Matemática
(não tão)
Básica
• Você que provavelmente tem um background em matemática, engenharia civil, mecânica dos 
fluidos ou física, certamente não tem medo de derivadas parciais ou funções de transferência 
quadráticas …
Ou tem ?
• Na matemática aplicada à hidrodinâmica, temos que conhecer alguns conceitos; cálculo 
vetorial, equações diferenciais, operadores diferenciais, transformada de Fourier, números 
complexos, estatística...
• Não que este conhecimento seja fundamental à compreensão deste texto, mas será se quiser 
ler posteriormente algum livro ou artigo sobre o assunto.
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Slide 9
LETRA NOME UTILIZAÇÃO
α Alpha
β Beta
Ângulo entre o aproamento e a 
direção da onda, parâmetro de 
escala de Weibull
γ Gamma Fator de intensificação de pico, assimetria
δ Delta Amplitude da onda
ε Epsilon Largura de banda
ζ Zeta Elevação da onda
η Eta
θ Teta Parâmetro de localização de Weibull, ângulo de arfagem
ι Iota
κ Kappa
λ Lambda Comprimento da onda
μ Mu Profundidade relativa, média estatística de valores
LETRA NOME UTILIZAÇÃO
ν Nu Coeficiente de viscosidade cinemática
ξ Xi Fator de amortecimento
ο Omicron
π Pi 3.1415926535897932384626...
ρ Rho Densidade
σ Sigma Desvio padrão
τ Tau Período de retorno
υ Upsilon
φ Phi
Função de distribuição
acumulada, ângulo de jogo, 
potencial de velocidades
χ Chi
ψ Psi Ângulo de guinada
ω Omega Frequência angular
• O produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores A e B é 
um número real resultado do produto do comprimento de A pela 
projeção de B em A
• Em um sistemas de coordenadas ortonormal de n dimensões, onde
então 
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( )cos. BABA

=•
( )
( )
nn
n
i
ii
n
n
babababa
bbb
aaa
+++==•
=
=

−
 
 
 
...
,,...,
,,...,
2211
1
21
21
BA
B
A



A
B
|B|cos(θ)
• O produto vetorial (ou produto externo) entre dois vetores A e B no espaço 
tridimensional é um outro vetor perpendicular a ambos os vetores (ou normal 
ao plano formado por ambos)
• Em notação matricial, se
então
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A
A ₓ B
B
|A ₓ B|
( )nBABA ˆsin. 

= n é o vetor unitário perpendicular tanto a A quanto a B
   321321321321 bbbbbbaaaaaia =++==++= kjiBkjiA

 e 










=−+−+−=
321
321122131132332 det)()()(
bbb
aaababababababa
kji
kjiBA

i, j, k são os vetores unitários nas direções x,y,z
Enquanto as funções trigonométricas geram círculos, as funções hiperbólicas 
vão gerar uma hipérbole.
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𝑥 = cos𝛼
𝑦 = sin 𝛼
𝑥 = cosh𝛼 =
𝑒𝛼 +𝑒−𝛼
2
𝑦 = sinh 𝛼 =
𝑒𝛼 − 𝑒−𝛼
2
x2 + y2 = 1
sincos
tan
sinh
cosh
tanh
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• Em vários processos físicos existem grandezas que variam com a posição e o 
tempo e que podem ser representadas por uma função f(x,y,z,t) que é 
denominada campo.
• Um campo é estacionário quando independe do tempo f(x,y,z).
• Um campo é escalar quando a grandeza característica do campo é escalar.
• Exemplos :
• A distribuição de temperatura em uma sala.
• A intensidade do som em um cinema.
• O campo magnético terrestre.
• A velocidade de escoamento da água em 
uma pia aberta.
Campo escalar
Campo vetorial
zyxzyxf sin53),,( 2 −+=
)3,5,53(),,( xyxzyzxzyxF +=

• Foi introduzido para utilização no cálculo vetorial para denominar o operador 
diferencial (derivada de um campo nas direções ortogonais). 
• Em coordenadas cartesianas
ou ou
• Em coordenadas cilíndricas
• Em coordenadas esféricas
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zyx ˆˆˆ
zyx 

+


+


=
zρ ˆˆ1ˆ
z

+


+


= 

kji
zyx 

+


+


=


ˆ
sin
1ˆ1ˆ


+


+


=
rrr
θr
i, j, k são os vetores unitários 
nas direções x,y,z












=
zyx
,,
ρ
William Rowan Hamilton
Matemático irlandês 1806-1865
Slide 15
• É uma função vetorial que indica o sentido e direção da maior alteração do valor uma função 
escalar por unidade de espaço.
• Suponha um campo escalar f(x,y,z), então
• Exemplo :
kji
z
f
y
f
x
ff


+


+


=
kji zyf
zyxzyxf
cos103
então
sin53),,( se 2
−+=
−+=
• O gradiente de f(x,y) em (x,y) é tangente à superfície no 
ponto (x,y), apontando para a direção de crescimento 
máximo de f(x,y).
• Em suma, o gradiente de uma função escalar é um vetor 
com módulo, direção e sentido que representa a taxa 
máxima de crescimento desta função escalar.
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• Divergente de um campo vetorial F é um escalar que representa o fluxo do vetor por unidade 
de volume
• Ele é calculado como o produto escalar entre o operador e um campo vetorial.
• Suponha um campo vetorial , então
• Ou seja, divergente é um operador que mede a magnitude da “fonte” ou “sumidouro” de um 
campo vetorial em um dado ponto, isto é, pode ser entendido como um escalar que mede a 
dispersão dos vetores do campo em um determinado ponto.
z
F
y
F
x
F zyx


+


+


=• F

dS
VVSV →
=•
)(0
.lim nFF

kjiF zyx FFF ++=

V é o volume em uma região arbitrária
S(V) é a superfície deste volume
n é o vetor normal à área
• Exemplo : Se o ar é aquecido em uma sala, ele irá se expandir em 
todas as direções. O divergente será positivo pois se observarmos um 
pequeno volume desta região teremos mais ar saindo do que entrando 
neste volume : uma fonte.
yyzyxyzyx sin21sin3 )55()cos10()23( +=−+=•−++−++−= VkjiV


Giuseppe Luigi Lagrange
Matemático e astrônomo italiano 1736-1813
Slide 17
• Suponha um campo vetorial , então
• Ou em termos matriciais
kjiF 







−


+







−


+







−


=
y
F
x
F
x
F
z
F
z
F
y
F xyzxyz
kjiF zyx FFF ++=

zyx FFF
zyx 





=
kji
F

A
Fds
c
A

→
=•
0
limˆ)( nF

• A direção do rotacional aponta para o eixo de rotação e sua magnitude é dada pelo módulo 
do rotacional.
• O rotacional de um campo vetorial pode ser entendido fisicamente como uma medida de sua 
circulação por unidade de área (vorticidade).
kjiVkjiV 265 )55()cos10()23( −+=−++−++−=

zyxyzyx
Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholçtz
Médico e físico alemão 1821-1894
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• O operador Laplaciano é um escalar definido como o divergente de um gradiente. Na verdade, 
isto é uma simplificação, pois ele também pode ser aplicado a campos vetoriais.
2
2
2
2
2
2
2
z
f
y
f
x
ffff


+


+


===•
• Exemplo : Fisicamente o Laplaciano pode ser visualizado 
como uma medida da “concavidade” ou mudança de direção 
de uma função - uma rampa linear teria Laplaciano nulo.
kjiFF zyx FFF
2222 ++==

Laplaciano escalar aplicado a um campo escalar.
Laplaciano vetorial aplicado a um campo 
vetorial. Pode ser encarado como a soma dos 
laplacianos dos componentes ortogonais.
Equação de Laplace ∇2𝑓 = 0
Pierre Simon Laplace
Matemático francês 1749-1827
• Se pensarmos em um ponto p0, é possível demonstrar que o 
Laplaciano nesse ponto é proporcional à diferença entre o 
valor médio do campo no elemento de volume em torno do 
ponto e o valor do campo em p0.
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• Em fluidodinâmica, um escoamento potencial é aquele que pode descrever o 
campo de velocidades como o gradiente de uma função escalar : o potencial 
de velocidades.
• Exemplo matemático
• Se o escoamento é potencial, então
• Se o fluido é incompressível, então
• O escoamento potencial não apresenta turbulência nem camada limite. 
=v
0= v
02 = 
)2,3(),(
23),(
=
+=
yx
yxyx
v

O rotacional é nulo
O Laplaciano é nulo
Slide 20
• Matematicamente, o Teorema de Green relaciona a integral de linha ao longo 
de uma curva fechada no plano com a integral dupla sobre a região limitada 
por esta curva.
• Seja C uma curva simples fechada derivável e D a região do plano delimitada 
por C. Sejam P e Q duas funções reais de variável real com derivadas parciais 
contínuas na região contendo D, então :
  




 
−


=+
C
D
dA
dy
P
x
QQdyPdx
• Na fluidodinâmica este teorema é utilizado para descrever o relacionamento 
pelo qual um fluido incompressível se move ao longo ou através de uma 
fronteira em um plano e o modo pelo qual ele se move dentro desta região.
George Green
Matemático inglês 1793-1841
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Física
(meio)
Básica
• 1ª Lei (Lei da Inércia)
• 2ª Lei (Princípio Fundamental da Dinâmica)
• 3ª Lei (Princípio da Ação e Reação)
Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de movimento 
uniforme em linha reta a menos que seja obrigado a mudar por 
forças impressas a ele.
A mudança do movimento é proporcional à força motriz impressa e 
se faz segundo a linha reta pela qual se imprime esta força.
A uma ação sempre se opõe uma reação igual em sentido contrário.
Isaac Newton
Físico inglês 1642-1727
00 == dt
dvF

avvpF 

m
dt
dm
dt
md
dt
d
====
)(
 −= abba ,, FF

Não é preguiça, é inércia !
• Para um fluxo permanente sem viscosidade e incompressível, um aumento na 
velocidade do fluido ocorre simultaneamente com uma diminuição na pressão 
ou na energia potencial do fluido.
constante 
2
2
=++

pghv
• O princípio de Bernoulli pode ser utilizado 
para justificar a força de sustentação de 
um aerofólio. Se o ar na parte superior do 
mesmo se move mais rapidamente do que 
na parte inferior, haverá uma diferença de 
pressão para cima.
Daniel Bernoulli
Matemático holandês 1700-1782
• São equações diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos 
Newtonianos. Elas são equações a derivadas parciais que permitem 
determinar os campos de velocidade e de pressão num escoamento. Estas 
equações estabelecem que mudanças no momento e aceleração de uma 
partícula fluída são simplesmente o resultado das mudanças na pressão e 
forças viscosas dissipativas (similar a fricção) atuando dentro do fluido.
• Em notação vetorial, assumem a seguinte forma
• Para escoamentos invíscidos (μ=0) chega-se à equação de Euler
Claude Louis Marie Henri Navier
Engenheiro e matemático francês 1785-1832
George Gabriel Stokes
Matemático e físoco irlandês 1819-1903
Vpg
Dt
VD 

2+−= 
Massa por unidade de 
volume vezes aceleração
Força gravitacional por 
unidade de volume
Força de pressão por 
unidade de volume
Força viscosa por 
unidade de volume
pg
Dt
VD
−=



• Milha Náutica : A definição atual da milha náutica (ou milha marítima) foi 
adotada em 1929 pela First International Extraordinary Hydrographic
Conference, realizada em Mônaco.
1 mn = 1852 m
Historicamente a milha náutica foi definida como sendoo comprimento de 1 
minuto de arco ao nível do mar, medida ao longo dos meridianos ou do 
equador.
A milha terrestre é definida como 5280 pés (1609,344 m), e historicamente foi 
definida na Roma antiga como a distância percorrida em 1000 passos por uma 
coluna de soldados.
• O nó (knot) é a unidade de velocidade normalmente utilizada nos meios 
marítimos.
1 nó = 1 mn/h = 1852 m/h = 0.5144 m/s = 1,852 km/h
O nome veio historicamente do processo utilizado 
para medir velocidades, onde uma corda com nós 
espaçados de 50 pés, amarrada a uma tábua de 
madeira triangular com pesos (para se manter 
afundada) era jogada pela popa. Uma ampulheta de 
30 segundos era utilizada, contando-se quantos nós 
passavam pela amurada neste intervalo.
50 ft x 0.3048 m = 0.51 m/s
30 s 1 ft
Demonstração :
Ondas de 
Gravidade
Slide 27
• Ondas geradas no meio fluido ou na interface entre a água e o ar, tendo 
como força de restauração principal a gravidade.
• Mesmo não transportando massa (ao menos na teoria linear), transportam 
energia (quem viaja é a forma da onda, não a matéria).
• A medida em que a profundidade aumenta, o 
movimento das partículas diminui. A uma 
profundidade igual à metade do comprimento da 
onda o movimento orbital das partículas é menos 
que 5% o da superfície.
• Correntes de ar : Resultante da 
ação do vento soprando em uma 
extensão suficiente da superfície do 
oceano (pista). 
• Correntes marítimas : Devido ao 
efeito dos campos de pressão 
atmosférica que geram os ventos e 
as correntes marítimas. 
• Marés : Associada a variação do 
nível médio da superfície livre da 
água, causada pela interferência da 
Lua e do Sol sobre o campo 
gravitacional da Terra.
• Deslocamentos de terra ou 
gelo.
Irregulares e randômicas em formato, altura, comprimento e velocidade de 
propagação.
• Classificação :
− Wind seas (vagas) : Geradas pelo vento no local, em geral não 
possuem uma direção coerente nem formato definido.
− Swell (marulho ou ondulação) : As mais comuns. se propagam 
por milhares de quilômetros, tendendo a se alinhar e agrupar em 
séries. Em um determinado local pode existir swell vindo de vários 
outros locais.
− Tsunami : Gerada por perturbações sísmicas (terremotos, erupções 
vulcânicas, etc.). Não oferecem perigo em alto mar.
− De capilaridade : Formadas no início das correntes de vento, 
morrem quando o vento termina, sendo amortecidas pela tensão 
superficial da água.
Em geral resultam do vento soprando sobre uma grande área do oceano 
(pista - fetch) durante um bom tempo.
• Inicialmente o movimento turbulento do ar começa a perturbar o 
equilíbrio da água pela ação de pulsos de pressão sobre a superfície, 
surgindo as ondas de capilaridade (ripples).
• Se o vento aumentar, as ondas começam a se formar e a interferir na 
passagem do vento. Ele encontra maior resistência para vencer as 
cristas e cavados e tem início a transferência de energia para a 
superfície da água.
• Se o vento continua por mais tempo e distância, a velocidade das 
ondas pode se igualar a sua velocidade (ou mesmo ultrapassá-la), 
formando o que é chamado de “mar totalmente desenvolvido” (a 
energia ganha do vento é igual à perdida para a gravidade).
Na figura podemos estimar a altura significativa das ondas, partindo dos 
valores de velocidade do vento (eixo vertical) e comprimento da pista (eixo 
horizontal), ou velocidade do vento e sua duração (linhas tracejadas), 
determinando a altura das ondas (linhas cheias).
V
el
o
ci
d
ad
e 
d
o
 v
en
to
 (
m
/s
)
Duração (h)
Comprimento da pista (km)
A
lt
u
ra
 (
m
)
60
1,5
3,6
• A altura da onda é limitada pela sua quebra.
• A altura máxima por quebra é dada por
• A altura máxima por quebra também pode ser mostrada como uma função do período da onda 
para diferentes profundidades, como no gráfico abaixo 





=



dHb
2tanh142.0
7

=bH• Em águas profundas
• Em águas rasas a altura de quebra pode ser 
tão baixa como 78% da profundidade local, 
mas em regiões extensas e muito planas 
pode diminuir a 55% da profundidade local. 
• Perdem energia devido ao espalhamento.
• Empinamento (shoaling). É o processo no qual a altura da onda aumenta a medida em que 
a profundidade diminui (a profundidade é considerada rasa quando d <= λ/20). Seu 
período é mantido, mas o comprimento e velocidades também diminuem.
• A onda quebra quando sua altura é maior que 78% da profundidade ou menor que 1/7 do 
seu comprimento.
• Dependendo da inclinação do fundo, da altura e do comprimento da onda (em águas 
profundas), a forma da arrebentação pode variar 
- Deslizantes : inclinação suave
- Tubulares : Inclinação intermediária
- Ascendentes : Inclinação acentuada. Na 
verdade as ondas nunca quebram.
• Propagam-se na interface de separação entre massas de água com 
densidades diferentes. Qualquer perturbação é suficiente para provocar estas 
ondas.
• Com frequência bem mais baixa do que as ondas de 
superfície (períodos entre 10 e 20 min), mas com 
amplitude significativamente maior (dezenas de 
metros), as ondas internas fazem com que as 
partículas que estão na superfície (como detritos, 
derramamento de petróleo, etc.) convirjam e se 
acumulem sobre os seus cavados.
Slide 37
Características
Físicas
das Ondas
Slide 38
Na análise de estruturas submetidas a carregamento de ondas, elas podem ser 
modeladas por métodos determinísticos ou estocásticos.
Quanto à
Regularidade
Quanto à
Linearidade
▪Ondas Regulares : São periódicas e uniformes, possuindo um 
comprimento λ, período T e uma altura H bem definidos.
▪Ondas Irregulares : pode ser representado pela superposição 
linear de ondas regulares com diferentes amplitudes, frequências 
e fases.
▪Ondas Lineares : Satisfazem as condições do movimento ser 
irrotacional e o fluido incompressível (a matéria não se desloca).
▪Ondas Não-Lineares : As partes “altas” da onda se movem mais 
rápido que as “baixas”. 
λ
AC
AT
Hx
z
• Comprimento da onda λ [m] é a distância entre duas cristas sucessivas.
• Período da onda T [s] é o intervalo de tempo para a onda percorrer um ciclo completo.
• Velocidade de fase é a velocidade de propagação da forma da onda [m/s].
• Frequência da onda [Hz] é número de ciclos que a onda realiza por unidade de 
tempo.
• Frequência angular da onda [rad/s].
• Número de onda [rad/m] é o número de ciclos da onda por unidade de comprimento.
T
c =
T
f 1=
f
T


 2=  = 
T, f e ω
estão 
interligados


 = k
• Altura ou amplitude da crista AC é a distância do nível de águas paradas até a crista.
• Profundidade ou amplitude do cavado AT é a distância do nível de águas paradas até o 
cavado.
• Altura da onda H é a distância vertical do cavado até a crista H = AC + AT
• Ondas lineares são simétricas em relação ao nível médio da água.
• Ondas regulares não lineares são assimétricas, (AC > AT), e a velocidade de fase c depende da 
altura da onda H.
• Esbeltez é a proporção entre a altura da onda e seu comprimento
• Altura relativa é a proporção entre a altura da onda e a profundidade
• Profundidade relativa é a proporção entre a profundidade e o comprimento da onda
λ
AC
AT
Hx
z
Leito marinho
d
d
H


d
=
Horace Lamb
Matemático inglês 1849-1934

HS =
)tanh(
)2sinh(
21
2
1 kd
k
g
kd
kdcg 





+=





==





dgkdgk 2tanh2)tanh(
• Na teoria linear de ondas pode ser demonstrado que a velocidade de fase 
depende do comprimento da onda e profundidade local
• Em um local do oceano são gerados trens de ondas com vários comprimentos 
de onda e períodos ligeiramente diferentes. Estas ondas vão interferir 
formando um único grupo de ondas resultantes.
• Velocidade de grupo cg é a velocidade pela qual a modulação das amplitudes 
da onda (a energia) se propaga.
▪Relação de dispersão para ondas lineares







=



 dgc 2tanh
Slide 43
Medindo 
as Ondas
• O conceito de estado demar (sea state) é vago, pois não indica o período das 
ondas. Entretanto, é largamente utilizado.
• Definido pela World Meteorological Organization, é baseado na Escala de 
Douglas para “wind seas”.
CÓDIGO
WMO
DESIGNAÇÃO ALTURA DAS ONDAS (m)
0 Espelhado 0
1 Chão 0-0.1
2 Encrespado 0.1-0.5
3 Pequena vaga 0.5-1.25
4 Cavado 1.25-2.5
5 Grosso 2.5-4
6 Alteroso 4-6
7 Tempestuoso 6-9
8 Encapelado 9-14
9 Excepcional 14+
WMO 4
WMO 9WMO 7
WMO 6
Henry Percy Dougllas
Hidrógrafo inglês 1879-1939
• É uma escala que mede a intensidade dos ventos tendo em conta a sua 
velocidade e os efeitos resultantes no mar e em terra.
• Não confundir com Estado de Mar, embora haja uma certa correlação.
• Na escala Beaufort a velocidade do vento U (nós) = 1.87 x B ^ 1.5
Slide 45
Francis Beaufort
Hidrógrafo irlandês 1774-1857
Grau 
B Designação m/s km/h nós Aspecto do mar Efeitos em terra
0 Calmo <0,3 <1 <1 Espelhado Fumaça sobe na vertical
1 Aragem 0,3 a 1,5 1 a 5 1 a 3 Pequenas rugas na superfície do mar Fumaça indica direcção do vento
2 Brisa leve 1,6 a 3,3 6 a 11 4 a 6 Ligeira ondulação sem rebentação As folhas das árvores movem; os moinhos começam a trabalhar
3 Brisa fraca 3,4 a 5,4 12 a 19 7 a 10 Ondulação até 60 cm, com alguns carneiros As folhas agitam-se e as bandeiras desfraldam ao vento
4 Brisa moderada 5,5 a 7,9 20 a 28 11 a 16 Ondulação até 1 m, carneiros frequentes Poeira e pequenos papéis levantados; movem-se os galhos das árvores
5 Brisa forte 8 a 10,7 29 a 38 17 a 21 Ondulação até 2.5 m, com cristas e muitos carneiros Movimentação de grandes galhos e árvores pequenas
6 Vento fresco 10,8 a 13,8 39 a 49 22 a 27 Ondas grandes até 3.5 m; borrifos
Movem-se os ramos das árvores; dificuldade em manter um guarda chuva 
aberto; assobio em fios de postes
7 Vento forte 13,9 a 17,1 50 a 61 28 a 33 Mar revolto até 4.5 m com espuma e borrifos Movem-se as árvores grandes; dificuldade em andar contra o vento
8 Ventania 17,2 a 20,7 62 a 74 34 a 40 Mar revolto até 5 m com rebentação e faixas de espuma
Quebram-se galhos de árvores; dificuldade em andar contra o vento; barcos 
permanecem nos portos
9 Ventania forte 20,8 a 24,4 75 a 88 41 a 47 Mar revolto até 7 m; visibilidade precária Danos em árvores e pequenas construções; impossível andar contra o vento
10 Tempestade 24,5 a 28,4 89 a 102 48 a 55 Mar revolto até 9 m; superfície do mar branca Árvores arrancadas; danos estruturais em construções
11 Tempestade 
violenta
28,5 a 32,6 103 a 117 56 a 63 Mar revolto até 11 m; pequenos navios sobem nas vagas Estragos generalizados em construções
12 Furacão >32,7 >118 >64 Mar todo de espuma, com até 14 m; visibilidade nula Estragos graves e generalizados em construções
http://pt.wikipedia.org/wiki/Metro_por_segundo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Quil%C3%B3metro_por_hora
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%B3_(unidade)
• O estado de mar é melhor caracterizado por várias estatísticas, sendo as
principais :
− Altura significativa Hs
− Período médio entre cruzamentos zero Tz ou período de pico Tp
− Direção da propagação das ondas
• Alguns destes parâmetros são historicamente obtidos por 
estimativas visuais feitas por um observador treinado.
• Outros podem ser obtidos a partir de análises estatísticas a partir 
de uma tabulação dos dados coletados H1/3, Hrms).
• Finalmente, através de análises estatísticas mais complexas a 
partir do espectro de distribuição de energia, parâmetros mais 
confiáveis podem ser obtidos (Hs, Tp, σ, etc.)
(s) 83.2
(m) 68.1
44.0
75.0
Vp
Vs
TT
HH
=
=
• Em geral é utilizado um ondógrafo para registrar ao longo do 
tempo as elevações ocorridas. Com o uso de acelerômetros é 
possível também coletar informações relacionadas às direções 
de incidência das ondas. Vários parâmetros podem ser obtidos 
da série temporal.
• Após a retirada do ruído da série temporal é 
aplicada a FFT, convertendo os sinais de 
elevação em função do tempo para uma 
modalidade de energia associada à frequência 
(δ2/ω x ω).
• O ajuste do espectro é feito por expressões 
matemáticas que o definem em função de 
alguns parâmetros como forma, altura 
significativa de onda e período de pico.
Jean-Baptiste Joseph Fourier 
Matemático e físico francês 1768-1830
Slide 48
sinal
envelope
Tempo (s)
E
le
va
çã
o 
(m
)
Série Temporal
Tabulação dos Dados
Probabilidade Relativa
H (m)
Probabilidade Acumulada
H (m)
A partir da análise de um registro das alturas de onda, vários parâmetros 
podem ser estabelecidos.
PARÂMETRO VALOR
Amplitude média Ā 0.04 m
Desvio padrão σ 2.40 m
Amplitude média quadrática Arms 2.40 m
Amplitude máxima Amax 9.97 m
Amplitude mínima Amin -8.18 m
Cruzamentos 0 ↑ 1112
Nº Máximos 1289
Nº Mínimos 1282
Altura Pico-Pico ↑ 17.64 m
Altura Pico-Pico ↓ 17.07 m
Período médio de cruzamento zero Tz 9.71 s
Período médio entre cristas Tc 8.38 s
H1/3 9.25 m
H1/10 11.78 m
• Satélites de observação com vários tipos de sensores, 
radares e câmeras são utilizados atualmente.
• Da imagem complexa pode-se gerar a imagem 
amplitude, que é o módulo da imagem complexa.
• Para a medição de altura de ondas (e de terreno) é 
utilizado o radar SAR (Synthetic Aperture Radar). O 
radar gera um pulso que é refletido, contendo duas 
informações importantes : a amplitude do sinal de 
retorno e a diferença de fase em relação ao sinal 
irradiado, que juntos são tratados como uma 
imagem complexa bruta.
Satélite ERS-2 (1995)
Funcionamento do SAR
Imagem amplitude 
(cores claras são 
ondas maiores)
Slide 51
Ondas Regulares
• Airy : A elevação da onda é aproximada por uma senóide.
• Stokes : A altura da crista é maior que a altura do cavado. Cristas mais 
agudas do que o cavado.
• Cnoidal : Cristas muito mais agudas do que o cavado.
• Solitária : A altura da crista é praticamente igual a altura da onda (não há 
cavados).
• Determinar o potencial do campo de velocidades das ondas de superfície φ.
• Hipóteses básicas :
1. Fluido incompressível (densidade constante)
2. Fluido invíscido (não tem viscosidade) : escoamento irrotacional
3. Movimento coplanar (despreze espalhamento - eixo y)
λ
H
d
x
z
ζ(x,t)
Leito marinho z = -d
Nível da água z = 0
Conservação da massa
Conservação do momento
Condições de contorno
Equações :
• Equação geral de Navier-Stokes : 0
1
=•+ v
Dt
D 

• Hipótese 1: Fluido incompressível
0
0
=•
=
v
Dt
D


• Hipótese 2 : Movimento irrotacional
=
=
v
v

 0
• Hipótese 3 : Nada se move em y
A densidade é constante.
O divergente de velocidades é nulo.
(água que entra = água que sai)
O rotacional de velocidades é nulo.
A velocidade pode ser expressa como o
gradiente de uma função potencial.
Não há escoamento transversal
então
então
A variação da massa em um
volume infinitesimal é igual
à massa que nele entra menos
a massa que sai.
Slide 55
0=


y

• Equação de Bernoulli não estacionária: 0=++


− gzp
t 

• No leito do oceano (em z = -d) : 0=


z

Slide 56
• Na superfície livre (z = ζ) : 
– Condição de contorno cinemática : uma partícula do fluido que está na 
superfície livre lá permanece (sua velocidade vertical é igual a velocidade 
vertical da superfície do fluido).
– Condição de contorno dinâmica : A pressão atmosférica é considerada nula 
pois uma pressão constante não exerce força resultante sobre o corpo.
A velocidade do fluido normal ao fundo é nula.


=




−


=


− z
xxtz
 em 
0. =+


− 
 g
t
Bernoulli aplicado a z = ζ onde p = 0
Considerando que a altura da onda 
seja pequena quando comparada 
ao seu comprimento, o termo de 
inclinação δζ/δx=0.
tz 

=


−

• Considerando uma onda senoidal onde são conhecidas a amplitude H, o 
comprimento λ e seu período T, a elevação de sua superfície pode ser 
expressa por
• Através da separação de variáveis chegamos à solução
• Aplicando esta solução a Bernoulli em z=0, chegamos à relação de dispersão 
57
( ) ( )



22sin
2
, ==− = k
T
tkxHtx e onde( ) ( ) ( ) ( )tkxkd
zdkgHtzx 

 −
+
 = cos
cosh
cosh
2
,,





==





dgkdgk 2tanh2)tanh(2
• A teoria linear de ondas é uma solução da equação de Laplace, o que leva a 
seguinte formulação para a velocidade de fase
• A partir daí podemos verificar porque a profundidade da água pode ser classificada 
em 3 categorias :
– Águas profundas
Para profundidades maiores que 50% do comprimento da onda, a velocidade de 
fase não é influenciada pela profundidade. Este é o caso da maior parte das ondas 
na superfície do oceano.
– Águas rasas 
Quando a profundidade é menor que 5% do comprimento da onda, a velocidade 
de fase é dependente somente da profundidade, não sendo mais uma função do 
seu comprimento.
– Águas intermediárias 
Para todos os outros casos, ambos a profundidade e o comprimento da onda tem 
uma influência significativa na velocidade de fase.




 2
0.12tanh5.0 gcdd =





 
gdcdπdd =





 



22tanh05.0







=



 dgc 2tanh
 5.005.0  d
• A altura da onda é pequena em comparação com seu comprimento ou 
profundidade da água.
• Condições de contorno na superfície livre são satisfeitas no nível médio de 
águas tranquilas e não no nível real de elevação das ondas. 
• Parâmetros que definem uma onda linear : H (ou ζa), d, T, ʎ
λ
ζa
x
z crista
cavado
George Biddell Airy
Astrônomo inglês 1801-1892
• Relação de dispersão [m/s] 
• Comprimento da onda [m] 
• Velocidade de fase [m/s] 
• Velocidade de grupo [m/s] 
• Elevação da superfície ζ = ζa sin(kx - ωt) [m]
• Pressão subsuperficial p = ρ g exp(kz) ζa sin(kx - ωt) [Pa]
onde g = aceleração da gravidade (9.81 m/s2)
ρ = densidade da água (1025 kg/m3)
Observe que z se torna mais negativo a medida em que vamos para o fundo.


 2.2
g
k
ggTgc ====
Para águas profundas (d > 0.5 λ)


2
2gT
=

ggk 2==
2422
1 cgTg
k
gcg ====

Para águas intermediárias (0.5 λ < d < 0.05 λ)
A formulação envolve funções hiperbólicas, fazendo com que vários parâmetros tenham que
ser calculados por métodos numéricos ou aproximações.
▪ Relação de dispersão
▪ Comprimento da onda λ é a solução de
▪ Velocidade de fase
▪ Velocidade de grupo
▪ Pressão subsuperficial





=








 dg
T
2tanh22
2
( )dk
k
gc .tanh=
  ).sin(.
).cosh(
).(cosh.. xkt
hk
zhkgp −+= 





==



 dgkdgk 2tanh2)tanh(
)tanh(
)2sinh(
21
2
1 kd
k
g
kd
kdcg 





+=
Para águas rasas (d < 0.05 λ)
• Relação de dispersão
• Comprimento da onda
• Velocidade de fase
• Velocidade de grupo
• Pressão subsuperficial (aproximadamente a hidrostática) p = ρg(ζ + z)
gdT=
gdc =
gdgdk

2
==
cgdcg ==
• A medida em que a altura da onda aumenta com relação ao comprimento, (esbeltez S
aumenta) ela vai se afastando da onda linear.
− Cavado mais achatado (e longo) do que a crista.
− Amplitude até a crista é maior que amplitude até o 
cavado.
− O movimento das partículas não é fechado, havendo um 
pequeno deslocamento na direção da propagação (Stokes 
drift).
− Por isto as ondas conseguem transportar sedimentos, 
derrames de petróleo, etc.
− O equacionamento da onda é feito através de expansão 
em série de Taylor. O último termo da série define a 
ordem da onda de Stokes.
George Gabriel Stokes
Matemático irlândes 1819-1903
• Velocidade de fase
• Elevação da superfície 
• Pressão subsuperficial 
• Velocidade de deriva de Stokes
(drift speed) 
( )kd
k
gc tanh=
  )](2cos[)2cosh(2
)(sinh
)cosh(
3
2
tkxkd
kd
kdH



 −+

=
 1)](2cosh[
2sinh4
)](2cos[
3
1
)(sinh
)](2cosh[
2sinh4
3 2
2
2
−+−−






−
+
= dzk
kd)(
gHtkx
kd
dzk
kd)(
gHp





cHU
kd
dzkcHU
2
2
2
.
)(sinh
)](2cosh[.





=





 +





=




Aproximação para águas profundas
Qualquer 
profundidade
• É uma solução periódica não-linear e exata da equação não linear 
diferencial parcial proposta por Korteweg e de Vries (equação KdV).
• É utilizada para descrever ondas de gravidade de comprimento 
extremamente grandes quando comparados à profundidade.
• Aplicável quando λ > 5d e
• A solução das equações é complexa, dependendo de aproximações 
numéricas. Além disto é instável quando o número de onda k é elevado.
• Outra solução foi proposta por Benjamin-Bona-Mahomy (equação BBM).
g
dT 7 
Diederik Korteweg
Matemático holandês 1848-1941
Gustav de Vries
Matemático iholandês 1866-1934
• É uma onda em águas rasas (solitão) que consiste em um único 
deslocamento de água acima do seu nível médio.
• Foi descrita pela primeira vez em 1834 por John Scott Russel quando ele 
observou a onda causada pela parada brusca de uma barcaça em um canal. 
• É uma descrição razoável da onda causada por um tsunami, mas é utilizada 
também na progressão de ondas periódicas quando a profundidade é menor 
que 10% do comprimento da onda.
• Teoricamente seu comprimento é infinito, mas 
para propósitos práticos :
– Velocidade de fase
– Número de onda
– Comprimento da onda 
– Elevação 
)( Hdgc +=
34
3
d
Hk =
)]([sech2 ctxkH − = 
k



 = 
John Scott Russell
Engenheiro naval escocês 1808-1882
• Três parâmetros são utilizados para determinar qual teoria de ondas deve 
ser aplicado a um problema específico :
– Altura da onda H
– Período da onda T
– Profundidade da lâmina d’água d
• Adimensionais decorrentes :
– Esbeltez (steepness)
– Profundidade relativa
– Número de Ursell


==

 S
d
HU R 3
.
22 gT
HHS 

==
22 gT
dd


 ==
UR mede o impacto da 
profundidade sobre a 
não-linearidade da onda
Subrata Kumar Chakrabarti
Engenheiro indiano 1941-2009
• Calcule a velocidade de fase e a velocidade de grupo para uma onda
linear de comprimento 200m nas profundidades de 2000, 80 e 10m.
𝜆 = 200
k = 
2𝜋
200
=0,0314 ondas/m






=



 dgc 2tanh






+=
)2sinh(
21
2 kd
kdccg


 = k
d (m) c (m/s) cg (m/s)
2000 17,67 8,84
80 17,56 9,36
10 9,74 9,43
• Uma onda regular plana propaga-se em águas profundas com período de 16s. 
Qual o comprimento da onda e sua velocidade de fase m/s ?
m/s 25
.2
16.81,9
.2
===

gTc
m 400
2
16.81,9
2
22
===


gT
• No projeto de navios aliviadores para a Bacia de Campos, a Petrobrás
recomenda Hs=3.5m e Tp=9s. Qual seria a teoria de ondas a utilizar ?
Investigue nas profundidades mínima e máxima da bacia (100m e 2500m).
• Vazamento de óleo em uma FPSO no Campo de Tupi a 250km da costa, em
lâmina d’água de 2000m ! Ondas de 1.5m de altura com período de 6s e
comprimento de 40m são medidas no local. Em quanto tempo as manchas
de óleo começarão a aparecer nas praias ? Desconsidere a variação de
profundidade até a costa e o vento.
00424,0
6.81,9
5,1
66,5
6.81,9
2000
22
22
==
==
gT
H
gT
d
𝑘 =
2𝜋
𝜆
=
2𝜋
40
= 0,157 rad/m
𝑐 =
𝑔. 𝑇
2. π
=
9,81 . 6
2 . π
= 9,37 m/s
ሜ𝑈 = 𝜋
𝐻
𝜆
2
𝑐
ሜ𝑈 = 𝜋
1,5
40
2
. 9,37 = 0,1300 m/s
𝑡 =
250000
0,1300
= 1,923𝑥106 s = 22 dias
Stokes 2ª ordem
00189,0
9.81,9
5,1
126,0
9.81,9
100
22
22
==
==
gT
H
gT
d
00189,0
9.81,9
5,1
145,3
9.81,9
2500
22
22
==
==
gT
H
gT
d
d=100m d=2500m
Em ambos os casos a utilização de
Stokes 2ª ordem seria suficiente
(embora a Petrobrás requeira sempre
5ª ordem).
Slide 70
Ondas Irregulares
• Na fase de projeto preliminar as ondas regulares representam um bom 
modelo para a representação do estado do mar.
• Um estado real de mar apresenta características 
aleatórias de amplitude, frequência e fase, havendo a 
impossibilidade matemática de definir uma relação 
sólida que determine seu comportamento : é um 
processo estocástico.
• Quando se considera o modelo estocástico pode-se 
representar o estado de mar formado pela 
superposição de diferentes ondas senoidais com 
diferentes amplitudes, frequências e fases(hipótese 
Gaussiana).
• Na hipótese Gaussiana, o processo é completamente descrito por :
– Média
– Variância
• A partir de dados obtidos no mar, pode ser afirmado que :
– Para mar calmo a moderado (< 4m) ele pode ser considerado estacionário para períodos 
de mais de 20 minutos. Para estados de mar mais severos isto pode ser questionado 
mesmo para períodos de 20 minutos.
– Para estados de mar acima do moderado (4 a 8m) os modelos Gaussianos ainda são 
precisos, mas o desvio aumenta com a severidade do estado de mar.
– Se o mar é suficientemente profundo, a elevação da onda pode ser considerada Gaussiana, 
independentemente do estado de mar.
2
2
agE =
...)(
2
2
3
2
2
2
1 +++= aaa
gE 
• As ondas irregulares são caracterizadas por 
um espectro de onda que descreve a 
distribuição de energia (altura) em relação à 
sua frequência ou período.
• O mar irregular é descrito pela sua energia total e não pela forma da onda.
• Para uma onda senoidal simples a densidade de energia é descrita por
• Para um mar irregular, composto por um somatório de ondas senoidais, a 
densidade de energia será
• Se a irregularidade das ondas observadas é 
somente na direção do vento dominante, 
de modo que existe várias ondas 
unidirecionais com separação variável mas 
mantendo seu paralelismo, o mar é 
conhecido como de cristas longas (long-
crested).
• Se as irregularidades são aparentes ao 
longo das cristas das ondas em ângulos 
perpendiculares ao vento, o mar é 
conhecido como de cristas curtas (short-
crested ou confused sea).
Após o vento ter soprado de forma constante por um período de tempo, a 
elevação do mar pode ser assumida como estatisticamente estável. Isto é 
conhecido como “mar totalmente desenvolvido”.
Slide 75
Alguma Estatística (não tão) Básica
• Distribuição de probabilidade é uma função que descreve a probabilidade de 
uma variável randômica assumir determinados valores.
• Considerando que uma variável aleatória discreta x toma os valores x1, ...xn, 
então :
– Média aritmética :
– Valor eficaz : 
– Média geométrica :
– Moda : É o valor de maior frequência.
– Mediana : Dependendo se o número de elementos ordenados for ímpar ou par, é o valor 
central ou a média dos valores próximos ao centro.
– Desvio padrão :
– Variância : 

=
+++
==
n
i
n
i n
xxxx
n
x
1
21 ...1
( )
=
−
−
=
n
i
i xxn 1
2
1
1

2
n
xxxx
n
x n
n
i
irms
22
2
2
1
1
2 ...1 +++== 
=
n
n
n
i
n
ig xxxxx ...211 == =
• Mediana : Md é o valor de x para o qual F(x)=0.5
• Moda : Mo é o valor de maior frequência 
• Desvio padrão :
• Uma variável randômica contínua x tem uma 
função de distribuição de probabilidade f(x) de 
modo que a probabilidade P da variável estar 
entre dois valores a e b é
• A função F da distribuição acumulada de x é
• Média :
=
b
a
dxxfbxa )(]P[

−
=
x
dxxfxF )()(
moda
mediana
média
f(x)
F(x)

+
−
= dxxfx )(.
( )
+
−
−= dxxfx )(.2
f(x)
• Assimetria : Indica o grau de afastamento da simetria de uma distribuição
1º Coeficiente de Pearson : 2º Coeficiente de Pearson : 



)(3 dM−=



)( oM−=
• Curtose : Indica o grau de 
achatamento de uma distribuição, 
indicando a concentração de valores 
nas suas caudas, em relação a uma 
distribuição normal
( )
3
)(.
3
4
−
−
=

+
−

 dxxfx
c
Simétrica
Assimetria positiva Assimetria negativa
do MM ==  do MM od MM 
−Se o valor da curtose for = 0, então tem o mesmo 
achatamento que a distribuição normal. 
−Se o valor é > 0, então a distribuição em questão é mais 
alta (afunilada) e concentrada que a distribuição normal.
−Se o valor é < 0, então a função de distribuição é mais 
"achatada" que a distribuição normal
• Algumas formas de distribuição de probabilidade :
Slide 79
Distribuição Parâmetros Características Aplicabilidade Aspecto
Discreta
Valores e probabilidade 
de ocorrência destes 
valores
Assume apenas os valores 
fornecidos
Utilizada na escolha de parâmetros 
das entidades. Por ex., em uma loja 
30% dos clientes compram 
mercadorias no balcão e 70% nas 
prateleiras.
Uniforme Maior e menor valor
Todos os valores no intervalo 
têm a mesma probabilidade de 
ocorrência
Quando não se tem nenhuma 
informação sobre o processo ou 
apenas os valores limites.
Triangular
Menor valor, moda e 
maior valor
Simétrica ou não
Quando se conhece a moda, o 
menor e o maior valor que podem 
ocorrer.
Exponencial Média
Variância alta e cauda para a 
direita
Grande variabilidade dos valores.
Independência entre um valor e 
outro. Muitos valores baixos e 
poucos altos. Utilizada em 
estatística de falhas.
Normal Média e desvio padrão
Simétrica com forma de sino. 
Variabilidade controlada pelo 
desvio padrão.
Probabilidade de valores acima e 
abaixo da média são iguais.
• Procurando dar um tratamento matemático aos mais diversos fenômenos da natureza, 
diversos tipos de funções de distribuição foram desenvolvidos:
– Beta
– Cauchy
– Dagum
– Fisher-Tippet
– Gama
– Gaussiana
– Gumbel
– Laplace
– Levy
– Pareto
– Qui-Quadrado
– Rayleigh
– Rice
– Von Mises
– Weibull
– Etc.
( )





 −
−= 2
2
2
exp
2
1)(



xxf
( ) dxxxF
x

−





 −
−= 2
2
2
exp
2
1)(



Regra 68-95-99.7
Carl Friedrich Gauss
Matemático alemão 1777-1855
Considerada a mais proeminente distribuição de probabilidade na estatística
(simplicidade, conveniência para vários tipos de amostragens, etc.)
• Formulação :
– Função de distribuição :
– Distribuição acumulada :
– Média (= moda e mediana) : μ
– Variância : σ 2
É um tipo de distribuição observada quando a magnitude total de um vetor é 
relacionada às suas componentes direcionais não correlacionadas mas 
normalmente distribuídas e com a mesma variância (ex.: velocidade do vento, 
propagação das ondas do mar, etc.).
• Formulação :
– Função de distribuição :
– Distribuição acumulada :
– Média :
– Mediana :
– Moda : 
– Variância : 






−= 2
2
2 2
exp)(

xxxf






−−= 2
2
2
exp1)(

xxF


 253.1
2

 177.1)4ln( 

22 429.0
2
4



−
f(x)
F(x)
John William Strut (Lord Rayleigh)
Matemático inglês 1842-1919
É utilizada extensivamente em análise de confiabilidade e de falha, 
governando o tempo para a ocorrência do elo mais fraco de vários processos 
simultâneos de falha.
• Formulação para 3 parâmetros :
– Função de distribuição :
– Distribuição acumulada : 
onde k = parâmetro de forma
β = parâmetro de escala
ϴ = parâmetro de localização
Se considerarmos x como o tempo para a falha













 −
−




 −
=
− kk
xxkxf





exp)(
1
k < 1 indica que a taxa de falha diminui com o tempo
(mortalidade infantil).
k = 1 indica que a taxa de falha independe do tempo.
k > 1 indica que a taxa de falha aumenta com o tempo
(morte por velhice).
f(x)
xF(x)
x













 −
−−=
k
xxF

exp1)(
Ernest Hajlmar Waloddi Weibull
Engenheiro suíço 1887-1979
Se θ = 0 recaímos na distribuição de 
Weibull de 2 parâmetros
– Média :
– Mediana :
– Moda :
– Variância :
– Assimetria : 
• Para a determinação dos parâmetros a partir de dados coletados são 
utilizados os momentos da função de distribuição
 === 3
2
21 mmm
 
 2
3
2
3
)/11()/21(
)/11(2)/11()/21(3)/31(
kk
kkkk
+−+
++++−+
=
k
k
k
1
1





 −+ 
k
1
)]2[ln( +





 ++=
k
11 
Função Gama
Γ(t)=0׬
∞
𝑥𝑡−1𝑒−𝑥𝑑𝑥
Γ(n) = (n−1)!











 +−




 +=
kk
1121 222 

+
=
0
)(. dxxfxm nn
Utilizada para modelar a distribuição dos máximos 
ou mínimos de um número de amostras de várias 
distribuições (estatística de extremos).
• Formulação :
– Função de distribuição :
– Distribuição acumulada :
– Média :
– Mediana :
– Moda : μ
– Desvio padrão : 













 −
−−=

xxF expexp1)(
 +
( )( )2lnln −
6

 =












 −
−




 −
=





xxxf expexpexp1)(
Emil Julius Gumbel
Matemático alemão 1891-1966
γ= 0,57721 (constante de Euler-Mascheroni)
• O seguinte histograma de altura de ondas foi obtido de uma série temporal em uma amostra 
de um sistema de ondas irregulares :
1. Qual é a altura significativa H1/3 desta amostragem ?
2. Nesta tempestade, qual a probabilidade que a altura da onda exceda 
2.75m ?
H (m) Nº Obs.
< 0.25 0
0.25-0.75 30
0.75-1.25 60
1.25-1.75 110
1.75-2.25 42
2.25-2.75 28
2.75-3.25 18
3.25-3.75 10
3.75-4.25 2
> 4.25 0
H obs obs acum % acum H x Obs H^2 x Obs
0,25 0 0 0,00 0 0
0,5 30 30 0,10 15 7,5
1 60 90 0,30 60 60
1,5 110 200 0,67 165 247,5
2 42 242 0,81 84 168
2,5 28 270 0,90 70 175
3 18 288 0,96 54 162
3,5 10 298 0,99 35 122,5
4 2 300 1,00 8 32
4,25 0 300 1,00 0 0
total 300 491 974,5
média 1,64
eficaz 1,80
geométrica 1,35
moda 1,50
mediana 1,25
prob 6
0
20
40
60
80
100
120
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
H x Obs
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
H x F
Slide 87
Espectros
• O registro das ondas não pode ser escrito como uma onda senoidal, mas 
pode ser caracterizado por várias ondas com diferentes amplitudes, períodos 
e fases.
• Uma vez calculadas estas amplitudes e 
períodos das ondas componentes (a fase é 
desprezada), é plotado um espectro de 
densidade de energia em função da 
frequência.
frequência
de
ns
id
ad
e 
de
 e
ne
rg
ia
A
m
pl
itu
de
 ζ
(m
)
tempo (s)
• A densidade de energia em um particular intervalo 
de frequência é dado por 
• A partir do espectro e de sua idealização 
matemática vários outros parâmetros podem ser 
calculados.


2
2g
▪ Características espectrais importantes:
– Momento espectral de ordem n
– Momento espectral de ordem 0 
(área sob a curva)
– Desvio padrão 
– Período médio


)=
0
0 (  dSm
0m=
– Período médio de cruzamento zero ou período médio dos zeros ascendentes 
– Período médio entre picos 
– Período modal T0 (ou período de pico Tp) é o período no qual o máximo de energia ocorre. 
– Largura de banda 
– Altura significativa ........................................ 
– Se a largura de banda do espectro for estreita (ε =0) então
– Se a banda for larga (ε =1) então 








−=






−= 2
2
40
2
2 1
z
p
T
T
mm
m

2
0
02 2 m
mTT mz ==
4
2
24 2 m
mTm =


=
0
)(  dSm nn






−=
2
14ou 
2
03/1
mHH s
04 mH S =
0
0 828.2
2
4 mmH S =
ω [rad/s]
S
[m
2/
(r
ad
/s
)]
ω0, T0, f0
T
1
0
01 2 m
mTT m ==
Várias idealizações matemáticas dos espectros de ondas do mar estão 
disponíveis na literatura.
– Bretschneider de um parâmetro (HS). O período associado é típico de mares totalmente 
desenvolvidos).
– Pierson-Moskovitz (1964). O espectro é definido pela velocidade nominal do vento a uma 
altura de 19.5 m acima do nível do mar. Utilizado em mar totalmente desenvolvido.
– Bretschneider de dois parâmetros ou ISSC (HS e ). Substitue PM quando a 
modelagem de mar totalmente desenvolvido é muito restritiva.
– JONSWAP (JOint North Sea WAve Project 1973). Utilizado para descrever ondas em águas 
costeiras em mares não totalmente desenvolvidos. Apresenta um pico mais estreito que o 
ITTC.
– DNV. Uma formulação mais generalizada do espectro, utilizando um fator de intensificação 
de pico que é determinado a partir da altura de onda e do período modal.
– Ochi-Hubble (1976). É um espectro formulado para descrever mares que sejam uma 
combinação de 2 estados de mar diferentes. É um espectro de 2 picos.
– Torsethaugen (1996). É obtido pelo ajuste de 2 funções JONSWAP generalizadas a um 
espectro médio obtido na plataforma continental norueguesa.
T
• É conhecida apenas a altura significativa Hs.
• Distribuição espectral onde e
• Frequência modal
É definido apenas em termos da altura de onda, sendo utilizado apenas em 
mares plenamente desenvolvidos.
2
2 11.3 00811.0
SH
g == 




−=)
 4exp( 



BS
sH
g4.00 =
Charles L. Bretschneider
Engenheiro americano 1895-1975
Constante de Philips
• São conhecidas a altura significativa HS e o período médio .
• Distribuição espectral onde e
• Momento espectral de ordem 0
• Altura característica
• Período médio de cruzamento zero
• Período de pico
É um espectro de banda larga que contém todas as frequências de onda até o 
infinito. Entretanto, na prática as ondas de alta frequência (ripples) são 
negligenciadas e o espectro efetivamente se torna de banda estreita.





−=)
 4exp( 



ITTCS 44
2 691 75.172
TT
H S == 


40
=m
TTz 92.0=
TTP 296.1=
04 mH S =
T
Assume que um vento constante de velocidade U19.5 incidiu por um longo 
tempo em uma grande área, e que as ondas estão em equilíbrio com ele (mar 
totalmente desenvolvido).
• É conhecida a velocidade do vento a 19.5 m de altura U19.5.
• Distribuição espectral onde e
• Altura de onda significativa 
• Período de pico 
















−=)

4
5.19
exp(
U
gSPM




 74.0 .00811.0 2 ==  g
g
UH S
2
5.1921.0=
g
UTP 5.191644.7=
Atualmente a velocidade do vento é medida 
a 10 m de altura, e considera-se a seguinte 
relação 
Outra formulação do espectro
105.19 .026,1 UU 
















−=
−4
5
4
2
4
5exp
16
5
p
p
SPM HS




Willard J. Pierson Jr.
Oceanógrafo americano 1922-2003
Lionel I. Moskowitz
Oceanógrafo americano 1937-
Similar ao espectro de Pierson-Moskowitz, exceto que as ondas continuam a 
crescer com a distância ou tempo, e o pico do espectro é mais pronunciado 
por um fator de intensificação de pico γ. É utilizado em águas costeiras.
• São conhecidas a altura significativa HS e o período de pico Tp.
• Distribuição espectral
onde
γ = em geral 3.3

















 −
−
=
2
5.0exp
)()( P
P
PMJ SAS


 
)ln(287.01  −=A






=
=
=
0
0
 para 09.0
 para 07.0



b
a
P
P T


2
=
É o espectro utilizado pela Petrobrás na costa
brasileira. Para a Bacia de Campos :



+
+
== −
89.10
5 e 4.6 491.0 pzp TTT
JS é um modelo razoável 
quando
0.56.3 
S
P
H
T
Uma formulação mais generalizada de espectro que recai em Bretschneider
quando γ = 1 e em JONSWAP quando γ = 3.3
0.10.5
15.175.5exp0.56.3
0.56.3 se
=








−=
=



S
P
S
P
S
P
S
P
H
T
H
T
H
T
H
T
• O fator de intensificação de pico γ depende da 
altura significativa e do período modal.
• Distribuição espectral
onde














−
−





 −=
2
2 12
1exp
5 4
exp)( PDNVS















=
=
=
0
0
 para 09.0
 para 07.0



b
a
P
P T


2
=
 
4
4
4
2
4
20
)ln(287.015
P
P
S
T
T
H



=
−=
ESPECTRO H T γ VWIND OBS.
ITTC Requerido Requerido 1.0
Não 
aplicável
Mar desenvolvido
BRETSCNEIDE
R
Requerido
Especificado pelo 
método
1.0
Não 
aplicável
Mar desenvolvido
JONSWAP Requerido Requerido 3.3
Não 
aplicável
Mar não
desenvolvido
DNV Requerido Requerido 1.0~5.0
Não 
aplicável
Qualquer mar
PIERSON-
MOSKOWITZ
Estimado pelo 
método
Estimado pelo 
método
Não aplicável Requerido Mar desenvolvido
Golfo Pérsico
águas rasas
Irlanda
costa oeste
Para mares confusos (short-crested) um espectro direcional é mais realístico 
e muito importante para o cálculo das cargas nas estruturas marítimas, pois o 
movimento de resposta depende altamente do ângulo de encontro. Para 
simulação é comum separar o espectro direcional como um produto de duas 
funções :
𝑆 𝜔, 𝜒 = 𝑆 𝜔 .𝑀(𝜒) 𝑀(𝜒) é a função de espalhamento
Onde 𝜒0 é a direção dominante de 
propagação das ondas, e os valores 
de s=1 e 2 são comumenteutilizados.
Slide 98
para
caso contrário
ω (Hz) 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5
Sζ (ω) 0.00 0.75 0.95 0.43 0.12 0.00
Um espectro simplificado de energia de ondas é dado por :
1.Utilizando o método dos trapézios, calcule a altura significativa, o período médio T e o 
período médio de cruzamento zero Tz. Dê uma explicação física de cada um.
2.Determine a probabilidade de exceder uma onda de 4m neste espectro, utilizando a função 
de densidade de probabilidade de Rayleigh.
3.Determine também o número de vezes por hora que esta altura de onda será excedida.
4.Explique o termo mo na função de densidade de probabilidade de Rayleigh.
5.Qual a probabilidade da altura significativa de onda H1/3 ser excedida ?
6.Qual a desvantagem de utilizar Tz quando analisando um espectro de ondas medidas ?
D
en
si
da
de
 e
sp
ec
tr
al
 (
m
2 s
)
Frequência angular (rad/s)
Slide 100
A Onda Centenária
• A segurança é vinculada à ideia de sobrevivência aos riscos inerentes ao 
meio em que estiver envolvida a estrutura.
• As estruturas devem ser projetadas de modo a suportar as tensões 
provenientes das ações ambientais mais extremas durante sua vida útil e 
dentro de um custo econômico aceitável.
• Alturas significativa de onda em um período de 50 ou 100 anos é um 
parâmetro que pode ser estimado por meio da estatística de valores 
extremos.
• Estatísticas de curto prazo são válidas somente para um período de tempo de 
até uns poucos dias, enquanto uma tempestade mantém suas características 
básicas. 
• Para cada tempestade ou amostra podemos utilizar a altura de onda 
significativa Hs e o período de cruzamento zero Tz para construir um espectro 
e então determinar as estatísticas de curto prazo.
• Durante este período o mar é descrito por um espectro estacionário S(ω,ζ).
• No longo prazo o mar não é estacionário.
• As estatísticas de longo prazo podem ser representadas como a soma de 
várias estatísticas de curto prazo, analisando em conjunto um grupo de 
tempestades com diferentes durações a alturas de onda.
• Em geral são feitas diversas medições curtas a intervalos pré-determinados 
(ex.: medições de 3 em 3 horas com duração de 10 a 30 minutos).
• As estatísticas das ondas não se alteram somente em função do tempo; 
também dependem da área geográfica onde estão sendo feitas as medições.
• Os quadrados de Marsden (QMD) dividem o globo em uma grade que segue os 
paralelos e meridianos, de 10º em 10º, identificando cada quadrado por um 
número.
Slide 103
• Os quadrados podem ainda ser
subdivididos em 100 partes (10 x
10), numerados de 0 a 99, de
modo a melhorar a precisão.
1 mn = 1` medido sobre o equador = 1852 m
William Marsden
Historiador inglês 1754-1836
• Divide o globo em 52 zonas náuticas 
para estimativa dos parâmetros de 
distribuição de longo prazo.
• Apresenta os parâmetros para 
distribuição por Weibull de 2 
parâmetros para cada área.
• Utilizado para determinação do 
momento fletor em ondas sobre a 
viga-navio.
1. Selecione os dados relevantes. Em geral, Hmax e 
Thmax ou Hs e Tp ou Tz para cada amostra.
2. Ajuste os parâmetros da distribuição selecionada 
aos dados coletados. Existem vários métodos de 
ajuste. 
3. Defina o período de retorno (ou intervalo de 
recorrência) da onda, pelo menos 3x a vida útil 
da estrutura (por ex. 50 ou 100 anos). 
4. Calcule o valor altura significativa de onda e o 
período correspondente.
LOCAL Bacia de Campos Golfo do México
RETORNO 10 anos 100 anos 10 anos 100 anos
Hs [m] 7.2 7.8 10.0 15.8
Tp [s] 14.8 15.6 13.0 15.4
Hmax [m] 13.3 14.5 17.7 27.9
Thmax [s] 14.4 15.0 11.7 13.9
• Selecione os dados relevantes (no caso Hs). Não se esqueça de verificar a 
duração de cada amostra. 
Slide 106
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0 2 4 6 8 10 12 14 16
f (
H
s)
Hs
• Escolha o tipo de distribuição a utilizar
(no caso Weibull de dois parâmetros 
θ=0).
• Integre numericamente a curva anterior obtendo a probabilidade acumulada 
F para cada Hs. Calcule a probabilidade de excedência de F (Q = 1 – F).
• Lembre-se que em Weibull de 2 p. então
• A correlação entre Q e Hs pode ser melhor observada em uma escala 
logarítma. 
Plote X = ln(Hs) contra Y = ln(-ln(Q)). 
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
ln (- ln (Q) )
ln (Hs)
 exp)( exp1)(














−=














−−=
kk
xxQxxF

• Por mínimos quadrados ajuste uma reta aos 
pontos, determinando os coeficientes a e b
de Y = aX+b
• Determine os parâmetros de forma e escala k
e β da distribuição de Weibull.





−=−=
=
k
bkb
ka
exp ln 
• Defina o período de retorno. No nosso exemplo, τ = 100 anos.
• Admitindo-se ondas com persistência de 3 horas, haverá 2922 registros de 
ondas por ano, portanto em τ anos a probabilidade de não excedência do 
valor de retorno será de 
• Determine o valor de Hs100.
99999658.0
292200
11
2922
11)( 100 =−=−=

SHQ
Quanto estimando valores extremos, é importante que a cauda da distribuição
ajustada tenha uma boa correlação com os dados coletados. Nestes casos em geral é
utilizada a distribuição de Weibull de 3 parâmetros.
Uma outra alternativa é utilizarmos Hmax ao invés de Hs em cada amostra. Neste
caso, em geral é utilizada a distribuição de Gumbel.
Para estimativa do período da onda (necessário para determinação do seu
comprimento), em geral se fazem análises de distribuição conjunta H-T.
Vento
• Vento é o deslocamento de ar, que migra de regiões de alta pressão 
atmosférica para pontos onde esta pressão é menor.
• Normalmente são classificados por sua velocidade, duração, tipos de forças 
que causam, regiões nos quais eles ocorrem e seus efeitos.
- Ventos com grande variação de velocidade em curso espaço de 
tempo são chamados de rajadas, que podem também se referir aos 
cursos momentos em que a velocidade do vento é máxima.
- Ventos fortes de duração intermediária (cerca de 1 minuto) são 
chamados de instabilidade ou lufada.
- Ventos de longa duração tem diversos nomes, associados com sua 
intensidade média, como brisa, vento, tempestade, furacão.
Rajada em UK
Ciclone em SC
É uma escala que mede a intensidade dos ventos tendo em conta a sua 
velocidade e os efeitos resultantes no mar e em terra.
Francis Beaufort
Hidrógrafo irlandês 1774-1857
Grau Designação m/s km/h nós Aspecto do mar Efeitos em terra
0 Calmo <0,3 <1 <1 Espelhado Fumaça sobe na vertical
1 Aragem 0,3 a 1,5 1 a 5 1 a 3 Pequenas rugas na superfície do mar Fumaça indica direcção do vento
2 Brisa leve 1,6 a 3,3 6 a 11 4 a 6 Ligeira ondulação sem rebentação As folhas das árvores movem; os moinhos começam a trabalhar
3 Brisa fraca 3,4 a 5,4 12 a 19 7 a 10 Ondulação até 60 cm, com alguns carneiros As folhas agitam-se e as bandeiras desfraldam ao vento
4 Brisa moderada 5,5 a 7,9 20 a 28 11 a 16 Ondulação até 1 m, carneiros frequentes Poeira e pequenos papéis levantados; movem-se os galhos das árvores
5 Brisa forte 8 a 10,7 29 a 38 17 a 21 Ondulação até 2.5 m, com cristas e muitos carneiros Movimentação de grandes galhos e árvores pequenas
6 Vento fresco 10,8 a 13,8 39 a 49 22 a 27 Ondas grandes até 3.5 m; borrifos
Movem-se os ramos das árvores; dificuldade em manter um guarda chuva 
aberto; assobio em fios de postes
7 Vento forte 13,9 a 17,1 50 a 61 28 a 33 Mar revolto até 4.5 m com espuma e borrifos Movem-se as árvores grandes; dificuldade em andar contra o vento
8 Ventania 17,2 a 20,7 62 a 74 34 a 40 Mar revolto até 5 m com rebentação e faixas de espuma
Quebram-se galhos de árvores; dificuldade em andar contra o vento; barcos 
permanecem nos portos
9 Ventania forte 20,8 a 24,4 75 a 88 41 a 47 Mar revolto até 7 m; visibilidade precária Danos em árvores e pequenas construções; impossível andar contra o vento
10 Tempestade 24,5 a 28,4 89 a 102 48 a 55 Mar revolto até 9 m; superfície do mar branca Árvores arrancadas; danos estruturais em construções
11 Tempestade 
violenta
28,5 a 32,6103 a 117 56 a 63 Mar revolto até 11 m; pequenos navios sobem nas vagas Estragos generalizados em construções
12 Furacão >32,7 >118 >64 Mar todo de espuma, com até 14 m; visibilidade nula Estragos graves e generalizados em construções
http://pt.wikipedia.org/wiki/Metro_por_segundo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Quil%C3%B3metro_por_hora
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%B3_(unidade)
• Normalmente é dividido em duas componentes : um valor médio e um valor 
flutuante ou rajada (gust).
• É um fenômeno 3D, mas em aplicações marítimas é restrito a 2D, e as 
velocidades são consideradas apenas no plano horizontal, não havendo 
componentes verticais.
• O vento é parametrizado pela velocidade U e direção ψ. Sua direção é 
tomada na direção em que o vento está vindo, medida a partir do norte, 
positiva para leste.
Sensores de direção e velocidade média do vento
(anemômetro)
Flutuações de variação lenta na velocidade e direção média do vento podem 
ser modeladas como um processo de 1ª ordem de Gauss-Markov , isto é, 
segue uma distribuição Gaussiana e os estados anteriores são irrelevantes para 
a predição dos estados seguintes, desde que o estado atual seja conhecido.
• O vento é diferente de rajada de vento. A rajada vem de um movimento brusco 
e repentino do ar. A rajada é um vento de curta duração, em geral com menos 
de 20 segundos, que tem velocidade pelo menos 18,5 km/h (10 nós) a mais do 
que a média de velocidade que vinha sendo observada antes dela acontecer. 
• A rajada de vento pode ser modelada como um processo estocástico com um 
espectro em particular.
0 0.01 0.02 0.03 0.04
0
50
100
150
200
250
300
350
400
S
p
e
c
tr
a
l d
e
n
s
it
y
 [
(m
/s
)2
/H
z
]
Frequency [Hz]
Wind spectra (U=20 m/s)
 
 
Davenport
Harris
API
ISO
• O perfil de velocidades do vento depende das condições de estabilidade 
atmosférica, podendo variar bastante sua forma ao longo de 24 horas.
• Uma abordagem mais simplificada (neutra) assume o seguinte perfil : 
onde α= 1/7 a 1/8 𝑈 𝑧 = 𝑈𝑧𝑟𝑒𝑓(
𝑧
𝑧𝑟𝑒𝑓
)𝛼
Modelos de perfis de velocidade do vento
Slide 116
Correntes
• As correntes podem ser criadas por vários fatores :
− Marés : regulares, seguindo os movimentos harmônicos dos planetas.
− Circulação dos oceanos (ex. Corrente do Golfo)
− Ventos de tempestades
− Ondas internas causadas por gradientes de densidade.
• Podemos dividir a modelagem das correntes em três níveis de detalhe :
− Correnteza na superfície do oceano, para uso na modelagem da resposta de 
embarcações de superfície.
− Perfil completo de correnteza, para uso na modelagem de risers, linhas de 
ancoragem, etc.
− Correnteza próxima ao fundo, para uso no cálculo de dutos e umbilicais submarinos 
em contato com o solo.
As correntes marítimas são os fluxos das águas dos 
oceanos, ordenadas ou não, decorrentes da inércia da 
rotação do planeta Terra, dos ventos e da diferença de 
densidade. Suas movimentações não são bem definidas 
por haver continentes e ilhas ao longo da sua 
movimentação, portanto, correm com grande variabilidade. 
Em vários projetos a corrente pode ser a causa principal do 
carregamento hidrodinâmico. Portanto, a seleção de um 
perfil adequado é importante.
Modelos de perfis de correnteza retangular, triangular, ...
Efeito da corrente em uma coluna de perfuração
Corrente
BOPCabeça do 
poço
• Correntes de profundidade podem afetar
significativamente o perfil resultante.
Perfil de corrente em águas 
profundas em diferentes 
instantes.
• A decisão pode ser bastante 
complexa.
Slide 119
As Vezes a
Matemática 
Falha
1...99999.0
1
99
910
..999999.0910
..999999.910
...99999.0
=
=
=
+=
+=
=
=
a
a
aa
a
a
a
A maior onda já registrada ocorreu na Baía de Lituya, na costa sul do Alasca 
em 1958. Um terremoto de 8,3 graus na escala Richter atingiu a área e 
desprendeu 40 milhões de metros cúbicos de terra e gelo de uma geleira na 
montanha no fundo da baía. Quando os destroços atingiram a água, uma 
onda de 520 metros foi criada.
Nível da onda
• Nas últimas duas décadas do século XX mais de 200 grandes navios (L > 200m) 
afundaram devido ao “mau tempo”.
• Relatórios de (poucos) sobreviventes informavam ondas de 30 m de altura.
• Comunidade cientifica cética. Estas ondas só aconteceriam a cada 10.000 anos
• Medições das ondas por laser em 
plataformas offshore no Mar do 
Norte registraram 446 ocorrências 
de ondas de mais de 25 m em 12 
anos.
• O projeto MAXWAVE (2003), com 
observação das ondas por satélites, 
apresentou em 3 semanas mais de 
10 ondas gigantes com mais de 25 
m de altura em todo mundo.
Rogue ou freak waves são ondas relativamente grandes (H > 2HS) que ocorrem 
espontaneamente em águas profundas, dependendo de um número de fatores coincidentes 
tais como vento forte e convergência de correntes.
Ocorrem mais comumente no sul da 
África, podendo ser previstas com 
antecedência de 2 a 3 minutos.
Um grupo de matemáticos demonstrou 
uma nova maneira de prever ondas 
turbulentas em experimentos usando um 
tanque de água de 270m de 
comprimento na Noruega. imitando as 
condições do mar agitado. O maquinário 
do tanque gerou ondas com 
características particulares que os 
pesquisadores puderam escolher; 
colidindo formas de onda personalizadas 
umas nas outras, eles identificaram 
ondas que resultaram em ondas de até 
cinco vezes a altura das vizinhas.
rogue waves.mpg
• Dados coletados de observações de satélite e boias desde 1985 demonstram 
que os ventos no oceano e as alturas de onda aumentaram 
significativamente nos últimos 30 anos. Por exemplo :
– Sudeste da Austrália
– Nordeste do Pacífico (junto à costa)
• As alturas extremas de onda cresceram nos últimos 20 anos cerca de 0.25% 
ao ano nas regiões equatoriais, e até 1% ao ano nas latitudes mais altas.
• Implicações na engenharia costeira, offshore, navegação, e processos de 
erosão.
• Plataformas no GOM eram projetadas para suportar ondas de até 22m e 
ventos de até 225km/h simultaneamente. Katrina superou isto.
mH
mH
6
5
2008
max
1985
max
=
=
mH
mH
14
10
2008
100
1996
100
=
=
Furacão Ivan (setembro 2004)
Sensores de pressão no leito marítimo detectam onda de 27,7m.
Furacão Katrina (agosto 2005)
(Hs 16.91m, Hmax estimado 32m, λ 320m, U 280 km/h)
47 plataformas destruídas, com mais 20 sofrendo avarias pesadas.
6 plataformas tiveram rompimento das amarras e ficaram a deriva.
3 auto elevatórias destruídas e 1 emborcada (Rowan New Orleans)
2 auto elevatórias, 5 semi-subs and 2 fixas sofrendo avarias 
pesadas.
Furacão Rita (setembro 2005)
66 plataformas destruídas, com mais 32 sofrendo avarias pesadas.
13 plataformas de apoio tiveram rompimento das amarras e ficaram 
a deriva.
1 auto elevatória naufragada,
7 auto elevatórias, 2 semi-subs sofrendo avarias pesadas.
Ciclone Potira (abril 2021)
Ondas de mais de 3m fora da barra se agigantaram para 5 a 6m
ao entrarem no funil da boca da Baía e passar sobre a Laje da 
Besta.
Avarias pesadas na Ponte 4 (linha para Charitas) do Terminal 
Hidroviário da Praça XV.
• DNV “DNV-RP-C205 Environmental Conditions and Environmental Loads”
• HAVES, S. (2000) “On the Prediction of Extreme Wave Crest Heights”, Statoil, 
Stavanger, Norway
• Sarpkaya, T (1979) “Mechanics of Wave Forces on Offshore Structures”, Van 
Nostrand Reinhold Company, New York, USA
• Coastal and Hydraulics Laboratory (1984) “Coastal Engineering Manual”, US Army 
Corp of Engineers, Washington DC, USA
• Chakrabarti, S.K. (2003) “Hydrodynamics of Offshore Structures”, WIT Press, 
Southampton, UK
• WMO (1968) “Guide to Wave Analysis and Forecasting”, Geneva, Switzerland
• Dean, R. G (1984) “Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists”, World 
Scientific
• Pierson, W.J. et Moskowitz, L. (1963) “A Proposed Spectral Form for Fully Developed 
Wind Seas Based on the Similarity Theory of S.A. Kitaigorodskii”, NY University, USA
https://drive.google.com/drive/folders/18uuzfgTtx3C99z_rldXFWPR0UGecdHvm?usp=sharing
FIM DA PARTE I
A EXCITAÇÃO DAS ONDAS